Phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ sai phân ngẫu nhiên

MỤC LỤC Lời nói đầu Chương 1: Tính ổn định hệ rời rạc có trễ 1.1 Phương trình sai phân 1.2 Cơ sở lý thuyết ổn định Lyapunov 1.3 Bài toán ổn định hoá 12 Chương 2: Phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình hệ sai phân ngẫu 16 nhiên 2.1 Mở đầu 16 2.2 Một số khái niệm 17 2.3 Một số cách tiếp cận để nghiên cứu tính ổn định tuyến tính 18 2.4 Hàm Lyapunov cho phương trình sai phân ngẫu nhiên 20 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 LỜI NĨI ĐẦU Trong thực tiễn nhiều tốn đề cập đến vấn đề kĩ thuật, kinh tế, sinh thái, môi trường, thường liên quan đến hệ động lực mơ tả phương trình tốn học với thời gian liên tục hay rời rạc dạng sau dx(t) = f (t, x(t), u(t)), dt x(k + 1) = f (k, x(t), u(t)), t≥0 k = 0, 1, Trong x(.) biến trạng thái mơ tả đối tượng đầu u(.) biến điều khiển mô tả đối tượng đầu vào hệ thống Ta hiểu hệ thống điều khiển mơ hình tốn học mơ tả phương trình tốn học biểu thị liên hệ vào Một mục đích tốn điều khiển hệ thống tìm điều khiển "đầu vào" cho hệ thống "đầu ra" có tính chất mà ta mong muốn.Ổn định tính chất quan trọng lí thuyết định tính hệ động lực có nhiều ứng dụng lĩnh vực khoa học kỉ thuật Chính tơi lựa chọn đề tài nghiên cứu ”Phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình hệ sai phân ngẫu nhiên.” Nội dung luận văn gồm hai chương Chương Tính ổn định hệ rời rạc có trễ Chương trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định số kết nghiên cứu tính ổn định, ổn định hoá hệ sai phân Nội dung chương trình bày theo báo cáo tồn văn hội thảo ITMath’06 Chương Phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình hệ sai phân ngẫu nhiên Là nội dung luận văn Trong chương này, tơi trình bày phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình hệ sai phân ngẫu nhiên Cơ sở để xây dựng phương pháp hai giai đoạn định lý ”kiểu Liapunov” cho phương trình sai phân ngẫu nhiên (Định lý 4.1) phát biểu chứng minh đầy đủ Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn khoa học thầy giáo PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới Thầy, Cô giáo tổ Xác Suất Khoa Toán - Trường Đại học Vinh tận tình dạy dỗ, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô giáo khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh, Ban lãnh đạo trường Đại Vinh, bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả để tác giả hồn thành khóa học thực luận văn Mặc dù tác giả cố gắng nhiều hạn chế mặt lực, kiến thức thời gian nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý báu để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ RỜI RẠC CĨ TRỄ 1.1 Phương trình sai phân