Giải tích phân thứ
Tích phân phân thứ
Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường. Định nghĩa 1.1 ([13]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→R được cho bởi t 0I t α x(t) := 1 Γ(α)
(t−s) α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) +∞
Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t 0I t α := I với I là toán tử đồng nhất Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lý sau. Định lý 1.1 ([13]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b] Khi đó, tích phân t 0 I t α x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, t 0 I t α x cũng là một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
(i) Cho x(t) = (t−a) β , ở đây β > −1 và t > a Với bất kì α > 0, chúng ta có t 0I t α x(t) = Γ(β+ 1) Γ(α+β+ 1)(t−a) α+β , t > a.
(ii) Cho x(t) = e λt , λ >0 Với bất kì α > 0, chúng ta có t 0I t α x(t) =λ −α
Đạo hàm phân thứ
Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Định nghĩa 1.2 ([13]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→R được cho bởi
(t−s) n−α−1 x(s)ds,trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dt d n n là đạo hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function) f(t)
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f(t) là
0 D t α f(t) = t −α Γ(1−α). Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.
Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b] Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: f(t) ∈AC[a, b] ⇔ f(t) = c+
Z t a ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), do đó một hàm tuyệt đối liên tục f(t) có đạo hàm f 0 (t) =ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b].
Với n ∈N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1 ([13]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f(t) có dạng như sau: f(t) = t 0 I t α ϕ(t) + n−1
X k=0 ck(t−t0) k , trong đó ϕ(t) ∈L(a, b), c k (k = 0,1, , n−1) là các hằng số tùy ý và t 0I t α ϕ(t) = 1
Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có ϕ(s) =f (n) (s), c k = f (k) (t0) k! (k = 0,1, , n−1). Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville. Định lý 1.2 ([13]) Cho α ≥ 0, n = dαe Nếu f(t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm phân thứ RL t
0 D t α f(t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau
Z t t 0 f (n) (s)ds (t−s) α−n+1 Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2
Hệ quả 1.1 ([13]) Nếu 0 < α 0 và f(t) ∈C[a, b] Khi đó ta có
Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đây. Định lý 1.5 ([13]) Cho α >0, n =dαe Nếu f(t) ∈AC n [a, b] thì t 0I t α C t 0 D α t f(t)
X k=0 f (k) (t 0 ) k! (t−t 0 ) k Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f(t) ∈ AC[a, b] thì t 0I t α C t 0 D t α f(t)
= f(t)−f(t 0 ). Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville. Định lý 1.6 [13] Cho α > 0 và đặt n = dαe Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng ta có:
Tiếp theo chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler. Định nghĩa 1.4 [12] Cho α ∈C, một hàm Eα :C −→ C xác định bởi
X k=0 z k Γ(αk+ 1), được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.1 Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có
Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ. Định nghĩa 1.5 [12] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi
X k=0 z k Γ(αk +β), được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là
Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của A.A Kilbas [13].
Một số bổ đề bổ trợ
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.
Bổ đề 1.1 ([5]) Giả sử các hàm f, g ∈ C([t 0 0,+∞),R)vàx∈ C([t 0 0,+∞),R) thỏa mãn
Bổ đề 1.2 (Bất đẳng thức Minkowski [6]) Cho 1 < p < inf, f, g ∈
Bổ đề 1.3 (Bất đẳng thức Jensen [14]) Cho k ∈ N và x1, x2, , xk là các số thực không âm Khi đó k
Bổ đề 1.4 ([9]) Cho u(.), ặ), b(.) và k(.) là các hàm liên tục và không âm trên [t 0 , T], ϕ(.) là hàm liên tục và không âm trên đoạn [t 0 −τ, t 0 ] và giả sử
, t ∈[t 0 , T], u(t) ≤ ϕ(t), t ∈ [t0 −τ, t0], trong đó p ≥ 1 và τ > 0 là các hằng số Khi đó u(t) ≤ a(t) +b(t)
Hơn nữa, nếu a(t), b(t), ϕ(t) là các hàm không giảm và ϕ(t0) =a(t0) thì u(t) ≤ M(t), t ∈ [t0, T], ở đó
Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của mạng nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ 17 2.1 Phát biểu bài toán và một số định nghĩa
Bất đẳng thức tích phân Gronwall phân thứ mở rộng
Trong mục này, chúng tôi trình bày bất đẳng thức tích phân Gronwall phân thứ mở rộng Bất đẳng thức này sẽ được áp dụng để trình bày tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ (2.1) Trước hêt, ta có bổ đề sau đây
Bổ đề 2.1 ([10]) Giả sử rằng f(t), g(t), k(t) và h(t) là các hàm liên tục, không âm trên [t 0 , T](t 0 < T < +∞), ϕ(t) là hàm liên tục, không âm trên [t0−τ, t0], u(t) là hàm liên tục, không âm trên [t0, T] thỏa mãn điều kiện dưới đây
(2.5) Hơn nữa, nếu f(t), g(t) và ϕ(t) là các hàm không giảm, f(t 0 ) = ϕ(t 0 ) thì u(t) ≤ f(t)e g(t)
Từ Bổ đề 1.1 suy ra v(t) ≤
Kết hợp các điều kiện (2.7) và (2.8) ta thu được bất đẳng thức (2.4). Với t ∈ [t 0 +τ, T] ta có ˙ v(t) ≤ h(t)u(t) +k(t)u(t −τ)
Vì v(t−τ)≤ v(t) nên ta thu được ˙ v(t) ≤ [g(t−τ)k(t) +g(t)h(t)]v(t) +f(t−τ)k(t) +f(t)h(t).
Từ Bổ đề 1.1 và (2.8) ta thu được đánh giá dưới đây với mọi t ∈ [t0+τ, T] v(t)≤
Kết hợp (2.7) và (2.9) ta thu được bất đẳng thức (2.5).
Bây giờ nếu f(t), g(t) và ϕ(t) là các hàm không giảm, f(t 0 ) = ϕ(t 0 ) thì với t ∈ [t0, t0+τ], ta có u(t) ≤ f(t) +g(t)
Mặt khác, nếu f(t), g(t) và ϕ(t) là các hàm không giảm, f(t 0 ) = ϕ(t 0 ) thì với t ∈ [t0+τ, T], ta có f(t) +g(t)
Do đó với t ∈ [t 0 +τ, T], ta có u(t) ≤ f(t)e g(t)
Nhận xét 2.2 Khi g(t) = 1, các ước lượng (2.5) và (2.6) trong Bổ đề 2.1 trở thành các ước lượng (2.8) và (2.9) trong công trình của H Ye và
Tiếp theo chúng tôi trình bày bất đẳng thức Gronwall phân thứ dạng tích phân Bất đẳng thức này đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ nơ ron Hopfield phân thứ (2.1). Định lý 2.1 ([10]) Giả sử rằng a(t), b(t), k(t) và h(t) là các hàm liên tục, không âm trên đoạn [t 0 , T], ϕ(t) là hàm liên tục không âm trên đoạn
[t0 −τ, t0] và u(t) là hàm liên tục, không âm trên [t0, T] thỏa mãn
Thêm vào đó, nếu a(t), b(t) và ϕ(t) là các hàm không giảm, a(t 0 ) =ϕ(t 0 ) thì u(t) ≤ F 1 q (t)e
Chứng minh Cho p, q > 1 thỏa mãn λ > 1 q và 1 q + 1 p = 1 Áp dụng bất đẳng thức H¨older, ta có
1 q Khi đó từ (2.12) và Bổ đề 1.2 suy ra u(t) ≤ a(t) + b(t) Γ(λ)
Từ Bổ đề 1.3 suy ra u q (t)≤ 3 q−1 a q (t) + b(t) Γ(λ)(p(λ−1) + 1) 1 p (t−t 0 ) λ−1+ 1 p
[K(r)w(r −τ) +H(r)w(r)]dr (2.16) với t ∈ [t 0 , T] và w(t) ≤ ϕ q (t) ≤ 3 q−1 ϕ q (t) với t ∈ [t0 −τ, t0] Theo Bổ đề 2.1 ta thu được các bất đẳng thức (2.13) và (2.14) Ngoài ra, nếu nếu a(t), b(t) và ϕ(t) là các hàm không giảm, a(t0) = ϕ(t0), ta thu được bất đẳng thức (2.15).
