Về hiệu suất hỗn hợp h∞ và thụ động cho mạng nơ ron phân thứ khalil có trễ

Gần đây, các tác giả trong [8]nghiên cứu tính ổn định mũ cho mạng nơ ron phân thứ Khalil có nhiễu bằngcách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phânthứ Khalil và

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————— o0o —————

NGUYỄN THU HÀ

MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ KHALIL CÓ TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 12/2023

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————— o0o —————

NGUYỄN THU HÀ

MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ KHALIL CÓ TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS MAI VIẾT THUẬN

TS NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

Thái Nguyên, 12/2023

Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU

Mạng nơ ron đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều bài toán trong kỹ thuật,chẳng hạn như trong các phương pháp tối ưu hóa [29], nhận dạng hệ thống [2],kiểm soát bề mặt động phễu thích ứng [14], kiểm soát hiệu suất theo thời gianhữu hạn [25] và phân loại dữ liệu [1] Vì vậy mạng nơ ron đã nhận được sự quantâm đáng kể từ nhiều nhà nghiên cứu Nhiều bài toán quan trọng về mạng nơron như bài toán ổn định Lyapunov [3], tính thụ động trong thời gian hữu hạn[25], tính tiêu hao [8], tính đạt được [21], bài toán đảm bảo chi phí điều khiển[15] và tính đồng bộ hóa [13] cho nhiều mô hình mạng nơ ron khác nhau đãđược nghiên cứu bởi nhiều nhà khoa học tới từ nhiều quốc gia trên thế giới.Mạng nơ ron phân thứ được giới thiệu và nghiên cứu đầu tiên bởi Boroomand

và Menhaj [4] Sau đó, mạng nơ ron phân thứ nhận được sự quan tâm nghiêncứu bởi nhiều nhà khoa học với nhiều kết quả sâu sắc được công bố [6, 22,

24, 27, 28, 30] Chú ý rằng các kết quả nêu trên nghiên cứu cho mạng nơ ronvới đạo hàm phân thứ Caputo hoặc Riemann-Liouville Tuy nhiên hai loại đạohàm này có một số điểm hạn chế chẳng hạn như nó không thỏa mãn tính chất

phân thứ Caputo hoặc Riemann-Liouville Ngoài ra, hai loại đạo hàm này khôngthỏa mãn công thức đạo hàm của hàm hợp Để khắc phục một số hạn chế này,

R Khalil cùng các cộng sự [11] đã đề xuất một loại đạo hàm và tích phân phânthứ mới mà ta gọi là đạo hàm và tích phân phân thứ Khalil Sau đó giải tích

phân thứ Khalil và những ứng dụng của nó đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà

ron phân thứ Khalil và nghiên cứu bài toán tồn tại duy nhất nghiệm và tính ổnđịnh mũ của mạng nơ ron phân thứ Khalil này Gần đây, các tác giả trong [8]nghiên cứu tính ổn định mũ cho mạng nơ ron phân thứ Khalil có nhiễu bằngcách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phânthứ Khalil và kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính Tính ổn định mũ củamạng nơ ron phân thứ Khalil với nhiễu dạng tổ hợp lồi được nghiên cứu trong[23]

Như chúng ta đã biết, hiệu suất của các hệ động lực thường được đặc trưngbởi mối quan hệ giữa các tham số đầu vào và đầu ra Để phân tích mối quan

lần đầu tiên được đề xuất trong [16] bao gồm tất cả các hiệu suất đề cập ở bêntrên bằng cách điều chỉnh ma trận trọng số một cách phù hợp Sử dụng định lýRazumikhin cho đạo hàm phân thứ Khalil kết hợp với kỹ thuật bất đẳng thức

cho mạng nơ ron phân thứ Khalil với nhiễu dạng không chắc chắn và có trễ.Bằng cách đọc hiểu và trình bày chi tiết kết quả bài báo [9], chúng tôi trình

trễ Luận văn dự kiến gồm có 2 chương gồm những nội dung sau:

Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứKhalil, một số bổ đề bổ trợ và định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phânphân thứ Khalil có trễ Tiếp theo, chúng tôi trình bày một điều kiện đủ chotính ổn định tiệm cận của mạng nơ ron phân thứ Khalil có trễ Một ví dụ sốkết hợp với mô phỏng số để minh họa cho kết quả lý thuyết được trình bày

ở cuối chương Nội dung chính của chương này được viết dựa trên các tài liệu[8, 9, 11, 12]

Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một tiêu chuẩn cho bài

Khalil có trễ Một ví dụ số kết hợp với mô phỏng cũng được trình bày ở phầncuối của chương để minh họa cho kết quả lý thuyết Nội dung viết trong chươngnày được tham khảo trong bài báo [9]

