(Luận văn) tính hữu hạn và tính ổn định tiệm cận của một số tập iđêan nguyên tố

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MÃ ĐỨC NGHỊ lu an n va p ie gh tn to TÍNH HỮU HẠN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ THÁI NGUYÊN - 2015 an Lu n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MÃ ĐỨC NGHỊ lu an n va p ie gh tn to TÍNH HỮU HẠN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ nl w Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số d oa Mã số: 60.46.01.04 nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HOÀNG z m co l gm @ THÁI NGUYÊN - 2015 an Lu n va ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 09 tháng 10 năm 2015 Người viết Luận văn Mã Đức Nghị lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu i n va ac th si Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ NGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, cơng sức hồn thành luận văn lu an n va p ie gh tn to Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo của: Viện Tốn học Đại học Thái Nguyên người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tơi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học, Sở GD&ĐT Hà Giang, Ban Giám hiệu trường THPT Thơng Ngun, huyện Hồng Su Phì, Hà Giang tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt khóa học d oa nl w Thái Nguyên, ngày 09 tháng 10 năm 2015 Người viết Luận văn nf va an lu Mã Đức Nghị z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu ii n va ac th si Mục lục lu ii Mục lục Mở đầu an Lời cảm ơn n va tn to ie gh Kiến thức chuẩn bị p 1.1 Môđun Ext nl w 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết Môđun đối đồng điều địa phương 1.4 Dãy quy độ sâu môđun 1.5 Vành môđun phân bậc 11 d oa 1.3 nf va an lu lm ul Tính hữu hạn ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố 13 z at nh oi liên kết số mơđun Tính hữu hạn tập iđêan ngun tố liên kết 13 2.2 Tính ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết 22 2.3 Tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối z 2.1 gm @ m co l đồng điều địa phương bậc d − 27 Tài liệu tham khảo an Lu 33 n va ac th si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Cho (R, m) vành giao hoán Noether địa phương, I iđêan R, N R−môđun hữu hạn sinh Năm 1992, C Huneke [15] đưa giả thuyết ”Liệu mơđun HIj (N ) có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết với môđun hữu hạn sinh N iđêan I ?” Một số câu trả lời khẳng định đưa Huneke-R Y Sharp, G Lyubeznik cho vành quy địa phương đẳng đặc trưng Sau đó, A Singh [23] M Katzman [16] xây dựng ví dụ mơđun hữu hạn sinh có số mơđun đối đồng điều địa phương có vơ hạn iđêan ngun tố liên kết Bên cạnh đó, giả thuyết nhiều trường hợp, chẳng hạn: Trong trường hợp môđun N có chiều nhỏ 4, T Marley AssR (HIj (N )) tập hữu hạn với j M.Brodmann-A.Faghani chứng minh AssR (HIt (N )) tập hữu hạn HIj (N ) hữu hạn sinh với j < t Tiếp đó, K Khashyarmanesh - Sh Salarian [17] chứng minh Supp HIj (N ) tập hữu hạn với j < t Ass HIt (N ) tập hữu hạn Năm 2005, L.T Nhàn [22] định nghĩa khái niệm dãy quy suy rộng, đặc trưng số nguyên t nhỏ để Supp HIt (N ) tập vơ hạn, số t độ dài dãy quy suy rộng cực đại N I Ass(HIj (N ) hữu hạn Gần N.T Cường - N.V Hoàng thu kết tính hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố liên kết số môđun đối đồng điều địa phương, cụ thể định lý sau: d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z Định lý (Cường - Hoàng [8, Theorem 1.1]) Cho (R, m) vành địa phương Noether, I iđêan R N R-môđun hữu hạn sinh Cho k ≥ −1 số nguyên r = depthk (I, N ) Nếu r < ∞ x1 , , xr N -dãy từ chiều > k I , với số