Nhận xét 2.3 Định lý 2.1 tổng quát hơn Định lý 2.6 trong công trình của T Zhu [26] Kết quả của T Zhu chỉ xét trường hợp hệ không có trễ.
Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của mạng nơ-ron
ron Hopfield phân thứ có trễ
Mục này chúng tôi trình bày hai tiêu chuẩn cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của mạng nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ theo Định nghĩa 2.1 và Định nghĩa 2.2. Định lý 2.2 Hệ nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ (2.1) ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (δ, , T) theo Định nghĩa 2.1 nếu điều kiện dưới đây được thỏa mãn
G(t)( kBk q Gq e + ( kAk F e +kDk ) q ) t q ≤ , t ∈[0, T], (2.17) trong đó G(t) 3 q−1 t λ−1 q
Chứng minh Rõ ràng hệ (2.1) tương đương với hệ sau đây
Với t ∈ [0, T] ta lấy chuẩn hai vế của (2.18), ta có kx(t)k ≤ kx(0)k+
(t−r) λ−1 Γ(λ) ×h kAkFe+kDk kx(r)k+kBkGkx(te −τ)k+M i dr
(t−r) λ−1 Γ(λ) h kAkFe+kDk kx(r)k +kBkGkx(te −τ)ki dr. Với t ∈ [−τ,0], ta có kx(t)k ≤ kφk. Đặt a(t) = kφk + Γ(λ+1) t α M , b(t) = 1, u(t) = kx(t)k, t 0 = 0, h(t) = kAkFe+ kDk, k(t) = kBkGe và ϕ(t) = kφk Rõ ràng a(t), b(t) và ϕ(t) là các hàm không giảm, a(0) = ϕ(0) = kφk Áp dụng Định lý 2.1, ta có kx(t)k ≤ 3 q−1 q a(t)e G(t) q
(1+p(λ−1)) 1 p Γ(λ) q, p, q > 1 thỏa mãn 1 q < λ < 1 và 1 q + 1 p = 1 Bằng một vài tính toán trực tiếp và đơn giản ta có kx(t)k ≤3 q−1 q kφk+ t α M Γ(λ+ 1) e
Từ (2.20) suy ra khi kφk ≤ δ và kI(t)k ≤ M và điều kiện (2.17) thỏa mãn thì kx(t)k ≤ Theo Định nghĩa 2.1, hệ nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ (2.1) ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (δ, , T).
Nhận xét 2.4 L Chen cùng các cộng sự [7], R Wu cùng các cộng sự
[23] đã nghiên cứu tính ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ Hopfield phân thứ có trễ Tuy nhiên, các kết quả này phải chia bậc phân thứ λ ra làm hai khoảng đó là λ ∈ 0, 1 2 và λ ∈ 1 2 ,1 và đưa ra các điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn với từng khoảng đó Định lý 2.2 đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ (2.1) với λ ∈ (0,1) Do đó có thể nói tiêu chuẩn trong Định lý 2.2 đơn giản hơn kết quả trong [7, 23].
Bằng kỹ thuật chứng minh tương tự như Định lý 2.2, ta có tiêu chuẩn cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ (2.1) theo Định nghĩa 2.2 được thể hiện trong định lý dưới đây. Định lý 2.3 Hệ nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ (2.1) ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (δ, , T) theo Định nghĩa 2.1 nếu điều kiện dưới đây được thỏa mãn
Tiếp theo, chúng tôi trình bày hai ví dụ số để minh họa cho các kết quả lý thuyết.
Ví dụ 2.1 Xét hệ nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ sau đây
(2.22) hoặc dưới dạng ma trận như sau
Cho p = 1,5, q = 3 và δ = 0,1 Ta tính được Fe = Ge = 1,kDk 0,2,kAk= 0,4,kBk = 0,6 và 1 q < λ < 1. Để chứng tỏ rằng kết quả trong Định lý 2.2 ít bảo thủ hơn (less con- servative) kết quả của L Chen cùng các cộng sự [8], ta cố định các tham số T và δ và so sánh giá trị Theo Định lý 2.2, với T = 0,1 và δ = 0,1, giá trị của nhỏ nhất để các điều kiện trong Định lý 2.2 được thỏa mãn là = 0,2163, trong khi đó giá trị nhỏ nhất của đảm bảo tính ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ (2.22) trong kết quả của L Chen cùng
Bảng 2.1: Giá trị nhỏ nhất có thể của với λ = 0, 6 và các giá trị khác nhau của T
L Chen cùng các cộng sự [8] 0,2308 0,2646 0,3129 0,3802 các cộng sự [8] là 0,2308 Tức là, hệ (2.22) ổn định trong thời gian hữu hạn ứng với bộ(0,1; 0,2163; 0,1) Tuy nhiên hệ không ổn định trong thời gian hữu hạn ứng với bộ (0,1; 0,2163; 0,1) theo như kết quả của L Chen cùng các cộng sự [8] Các kết quả so sánh khác được cho trong Bảng 2.1.
Từ Bảng 2.1, ta thấy kết quả trong Định lý 2.2 ít bảo thủ hơn kết quả của L Chen cùng các cộng sự [8] khi ta cho T một giá trị cụ thể. Để chứng tỏ rằng kết quả trong Định lý 2.3 ít bảo thủ hơn (less con- servative) kết quả của L Chen cùng các cộng sự [7] và R Wu cùng các cộng sự [23], ta cố định các tham số T và δ và so sánh giá trị Theo Định lý 2.3, với T = 0,1 và δ = 0,1, giá trị của nhỏ nhất để các điều kiện trong Định lý 2.3 được thỏa mãn là = 0,2163 nhỏ hơn = 0,6941 trong kết quả của L Chen cùng các cộng sự [7] và = 0,2197 kết quả của R Wu cùng các cộng sự [23] Với λ = 0,45, T = 0,1 và δ = 0,1, giá trị của nhỏ nhất để các điều kiện trong Định lý 2.3 được thỏa mãn là = 0,2665, trong khi đó giá trị nhỏ nhất của đảm bảo tính ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ (2.22) theo Định nghĩa 2.2 trong kết quả của L Chen cùng các cộng sự [7] là = 0,8086, còn trong kết quả của
R Wu cùng các cộng sự [23] là = 0,3035 Do đó kết quả trong Định lý 2.3 ít bảo thủ hơn các kết quả thu được trong [7, 23].
Ví dụ 2.2 Xét hệ nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ sau đây
Bảng 2.2: Giá trị nhỏ nhất có thể của với λ = 0, 4 và các giá trị khác nhau của T
L Chen cùng các cộng sự [8] 0,5511 1,1150 2,4982 6,0976 hoặc dưới dạng ma trận như sau
Chop = 4 3 , q = 4vàδ = 0,1 Ta tính đượckDk= 0,3,kAk= 0,16,kBk 0,14,Fe = Ge = 1 và 1 q < λ < 1. Để chứng tỏ rằng kết quả trong Định lý 2.2 ít bảo thủ hơn (less con- servative) kết quả của L Chen cùng các cộng sự [8], ta cố định các tham số T và δ và so sánh giá trị Theo Định lý 2.2, với T = 0,1 và δ = 0,1, giá trị của nhỏ nhất để các điều kiện trong Định lý 2.2 được thỏa mãn là = 0,2371, trong khi đó giá trị nhỏ nhất của đảm bảo tính ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ (2.22) trong kết quả của L Chen cùng các cộng sự [8] là = 0,5511 Các kết quả so sánh khác được cho trongBảng 2.2 Từ Bảng 2.2, ta thấy kết quả trong Định lý 2.2 ít bảo thủ hơn kết quả của L Chen cùng các cộng sự [8] khi ta cho T một giá trị cụ thể.
Luận văn đã đạt được những kết quả sau:
Trình bày lại một số khái niệm cơ bản về giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo;
Trình bày một điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ tuyến tính phân thứ có trễ;
Trình bày hai bất đẳng thức Halanay mở rộng cho hệ có trễ biến thiên không bị chặn và áp dụng hai bất đẳng thức này nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình vi phân phân thứ Riemann-Liouville;
Trình bày một số ví dụ để minh họa cho các kết quả lý thuyết.
[1] Hoàng Thế Tuấn, Về một số vấn đề định tính của hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ Toán học, Viện Toán học, 2017.
[2] Bùi Thị Thúy, Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số, Luận án tiến sĩ Cơ học, Học viện Khoa học và Công nghệ, 2017.
[3] S.M Abedi Pahnehkolaei, A Alfi and J.A.T Machado (2017), “Uni- form stability of fractional order leaky integrator echo state neural network with multiple time delays”, Information Sciences, 418-419, pp 703–716.
[4] S Boyd, L El Ghaoui, E Feron and V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadel- phia.
[5] D Bainov and P Simeonov (1992), Integral Inequalities Application, Springer, New York.
[6] E.F Beckenbach and R Bellman (1961), Inequalities, Springer,Berlin, German.
[7] L Chen, C Liu, X Wu, Y He and Y Chai (2015), “Finite-time stability criteria for a class of fractional-order neural networks with delay”, Neural Computing and Applications, 27, pp 549–556.
[8] L Chen, W Pan, R Wu, and Y He (2015), “New result on finite-time stability of fractional-order nonlinear delayed systems”, J Comput. Nonlinear Dyn., 10(6), Art no 064504.
[9] F Du and J.G Lu (2020), “New criterion for finite-time stability of fractional delay systems”, Applied Mathematics Letters, 104, pp. 106248.
[10] F Du and J.G Lu (2021), “New criteria on finite-time stability of fractional-order Hopfield neural networks with time delays”, IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 32(9), pp. 3858–3866.
[11] M.A Duarte-Mermoud, N Aguila-Camacho, J.A Gallegos and R. Castro-Linares (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lyapunov uniform stability for fractional order systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), pp 650–659.
[12] T Kaczorek (2011),Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer.
[13] A.A Kilbas, H.M Srivastava and J.J Trujillo (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Springer.
[14] M Kuczma (2009), An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities, Birkh¨auser, Boston, MA, USA
[15] M.P Lazarevíc and A.M Spasíc (2009), “Finite-time stability anal- ysis of fractional order time-delay systems: Gronwall’s approach”,Mathematical and Computer Modelling, 49(3-4), pp 475–481.
[16] Y Li, Y.Q Chen and I Podlubny (2010), “Stability of fractional- order nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and gen- eralized Mittag-Leffler stability”, Computers & Mathematics with Applications, 59, pp 1810–1821.
[17] M Li and J Wang (2017), “Finite time stability of fractional delay differential equations”, Applied Mathematics Letters, 64, pp 170– 176.
[18] Y.J Ma, B.W Wu and Y.E Wang (2015), “Finite-time stability and finite-time boundedness of fractional order linear systems”, Neuro- computing, 173, pp 2076–2082.
[19] R Rakkiyappan, J Cao and G Velmurugan (2015), “Existence and uniform stability analysis of fractional-order complex-valued neural networks with time delays”, IEEE Trans Neural Netw Learn Syst., 26(1), pp 84–97.
[20] H.M Srivastava, S Abbas, S Tyagi and D Lassoued (2018), “Global exponential stability of fractional-order impulsive neural network with time-varying and distributed delay”, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 41(5), pp 2095–2104.
[21] M.V Thuan, N.H Sau and N.T.T Huyen (2020), “Finite-time H ∞ control of uncertain fractional-order neural networks”, Computa- tional and Applied Mathematics, 39(59), pp 1-18.
[22] M.V Thuan, T.N Binh and D.C Huong (2020), “Finite-time guaran- teed cost control of Caputo fractional-order neural networks”, Asian Journal of Control, 22(2), pp 696–705.
[23] R Wu, Y Lu, and L Chen (2015), “Finite-time stability of fractional delayed neural networks”, Neurocomputing, 149, pp 700–707.