() ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN THỊ THÚY BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ ĐA DIỆN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Chuyên ngành Toán Giải tích Mã số 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC[.]
ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN THỊ THÚY BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ ĐA DIỆN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Văn Hiện THANH HĨA-2013 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận,luận văn,luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Thanh Hóa, Ngày 28 tháng 12 năm 2013 Người cam đoan Nguyễn Thị Thúy ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức, hướng dẫn tận tình, nghiêm túc TS Lê Văn Hiện, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin bày tỏ biết ơn chân thành Thầy Đồng thời, xin chân thành cảm ơn thầy, cô trực tiếp giảng dạy lớp Thạc sĩ tốn Giải tích Khóa trường Đại học Hồng Đức, cảm ơn Ban Giám hiệu nhà trường Ban Chủ nhiệm Khoa Khoa học Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Cuối xin dành tặng luận văn cho gia đình, bạn bè,đồng nghiệp tơi, người ln bên cạnh tơi động viên, khích lệ tơi chỗ dựa tinh thần vững cho sống, học tập nghiên cứu Thanh Hóa, Ngày 28 tháng 12 năm 2013 Tác Giả iii MỤC LỤC Mở đầu Một số kí hiệu Chương Một số kết bổ trợ 1.1 Hệ phương trình vi phân hàm tốn ổn định 1.2 Bài toán điều khiển H∞ 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 10 Chương Bài toán điều khiển H∞ cho lớp hệ tuyến tính đa diện có trễ biến thiên 12 2.1 Phát biểu toán 12 2.2 Kết 14 Kết luận chương 25 Chương Bài toán điều khiển H∞ cho lớp hệ đa diện có trễ trạng thái điều khiển 26 3.1 Phát biểu toán 26 3.2 Kết 28 Kết luận chương 39 iv Kết luận chung 40 Tài liệu tham khảo 41 v MỘT SỐ KÍ HIỆU R+ Tập tất số thực khơng âm Rn Rn×r Khơng gian Euclide n−chiều với tích vô hướng 1 P n T 2 hx, yi = x y chuẩn vectơ kxk = i=1 xi AT Ma trận chuyển vị ma trận A I Ma trận đơn vị λ(A) Tập tất giá trị riêng A λmax(A) = max{Reλ j (A) : λ j (A) ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ j (A) : λ j (A) ∈ λ(A)} A>0 Ma trận A xác định dương, tức Tập hợp ma trận kích thước n × r hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x , A≥0 Ma trận A nửa xác định dương, tức hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A>B Ma trận A − B xác định dương C([a, b], Rn) Tập hàm liên tục [a, b] với chuẩn kxk = supt∈[a,b] kx(t)k L2 ([0; ∞], Rr ) Tập hàm bình phương khả tích với giá trị Rr LMI s Bất đẳng thức ma trận tuyến tính MỞ ĐẦU Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính hệ phương trình vi tích phân Đến nay, lý thuyết lĩnh vực nghiên cứu sôi động toán học với nhiều ứng dụng quan trọng học, vật lý, hóa học, cơng nghệ thơng tin, sinh thái, mơi trường, v.v trở thành phận nghiên cứu thiếu lý thuyết hệ thống ứng dụng [1, 