nguyên j ≤ r, tập hợp AssR (HIj (N ))≥k hữu hạn Hơn nữa, với l ≤ r ta có [ [ j co l gm @ AssR (N/(x1 , , xj )N )≥k ∩ V (I) j≤l an Lu j≤l m AssR (HI (N ))≥k = n va ac th si Mục tiêu thứ luận văn trình bày lại cách chi tiết chứng minh Định lý Cường - Hồng nêu trình bày chi tiết số hệ lu Một vấn đề khác M Brodmann nghiên cứu năm 1979, nghiên cứu tính ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết Ass(N/I n N ) n đủ lớn Tiếp toán mở rộng nghiên cứu nhiều nhà toán học khác, chẳng hạn: L Melkersson [20], Melkersson - P Schenzel [21], Cường - Hoàng - P.H Khánh [9] Và gần Cường - Hoàng [8] Hoàng - Khánh [14] chứng minh số kết tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương số điều kiện định, định lý sau: an n va p ie gh tn to Định lý (Cường - Hoàng [8, Theorem 1.2]) Cho (R, m) vành địa phương Noether I iđêan R Lấy R = ⊕n≥0 Rn đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh R0 = R N = ⊕n≥0 Nn R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Với số nguyên k ≥ −1, gọi r giá trị ổn định depthk (I, Nn ) Khi S với số nguyên l ≤ r tập hợp j≤l AssR (HIj (Nn ))≥k ổn đinh với n đủ lớn w d oa nl Định lý (Hoàng - Khánh [14]) Cho (R, m) vành địa phương Noether, I, J hai iđêan R M R−môđun hữu hạn sinh Cho R = ⊕n≥0 Rn đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh R0 = R N = ⊕n≥0 Nn mơđun phân bậc hữu hạn sinh Lấy Ln để kí hiệu cho R−môđun Nn R−môđun S M/J n M Khi với số ngun khơng âm l tập hợp j≥l SuppR (HIj (Ln )) ổn định với n đủ lớn Đặc biệt, tập hợp AssR (HId−1 (Ln )) ∪ {m} ổn định với n đủ lớn, d giá trị ổn định dim Ln nf va an lu z at nh oi lm ul z Mục tiêu thứ hai luận văn trình bày lại chi tiết chứng minh cho Định lý Định lý nêu Luận văn chia làm hai chương Chương dành để trình bày kiến thức chuẩn bị cần thiết bao gồm: iđêan nguyên tố liên kết, môđun Ext, môđun đối đồng điều địa phương, dãy quy độ sâu môđun, vành môđun phân bậc Chương chương luận văn gồm ba mục tương ứng dành để chứng minh chi tiết cho định lý: Định lý 1, Định lý 2, Định lý m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu an Chương nhằm giới thiệu số kiến thức chuẩn bị phục vụ cho chứng va minh kết chương sau Trong chương ta ln giả thiết R n vành giao hốn Noether M R−môđun gh tn to Iđêan nguyên tố liên kết p ie 1.1 nl w Định nghĩa 1.1.1 (Iđêan nguyên tố liên kết) Một iđêan nguyên tố p R oa gọi iđêan nguyên tố liên kết M có phần tử 6= x ∈ M d cho Ann(x) = p Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu lu nf va an AssR (M ) Ass(M ) Sau số tính chất tập iđêan nguyên tố liên kết lm ul Mệnh đề 1.1.2 (i) Cho p ∈ Spec(R) Khi p ∈ AssR (M ) M z at nh oi có mơđun đẳng cấu với R/p (ii) Nếu p phần tử tối đại của tập tất iđêan R có dạng Ann(x) z (với 6= x ∈ M ), p ∈ AssR (M ) Vì R vành Noether nên M 6= tất iđêan nguyên tố liên kết M l gm @ AssR (M ) 6= Hơn nữa, tập ZD(M ) tất ước không M hợp m co (iii) Cho → M → M → M 00 → dãy khớp R−mơđun Khi an Lu AssR M ⊆ AssR M ⊆ AssR M ∪ AssR M 00 n va ac th si (iv) AssR (M ) ⊆ SuppR (M ) phần tử tối thiểu tập SuppR (M ) thuộc vào tập AssR (M ) (v) Nếu M R−mơđun hữu hạn sinh AssR (M ) tập hữu hạn Hơn AssR (M ) ⊆ V (Ann M ) phần tử tối thiểu V (Ann M ) thuộc p AssR (M ) Vì Ann(M ) giao iđêan nguyên tố liên kết M (vi) AssRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AssR (M ), q ⊆ p} 1.2 Môđun Ext lu Định nghĩa 1.2.1 Một giải xạ ảnh R−môđun M dãy khớp an n va → P2 → P1 → P0 → M → tn to R−mơđun, Pi R−môđun xạ ảnh với i gh Chú ý 1.2.2 Giải xạ ảnh R−môđun M tồn Thật vậy, giả p ie sử Y hệ sinh M , gọi P0 = ⊕y∈Y Ry , với Ry = R R−môđun tự w Y Khi ta có tồn cấu ϕ : P0 → M cho ϕ(ay )y∈Y = Σy∈Y ay y Đặt nl K1 = Ker ϕ Lấy Y1 hệ sinh K1 P1 R−môđun tự sinh Y1 d oa Khi ta có tồn cấu tự nhiên f1 : P1 → K1 Đặt µ1 = j1 f1 , an lu j1 : K1 ,→ P0 phép nhúng tự nhiên từ K1 vào P0 Dễ thấy Im µ1 = Ker ϕ Đặt K2 = Ker µ1 Bằng lập luận tương tự ta có toàn cấu f2 : P2 → K2 cho nf va K2 mơđun tự Im µ2 = Ker µ1 µ2 = j2 f2 với j2 : K2 ,→ P1 lm ul phép nhúng tự nhiên Cứ tiếp tục trình ta thu dãy khớp µ2 µ1 ϕ z at nh oi −→ P1 −→ P0 − →M →0 Pi mơđun tự Vì mơđun tự xạ ảnh nên dãy khớp z xạ ảnh M @ gm Định nghĩa 1.2.3 Cho N R−môđun Xét hàm tử Hom(−, N ) phản biến, f1 f0 µ an Lu m −→ P2 −→ P1 −→ P0 − → M → co f2 l khớp trái Cho M R−môđun, lấy giải xạ ảnh M n va ac th si Tác động hàm tử Hom(−, N ) vào dãy khớp ta có phức f0∗ f1∗ f2∗ → Hom(P0 , N ) −→ Hom(P1 , N ) −→ Hom(P2 , N ) −→ ∗ Mơđun khơng phụ thuộc vào việc Khi ExtiR (M, N ) = Ker fi∗ / Im fi−1 chọn giải xạ ảnh M Sau số tính chất mơđun Ext Mệnh đề 1.2.4 (i) Nếu M xạ ảnh ExtiR (M, N ) = với i > (ii) Ext0R (M, N ) ∼ = Hom(M, N ) lu an (iii) Nếu → N → N → N 00 → dãy khớp ngắn tồn đồng cấu n va nối ExtnR (M, N 00 ) → Extn+1 R (M, N ) với n > cho ta có dãy khớp dài tn to → Hom(M, N ) → Hom(M, N ) → Hom(M, N 00 ) → Ext1R (M, N ) p ie gh → Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N 00 ) → Ext2R (M, N ) → (iv) Nếu → N → N → N 00 → dãy khớp ngắn tồn đồng cấu oa nl w 00 nối ExtnR (N , M ) → Extn+1 R (N , M ) với n > cho ta có dãy khớp dài d → Hom(N 00 , M ) → Hom(N, M ) → Hom(N , M ) → Ext1r (N 00 , M ) lu nf va an → Ext1R (N, M ) → Ext1R (N , M ) → Ext2R (N 00 , M ) → Từ Chú ý 1.2.2 từ Định nghĩa môđun Ext ta có kết sau lm ul Hệ 1.2.5 Nếu M, N môđun hữu hạn sinh R ExtiR (M, N ) z at nh oi hữu hạn sinh với i Kết sau cho ta tính chất giao hốn mơđun Ext hàm tử địa z phương hóa @ l gm Mệnh đề 1.2.6 Nếu S tập đóng nhân R co S −1 (ExtnR (M, N )) ∼ = ExtnS −1 R (S −1 M, S −1 N ) m Đặc biệt, ta có (ExtnR (M, N ))p ∼ = ExtnRp (Mp , Np ) với p ∈ Spec R an Lu n va ac th si Mặt khác rõ ràng x1 , , xr N -dãy từ chiều > k IM Hơn nữa, j theo Bổ đề 2.1.9, ta có ExtjR (M, N ) ∼ = HAnn(M ) (M, N ); j j HAnn(M (M, N ) ∼ = H√ ) Ann(M ) (M, N ) = HIj (M, N ) j Suy ExtjR (M, N ) ∼ = HI (M, N ) Do hệ suy từ Định lý 2.1.10 Chú ý 2.1.15 Lấy số nguyên j ≥ t > Lấy a = (a1 , , as ) kí hiệu cho dãy phần tử R t = (t1 , , ts ) s số nguyên dương Với iđêan I R ta đặt T j (I t , N ) = AssR (ExtjR (R/I t , N )), T j (at , N ) = AssR (ExtjR (R/(at11 , , atss ), N )) lu an Khi ta thu quan hệ sau tập hợp nêu va n Hệ 2.1.16 Cho k ≥ −1 số nguyên, I iđêan R gh tn to r = depthk (I, N ) Nếu r < ∞ x1 , , xr N -dãy từ chiều > k √ iđêan I , với hệ phần tử sinh a1 , , as I số nguyên p ie l ≤ r, ta ln có T j (I t , N )≥k = [ AssR (N/(x1 , , xj )N )≥k ∩ V (I) = j≤l [ T j (at , N )≥k j≤l oa nl j≤l w [ d với t ∈ Z+ t ∈ (Z+ )s Đặc biệt, với số nguyên j ≤ r, ta suy S S tập hợp t∈Z+ T j (I t , N )≥k t∈(Z+ )s T j (at , N )≥k chứa an lu nf va tập hữu hạn [ p t √ √ It = I = (a11 , , atss ) với số nguyên dương z at nh oi Chứng minh Vì lm ul i≤j AssR (N/(x1 , , xi )N )≥k ∩ V (I) t, t1 , , ts , nên áp dụng Hệ 2.1.14 (khi M = R/I t M = R/(at11 , , atss )) j≤l j≤l [ AssR (N/(x1 , , xj )N )≥k ∩ V (I) j≤l an Lu 20 m với l ≤ r, hệ chứng minh co AssR (ExtjR (R/(at11 , , atss ), N ))≥k = l [ AssR (N/(x1 , , xj )N )≥k ∩ V (I) gm j≤l [ @ AssR (ExtR (R/I t , N ))≥k = z ta thu [ j n va ac th si Chú ý 2.1.17 Kết M Brodmann - L.T Nhàn [4, Theorems 1.1 1.2] nói với số nguyên không âm r cho, dim Supp(HIi (N )) ≤ k với i < r, tập [ T j (I t , N )≥k t∈Z+ chứa tập hữu hạn [ T j (at , N )≥k t∈(Z+ )s S i≤j AssR (ExtiR (R/I, N )) với