Luận văn này đã được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Mai Viết Thuận và TS.Nguyễn Thị Thanh Huyền Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tập thểhướng dẫn khoa học đã đặt vấn đề nghiên cứu, tận tình hướng dẫn, và chỉ bảotôi một cách chu đáo trong quá trình thực hiện đề tài luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, và tất cả các giảng viên

đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi có thể học tập vànghiên cứu

Ngoài ra, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt tới gia đình thân yêu vànhững người bạn đồng hành, những người đã chăm sóc và động viên tôi suốtthời gian nghiên cứu

Cuối cùng, tôi xin gửi lời chúc tốt đẹp nhất đến toàn thể quý thầy cô trườngĐại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, kính chúc mọi người dồi dào sứckhỏe và niềm tin để tiếp tục truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau, thực hiện

sứ mệnh cao quý của mình

vi phân phân thứ Khalil có trễ Mục 1.2 chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩncho tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ Khalil có trễ bằng cách sử dụngđịnh lý Razumikhin và kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính Một ví dụ

số cũng được trình bày để minh họa cho kết quả lý thuyết

1.1 Một số kiến thức cơ bản về tích phân và đạo hàm phân

thứ Khalil

của hàm f(t) được định nghĩa như sau

υ→0

Chứng minh Ta thấy tính chất (i) có thể suy ra dễ dàng từ định nghĩa của đạohàm phân thứ Khalil Ta đi chứng minh các tính chất còn lại Trước hết, ta đichứng minh (ii) Cố định t > 0, ta có

Nhận xét 1.1 Một hàm có thể α−khả vi tại một điểm nào đó nhưng không

t→0 +

T

1 3

Bổ đề 1.2 [20] Cho X là một ma trận đối xứng, xác định dương và y :

tồn tại trên [0, ∞) và

với ρ > 1 nào đó.

Khi đó hệ (1.1) ổn định tiệm cận

1.2 Tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ Khalil có trễ

Trong mục này, chúng tôi trình bày một điều kiện đủ cho tính ổn định tiệmcận của mạng nơ ron phân thứ Khalil có trễ Nội dung trình bày trong mục nàyđược tham khảo chính từ bài báo [9]

Xét mạng nơ ron phân thứ Khalil có trễ sau đây

(1.2)

Nhận xét 1.2 Mạng nơ ron phân thứ Khalil được giới thiệu và nghiên cứu

đẳng thức, các tác giả đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định mũ của mạng

nơ ron phân thứ Khalil Sau đó, các tác giả trong tài liệu [8] mở rộng kết quả

thỏa mãn giả thiết (A1) Chú ý rằng độ trễ chưa được xét đến trong [8, 12] Sựkhông chắc chắn và độ trễ thường xuyên xuất hiện trong các hệ thống trongthực tế Nó là nguyên nhân trực tiếp dẫn đến hiệu suất kém của hệ thống, thậmchí phá hủy sự ổn định của hệ thống Vì vậy, việc nghiên cứu mạng nơ ron phânthứ khi có tác động của độ trễ là cần thiết Hệ thống (1.2) là mô hình toán họcphổ biến để mô tả mạng nơ ron phân thứ có nhiễu và có trễ

Định nghĩa 1.3 Hệ (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nghiệm bất kỳ x(t)của hệ (1.2) thỏa mãn lim

Để trình bày điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của mạng nơ ron phânthứ (1.2), ta cần các giả thiết sau đây

Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của mạng

nơ ron phân thứ (1.2)

Định lý 1.3 Giả sử các giả thiết (A1) và (A2) đúng Hệ (1.2) ổn định tiệm

số ρ > 1 sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính dưới đây thỏa mãn

Với s = −τ , bất đẳng thức bên trên trở thành ρV(t, x(t)) − V(t − τ, x(t − τ )) ≥ 0.

Từ đó, ta thu được đánh giá dưới đây

trong đó

i,

+ 3GTaGa+ 4LT1L1,

Áp dụng Bổ đề Schur, ta thấy điều kiện Ω < 0 tương đương với điều kiện

được chứng minh trọn vẹn

Nhận xét 1.3 Trong các công trình [8, 12], các tác giả đưa ra một số tiêuchuẩn cho tính ổn định mũ của mạng nơ ron phân thứ không có trễ Định lý1.3 đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của mạng nơ ron phânthứ có trễ hằng số Khi cố định số ρ > 1, điều kiện (1.3) trong Định lý 1.3 trởthành bất đẳng thức ma trận tuyến tính Như ta đã biết, bất đẳng thức matrận tuyến tính có thể giải hiệu quả bằng hộp công cụ LMI Control Tooboxtrong MATLAB Vì vậy, các điều kiện được đưa ra trong Định lý 1.3 là khả thi

và hiệu quả

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một ví dụ số minh họa cho kết quả lý thuyếttrong Định lý 1.3

Các hàm kích hoạt được chọn như sau

Khalil (1.12) chứa độ trễ nên các phương pháp sử dụng trong các tài liệu [8, 12]không áp dụng được để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận cho mạng nơ ron phânthứ (1.12) Cho trước ρ = 1.02 Sử dụng hộp công cụ LMI Control toolbox trong

Định lý 1.3, hệ (1.12) ổn định tiệm cận.

của hệ (1.12) với các giá trị khác nhau của α như α = 0.3, α = 0.5, và α = 0.9

Rõ ràng từ các hình này, ta thấy hệ ổn định tiệm cận theo như kết quả lý thuyếtđược chứng minh trong Định lý 1.3

2.1 Phát biểu bài toán và một số định nghĩa

Xét mạng nơ ron phân thứ Khalil có trễ dưới đây

là các ma trận thực, hằng số cho trước có số chiều thích hợp sao cho các phép

đầu

Các ma trận ∆A(t), ∆M(t), ∆D(t) thỏa mãn Giả thiết (A1) Ngoài ra, ma trận

mãn Giả thiết (A2)

Định nghĩa 2.1 Hệ (2.1) được gọi là ổn định tiệm cận với hiệu suất hỗn hợp

(i) Hệ (2.1) khi không có tác động của véc tơ nhiễu đầu vào và véc tơ đầu ra,tức là hệ dưới đây:

(2.2)

ổn định tiệm cận

(ii) Với điều kiện ban đầu bằng không, tức là ψ(t) ≡ 0, tồn tại các số dương

γ > 0, θ ∈ [0, 1] sao cho bất đẳng thức (2.3) dưới đây thỏa mãn

2.2 Một tiêu chuẩn cho hiệu suất hỗn hợp H∞ và thụ động của

mạng nơ ron phân thứ Khalil có trễ

Mục này, chúng tôi trình bày một điều kiện đủ đảm bảo mạng nơ ron phân

Định lý 2.1 Cho số θ ∈ [0, 1] Giả sử các Giả thiết (A1) và (A2) thỏa mãn

Chứng minh Vì điều kiện (1.3) suy ra (1.5), nên tính ổn định tiệm cận của

hệ (2.1) khi ω(t) ≡ 0, y(t) ≡ 0 được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.3 Xét hàmLyapunov tương tự như trong chứng minh Định lý 1.3 Từ điều kiện ban đầu

Nhận xét 2.1 Khác với các công trình đã công bố về bài toán nghiên cứu

hoặc hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo [10, 17, 18], Định lý 2.1 đưa ra

phân thứ Khalil có trễ

Chúng tôi trình bày ví dụ minh họa cho kết quả lý thuyết trong Định lý 2.1

Ví dụ 2.1 Xét mạng nơ ron phân thứ Khalil với cấu trúc hub

mạng nơ ron, ω(t) ∈ R là véc tơ nhiễu đầu vào, y(t) ∈ R là véc tơ đầu ra, vàcác tham số

Các hàm kích hoạt được chọn như sau

Dễ kiểm tra được các hàm kích hoạt f (.) và g(.) thỏa mãn Giả thiết (A2) với

hộp công cụ LMI Control Toobox trong MATLAB, các điều kiện trong Định

Hình 2.2: Mô phỏng quỹ đạo của các véc tơ trạng thái của hệ (2.17) vớiω(t) = 3 sin t

ω(t) = 3 sin t, và α = 0.9 Hình 2.1 mô tả quỹ đạo của các véc tơ trạng thái

thái của hệ (2.17) với ω(t) = 3 sin t Để kiểm tra điều kiện (ii) trong Định nghĩa

29Kết luận

Luận văn đã đạt được những kết quả sau:

• Trình bày lại một số khái niệm cơ bản về giải tích phân thứ Khalil baogồm đạo hàm và tích phân phân thứ Khalil;

• Trình bày định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứKhalil có trễ;

• Trình bày một tiêu chuẩn cho tính ổn định tiệm cận của mạng nơ ron phânthứ Khalil có trễ;

• Trình bày một điều kiện đủ đảm bảo mạng nơ ron phân thứ Khalil có trễ

• Trình bày 02 ví dụ số minh họa cho các kết quả lý thuyết

Tài liệu tham khảo

[1] F Abid, L Hamami (2018), “A survey of neural network based automatedsystems for human chromosome classification”, Artif Intell Rev 49(1), pp.41–56