2, 7, 10, 13-17] Đến năm 60 kỉ XX, với phát triển lý thuyết điều khiển, người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay gọi tính ổn định hố hệ điều khiển Từ đến nay, hai tính chất trở thành hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống, thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước (xem [2, 8-17] tài liệu trích dẫn đó) Mặt khác, mơ hình ứng dụng (được xây dựng từ toán kỹ thuật thực tiễn) thường xuất độ trễ thời gian [10] Các đại lượng trễ xuất cách tự nhiên, khơng thể tránh khỏi q trình truyền tải, xử lý liệu người ta diện nhiều ảnh hưởng đến dáng điệu tính chất hệ, có tính chất ổn định, tính chất phổ dụng hệ kỹ thuật [7, 9, 10, 17] Chính vậy, việc nghiên cứu tính ổn định điều khiển cho hệ có trễ tốn có ý nghĩa thực tiễn ứng dụng, nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu năm gần Các hướng nghiên cứu quan trọng bao gồm việc đánh giá định tính phụ thuộc độ trễ tính ổn định tìm tiêu chuẩn ổn định mới, cải tiến để áp dụng cho nhiều mơ hình tổng qt phức tạp hơn, phù hợp với mơ hình kỹ thuật đại [2, 5, 8, 9, 14, 15] Bên cạnh đó, q trình thực tiễn thường xảy cách khơng chắn (có xuất đại lượng “nhiễu” hệ thống) Các nhiễu xuất sai số vận hành, ảnh hưởng lẫn thành tố hệ thống hệ thống khác Vì vậy, việc địi hỏi phải biết xác tất tham số hệ mơ hình điều khơng tưởng khó áp dụng thực tế Do đó, việc đánh giá tối ưu mức ảnh hưởng nhiễu đầu hệ thống (bài toán điều khiển H∞ ) tốn có tính thời sự, nhiều nhà toán học kỹ sư quan tâm nghiên cứu [2, 4-5, 11-16, 17] Một lớp hệ không chắn nhiều tác giả nghiên cứu lớp hệ dạng đa diện [8, 9, 13], tham số (ma trận trạng thái) trước thuộc đa diện dạng tổ hợp lồi ma trận biết Việc phân tích tính ổn định lớp hệ đa diện phức tạp nhiều so với hệ chắn, tất đỉnh ổn định hệ đa diện khơng ổn định [9] Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tốn điều khiển H∞ cho số lớp hệ tuyến tính khơng chắn dạng đa diện Nội dung luận trình bày chương Chương chương kiến thức chuẩn bị, chúng tơi giới thiệu sơ lược số kiến thức sở có liên quan giới thiệu số kết bổ trợ cho việc trình bày nội chương Trong chương chúng tơi nghiên cứu tốn ổn định hóa H∞ cho lớp hệ đa diện có trễ biến thiên dựa nội dung báo [13] Bằng việc xây dựng số phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii phụ thuộc tham số, tác giả VN Phat QP Ha thiết lập số điều kiện dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) để thiết kế hàm điều khiển ngược (state-feedback controller) giải toán điều khiển H∞ cho lớp hệ đa diện tuyến tính có trễ hỗn hợp khả vi Trong chương 3, phát triển kết ổn định hóa báo [8] cho toán điều khiển H∞ cho lớp hệ tuyến tính đa diện có trễ trạng thái điều khiển Bằng việc xây dựng lớp hàm Lyapunov- Krasovskii phụ thuộc tham số, đưa số điều kiện LMIs để thiết kế hàm điều khiển ngược giải tốn ổn định hóa H∞ cho lớp hệ nói Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ Trong chương này, chúng tơi trình bày sơ lược số kiến thức sở tốn ổn định cho hệ phương trình vi phân hàm; toán điều khiển H∞ giới thiệu số bổ đề kĩ thuật dùng chứng minh kết chương sau 1.1 Hệ phương trình vi phân hàm tốn ổn định Với số thực r ≥ 0, kí hiệu C = C([−r, 0], Rn) không gian Banach hàm liên tục đoạn [−r, 0] với chuẩn kφk = sup kφ(s)k −r≤s≤0 Xét tốn Cauchy cho phương trình vi phân hàm x˙(t) = f (t, xt ), t ≥ t0 , xt0 (t) = x(t0 + t) = φ(t), (1.1) t ∈ [−r, 0], đó, f : D = [t0 , +∞) × C → Rn φ ∈ C hàm ban đầu Sự tồn nghiệm địa phương toán (1.1) cho định lí Định lí 1.1.1 [10] Giả sử φ ∈ C f : D → Rn hàm liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo biến thứ hai D Khi tồn tφ = tφ,t0 , f ∈ (t0 , +∞] cho (i) Tồn nghiệm x(t, φ) (1.1) khoảng [t0, tφ ); 27 S n×q S2 = ∗ q×q S 0n×(2n+m) , S1 = ∗ (2n+m)×(2n+m) Để đơn giản viết biểu thức, kí hiệu ma trận P= p X ξi Pi , Q= i=1 p X ξi Qi , R= i=1 p X ξi Ri , Y= i=1 p X ξi Yi i=1 số λmin(P) = λmin (Pi ), λmax (P) = max λmax(Pi ), i=1, ,p i=1, ,p λmax(Q) = max λmax (Qi ), i=1, ,p λmax(R) = max λmax(Ri ), i=1, ,p λmax(Y T Y) = max λmax(YiT Yi ), i=1, ,p − e−2βh λ1 = [λmax (P)]−1, − e−2βr λmax(Y T Y) 2β 2β −2βh −2βr 2βh + e −1 2βr + e −1 T + λmax(R) + λmax(Y Y) [λmin (P)]−2 4β2 4β2 λ2 = [λmin (P)] −1 + λmax (Q) + Định lí sau cho điều kiện ổn định H∞ hệ (3.1) Định lí 3.2.1 Cho β > 0, γ > Bài toán điều khiển H∞ hệ (3.1) có nghiệm tồn ma trận đối xứng xác định dương Pi , Qi , Ri ∈ Rn×n, i ∈ p, ma trận đối xứng nửa xác định dương S 1, S ∈ Rn×n ma trận Yi ∈ Rm×n, i ∈ p, mãn bất đẳng thức sau Mii + S1 ≤ 0, Mi j + M ji − Nii + S2 ≤ 0, Ni j + N ji − (3.3a) i ∈ p, S1 < 0, p−1 ≤ i < j ≤ p, (3.3c) i ∈ p, S2 < 0, p−1 (3.3b) ≤ i < j ≤ p (3.3d) 28 Hàm điều khiển ngược cho p p −1 X X u(t) = ξi Yi ξi Pi x(t), i=1 i=1 t ≥ (3.4) Hơn nữa, nghiệm x(t, φ) hệ đóng (3.1) với hàm điều khiển (3.4) thỏa mãn đánh giá mũ sau kx(t, φ)k ≤ r λ2 kφke−αt , λ1 t ≥ Chứng minh Vì Pi , i ∈ p, ma trận đối xứng xác định dương nên dễ Pp kiểm tra P = i=1 ξi Pi ma trận đối xứng xác định dương Khi P = P−1 ma trận đối xứng xác định dương phụ thuộc tham số ξi Đặt Q = PQ(ξ)P, R = PR(ξ)P K = YP Xét hàm Lyapunov - Krasovskii phụ thuộc tham số sau V(t, xt ) = V1 + V2 + V3 + V4 + V5, (3.5) với D E V1 = Px(t), x(t) , Z t E D V2 = e2β(θ−t) Qx(θ), x(θ) dθ, t−h(t) Z t Z t D E e2β(θ−t) Rx(θ), x(θ) dθds, V3 = s Zt−h t D E T 2β(θ−t) V4 = K K x(θ), x(θ) dθ, e t−r(t) Z t Z t D E T 2β(θ−t) K K x(θ), x(θ) dθds e V5 = t−r s Từ (3.5) ta có λ1 kx(t)k2 ≤ V(t, xt ) ≤ λ2 kxt k2 , t ∈ R+ (3.6) 29 Trước hết, lấy đạo hàm V1 theo hệ (3.1) ta E D V˙ = P x˙(t), x(t) E D = P[A0 x(t) + A1 x(t − h(t))], x(t) D E + P[B0u(t) + B1u(t − r(t)) + Cw(t)], x(t) # + * " Z t Z t x(s)ds + B2 u(s)ds , x(t) + P A2 t−h(t) t−r(t) Đặt y(t) = Px(t) ta V˙ = h[A0 Py(t) + A1 Px(t − h(t))], y(t)i + h[B0u(t) + B1u(t − r(t)) + Cw(t)], y(t)i *" Z t # + Z t + A2 x(s)ds + B2 u(s)ds , y(t) t−h(t) t−r(t) Áp dụng bổ đề 1.3.1, 1.3.3 1.3.4 vào ước lượng V˙ ta e2βh −1 T hA1 Px(t − h(t)), y(t)i ≤ A1 Q A1 y(t), y(t) 1−δ D E + (1 − δ)e−2βh Qx(t − h(t)), x(t − h(t)) ; E e2βr D T hB1u(t − r(t)), y(t)i ≤ B1 B1 y(t), y(t) + (1 − δ)e−2βr ku(t − r(t))k2; 1−δ * A2 Z t t−h(t) + 2βh x(s)ds, y(t) ≤ he −1 A2R AT2 y(t), y(t) ! !T Z t Z t −2βh x(s)ds + e x(s)ds R h t−h(t) t−h(t) −1 T 2βh ≤ he A2R A2 y(t), y(t) Z t −2βh xT (s)Rx(s)ds; +e t−h * B2 Z t t−r(t) + D E u(s)ds, y(t) ≤ re2βr B2 BT2 y(t), y(t) 30 ! !T Z t Z t −2βr u(s)ds u(s)ds + e r t−r(t) t−r(t) D E ≤ re2βr B2 BT2 y(t), y(t) Z t −2βr ku(s)k2ds +e t−r Từ ta V˙ ≤ e2βh −1 T A0 P + PA0 y(t), y(t) + A1 Q A1 y(t), y(t) 1−δ E D −1 T 2βh T A2 R A2 y(t), y(t) + B0Y + Y B0 y(t), y(t) + he D T E D E E e2βr D B1 BT1 y(t), y(t) + re2βr B2 BT2 y(t), y(t) + hCw(t), y(t)i + 1−δ D E + (1 − δ)e−2βh Qx(t − h(t)), x(t − h(t)) D E T −2βr K K x(t − r(t)), x(t − r(t)) + (1 − δ)e Z t Z t D E xT (s)Rx(s)ds + e−2βr K T K x(s), x(s) ds + e−2βh t−h t−r Tiếp theo, lấy đạo hàm hàm Vk , k = 2, , 5, theo hệ (3.1) ta E D ˙ V2 = Qx(t), x(t) − 2βV2 E D ˙ e−2βh(t) Qx(t − h(t)), x(t − h(t)) − − h(t) D E ≤ Qx(t), x(t) − 2βV2 E D − (1 − δ)e−2αh Qx(t − h(t)), x(t − h(t)) ; Z t D D E E Rx(s), x(s) ds − 2βV3; V˙ = h Rx(t), x(t) − e−2βh t−h D E V˙ = K T K x(t), x(t) − 2βV4 D E T −2βr(t) K K x(t − r(t)), x(t − r(t)) − − r˙(t) e 31 D E T ∀ ≤ K K x(t), x(t) − 2βV4 D E − (1 − δ)e−2βr K T K x(t − r(t)), x(t − r(t)) ; Z t D E D E K T K x(s), x(s) ds − 2βV5 V˙ = r K T K x(t), x(t) − e−2βr t−r Từ đánh giá ta ˙ xt ) + 2βV(t, xt ) ≤ hΞy(t), y(t)i + hCw(t), y(t)i , V(t, (3.7) t ≥ 0, đó, Ξ = A + B + 2βP + Q + hR + HD−1H T , A = A0 P + PAT0 , B = B0Y + Y0T BT + e2βr (1 − δ)−1 B1 BT1 + rB2 BT2 , √ √ H = A1 P hA2 P + rY T , o n D = diag (1 − δ)e−2βh Q, e−2βh R, Im Kí hiệu Γ = A + B + 2βP + Q + hR Để ý [Ak , Bk ] ∈ Ω, k = 0, 1, 2, Pp Pp Pp Pp P = i=1 ξi Pi , Q = i=1 ξi Qi , R = i=1 ξi Ri i=1 ξi = 1, ta có p p p−1 X Γ H X Γ H X Γ H Γ H ii ii i j i j ji ji 2 = ξ ξ ξ + + i j i ∗ −D ∗ −D ∗ −D ∗ −D i=1 = p X i=1 i ξi2 Mii + i=1 j=i+1 p−1 X p X i=1 j=i+1 ξi ξ j Mi j + M ji Từ điều kiện (3.3a), (3.3b) ta có p−1 p p Γ H X XX ξi ξ j S1 ξi S1 + < − p − ∗ −D i=1 j=i+1 i=1 i j 32 p p−1 X p X X (p − 1) ξi2 − ξi ξ j S1 =− p−1 i=1 Chú ý ≤ (p − 1) p X i=1 ξi2 −2 p−1 X p X ξi ξ j = i=1 j=i+1 i=1 j=i+1 p−1 X p X i=1 j=i+1 (ξi − ξ j )2, nên ta có Γ H < ∗ −D (3.8) Áp dụng bổ đề Schur (bổ đề 1.3.2), (3.8) tương đương với Ξ = Γ + HD−1H T < Với nhiễu w(t) = 0, từ (3.7) ta có ˙ xt ) + 2βV(t, xt ) ≤ hΞy(t), y(t)i ≤ 0, V(t, t ≥ Do V(t, xt ) ≤ V(0, x0 )e−2βt , t ≥ Kết hợp với (3.6) ta kx(t, φ)k ≤ r λ2 kφke−βt , λ1 t ≥ 0, tức hệ (3.1) với nhiễu w(t) = β-ổn định mũ Bây ta chứng minh ước lượng γ-mức Trước hết, để ý D E hCw(t), y(t)i ≤ γkw(t)k2 + γ−1 CC Ty(t), y(t) , t ≥ Do đó, từ (3.7) ta có D E T −1 ˙ V(t, xt ) ≤ −2βV(t, xt ) + γ CC y(t), y(t) + γkw(t)k2 33 ≤ D E −2βP + γ CC y(t), y(t) + γkw(t)k2, −1 T t ≥ Với T > 0, ta có Z Th Z Th i i ˙ xt ) dt + V(0, x0); kz(t)k2 − γkw(t)k2 + V(t, kz(t)k2 − γkw(t)k2 dt ≤ 0 Z Th i ˙ xt ) dt kz(t)k2 − γkw(t)k2 + V(t, Z Th Ei D ≤ kz(t)k2 + −2βP + γ−1CC T y(t), y(t) dt Mặt khác, D E kz(t)k2 = (EP + FY)T (EP + FY)y(t), y(t) Từ ta có Z Th Z i kz(t)k2 − γkw(t)k2 dt ≤ T hΞ1y(t), y(t)i dt + V(0, x0), đó, Ξ1 = −2βP + γ−1CC T + (EP + FY)T (EP + FY) Bằng phân tích tương tự phần chứng minh trên, từ điều kiện (3.3c), (3.3d) ta có p p−1 X p −2βP + γ−1CC T (EP + FY)T X X ξi Nii + ξi ξ j Ni j + N ji = ∗ −Iq i=1 i=1 j=i+1 p p−1 X p X X (p − 1) ξi − ξi ξ j S2 0, γ > Bài tốn H∞ hệ (3.9) có nghiệm tồn ma trận đối xứng xác định dương P, Q, R ∈ Rn×n ma trận 35 Y ∈ Rm×n thỏa mãn điều kiện sau √ √ T T A1 P hA2 P + rY −2βh ∗ −(1 − δ)e Q 0 < 0, ∗ ∗ −e−2βr R ∗ ∗ ∗ −Im −2βP + γ−1CC T PE T + Y T F T < 0, ∗ −I (3.10a) (3.10b) q đó, T = A0 P+PAT0 +B0Y +Y T BT0 +e2βr (1−δ)−1 B1 BT1 +rB2 BT2 +2βP+Q+hR Hàm điều khiển ổn định hóa H∞ hệ (3.9) cho u(t) = YP−1 x(t), t ≥ Nhận xét 3.2.4 Trong trường hợp hệ (3.1) khơng có nhiễu, tức w(t) = 0, h(t), r(t) hàm (δ = 0), điều kiện (3.3a), (3.3b) trở thành điều kiện ổn định hóa [8] Hơn nữa, với B1i = 0, B2i = 0, ß ∈ p, cho Y = B0 nhận điều kiện ổn định hóa H∞ [13] Vì vậy, điều kiện ổn định hóa đưa Định lí 3.2.1 mở rộng điều kiện ổn định hóa [8] [13] Ví dụ Để đơn giản, chúng tơi đưa ví dụ minh họa cho điều kiện ổn định hóa H∞ cho hệ (3.9) phát biểu Hệ 3.2.3 Xét hệ (3.9) với −4 A0 = , −2 −1 0 A1 = , 1 1 0 A2 = , 1 1 36 0 1 1 B0 = , B1 = , B2 = , 1 0 1 0.1 1 1 1 C = , E = , F = , 0.1 0 1 1 h(t) = 0.5 sin2(0.5t), r(t) = 0.5 cos2(0.5t), t ≥ Ta có h = r = 0.5, δ = 0.25 Với β = 0.1, γ = 1, điều kiện (3.10a),(3.10b) thỏa mãn với 0.3218 −0.0575 P = , −0.0575 0.6553 0.7043 0.0215 R = , 0.0215 0.6207 0.4740 −0.1682 Q = , −0.1682 0.8782 Y = −0.0893 −0.8247 Do toán H∞ hệ (3.9) có nghiệm Hàm điều khiển H∞ ổn định hóa hệ cho u(t) = YP x(t) = −0.5101 −1.3033 x(t), −1 t ≥ Hơn nữa, hệ mở tương ứng (u(t) = 0, w(t) = 0) hệ khơng ổn định Hình 3.1 quỹ đạo nghiệm hệ mở với điều kiện đầu φ(t) = [1 1]T 37 40 x (t) x (t) x(t) 30 20 10 0 10 20 30 40 50 time (s) Hình 3.1: Quỹ đạo hệ mở với điều kiện φ(t) = [1 1]T KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương chúng tơi xét tốn điều khiển H∞ cho lớp hệ tuyến tính đa diện có trễ biến thiên trạng thái điều khiển Phát triển từ phiếm hàm Lyapunov- Krasovskii [8], thiết lập điều kiện LMIs để thiết kế hàm điều khiển ngược giải tốn H∞ cho lớp hệ nói Kết nhận chương mở rộng kết ổn định hóa [8, 13] 38 KẾT LUẬN CHUNG Trong luận văn nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho số lớp hệ đa diện có trễ biến thiên Dựa cách tiếp cận hàm Lyapunov-Krasovskii phụ thuộc tham số, điều kiện LMIs thiết lập cho việc