Xét hệ phương trình x(k + 1) = f (k, x(k)), k = 0, 1, (1) f (.) : Z+ × Rn → Rn cho trước Khi với trạng thái ban đầu x(0) = x0 hệ xác định hệ thức truy hồi x(1) = f (0, x0 ), x(2) = f (1, f (0, x(0)), Trường hợp hệ (1) tuyến tính dạng x(k + 1) = A(k)x(k) + g(k), k ∈ Z+ (2) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 tuỳ ý dãy g = {g(0), g(1), g(k − 1), } nghiệm x(k) bước k > cho công thức Cauchy k−1 x(k) = F (k, 0)x0 + F (k, s + 1)g(s) s=0 F (k, s) ma trận nghiệm hệ tuyến tính x(k + 1) = A(k)x(k), k ∈ Z+ Ta biễu diễn cơng thức F (k, s) sau, F (k, s) = A(k − 1).A(k − 2) A(s) , k ≥ s ≥ 0, F (k, k) = I Nếu A(.) ma trận số F (k, s) = Ak−s , k ≥ s ≥ nghiệm hệ tuyến tính dừng với thời gian rời rạc k−1 k Ak−s−1 g(s) x(k) = A x0 + s=0 Khi nghiên cứu tính ổn định ổn định hố hệ phương trình rời rạc ta cần sử dụng bất đẳng thức sau Định lý Với ma trận P − (n × n) chiều, M − (m × m) chiều ta có P M M −Q < ⇔ P + M Q−1 M < Trong Q ma trận đối xứng xác định dương m × n chiều 1.2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH LYAPUNOV 1.2.1 Định nghĩa Xét hệ (1) ta có định nghĩa Hệ (1) gọi ổn định với ε > 0, k0 ∈ Z+ tồn δ > ( δ phụ thuộc ε , k0 ) cho nghiệm x(k) hệ mà ||x(0)|| < δ ||x(k)|| < ε với k ≥ k0 Hệ ổn định tiệm cận ổn định có số δ > cho limk→∞ x(k) = với nghiệm x(k) mà x(0) < δ 1.2.2 Sự ổn định hệ rời rạc tuyến tính Xét hệ rời rạc tuyến tính x(k + 1) = Ax(k), k ∈ Z+ (3) Với x(0) = x0 nghiệm (3) cho x(k) = Ak x0 Để x(k) → k → ∞ theo định nghĩa ổn định tiêm cận A = q < hoặc, Ak → 0(k → ∞), ta có định lí sau Định lý Hệ (3) ổn định tiệm cận hai điều kiện sau xẩy i) Tồn số q : < q < cho A = q < ii) |λ| < với λ ∈ δ(A) Bây ta xét hệ tuyến tính khơng dừng x(k + 1) = A(k)x(k), k ∈ Z+ (4) Định lý Ta có khẳng định sau hệ (4) i) Nếu tồn q ∈ (0, 1) cho A(k) ≤ q với k ∈ Z+ hệ ổn định tiệm cận ii) Nếu A(k) = A + C(k) A ma trận ổn định C(k) ≤ a, hệ ổn định với a đủ nhỏ Ví du Xét hệ phương trình   xk+1 = x 2(k+1) k y k+1 = −1 y 2(k+1) k + y 4(k+1) k A(k) = Dễ thấy A(k) = 4(k+1) 2(k+1) ≤ 4(k+1) − 2(k+1) , k ∈ Z+ = q < nên hệ ổn định tiệm cận 1.2.3 Sự ổn định hệ rời rạc phi tuyến Xét hệ rời rạc phi tuyến x(k + 1) = f (k, x(k)), k ∈ Z+ Khi vế phải có dạng đặc biệt ta có định lý sau (5) Định lý Với f (k, x) = A(k)x + g(k, x), giả sử i) Tồn q ∈ (0, 1) cho A(k) ≤ q, ∀k ∈ Z+ ii) g(k, x) ≤ L(k) x , ∀k ∈ Z+ với limk→∞ sup L(k) = Khi hệ (5) ổn định tiệm cận Định lý áp dụng phương pháp thứ hai Lyapunov cho hệ rời rạc Định lý 5(Lyapunov) Nếu tồn hàm số V (x) : Rn → R thỏa mãn: i) ∃λ1 > 0, λ2 > : λ1 x ii) ∃λ3 > : ≤ V (x) ≤ λ2 x V (x) = V (x(k + 1) − V (x(k)) ≤ −λ3 x(k) Khi hệ (5) ổn định tiệm cận Nếu vi phạm hai điều kiện hệ (5) không ổn định Đối với hệ tuyến tính dừng ta có hệ sau Hệ Xét hệ phương trình x(k + 1) = Ax(k), k ∈ Z+ Nếu tồn hai ma trận đối xứng xác định dương P, Q cho A PA − P + Q = hệ ổn định tiệm cận Ví dụ Xét hệ phương trình   xk+1 = − 21 xk + 81 yk k ∈ Z+ y 1 k+1 = xk − yk Trong  A= − 12 − 14   0 lấy ma trận P =  A PA =  − 54 rõ ràng P > − 45 16   ,Q = P − A PA =  5 119 16   > Do hệ ổn định tiệm cận 1.2.4 Sự ổn định hệ tuyến tính có trễ Xét hệ rời rạc có trễ x(k + 1) = Ax(k) + Bx(k − h), k ∈ Z+ (6) Trong x(.) ∈ Rn A, B , ma trận hằng, h ≥ cho trước Điều kiện ban đầu hệ có dạng x(0) = x(−1) = = x(−h) = x0 Như với x0 cho trước hệ ln có nghiệm xác định, nghiệm bước thứ k truy hồi từ k − h bước trước Định nghĩa Hệ (6) gọi ổn định tiệm cận vững với h ≥ hệ ổn định tiệm cận Định lý cho ta điều kiện đủ để (6) ổn định tiệm cận Định lý Nếu hai điều kiện sau xẩy i) Tồn hai ma trận đối xứng xác đinh dương P , W cho  X(P ) B P A A=   < 0, A PB (7) −W X(P ) = A P A + W + B P B − P A ma trận chuyển vị A 10 √ Xét hệ phương trình Xi+1 = Xi + θhλXi+1 + (1 − θ)hλXi + hXi ξi θ ∈ [0, 1] tham số ổn định, viết lại hệ phương trình dạng truy hồi giai đoạn Xi+1 = (˜ a + ˜bξi )Xi (3.1) Trong 1 + (1 − θ)λh a ˜= − θλh ˜b = µh − θλh Phép bình phương hai vế (3.1) lấy kì vọng ta E|Xi+1 |2 = (|˜a|2 + |˜b|2 )E|Xi |2 Lấy bình phương hai vế (2.3) ta |Xi+1 |2 = |a + bξi |2 |Xi |2 + |c + dξi−1 |2 |Xi−1 |2 + 2R (a + bξi )Xi (c + dξi−1 )Xi−1 (3.2) Từ (3.2) ta thấy khơng trực tiếp tìm điều kiện để nghiệm khơng ổn định tiệm cận bình phương trung bình hệ phương trình (3.1) 2.3.2 Cách tiếp cận hệ phương trình hai bước tất định Khi (1.2) viết cho hệ phương trình sai phân tất định thơng thường, chúng rút gọn để làm bật phần tất định tuyến tính hai bước Với µ = ta nhận phương trình (2.3) với b = d = Xi+1 = aXi + cXi−1 (3.3) Với hệ số a c từ (2.4) Ta viết lại (3.3) dạng Xi+1 Xi =A Xi Xi−1 , i = 1, 2, , A := 19 a c (3.5) Chúng ta quan sát giá trị riêng ma trận A, chúng nghiệm đa thức đặc trưng ψ(ζ) = ζ − aζ − c Tất nghiệm hệ phương trình sai phân (3.3) dần tới i → ∞ nghiệm đa thức đặc trưng nằm phần đường tròn đơn vị mặt phẳng Viết (2.3) tương tự (3.3) Xi+1 = (a + bξi )Xi + (c + dξi−1 )Xi−1 , i = 1, 2, 3, Từ hệ phương trình thấy hệ số hệ phương trình sai phân phụ thuộc vào giá trị ngẫu nhiên ξi , ξi−1 phép biến đổi bước sang bước Một mặt khó khăn nghiên cứu tính ổn định phụ thuộc giá trị ngẫu nhiên ma trận n ci n = 1, 2, 3, i=1 Một cách khắc phục khó khăn sử dụng cách tiếp cận sau nhờ định lý kiểu Lyapunov áp dụng cho phương pháp nhiều bước để kiểm tra tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình hệ phân ngẫu nhiên 2.4 HÀM LYAPUNOV CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN NGẪU NHIÊN Định lý sau cho ta cách tiếp cận để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình sai phân nhờ phương pháp nhiều giai đoạn 2.4.1 Định lý Giả sử Xi = Xi (X0 , X1 ) nghiệm (2.3) Nếu tồn hàm V (i, Xi−1 , Xi ) nhận giá trị dương số dương c1 c2 , cho EV (1, X0 , X1 ) ≤ c1 max(E|X0 |2 , E|X1 |2 ) E V (i + 1, Xi , Xi+1 ) − V (i, Xi−1 , Xi ) ≤ −c2 E|Xi |2 , 20 (4.1) (4.2) cho tất i ∈ N, i ≥ 1, nghiệm khơng (2.3) ổn định tiệm cận bình phương trung bình Tức là: lim E|Xi |2 = (4.3) i→∞ Chứng minh Từ điều kiện (4.2) đạt E V (i + 1, Xi , Xi+1 )−V (1, X0 , X1 ) i E V (j + 1, Xj , Xj+1 − V (j, Xj−1 , Xj ) = j=1 i E|Xj |2 ≤ −c2 j=1 i E|Xj |2 ≤ ⇒ j=1 EV (1, X0 , X1 ) − EV (i + 1, Xi , Xi+1 ) c2 Từ (4.1) cho ta i E|Xj |2 ≤ j=1 E|Xi |2 ≤ c1 EV (1, X0 , X1 ) ≤ max(E|X0 |2 , E|X1 |2 ) c2 c2 c1 c2 max E|X0 |2 , E|X1 |2 (4.4) Bây với δ1 > tồn δ = δ1 cc21 , cho E|Xi |2 ≤ δ1 max(E|X0 |2 , E|X1 |2 ) < δ Từ(4.4) kéo theo ∞ j=1 E|Xj | ≤ ∞ Từ limi→∞ E|Xj |2 = Suy nghiệm khơng (2.3) ổn định tiệm cận bình phương trung bình định lý chứng minh Chú ý : Định lý (2.4.1) áp dụng cho hàm Lyapunov V với phụ thuộc vào biến ngẫu nhiên V (i, Xi−1 , Xi , ξi−1 ξi ) Phép chứng minh tương tự 2.4.2 Giải hệ phương trình sai phân nhờ phương pháp giai đoạn 21 Phương pháp xây dựng hàm Lyupunov V bao gồm tổng hai hàm V˜ Vˆ , bắt đầu với V˜ phải tìm hàm Vˆ cho phù hợp với định lý 2.4.2.1 Giả thiết V˜ (i, Xi−1 , Xi ) = |Xi |2 Chúng ta bắt đầu với giả thiết V˜ (i, Xi−1 , Xi ) := |Xi |2 i = 1, 2, (4.5) Nó hàm lyapunov cho phương trình tất định đơn giản ˜ i+1 := aX ˜i , X˜0 = X0 X (4.6) cho phương trình ngẫu nhiên ˜ i+1 := (a + bξi )X ˜i , X˜0 = X0 X (4.7) Giả thiết V˜ thõa mãn điều kiện (4.1) định lý cho (4.6) (4.7) |a| < |a|2 + |b|2 < Bây áp dụng hàm số V˜ cho (2.3) kiểm tra điều kiện (4.2) Chúng ta tính tốn cho i = 1, 2, E∆V˜i = E V˜ (i + 1, Xi , Xi+1 ) − V˜ (i, Xi−1 , Xi ) = E |Xi+1 |2 − |Xi |2 = E |aXi + cXi−1 + bXi ξi + dXi−1 ξi−1 |2 − |Xi |2 = E|aXi + cXi−1 + bXi ξi + dXi−1 ξi−1 |2 − E|Xi |2 = E|aXi + cXi−1 |2 + E|bXi ξi + dXi−1 ξi−1 |2 + 2R E (aX + cXi−1 )(Xi ξi + dXi−1 ξi−1 ) Q1 := E|aXi + cXi−1 |2 − E|Xi |2 Q2 := E|bXi ξi + dXi−1 ξi−1 |2 Q3 := 2R E (aX + cXi−1 )(Xi ξi + dXi−1 ξi−1 )] Vậy E∆V˜i = Q1 + Q2 + Q3 − E|Xi |2 22 Ước lượng số hạng ta thu được: Q1 := E|aXi + cXi−1 |2 = E |a|2 |Xi |2 + |c|2 |Xi−1 |2 + 2R{aXi−1 cXi } ≤ E |a|2 |Xi |2 + |c|2 |Xi−1 |2 + 2|aXi−1 cXi | ≤ E |a|2 |Xi |2 + |c|2 |Xi−1 |2 + |a||c|(|Xi |2 + |Xi−1 |2 ) = (|a| + ||c) |a|E|Xi |2 + |c|E|Xi−1 |2 Q2 := E|bXi ξi + dXi−1 ξi−1 |2 = E |b|2 |Xi |2 ξi2 + |d|2 |Xi−1 |2 ξi2 = |b|2 E|Xi |2 + |d|2 E|Xi−1 |2 Q3 := 2R EaXi dXi−1 ξi−1 ¯ E|Xi |2 + E[|Xi−1 |2 ξ ] ≤ 2E|aXi dXi−1 ξi−1 | ≤ |ad| i−1 = |a||d|(E|Xi |2 + E|Xi−1 |2 ) Lấy tổng vế ta có : E∆V˜i = Q1 + Q2 + Q3 − E|Xi |2 ≤ (|a| + |c|)(|a|E|Xi |2 + |c|E|Xi−1 |2 ) + |b|2 E|Xi |2 + |d|2 E|Xi−1 |2 + |a||d|(E|Xi |2 + E|Xi−1 |2 ) − E|Xi |2 = (|a| + |c|)|a| + |b|2 + |a||d| − E|Xi |2 + (|a| + |c|)|c| + |d|2 + |a||d| E|Xi−1 |2 := KE|Xi |2 + T E|Xi−1 |2 , với K := (|a| + |c|)|a| + |b|2 + |a||d| − T := (|a| + |c|)|c| + |d|2 + |a||d| Trong bước bổ sung V để nói nhóm T E|Xi−1 |2 vế phải bất đẳng thức Nó đặt Vˆ (i, Xi−1 , Xi ) := T |Xi−1 |2 (4.8) 23 Sau có E∆Vˆi := EVˆ (i + 1, Xi , Xi+1 ) − EVˆ (i, Xi−1 , Xi ) = T E|Xi |2 − T E|Xi−1 |2 Gọi V := V˜ + Vˆ thu E∆Vi := E∆V˜i + E∆Vˆi ≤ (K + T )E|Xi |2 Hơn kiểm tra điều kiện ban đầu cho V := V˜ + Vˆ Điều kiện thõa mãn EV (1, X0 , X1 ) = E|X1 |2 + T E|X0 |2 ≤ (1 + T ) max(E|X0 |2 , E|X1 |2 ) Do đó,V hàm Lyapunov rời rạc cho (2.3), thõa mãn điều kiện (4.1, 4.2) K + T < 0, có (|a| + |c|)2 + |b|2 + |d|2 + 2|a||d| < (4.10) Đây điều kiện đủ điều kiện cần để đảm bảo tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình (2.3) 2.4.2.2 Giả thiết V˜ (i, Xi−1 , Xi ) := |Xi + cXi−1 |2 Ta viết (2.3) sau Xi+1 = aXi + cXi−1 + bXi ξi + dXi−1 ξi−1 = (a + c)Xi − cXi + cXi−1 + bXi ξi + dXi−1 ξi−1 ˜ i+1 := (a + c)X ˜i, X ˜ = X0 X (4.11) (4.12) Như phương trình sai phân phụ, với hàm Lyapunov V (y) = y (nếu a + c < 1) Theo phiến hàm V˜ phải chọn từ V˜ (i, Xi−1 , Xi ) := |Xi + cXi−1 |2 24 Chúng ta ứng dụng phiến hàm V˜ cho (2.3) kiểm tra điều kiện (4.2) Dùng điều kiện (4.11) tính tốn cho i = 1, 2, 3, E∆V˜i := E V˜ (i + 1, Xi , Xi+1 ) − V˜ (i, Xi−1 , Xi ) = E |Xi+1 + cXi |2 − |Xi + cXi−1 |2 = E |(a + c)Xi + cXi−1 + bXi ξi + dXi−1 ξi−1 |2 − |Xi + cXi−1 |2 = E |(a + c)Xi + cXi−1 |2 − |Xi + cXi−1 |2 + E|bXi ξi + dXi−1 ξi−1 |2 + 2R E (a + c)Xi + cXi−1 bXi ξi + dXi−1 ξi−1 Q4 := E |(a + c)Xi + cXi−1 |2 − |Xi + cXi−1 |2 Q2 := E|bXi ξi + dXi−1 ξi−1 |2 Q5 := 2R E (a + c)Xi + cXi−1 bXi ξi + dXi−1 ξi−1 Nhóm Q2 đánh giá xác trước đó, cách tương tự đánh giá Q4 := (|a + c|2 − 1)E|Xi |2 + 2RE (a + c − 1)cXi ≤ (|a + c|2 − 1)E|Xi |2 + |a + c − 1||c| E|Xi |2 + E|Xi−1 |2 ≤ |a + c||d|(E|Xi |2 + E|Xi−1 |2 ) Q5 := R E(a + c)Xi dXi−1 ξi−1 Lấy tổng đến E∆V˜i = Q4 + Q2 + Q5 ≤ (|a + c| − 1)E|Xi |2 + |a + c − 1||c|(E|Xi |2 + E|Xi−1 |2 ) + |b|2 E|Xi |2 + |d|2 E|Xi−1 |2 + |a + c||d|(E|Xi |2 + E|Xi−1 |2 ) ≤ (|a + c|2 )|a + c − 1||c| + |b|2 + |a + c||d| E|Xi |2 + (|a| + |c|)|d| + |d|2 + |a + c − 1||c| E|Xi−1 |2 ≤ KE|Xi |2 + T E|Xi−1 |2 25 Trong K := (|a + c|2 )|a + c − 1||c| + |b|2 + |a + c||d|, T := (|a| + |c|)|d| + |d|2 + |a + c − 1||c| Hàm Vˆ giữ nguyên (4.8) đánh giá tương tự (4.9) cho V = Vˆ + V˜ , ta