[2] C.Z Aguilar, J.F Gómez-Aguilar, V.M Alvarado-Martínez, H.M Ugalde (2020), “Fractional order neural networks for system identification”,Chaos Solitons Fractals, 130, p 109444

Romero-[3] P Balasubramaniam, S Lakshmanan (2011), “LMI conditions for robuststability analysis of stochastic Hopfield neural networks with interval time-varying delays and linear fractional uncertainties”, Circuits Syst SignalProcess., 30(5), pp 1011–1028

[4] A Boroomand, M.B Menhaj (2009), “Fractional-order Hopfield neural works”, in Advances in Neuroinformation Processing ICONIP 2008 LectureNotes in Computer Science 5506, pp 883–890

control for singular systems with time delay via static output feedback”,Applied Mathematics and Computation, 293, pp 244–253

[8] N.T.T Huyen, N.H Sau, M.V Thuan (2022), “LMI conditions for tional exponential stability and passivity analysis of uncertain Hopfieldconformable fractional-order neural networks”, Neural Process Lett., 54(2),

frac-pp 1333–1350

[9] N.T.T Huyen, N.T Thanh, N.H Sau, T.N Binh, M.V Thuan (2023),

fractional-order neural networks”, Circuits, Systems, and Signal Processing, Doi:10.1007/s00034-023-02358-7

fractional-order nonlinear systems via LMI approach”, Acta ApplicandaeMathematicae, 170(1), pp 37–52

[11] R Khalil, M Al Horani, A Yousef, M Sababheh (2014), “A new definition

of fractional derivative”, J Comput Appl Math 264, pp 65–70

neural networks with conformable fractional derivative”, Neurocomputing,

456, pp 263–267

[13] F Li, S Song, J Zhao, S Xu, Z Zhang (2019), “Synchronization control forMarkov jump neural networks subject to HMM observation and partiallyknown detection probabilities”, Appl Math Comput 360, pp 1–13.[14] X Liu, D Tong, Q Chen, W Zhou, S Shen (2022), “Observer-based adap-tive funnel dynamic surface control for nonlinear systems with unknowncontrol coefficients and hysteresis input”, Neural Process Lett., 54, 4681–4710

[15] X Li, K She, K Shi, J Cheng, Y Yu, Z Peng (2022), “On event-triggeredguaranteed cost control for discretetime semi-Markovian neural networkshaving communication delays and dual-terminal probabilistic faults”, Int

J Robust Nonlinear Control., 32(16), pp 8804–8841

[16] K Mathiyalagan, J.H Park, R Sakthivel, S.M Anthoni (2014), “Robust

impulses”, Signal Process, 101, pp 162–173

[17] N Padmaja, P.G Balasubramaniam (2022), “Stability with mixed

Markovian jumping neural networks”, International Journal of NonlinearSciences and Numerical Simulation, Doi: 10.1515/ijnsns-2021-0447

sta-bility analysis of fractional-order gene regulatory networks with variabledelays”, Mathematics and Computers in Simulation, 192, pp 167–181

passive control for singular Markovian jump systems with time delays”,Journal of the Franklin Institute, 352(10), pp 4446–4466

[20] A Souahi, A.B Makhlouf, M.A Hammami (2017), “Stability analysis ofconformable fractional-order nonlinear systems”, Indagationes Mathemati-cae, 28(6), pp 1265–1274

[21] G Tan, Z Wang (2022), “Reachable set estimation of delayed Markovianjump neural networks based on an improved reciprocally convex inequality”,IEEE Trans Neural Netw Learn Syst., 33(6), pp 2737–2742

[22] M.V Thuan, T.N Binh, D.C Huong (2020), “Finite-time guaranteed costcontrol of Caputo fractional-order neural networks”, Asian Journal of Con-trol, 22(2), pp 696–705

[23] M.V Thuan, N.T Binh (2022), “Exponential stability of Hopfield formable fractional-order polytopic neural networks” , TNU Journal of Sci-ence and Technology, 227(7), pp 49–55

of uncertain fractional-order neural networks”, Computational and AppliedMathematics, 39(2), p 59

[25] D Tong, X Liu, Q Chen, W Zhou, K Liao (2022), “Observer-based tive finite-time prescribed performance NN control for nonstrict-feedbacknonlinear systems”, Neural Comput Appl 34, pp 12789–12805

sliding mode control for Semi-Markovian jump system with time-varyingdelay”, Computational and Applied Mathematics, 40(8), pp 1–25

[27] X Yang, Q Song, Y Liu, Z Zhao (2015), “Finite-time stability analysis

of fractional-order neural networks with delay”, Neurocomputing, 152, pp.19–26