Nghiên cứu tính ổn định của hệ động lực bằng phương pháp hàm lyapunov nhiễu

1 MỞ ĐẦU Trong năm gần phương trình vi phân xung trở nên quan trọng số ngành toán học đại thực tiễn, nghiên cứu tượng vật lý, cơng nghệ hóa học, hóa sinh, dân số, kinh tế… Có ý nghĩa quan trọng phát triển lý thuyết xung lượng, đặc biệt lĩnh vực lớp phương trình vi phân xung với thời gian cố định; ta thấy tài liệu Bainov Sineonov [Systems with Impulse Effect, Ellis Horwood, Chichester, 1989]; V.Lashmikantham, D.D Bainov, P.S Simeonov [Theory of Impulse Differential Equations, World Scientific, Singapore, 1989]; A.M Samoilenko, N.A Perestyuk [Impulse Differential Equations, World Scientific, Singapore, 1989]; gần tài liệu [M Senchohra, J Henderson, S.K Ntouyas, A Ouahab Impulse functional differential equations with variable times , Comput Math Appl 47 (2004) 1659-1665] Ta biết lý thuyết ổn định theo nghĩa Lyapunov biết đến nhiều đạt nhiều kết quan trọng hàm Lyapunov đóng vai trị thiết yếu việc xác định hệ thống phân loại chất lượng định tính nghiệm tầm thường hệ phương trình vi phân Các nhà toán học V Lakshmikantham, S Leela [On perturbing Lyapunov functions, Math Syst Theory 10 (1976) 85-90] giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov nhiễu, mà qua cho phép ta xem xét tính chất nghiệm hệ vi phân với giả thiết yếu Phương pháp nghiên cứu từ nhiều quan điểm khác nhiều nhà toán học S Koksal [Stability properties and perturbing Lyapunov functions, J Appl Anal 43 (1992) 99-107]; S Koksal [Boundedness properties and perturbing Lyapunov functions , JMNA 163 (1) (1992) 73-78] Hơn nữa, hệ phương trình vi phân xung hàm Lyapunov thông thường không thỏa mãn tất điều kiện cần thiết để có kết mong muốn, nhà tốn học D Stutson, A.S Vatsala, [Composite boundedness and stability results by perturbing Lyapunov functions , Nonlinear Anal 26 (4) (1994) 761-766] mở rộng để xét ổn định hệ phương trình vi phân xung hàm Lyapunov nhiễu thấy đạt hiệu Luận văn nghiên cứu ổn định nghiệm tầm thường hệ vi phân xung với thời gian cố định phương pháp hàm Lyapunov nhiễu Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày kiến thức sở cần thiết tính ổn định hệ phương trình vi phân để sử dụng cho chương sau Bao gồm số định nghĩa, khái niệm, định lý tính ổn định, khơng ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận, ổn định toàn cục, ổn định mũ nghiệm hệ phương trình vi phân; phương pháp hàm Lyapunov Chương giới thiệu số định nghĩa sơ kết sử dụng luận văn Dựa vào hàm Lyapunov nhiễu số điều kiện đủ để chứng minh cho tính ổn định nghiệm tầm thường hệ động lực với thời gian cố định CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chương trình bày kiến thức sở cần thiết ổn định hệ phương trình vi phân phương pháp hàm Lyapunov 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỰ ỔN ĐỊNH Xét hệ phương trình vi phân dạng x x(t )  n f:  f (t , x), t (1.1)  n hàm vectơ cho trước n Giả sử f(t,x) thỏa mãn điều kiện tồn nghiệm hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t0 ) x0 , x0  n , t Khi nghiệm (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu xác định t x(t) = x + f ( s, x( s))ds (1.2) t0 Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm x(t) (1.1) gọi ổn định (theo với Lyapunov) t t 0, tồn ( , t ) >0 cho nghiệm y(t) (1.1) với điều kiện y(t ) = y thỏa mãn y0 x0 nghiệm bất đẳng thức y (t ) x(t ) , với t t0 Nói cách khác nghiệm x(t) ổn định nghiệm khác hệ có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu x(t) đủ gần suốt thời gian t t0 Chẳng hạn nghiệm ổn định biểu diễn hình vẽ sau x x(t ) y (t ) O t0 t Nếu f(t,0) = nghiệm tầm thường (hay trạng thái cân bằng) x(t ) ổn định y(t ) t 0 , với y(t ) Định nghĩa 1.1.2 Nếu ( , t ) >0 cho t0 t không phụ thuộc vào t ổn định hệ gọi ổn định Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm x(t) gọi không ổn định theo Lyapunov đó, t >0 tồn nghiệm y (t) t =t ( )>t cho y (t ) x(t ) y (t1 ) x(t1 ) Tương tự f(t,0) = nghiệm tầm thường (hay trạng thái cân bằng) x(t0 ) không ổn định t 0 >0 tồn nghiệm y (t ) thời điểm t1 t0 cho y ( t0 ) y (t ) Chẳng hạn nghiệm tầm thường không ổn định biểu diễn hình vẽ sau x y (t ) y (t1 ) O t0 t t1 Định nghĩa 1.1.4 Nghiệm x(t) (1.1) gọi ổn định tiệm cận t (i) Ổn định theo Lyapunov; (ii) Với t 0, (t ) y(t ) x(t ) cho nghiệm y(t) hệ thoả mãn lim y(t ) x(t ) t (1.3) Nghĩa nghiệm x(t) ổn định tiệm cận ổn định nghiệm y(t) khác có giá trị ban đầu y gần với giá trị ban đầu x tiến gần tới x(t) t Do ta cịn nói ổn định tiệm cận “ổn định có tải” tức ổn định kèm theo điều kiện (1.3) Nghiệm tầm thường x(t ) (1.1) ổn định tiệm cận ổn định lim y(t ) t t0 (t ) Khi ta nói hình cầu y(t ) y (t ) với t cố định miền hút trạng thái cân Định nghĩa 1.1.5 Nếu nghiệm x(t) (1.1) ổn định tiệm cận t tất nghiệm y(t) có tính chất (1.3) (nghĩa ) x(t) gọi ổn định tồn cục Định nghĩa 1.1.6 Hệ (1.1) gọi ổn định (ổn đinh đều, ổn định tiệm cận) nghiệm ổn định (ổn định đều, ổn định tiệm cận) Nhận xét Đối với hệ (1.1) đặt y= x- (t ) với (t ) nghiệm (1.1) ta dy dt f (t , x) f (t , (t )) = f (t , y (t )) f (t , (t )) = F (t , y) Khi đó, F (t ,0) hệ (1.1) chuyển thành hệ phương trình sau: dy = F(t,y) dt (1.4) Hệ (1.4) có nghiệm tầm thường y(t)=0 việc nghiên cứu ổn định nghiệm x(t) hệ (1.1) đưa nghiên cứu ổn định nghiệm tầm thường (1.4) Hệ (1.4) gọi hệ rút gọn, từ sau ta nghiên cứu hệ dạng rút gọn Vì lý trên, giả thiết hệ (1.1) thỏa mãn f(t,0)=0, với t  , ta có định nghĩa sau: - Hệ (1.1) ổn định , t0  , nghiệm x(t) thỏa mãn x(t ) x(t ) , t t0 ( , t ) >0 cho - Hệ (1.1) ổn định , t0 ( ) >0 cho  , nghiệm x(t) thỏa mãn x(t ) x(t ) , t0 t - Hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định >0 cho nghiệm x(t) thỏa mãn x(t ) lim x(t ) t Cùng với hệ (1.4) ta xét hệ nhiễu dạng d y dt x(t )  n f:  F (t , y) n n; (t , y) : (1.5) n  n hàm vectơ cho trước Ta có Định nghĩa 1.1.7 Nghiệm x(t) ( t  ) hệ (1.4) gọi ổn định tác động nhiễu ( , t0 ) cho t  , y(t ) hệ (1.5) thỏa mãn điều kiện (t , y ) y (t ) (t, y) với tất nghiệm xác định khoảng t t0 y ( t ) x( t ) , t t0 Ví dụ 1.1.1 Xét hệ phương trình vi phân x ax, t Nghiệm hệ thỏa mãn điều kiện ban đầu x t định xt ea t t0 x0 - Nếu a hệ ổn định tiệm cận (ổn định tiệm cận đều) - Nếu a hệ ổn định (ổn định đều) x0 xác Ví dụ 1.1.2 Xét phương trình vi phân x Trong a :  a(t ) x, t  hàm liên tục Khi đó, nghiệm hệ thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) x0 t a( )d x(t ) x0et0 Dễ dàng kiểm tra hệ ổn định t a( )d (t0 ) , ổn định t0 (t0 ) không phụ thuộc t0 ổn định tiệm cận t lim a x d t0 1.2 PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV 1.2.1 Sự ổn định hệ phi tuyến dừng Trước hết ta xét hệ phi tuyến tính dừng dạng x f ( x), f (0) Định nghĩa 1.2.1 Hàm V ( x) :  n (i) V(x) 0, t  (1.6)  xác định dương với x  n , (ii) V(x)=0 x=0 Định nghĩa 1.2.2 - Hàm V ( x) : D  n  , D lân cận mở tùy ý 0, gọi hàm Lyapunov hệ (1.6) (i) V(x) hàm khả vi liên tục D, (ii) V(x) hàm xác định dương, (iii) D f V(x):= V f ( x) x 0, x D - Hàm V(x) gọi hàm Lyapunov chặt hàm Lyapunov thêm vào bất đẳng thức điều kiện (iii) thực âm, với x nằm ngồi lân cận đó, xác (iii) ’ c>0: D f V(x) cx 0, x D\ Định lý cho điều kiện đủ để hệ (1.6) ổn định tiệm cận với tồn hàm Lyapunov Định lý 1.2.1 Nếu hệ (1.6) tồn hàm Lyapunov ổn định Hơn nữa, hàm Lyapunov chặt hệ ổn định tiệm cận Chứng minh Hệ ổn định Lấy tùy ý >0, chọn >0 đủ nhỏ cho V (0) D Với số k>0 xây dựng tập D k sau D k = x D : V ( x) k Vì hàm V(.) liên tục bất đẳng thức chặt nên Dk tập mở đương nhiên int Dk Hơn nữa, tính liên tục hàm V(.) V(0)=0 nên tồn k >0 đủ nhỏ cho Dk Chọn >0 đủ nhỏ cho V (0) V (0) Dk0 (điều kiện làm intD k ) Bây lấy x0 V (0) , xét nghiệm x(t) hệ (1.6) thỏa mãn x(t )=x , theo giả thiết V(.) hàm Lyapunov nên dV ( x(t )) dt V dx x dt V f ( x) x Tích phân vế bất đẳng thức từ t đến t, ta có t d V ( x( ))d d t0 V ( x(t )) V ( x0 ) Điều kéo theo V(x ) V(x(t)), với t t Mặt khác, x0 với t t Vậy x(t) 0, V (0) Dk0 Dk0 nên V(x )