j ≤ r Hơn nữa, x1 , , xr N -dãy từ chiều > k hoán vị đồng thời dãy I -lọc quy I hốn vị được, tập chứa tập hữu hạn sau AssR (N/(x1 , , xj )N )≥k+1 ∪ [ (*) AssR (N/(x1 , , xi )N )k , lu an i≤j n va tn to AssR (N/(x1 , , xi )N )k = {p ∈ AssR (N/(x1 , , xi )N ) | dim R/p = k} gh j j j Thực vậy, H√ (N ) ∼ = HI (N ) nên dim Supp(H√I (N )) ≤ k với j < r Do I ie √ p depthk ( I, N ) ≥ r, tồn N −dãy từ chiều > k x1 , , xr √ I Vì ta áp dụng Hệ 2.1.16 vào tình giả thiết w iđêan d oa nl [4, Theorem 1.1] Ta thấy đẳng thức Hệ 2.1.16 không phụ S thuộc vào t t, nên với j ≤ r ta thấy tập t∈Z+ T j (I t , N )≥k S j t t∈(Z+ )s T (a , N )≥k chứa tập hợp hữu hạn sau [ [ an lu AssR (ExtiR (R/I, N ))≥k i≤j nf va T i (I, N )≥k = i≤j lm ul Điều chứng tỏ Hệ 2.1.16 chứa đựng kết Định lý 1.1 z at nh oi [4] Hơn nữa, lấy p ∈ T j (I t , N )≥k ∪ T j (at , N )≥k với t ∈ Z+ , t ∈ (Z+ )s j ≤ r Nếu dim(R/p) = k p thuộc vào tập (∗) theo Hệ 2.1.16 Nếu z dim(R/p) ≥ k + depth(Ip , Np ) = r Vì trường hợp ta có j = r, p ∈ T r (I, N ) Vì Extr (R/I, N ) ∼ = H r (R/I, N ) theo Bổ đề 2.1.9, nên R @ I gm ta thu từ Bổ đề 2.1.8 p ∈ Ass(N/(x1 , , xr )N )≥k+1 Vì Hệ co l 2.1.16 bao trùm Địnhl ý 1.2 [4] cho vành địa phương mà không cần giả thiết x1 , , xr đồng thời N -dãy từ chiều > k hoán vị an Lu 21 m dãy I -lọc quy hốn vị I n va ac th si 2.2 Tính ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết Cho R = ⊕n≥0 Rn đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh vành R0 = (R, m), lấy N = ⊕n≥0 Nn R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Để thuận lợi trình bày, ta dùng Ln để kí hiệu cho R−mơđun Nn R−mơđun M/J n M (với M R−môđun hữu hạn sinh J iđêan R) Lưu ý định lý M Brodmann năm 1979 tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết [2] (có thể xem [20, Theorem 3.1]) phát biểu Bổ đề 2.2.1 Tập AssR (Ln ) ổn định n đủ lớn lu Dựa vào kết này, [3, Theorem Proposition 12], M Brodmann an va chứng minh số nguyên depth(I, Nn ) lấy giá trị số n n đủ lớn Sau [9], N.T Cường-N.V Hồng-P.H Khánh chứng gh tn to minh tổng quát hóa kết thứ hai M Brodmann thành kết sau Bổ đề 2.2.2 ([9, Theorem 1.1]) Cho k ≥ −1 số nguyên Khi đại lượng ie p depthk (I, Nn ) trở thành số không phụ thuộc vào n n đủ lớn w nl Do có tính chất Bổ đề 2.2.2, ta đặt rk giá trị ổn d oa định depthk (I, Nn ) n đủ lớn Khi đó, [9], họ chứng minh S tập hợp j≤r1 AssR (HIj (Nn )) ∪ {m} tập hợp ổn định n đủ lớn an lu (trong r1 giá trị ổn định depth1 (I, Nn ) n đủ lớn) Sau đó, năm nf va 2014, Cường-Hoàng [8, Theorem 1.2] chứng minh kết tổng lm ul quát sau z at nh oi Định lý 2.2.3 (Định lý 2) Cho (R, m) vành địa phương Noether I iđêan R Lấy R = ⊕n≥0 Rn là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh R0 = R N = ⊕n≥0 Nn R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Với số nguyên z k ≥ −1, lấy r giá trị ổn định depthk (I, Nn ) Khi với số nguyên j j≤l AssR (HI (Nn ))≥k ổn định n đủ lớn l gm S @ l ≤ r ta ln có tập hợp Để chứng minh định lý ta cần thiết lập bổ đề sau m co Bổ đề 2.2.4 Cho số nguyên k ≥ −1 r giá trị ổn định depthk (I, Nn ) an Lu 22 n va ac th si n đủ lớn Giả sử ≤ r < ∞ Khi tồn dãy x1 , , xr iđêan I mà Nn -dãy từ chiều > k với n đủ lớn Chứng minh Lấy r ≥ giá trị ổn định depthk (I, Nn ) Theo Bổ đề 2.2.1 ta chọn x1 ∈ I cho x1 ∈ / p với p ∈ AssR (Nn )>k n lớn Khi depthk (I, Nn /x1 Nn ) = r − với n lớn Theo giả thiết quy nạp, tồn dãy x2 , , xn ∈ I Nn /x1 Nn -dãy từ chiều > k với n lớn Vì x1 , , xr dãy thỏa mãn yêu cầu bổ đề Chú ý 2.2.5 Ta cần nhắc lại rằng: dãy x1 , , xr N -dãy từ chiều > −1 N −dãy quy x1 , , xr N -dãy từ chiều > dãy lọc quy N (định nghĩa lu an N T Cường, N V Trung, P Schenzel [11]) Hơn nữa, x1 , , xr n va N -dãy từ chiều > dãy quy suy rộng tn to N (định nghĩa L.T Nhàn [22]) ie gh Chứng minh Định lý 2.2.3 Định lý suy tức khắc từ định p lý sau M = R w Định lý 2.2.6 (Cường-Hoàng [8, Theorem 4.4]) Cho (R, m) vành địa phương oa nl Noether, I iđêan R M R−môđun hữu hạn sinh Lấy R = ⊕n≥0 Rn d là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh R0 = (R, m) N = ⊕n≥0 Nn lu an R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Với số nguyên k ≥ −1, ta lấy r giá trị nf va ổn định depthk (IM , Nn ) n đủ lớn Khi với số nguyên l ≤ r, ta S thu tập hợp j≤l AssR (HIj (M, Nn ))≥k hữu hạn ổn định n đủ lớn lm ul ổn định n lớn z at nh oi Chứng minh Lấy r giá trị ổn định depthk (IM , Nn ) Ta cần chứng tỏ S với số nguyên l ≤ r tập hợp j≤l AssR (HIj (M, Nn ))≥k hữu hạn z Theo Bổ đề 2.2.1 2.2.2, ta tìm số nguyên t đủ lớn @ d = dim(Nt /IM Nt ) Ta xét ba trường hợp sau co l gm cho AssR (Nn /IM Nn ) ổn định r = depthk (IM , Nn ) với n ≥ t Đặt Trường hợp Nếu d < k , r = ∞ ta có điều mong muốn m an Lu 23 n va ac th si [ AssR (HIj (M, Nn ))≥k = ∅ j≤l với n ≥ t Trường hợp Nếu d = k , r = ∞ Từ với số nguyên dương n ≥ t ta có [ AssR (HIj (M, Nn ))≥d ⊆ SuppR (Nn /IM Nn )≥d = AssR (Nn /IM Nn )≥d , j≤l tập AssR (Nn /IM Nn )≥d chứa phần tử p cực tiểu mà dim(R/p) = d Do lu an X= [[ AssR (HIj (M, Nn ))≥d ⊆ n≥t j≤l [ AssR (Nn /IM Nn ), n≥t va n X tập hữu hạn theo Bổ đề 2.2.1 Như ta lấy t đủ lớn gh tn to cho với p ∈ X p∈ [ ie AssR (HIj (M, Nn ))≥d p j≤l w với vô hạn n ≥ t Bây với p ∈ X ta đặt s giá trị ổn định oa nl depth((IM )p , (Nn )p ), ta viết s = depth((IM )p , (Nn )p ) với d n ≥ n(p) (trong n(p) số nguyên thỏa mãn n(p) ≥ t) Suy an lu HIs (M, Nn )p 6= với n ≥ n(p) Hơn nữa, theo định nghĩa X , dẫn tới bất nf va đẳng thức s ≤ l Do p phần tử cực tiểu SuppR (HIs (M, Nn )), lm ul p ∈ AssR (HIs (M, Nn ))≥d ⊆ [ AssR (HIj (M, Nn ))≥d z at nh oi j≤l với n ≥ n(p) Từ ta thấy tập hợp [ j z AssR (HI (M, Nn ))≥d gm @ j≤l hữu hạn ổn định với n ≥ max{n(p) | p ∈ X} l m co Trường hợp Giả sử d > k Khi r < ∞ Nếu l = 0, ta có 24 an Lu AssR (HI0 (M, Nn ))≥k = AssR (Nn )≥k ∩ V (IM ) n va ac th si hữu hạn ổn định với n lớn theo Bổ đề 2.2.1 Giả sử ≤ l ≤ r Trong trường hợp này, theo Bổ đề 2.2.4, tồn dãy x1 , , xr iđêan IM mà Nn −dãy từ chiều > k với n ≥ u (trong u số nguyên thỏa mãn u ≥ t) Theo Định lý 2.1.10, ta nhận đẳng thức sau [ [ j AssR (Nn /(x1 , , xj )Nn )≥k ∩ V (IM ) AssR (HI (M, Nn ))≥k = j≤l j≤l với n ≥ u Khi ta thu theo Bổ đề 2.2.1 tập hợp vế bên phải hữu hạn ổn định n đủ lớn Và tập hợp sau [ j AssR (HI (M, Nn ))≥k j≤l lu an hữu hạn ổn định với n lớn, điều phải chứng minh va n Phần cịn lại mục ta xét hệ Định lý 2.2.6 Bằng cách tn to thay k = −1, 0, Định lý 2.2.6, ta nhận kết sau ie gh mở rộng kết [9, Theorem 1.2] cho môđun đối đồng điều địa p phương suy rộng nl w Hệ 2.2.7 Cho r, r0 r1 giá trị ổn định depth(IM , Nn ), d oa f-depth(IM , Nn ) gdepth(IM , Nn ), tương ứng Khi phát biểu sau an lu nf va
(i) Tập hợp AssR HIr (M, Nn ) hữu hạn ổn định với n lớn S (ii) Với số nguyên l0 ≤ r0 ta có tập hợp j≤l0 AssR (HIj (M, Nn )) hữu hạn z at nh oi lm ul ổn định với n lớn (iii) Với số nguyên l1 ≤ r1 ta có tập hợp S j≤l1 AssR (HIj (M, Nn )) ∪ {m} hữu hạn ổn định với n lớn z gm @ Chứng minh (i) Vì HIj (M, Nn ) = với j < r n lớn, [