thiết kế hàm điều khiển ngược phụ thuộc tham số giải toán điều khiển H∞ Cụ thể kết trình bày luận văn Chương đưa điều kiện LMIs cho tính ổn định hóa H∞ lớp hệ tuyến đa diện có trễ biến thiên dạng rời rạc phân phối dựa nội dung báo [13] Chương phát triển điều kiện ổn định hóa [9] điều kiện ổn định hóa H∞ [13] cho lớp hệ tuyến tính đa diện có trễ biến thiên trạng thái điều khiển Kết đạt chương mở rộng kết [8, 13] 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn Lý thuyết điều khiển toán học, NXB ĐHQG Hà Nội, 2001 [2] C K Ahn, An H∞ approach to stability analysis of switched Hopfield neural networks with time-delay, Nonlinear Dyn., 60 (2010), 703 – 711 [3] S Boyd, L.E Ghaoui, E Feron and V Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, SIAM, Philadelphia, 1994 [4] B A Francis, A course in H∞ control theory, Springer-Verlag, Berlin, 1987 [5] E Fridman and U Shaked, Delay-dependent stability and H∞ control: constant and time-varying delays, Int J.Control, 76 (2003), 48 – 60 [6] K Gu, An integral inequality in the stability problem of time-delay systems, Proc IEEE Conf Decision and Control, Sydney, Australia, 2000, 2805 – 2810 [7] J K Hale and SM Verduyn Lunel, Theory of Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1993 40 [8] L V Hien and V N Phat, Robust stabilization of linear polytopic control systems with mixed delays, Acta Math Vietnamica, 35 (2010), 427 – 438 [9] L V Hien and V N Phat, New exponential estimate for robust stability of nonlinear neutral time-delay systems with convex polytopic uncertainties, J Conv Anal Appl., 12 (2011), 541 – 552 [10] V Kolmanovskii and A Myshkis, Applied Theory of Functional Differential Equations, Kluwer Academic Publishers, 1992 [11] R Nagpal and K.M Khargonekar, H∞ control of linear time-varying systems: A state-space approach, SIAM J Control Optim., 29 (1991), 1394 – 1413 [12] V N Phat and Q P Ha, H∞ control and exponential stability for a class of nonlinear non-autonomous systems with time-varying delay, J Optim Theory Appl., 142 (2009), 603 – 618 [13] V N Phat, Q P Ha and H Trinh, Parameter-dependent H∞ control for time-varying delay polytopic systems, J Optim Appl., 147 (2010), 58 – 70 [14] V N Phat and H Trinh, Design of H∞ control of neural networks with time-varying delays, Neural Comput Applic., 22 (2013), 323 – 331 [15] L A Tuan, P T Nam and V N Phat, New H∞ controller design for neural networks with interval time-varying delays in state and observation, Neural Process Lett., 37 (2013), 235 – 249 41 [16] F E Udwadia, M Hosseini and Y Chen, Robust control of uncertain systems with time-varying delays in control input, In: Proc of the American Control Conference, USA 1997, 3840 – 3845 [17] H Yan, H Zhang and M Q Meng, Delay-dependent robust H∞ control for uncertain systems with interval time-varying delays, Neurocomputing, 73 (2010), 1235 – 1243