Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình vi phântuyến tính phân thứ Atangana-Baleanu-Caputo.. 10Chương 2 Tính thụ động trong thời gian hữu hạn của hệ phươngtrình vi phân
Tính thụ động trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình vi phân phân thứ Atangana-Baleanu-Caputo 16 2.1 Phát biểu bài toán và một số định nghĩa
Tính thụ động trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình vi phân phân thứ Atangana-Baleanu-Caputo
trình vi phân phân thứ Atangana-Baleanu-Caputo
Trước hết, chúng tôi trình bày một điều kiện đủ cho tính bị chặn trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình vi phân phân thứ Atangana-Baleanu-Caputo khi không có tác động của véc tơ quan sát Tiếp theo, chúng tôi trình bày tiêu chuẩn cho tính thụ động trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình vi phân phân thứ Atangana-Baleanu-Caputo Nội dung trình bày trong mục này được viết dựa trên bài báo của N.H Sáu cùng các cộng sự [18].
Khi không có tác động của véc tơ quan sát, hệ (2.1) trở thành.
(2.2) Định lý 2.1 Giả sử các Giả thiết 2.1 và 2.2 thỏa mãn Cho trước các số dương
Tf, r1, r2(r1 < r2), ω và một ma trận đối xứng xác định dương S Hệ (2.2)bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (r 1 , r 2 , S, T f , ω) nếu tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương Q, các hằng số dương ν 1 , ν 2 , ν, thỏa mãn các điều kiện dưới đây
B(α)Γ(α+ 1)T f α ≤s 1 r 2 , (2.3b) ở đó Q = S − 1 2 QS − 1 2 , s 1 = λ min (Q), s 2 = λ max (Q),Ξ 11 =QA+A T Q+ν 1 H a T H a + νG T x G x ,Ξ 33 = −I +ν 2 H w T H w +νG T w G w
Chứng minh Xét hàm Lyapunov sau đây cho hệ (2.2):
V(t) =V(x(t)) =x T (t)Qx(t). Áp dụng Bổ đề 1.4, ta ước lượng được đạo hàm ABC cấp α của hàm V(t) như sau:
QA+A T Q x(t) + 2x T (t)QE a F a (t)H a x(t) + 2x T (t)QW ω(t) + 2x T (t)QEwFw(t)Hwω(t) + 2x T (t)Qf(t, x(t), ω(t)).
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ma trận, ta thu được các ước lượng dưới đây
Từ Giả thiết 2.1, với số dương ν, ta có νx T (t)G T x G x x(t) +νω T (t)G T w G w ω(t)−νf T (t, x(t), ω(t))f(t, x(t), ω(t)) ≥0.
Từ các điều kiện (2.4)–(2.7), ta thu được
, Ψ 11 =QA+A T Q+ν 1 −1 QE a E a T Q+ν 1 H a T H a +ν 2 −1 QE w E w T Q+νG T x G x , Ψ 33 =−I +ν 2 H w T H w +νG T w G w Áp dụng Bổ đề Schur, ta thấy điều kiệnΨ