j r l AssR (HI (M, Nn ))≥−1 = AssR HI (M, Nn ) j≤r m co an Lu 25 n va ac th si hữu hạn ổn định với n lớn (theo Định lý 2.2.6) (ii) Kết luận toán suy từ Định lý 2.2.6 đẳng thức [ [ j j AssR (HI (M, Nn ))≥0 = j≤l0 AssR (HI (M, Nn )) j≤l0 với l0 ≤ r0 n lớn (iii) Với l1 ≤ r1 ta có [ j AssR (HI (M, Nn ))≥1 ∪ {m} = j≤l1 [ AssR (HIj (M, Nn )) ∪ {m} j≤l1 với n lớn Do kết suy từ Định lý 2.2.6 lu an Chú ý I = ann(M ) HIj (M, Nn ) = ExtjR (M, Nn ) với j ≥ p va theo Bổ đề 2.1.9 Hơn nữa, trường hợp này, theo lập luận tương tự phần n chứng minh Hệ 2.1.14, ta có IM = √ IM = I Do Định lý 2.2.6 dẫn gh tn to đến hệ sau p ie Hệ 2.2.8 Cho k số nguyên với k ≥ −1 r giá trị ổn định S depthk (ann(M ), Nn ) Khi với l ≤ r tập hợp j≤l AssR (ExtjR (M, Nn ))≥k oa nl w ổn định với n lớn Với số nguyên j ≥ 0, iđêan I R, hệ a = (a1 , , as ) phần d nf va trước ta đặt an lu tử R, s số nguyên không âm t = (t1 , , ts ) ∈ Ns , mục lm ul T j (I t , Nn ) = AssR (ExtjR (R/I t , Nn )), T j (at , Nn ) = AssR (ExtjR (R/(at11 , , atss ), Nn )) z at nh oi Khi ta có hệ sau Hệ 2.2.9 Lấy k ≥ −1 số nguyên, I iđêan R r giá trị z @ ổn định depthk (I, Nn ) Lấy a1 , , as hệ phần tử sinh I hợp sau T j (I t , Nn )≥k j≤l an Lu 26 T j (at , Nn )≥k m j≤l [ co [ l gm lấy số nguyên l ≤ r Khi với số nguyên dương t, t1 , , ts , ta có tập n va ac th si ổn định với n lớn Hơn nữa, r < ∞ [ [ T j (I t , Nn )≥k = T j (at , Nn )≥k j≤l j≤l ổn định với n lớn Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.2, ta tìm số nguyên u đủ lớn cho r = depthk (I, Nn ) với n ≥ u Lấy t, t1 , , ts số nguyên dương Vì p √ √ I t = I = (at11 , , atss ), nên ta có √ r = depthk ( I, Nn ) = depthk (I t , Nn ) = depthk ((at11 , , atss ), Nn ) lu với n ≥ u Điều với Hệ 2.2.8 dẫn đến (bằng cách đặt M = R/I t S S M = R/(at11 , , atss )) tập j≤l T j (I t , Nn )≥k j≤l T j (at , Nn )≥k an n va tn to ổn định với n lớn Bây ta giả sử r < ∞ Khi đó, với n ≥ u, ta S S thu từ Hệ 2.1.16 j≤l T j (I t , Nn )≥k = j≤l T j (at , Nn )≥k với số nguyên dương t, t1 , , ts Như chúng ổn định với n lớn p ie gh Tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết môđun w 2.3 d oa nl đối đồng điều địa phương bậc d − an lu Trong mục ta giả thiết (R, m) vành Noether địa phương, I, J hai iđêan R M R−môđun hữu hạn sinh Lấy R = ⊕n≥0 Rn đại số phân nf va bậc chuẩn hữu hạn sinh R0 = (R, m) N = ⊕n≥0 Nn R−môđun phân lm ul bậc hữu hạn sinh Như mục trước để thuận tiện ta kí hiệu Ln để kí hiệu cho z at nh oi R−mơđun Nn R−môđun M/J n M Theo Bổ đề 2.2.1, ta thấy dim Ln lấy giá trị d n đủ lớn Ta gọi d giá trị ổn định dim Ln n đủ lớn Kết mục định lý sau N.V Hoàng - P.H z Khánh báo [14] @ l gm Định lý 2.3.1 (Định lý 3) Cho Ln giới thiệu Với số ngun S khơng âm l, ta có tập hợp j≥l SuppR (HIj (Ln )) ổn định n lớn Đặc biệt, m co ta suy tập AssR (HId−1 (Ln )) ∪ {m} ổn định với n đủ lớn, d giá trị ổn định dim Ln an Lu 27 n va ac th si Để chứng minh Định lý 2.3.1, ta cần số bổ đề sau Bổ đề 2.3.2 Cho M, N R−môđun hữu hạn sinh I iđêan R Nếu SuppR (M ) ⊆ SuppR (N ) với số nguyên khơng âm l ta có SuppR (HIl (M )) ⊆ [ SuppR (HIj (N )) j≥l Chứng minh Ta chứng minh quy nạp giảm dần theo l Bổ đề hiển nhiên l > dim M theo định lý triệt tiêu Grothendieck Giả sử l ≤ dim M bổ đề với l + Vì SuppR (M ) ⊆ SuppR (N ), nên ta nhận theo định lý Gruson [24, Theorem 4.1] tồn dãy lu = L0 ⊆ L1 ⊆ ⊆ Lt = M (**) an gồm mơđun M , thương Li /Li−1 ảnh đồng cấu va n tổng trực tiếp hữu hạn phiên N Với i = 1, , t, từ dãy khớp to gh tn → Li−1 → Li → Li /Li−1 → p ie ta có dãy khớp sau w HIl (Li−1 ) → HIl (Li ) → HIl (Li /Li−1 ) oa nl Do SuppR (HIl (Li )) ⊆ SuppR (HIl (Li−1 )) ∪ SuppR (HIl (Li /Li−1 )) Dẫn đến d SuppR (HIl (M )) ⊆ SuppR (HIl (Lt−1 )) ∪ SuppR (HIl (Lt /Lt−1 )) lu [ lm ul ⊆ nf va an ⊆ SuppR (HIl (Lt−2 )) ∪ SuppR (HIl (Lt−1 /Lt−2 )) ∪ SuppR (HIl (Lt /Lt−1 )) SuppR (HIl (Li /Li−1 )) 1≤i≤t z at nh oi Theo tính chất dãy (**), với i ∈ {1, , t} ta có dãy khớp