có K + T := |a + c|2 − + 2|a + c − 1||c| + |b|2 + |d|2 + 2|a + c||d| Hơn từ điều kiện ban đầu (4.1) đánh giá cho V := V˜ + Vˆ , từ EV (1, X0 , X1 ) = E |X1 + cX0 |2 + T |X0 |2 ≤ (2 max(1, |c|2 ) + T ) max(E|X1 |2 , E|X0 |2 ) V := V˜ + Vˆ hàm Lyapunov cho (2.3) thõa mãn điều kiện (4.1), (4.2) K + T < , nghĩa là: |a + c|2 + |b|2 + |d|2 + 2|a + c||d| + |a + c − 1| + |c| < (4.13) Điều kiện điều kiện đủ điều kiện cần để nghiệm không (2.3) ổn định tiệm cận bình phương trung bình 2.4.2.3 Giả thiết V˜ (i, Xi−1 , Xi , ξi−1 , ξi ) := |Xi + cXi−1 + dξi−1 Xi−1 |2 Bây viết (2.3) sau Xi+1 = aXi + cXi−1 + bξi Xi−1 + dξi−1 Xi−1 = (a + c)Xi − cXi + cXi−1 + (b + d)ξi Xi − dξi Xi + dξi−1 Xi−1 (4.14) ˜ i+1 := (a + c) + (b + d)ξi X ˜i , X ˜ = X0 X (4.15) ˜ i+1 |2 = (a + c)2 + (b + d)2 E|X ˜ i |2 ⇒ E|X Như phương trình sai phân phụ, với hàm Lyapunov v(y) = y ( (a + c)2 + (b + d)2 < 1) Hàm Lyapunov phải chọn V˜ ((i, Xi−1 , Xi , ξi−1 , ξi ) = |Xi + cXi−1 + dξi−1 Xi−1 |2 26 Trong trường hợp chọn hàm Lyapunov V˜ phụ thuộc giá trị ngẫu nhiên Chúng ta ứng dụng hàm V˜ cho (2.3) kiểm tra điều kiện (4.2) Dùng phép biểu diễn (4.14), tính tố n cho i = 1, 2, E∆V˜ := E V˜ (i + 1, Xi , Xi+1 , ξi , ξi+1 ) − V˜ (i, Xi−1 , Xi , ξi−1 ξi ) = E |Xi+1 + (c + dξi )Xi |2 − |Xi + (c + dξi−1 )Xi−1 |2 = E |(a + c)Xi + cXi−1 + (b + d)Xi ξi + dXi−1 ξi−1 |2 − |Xi + (c + dξi−1 )Xi−1 |2 = E |(a + c)Xi + cXi−1 |2 − |Xi + cXi−1 |2 + E|(b + d)Xi ξi + dXi−1 ξi−1 |2 − |dXi−1 ξi−1 | + 2RE ((a + c)Xi + cXi−1 ) (b + d)Xi ξi + dXi−1 ξi−1 − 2RE (Xi + cXi−1 )(dXi−1 ξi−1 ) Q4 := E |(a + c)Xi + cXi−1 |2 − |Xi + cXi−1 |2 Q6 := E|(b + d)Xi ξi + dXi−1 ξi−1 |2 − |dXi−1 ξi−1 |2 Q7 := 2RE ((a + c)Xi + cXi−1 ) (b + d)Xi ξi + dXi−1 ξi−1 Q8 := 2RE (Xi + cXi−1 )(dXi−1 ξi−1 ) Nhóm Q4 đánh giá xác trước đó, tương tự có: Q6 = |b + d|2 E|Xi |2 + |d|2 E|Xi |2 − |d|2 E|Xi |2 = |b + d|2 E|Xi |2 Q7 − Q8 = 2R E (a + c)Xi dXi−1 ξi−1 − 2R E (Xi dXi−1 ξi−1 = 2R E (a + c − 1)Xi dXi−1 ξi−1 ≤ |a + c − 1||d|(E|Xi |2 + E|Xi−1 |2 ) 27 E∆V˜ := Q4 + Q6 + Q7 − Q8 ≤ (|a + c|2 − 1)E|Xi |2 + |a + c − 1||c|(E|Xi |2 + E|Xi−1 |2 ) + (|b + d|2 )E|Xi |2 + |a + c − 1||d|(E|Xi |2 + E|Xi−1 |2 ) = |a + c|2 − + |b + d|2 + (|c| + |d|)|a + c − 1| E|Xi |2 + (|c| + |d|)|a + c − 1|E|Xi−1 |2 = KE|Xi |2 + T E|Xi−1 |2 Ta kí hiệu K := (|a + c|2 − + |b + d|2 + (|c| + |d|)|a + c − 1| T := (|c| + |d|)|a + c − 1| Chúng ta lấy Vˆ (4.8) với số không đổi T khác biểu thức V = V˜ + Vˆ Cuối cùng, kiểm tra điều kiện ban đầu (4.1): EV (1, X0 , X1 , ξ0 , ξ1 ) = E |X1 + (c + dX0 )X0 |2 + T |X0 |2 ≤ 2E|X1 |2 + 2E|(c + dξ0 )X0 |2 + T E|X0 |2 ≤ max(1, |c|2 + |d|2 ) + T max(E|X1 |2 , E|X0 |2 ) Vậy V := V˜ + Vˆ hàm Lyapunov rời rạc cho (2.3) thõa