ngắn → Ki → si M N → Li /Li−1 → z @ k=1 N ) → HIl (Li /Li−1 ) → HIl+1 (Ki ) 28 an Lu k=1 m co si M HIl ( l đó) Điều kéo theo dãy khớp sau gm (trong Ki R−mơđun hữu hạn sinh đó, si số nguyên dương n va ac th si Do si SuppR (HIl (Li /Li−1 )) ⊆ SuppR (HIl+1 (Ki )) ∪ SuppR (HIl ( ⊕ N )) k=1 = SuppR (HIl+1 (Ki )) ∪ SuppR (HIl (N )) Chú ý si SuppR (Ki ) ⊆ SuppR ( ⊕ N ) = SuppR (N ) k=1 Vì ta nhận theo giả thiết quy nạp [ SuppR (HIj (N )) SuppR (HIl+1 (Ki )) ⊆ j≥l+1 lu Do an SuppR (HIl (Li /Li−1 )) ⊆ [ SuppR (HIj (N )), n va j≥l SuppR (HIl (M )) ⊆ gh tn to [ SuppR (HIj (N )) j≥l ie p Điều kết thúc chứng minh bổ đề oa nl w Bổ đề 2.3.3 Lấy dim N = d Khi d SuppR (HId−1 (N )) ∪ {m} = AssR (HId−1 (N )) ∪ {m} lu nf va an Chứng minh Rõ ràng SuppR (HId−1 (N )) ∪ {m} ⊇ AssR (HId−1 (N )) ∪ {m} lm ul Theo [7, Lemma 2.6], ta suy tập hợp SuppR (HId−1 (N )) hữu hạn Do z at nh oi dim(R/p) ≤ với p ∈ Supp(HId−1 (N )) theo Ratliff [19, Theorem 31.2] Khi với p ∈ Supp(HId−1 (N )) ta nhận p phần tử cực tiểu z Supp(HId−1 (N )) p = m Từ dẫn đến @ l gm SuppR (HId−1 (N )) ⊆ AssR (HId−1 (N )) ∪ {m} Vì bổ đề chứng minh m co an Lu 29 n va ac th si Chứng minh Định lý 2.3.1 Theo Bổ đề 2.2.1, tồn số nguyên n0 cho SuppR (Ln ) = SuppR (Ln0 ) với n ≥ n0 Từ kết hợp với Bổ đề 2.3.2 dẫn đến [ [ j j SuppR (HI (Ln )) = j≥l SuppR (HI (Ln0 )) j≥l với n ≥ n0 Do yêu cầu thứ định lý chứng minh Đối với yêu cầu thứ hai, ta nhận từ Bổ đề 2.3.3 {m} ∪ AssR (HId−1 (Ln )) = {m} ∪ SuppR (HId−1 (Ln )) [ lu = {m} ∪ SuppR (HIj (Ln )) ,
an j≥d−1 va rõ ràng tập ổn định n lớn theo yêu cầu thứ Vậy định lý n Nhìn chung tập hợp AssR (HI1 (M/J n M )) không ổn định n đủ lớn (xem [10, ie gh tn to chứng minh p Theorem 3.3, (ii)]) Tuy nhiên, [10, Theorem 3.3, (i)], cách áp dụng w [9, Theorem 1.1], Cường-Khánh chứng minh tập AssR (HI1 (Nn )) d oa nl ổn định n lớn, Nn thành phần phân bậc thứ n R−môđun L phân bậc hữu hạn sinh N = n≥0 Nn lu an Phần cuối mục này, ta xét thêm số hệ Định lý 2.3.1 cho lm ul nghĩa nf va Nn Trước hết ta nhắc lại chiều đối đồng điều M I định cd(I, M ) = sup{i ∈ Z|HIi (M ) 6= 0} z at nh oi Ta dễ thấy cd(I, M ) ≤ dim M Trong [12, Theorem 1.4], T Dibaei S Yassemi chứng minh M N R−môđun hữu hạn sinh cho SuppR (M ) ⊆ SuppR (N ) cd(I, M ) ≤ cd(I, N ) Từ Bổ đề 2.2.1, ta z gm @ có bổ đề sau co l Bổ đề 2.3.4 cd(I, Nn ) lấy giá trị số n đủ lớn m Lấy d giá trị ổn định dim Nn Rõ ràng AssR (HIi (Nn )) ổn định 30 an Lu n lớn, với i = i > d Theo [10, Theorem 3.3], ta có AssR (HI1 (Nn )) n va ac th si ổn định n lớn Chú ý HId (Nn ) Artin Điều với Bổ đề 2.3.4 dẫn đến tập AssR (HId (Nn )) ổn định n lớn Hơn AssR (HId−1 (Nn )) ∪ {m} ổn định n lớn theo Định lý 2.3.1 Đặc biệt, trường hợp R vành có chiều nhỏ ta có kết sau Hệ 2.3.5 Nếu dim R ≤ tập AssR (HIi (Nn )) ổn định với n lớn i Hệ 2.3.6 Nếu dim R ≤ tập AssR (HIi (Nn )) ∪ {m} ổn định với n lớn i lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu 31 n va ac th si Kết luận Trong luận văn chúng tơi thu kết sau đây: ˆ Trình bày lại chi tiết chứng minh kết 1: Cho (R, m) vành lu Noether địa phương, I iđêan R N R−môđun hữu hạn sinh an va Lấy số nguyên k ≥ −1 r = depthk (I, N ) Nếu r < ∞ x1 , , xr n N −dãy từ chiều > k I , với số nguyên j ≤ r ta có tập hợp gh tn to AssR (HIj (N ))≥k hữu hạn Hơn nữa, ta có đẳng thức [ ie AssR (HIj (N ))≥k = p j≤l [ AssR (N/(x1 , , xj )N )≥k ∩ V (I) j≤l nl w với l ≤ r d oa ˆ Trình bày lại chi tiết chứng minh kết 2: Cho (R, m) vành địa lu phương Noether I iđêan R Lấy R = ⊕n≥0 Rn đại số phân nf va an bậc chuẩn hữu hạn sinh R0 = (R, m) N = ⊕n≥0 Nn R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Với số nguyên k ≥ −1, ta lấy r giá trị ổn z at nh oi lm ul định depthk (I, Nn ) Khi với số nguyên l ≤ r, ta có tập hợp S j j≤l AssR (HI (Nn ))≥k ổn định n đủ lớn ˆ Trình bày lại chi tiết chứng minh kết 3: Lấy Ln R−môđun Nn z R−môđun M/J n M Khi với số ngun khơng âm l, ta có tập S j j≥l SuppR (HI (Ln )) ổn định n lớn Đặc biệt, ta suy tập @ gm AssR (HId−1 (Ln )) ∪ {m} ổn định với n lớn (trong d giá trị ổn định m co l dim Ln ) an Lu 32 n va ac th si Tài liệu tham khảo [1] M H Bijan-Zadeh, A common generalization of local cohomology theories, Glasgow Math J., 21 (1980), 173-181 [2] M Brodmann, Asymptotic stability of AssR (M/I n M ), Proc Amer Math Soc., 74 (1979), 16-18 lu an [3] M Brodmann, The asymptotic nature of the analytic spread, Math Proc Camb Phil Soc., 86 (1979), 35-39 n va gh tn to [4] M Brodmann and L T Nhan, A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules, Comm Algebra, 36 (2008), 1527-1536 p ie [5] M Brodmann and R.Y Sharp, “Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications," Cambridge University Press, (1998) oa nl w [6] N T Cuong and N V Hoang, Some finite properties of generalized local cohomology modules, East-West J Math (2) (2005), 107-115 d [7] N T Cuong and N V Hoang, On the vanishing and the finiteness of supports of generalized local cohomology modules, Manuscripta Math., (1) 126 (2008), 59-72 nf va an lu z at nh oi lm ul [8] N T Cuong and N V Hoang, On the finiteness and stability of certain set of associated prime ideals of local cohomology modules, Communications in Algebra 42 (2014), 1757-1768 z [9] N T Cuong, N.V Hoang and P H Khanh, Asymptotic stability of certain sets of associated prime ideals of local cohomology modules, Comm Algebra, 38 (2010), 4416-4429 gm @ co l [10] N T Cuong and P H Khanh, Some asymptotic properties of graded module, Acta Math Vietnamica (2) 36 (2011), 183-192 m [11] N T Cuong, Schenzel P., N V Trung (1978), "Verallgemeinerte CohenMacaulay moduln", Math Nachr., 85, pp 57-73 an Lu 33 n va ac th si [12] M T Dibaei and S Yassemi, Cohomological Dimension of Complexes, Comm Algebra, 32 (2004), 4375-4386 [13] J Herzog, Komplexe, Aufloăsungen und Dualitaăt in der Lokalen Algebra, Habilitationsschrift, Universitaăt Regensburg, 1970 [14] N V Hoang and P H Khanh, On the asymptotic stability of certain sets of prime ideals, East-West J of Mathematics, Vol 14, No 1(2012) pp 20-27 [15] C Huneke, Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res Notes Math., (1992), 93-108 lu [16] M Katzman, An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J Algebra, 252 (2002), 161-166 an n va tn to [17] K Khashyarmanesh and Sh Salarian, On the associated primes of local cohomology modules, Comm Algebra, 27 (1999), 6191 - 6198 p ie gh [18] R Luă and Z Tang, The f-depth of an ideal on a module, Math Proc Camb Phil Soc., (7) 130 (2001), 1905-1912 oa nl w [19] H Matsumura, "Commutative ring theory", Cambridge Univ Press, Cambridge, 1986 d [20] L Melkersson, On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal, Math Proc Camb Phil Soc., 107 (1990), 267-271 nf va an lu z at nh oi lm ul [21] L Melkersson and P Schenzel, Asymptotic prime ideals related to derived functions, Proc Amer Math Soc., (4) 117 (1993), 935-938 [22] L T Nhan, On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules, Comm Algebra, 33 (2005), 793-806 z l gm @ [23] A Singh, p−torsion elements in local cohomology modules, Math Res Lett., (2000), 165-176 m co [24] W.V Vasconcelos, Divisor theory in module categories, in: North-Holland Mathematics Studies, Vol 14 (1974) an Lu 34 n va ac th si