mãn điều kiện (4.1), (4.2) K + T < , nghĩa là: |a + c|2 + |b + d|2 + 2(|c| + |d|)|a + c − 1| < (4.16) Điều kiện điều kiện đủ không cần để đảm bảo nghiệm không (2.3) ổn định tiệm cận bình phương trung bình 2.4.3 Hệ phương trình sai phân phương pháp hai bước tất định Trong mục chung ta xem xét hệ phương trình sai phân với phần tất định hai bước viết (3.5) Chúng ta bắt đầu với phần tất định 28 hệ phương trình (2.3) yi+1 = ayi + cyi−1 (4.17) Và đặt Yi = (yi , yi−1 )T viết lại (4.17) sau Yi+1 = AYi A = a c (4.18) Tiếp theo ta xác định hàm Lyapunov v cho (4.18) Hàm v : R2 → R+ hàm Lyapunov cho (4.18) giá trị ∆vi := v(Yi+1 ) − v(Yi ) thõa mãn ∆vi ≤ −c0 Yi chuẩn R2 c0 số không đổi Ta có v(Y) = Y T QY với ma trận dương xác định Q cho giá trị dương v T ∆vi := Yi+1 QYi+1 − YiT QYi = YiT AT QA − Q Yi , v hàm Lyapunov ma trận AT QA − Q xác định âm Phải tìm ma trận Q với thuộc tính bắt đầu xác định ma trận P tính tốn phương trình ma trận Lyapunov AT QA−Q = −P Để đơn giản chọn ma trận đường chéo P = diag(p11 , p22 ) tham số dương p11 , p22 chọn tùy ý Tiếp phần tử ma trận Q = (qij )i,j=1,2 tính toán là, (giả sử c = −1, |a| = |1 − c|) q11 q22 = pac 1−c ac , pac = p11 + p22 (1 + c)((1 − c)2 − a2 ) q22 = p22 + c2 q11 Nếu điều kiện |c| < |a| < − c (4.19) ma trận Q ma trận dương xác định với q11 , q22 , pac > Tiếp hàm V˜ phải chọn V˜ (i, Xi−1 , Xi ) = XiT QXi Xi = (Xi , Xi−1 )T 29 T QX T Sau tính tốn E∆V˜i = E Xi+1 i+1 − Xi QXi , cần xác định hàm Vˆ V = V˜ + Vˆ Chúng ta đạt E∆V˜i = −p11 EXi2 − p22 Xi−1 + Q9 + Q10 , Q9 = q11 E(bXi ξi + dXi−1 ξi−1 )2 Q10 = 2(q12 + q11 a)EXi (dXi−1 ξi−1 ) Đánh giá Q9 = pac (1 − c)(b2 EXi2 + d2 EXi−1 ) Q10 ≤ pac |ad|(EXi2 + EXi−1 ) Chúng ta đạt E∆V˜i ≤ KEXi2 + T EXi−1 với K = γ1 − p11 γ1 = pac (b2 (1 − c) + |ad|), (4.20) T = γ2 − p22 γ2 = pac (d2 (1 − c) + |ad|) (4.21) Hàm Vˆ lấy (4.8) với giá trị T , để thoã mãn (4.2) cho V = V˜ + Vˆ K + T < Cuối kiểm tra điều kiện (4.1) định lý (2.4.1) Chúng ta đạt với X1 = (X1 , X0 )T V (1, X0 , X1 ) = X1T QX1 + T X02 = q11 X02 + 2q12 X0 X1 + q22 X12 + T X02 ≤ q11 X02 + |q12 |(X12 + X02 ) + q22 X12 + T X02 ≤ (q11 + 2|q12 | + q22 + γ2 − p22 ) max(X12 , X02 ) = (1 + c2 )q11 + 2|q12 | + γ2 max(X12 , X02 ) 30 Điều kiện (4.1) định lý (2.4.1) thỗ mãn với số dương khơng đổi (1 + c2 )q11 + 2|q12 + γ2 | Chúng ta kết luận V = V˜ + Vˆ hàm Lyapunov rời rạc cho (2.3), thỏa mãn điều kiện (4.1, 4.2) có (4.19) K + T < giữ nguyên Bất đẳng thức cuối có nghĩa γ1 + γ2 < p11 + p22 p11 + p22 2|ad| + (b2 + d2 )(1 − c) < p11 + p22 ⇔ 2 (1 + c)((1 − c) − a ) 2|ad| + (b2 + d2 )(1 − c) ⇔ < (1 + c)((1 − c)2 − a2 ) Vậy ta có   |c| < 1, |a| < − c  2|ad|+(b2 +d2 )(1−c) (1+c)((1−c)2 −a2 ) (4.22) < Đây điều kiện đủ không cần thiết để đảm bảo nghiệm khơng (2.3) ổn định bình phương trung bình tiệm cận 31 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Trình bày tương đối có hệ thống số kiến thức tính ổn định hệ rời rạc có trễ, có ổn định hệ rời rạc tuyến tính, hệ rời rạc phi tuyến, hệ tuyến tính có trễ, tốn ổn định hóa hệ có trễ hệ có nhiễu phi tuyến Trình bày phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình hệ sai phân ngẫu nhiên Cơ sở để xây dựng phương pháp hai giai đoạn định lý kiểu Liapunov cho phương trình sai phân ngẫu nhiên (Định lý 4.1) phát biểu chứng minh đầy đủ Nhờ phương pháp dễ dàng nghiên cứu tính ổn định phương trình sai phân hàm Liapunov V := V˜ + Vˆ có số dạng đặc biệt như: V˜ (i, Xi−1 , Xi ) := |Xi |2 Vˆ (i, Xi−1 , Xi ) := T |Xi−1 |2 V˜ (i, Xi−1 , Xi ) := |Xi + cXi−1 |2 Vˆ (i, Xi−1 , Xi ) := T |Xi−1 |2 V˜ (i, Xi−1 , Xi , ξi−1 , ξi ) := |Xi + cXi−1 + dξi−1 Xi−1 |2 Vˆ (i, Xi−1 , Xi ) := T |Xi−1 |2 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo Dục [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Hy Đức Mạnh (2006), Bài tốn ổn định hệ rời rạc có trễ qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính, Kỷ yếu hội thảo ITMath HVKTQS [4] Zidong Wang - Xiaohui Liu (2003), Robust Stability of Two- Dimensional Uncertain Discrete Systems, IEEE Signal Processing Letters V.10, N.5 [5] Z.Wang and H.Qiao (2002), Robust filtering for bilinear uncertain stochastic discrete- time systems, TEEE Trans Signal Processing V.50 [6] Haci Civciv and Mehmet Akbulak (2007), A Note on the Exponential Stability of Noulinear Difference Systems, Applied Math Sciences Vol.1 N.33 [7] D Krokavec - A.Filasova (2008), Contrained control of discrete-time stochastic systems , Procedings of the 17th Wold congress The Inter Federation of Auto Control, Seoul Korea Juli 6- 11 [8] Diankim Wang and Fule Li (2011), Output- feedback Stabilization of Discrete-time Systems with Multiple Time- varying delays, 2011-3rd International Conference on Computer and Automation Engineering (ICCAE 2011) 33 ... trung bình hệ sai phân ngẫu nhiên Là nội dung luận văn Trong chương này, tơi trình bày phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình hệ sai phân ngẫu nhiên. .. PB   < −I CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HAI GIAI ĐOẠN ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH CỦA HỆ SAI PHÂN NGẪU NHIÊN 2.1 MỞ ĐẦU Cho hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên dX(t) = f (t,... nghiên cứu tính ổn định, ổn định hố hệ sai phân Nội dung chương trình bày theo báo cáo toàn văn hội thảo ITMath’06 Chương Phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung