Hiện tượng bùng nổ nghiệm trong thời gian hữu hạn cho phương trình truyền nhiệt phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM VÀ ĐÀO TẠO KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẶNG MINH HIẾU Đặng Minh Hiếu TỐN ỨNG DỤNG HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NGHIỆM TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NĂM 2022 Hà Nội - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Đặng Minh Hiếu HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NGHIỆM TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT PHI TUYẾN Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Dương Giao Kỵ PGS TS Hoàng Thế Tuấn Hà Nội - 2022 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi, trau dồi kiến thức thân hướng dẫn tận tình thầy Dương Giao Kỵ thầy Hoàng Thế Tuấn Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa cơng bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 10 năm 2022 Học viên Đặng Minh Hiếu ii LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Dương Giao Kỵ, người thầy định hướng giúp đỡ tơi tìm đề tài luận văn định hình hướng nghiên cứu Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thời gian dài thầy Mặc dù tơi thầy gặp khó khăn mặt địa lý, thầy quan tâm, cố gắng để giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Hoàng Thế Tuấn, người thầy đồng hướng dẫn tơi, thầy góp ý giúp đỡ nhiều lúc gặp khó khăn học tập Viện Tốn học, q trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Quỹ Đổi sáng tạo VinIF hỗ trợ tài giúp tơi hồn thành hai năm học thạc sỹ Bên cạnh đó, trình học tập, nghiên cứu thực luận văn, tơi cịn nhận nhiều quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu thầy cô, anh chị bạn bè ngồi Viện Tốn học Tơi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi môi trường học tập nơi đào tạo Viện Toán học sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam suốt trình thực luận văn Tơi xin tỏ lịng biết ơn vơ hạn tới mẹ tôi: bà Phạm Thị Cẩm, mẹ kiên nhẫn thương yêu vô điều kiện Cuối xin gửi luận văn đến hai bác: bà Phạm Thị Thơi ông Phạm Văn Khiêm, người mà coi bố mẹ thứ hai Con xin cảm ơn bố mẹ yêu thương che chở cho suốt chặng đường qua iii Danh sách ký hiệu Ký hiệu Tên gọi R tập hợp số thực ∥·∥ chuẩn vectơ ma trận ∥ · ∥L2ρ chuẩn không gian Lρ C([a, b]) không gian hàm liên tục [a, b] Cc∞(Ω) không gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω L∞ khơng gian hàm khả tích bậc vơ hạn ∆ tốn tử Laplace O(.) vơ bé bậc o(.) vô bé bậc lớn iv Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh sách ký hiệu iii Mục lục v Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa thức Hermite 1.2 Nửa nhóm cho toán tử Laplace 1.3 Nửa nhóm cho tốn tử Fokker-Planck PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT VỚI HỆ SỐ PHI TUYẾN HẰNG 2.1 Giới thiệu vấn đề 2.2 Lập luận hình thức 10 2.3 Xây dựng toán 14 2.4 Xây dựng tập co 15 2.5 Một vài ước lượng khai triển 15 2.6 Sự rút gọn đến toán hữu hạn chiều 24 2.7 Chứng minh Định lý 2.1 36 PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT VỚI HỆ SỐ PHI TUYẾN KHƠNG HẰNG 38 3.1 Giới thiệu vấn đề 38 3.2 Lập luận hình thức 39 3.3 Xây dựng toán 43 v 3.4 Xây dựng tập co 43 3.5 Xây dựng hàm giá trị ban đầu 44 3.6 Chứng minh Định lý 3.1 46 3.7 Sự rút gọn đến toán hữu hạn chiều 47 Kết luận 52 Lời mở đầu Tổng quan tình hình nghiên cứu cần thiết tiến hành nghiên cứu: Tình hình nghiên cứu giới Việt Nam: Về hướng nghiên cứu này, có TS Dương Giao Kỵ, Đại học An Giang - ĐHQG TP Hồ Chí Minh mở rộng phát triển phương pháp [1] đến mơ hình tổng quát có nhiều ứng dụng vật lý, sinh học kỹ thuật, xem [2] Gần với lĩnh vực này, có nhóm nghiên cứu TS Phan Quốc Hưng Đại học Duy Tân việc thiết lập ước lượng tỷ lệ bùng nổ cho phương trình truyền nhiệt định lý kiểu Liouville cho nghiệm bùng nổ, xem [3]; nhóm PGS TS Lê Xuân Trường Đại học Kinh tế TP Hồ Chí Minh nghiên cứu tồn nghiệm bùng nổ cho lớp phương trìnnh tiến hóa dạng p-Laplacian, xem [4] Trên giới, nhóm nghiên cứu Giáo sư Hatem Zaag, Đại học Sorbonne Paris Nord chuyên gia hàng đầu lĩnh vực xây dựng nghiệm kỳ dị cho phương trình truyền nhiệt truyền sóng với cơng trình [1],[5] nhóm nghiên cứu TS Tej-Eddine Ghoul TS Nguyễn Văn Tiên ĐH New York Abu Dhabi với công trình [6],[7], TS Nejla Nouaili với cơng trình [8],[9] Hướng nghiên cứu nhận quan tâm cộng đồng toán học 20 năm qua ngày mở rộng đến nhiều mơ hình gần với thực tế hơn, từ thể tính mạnh mẽ phương pháp Do đó, chúng tơi chọn để nghiên cứu phương pháp phát triển đến mơ hình tổng qt gần với thực tế Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Bài tốn xây dựng nghiệm bùng nổ cho phương trình truyền nhiệt, phổ tốn tử tuyến tính, lý thuyết bậc tô-pô Nội dung nghiên cứu: Trong luận văn chúng tơi xét tốn ut = ∆u + f (x)|u|p−1u, (x, t) ∈ R × (0, T ), (0.1) u(0) = u0 (0) ∈ L∞ (R) , xét p > 1, f : R → R khả vi bị chặn Khi đó, mơ hình từ [1], tương ứng với f ≡ Với giả thiết f khả vi bị chặn, f (0) = a > 0, mong muốn mở rộng phương pháp [1] để xây dựng nghiệm bùng nổ cho (0.1), với giả thiết tổng quát Cấu trúc dự kiến kết đạt luận văn: Ngoài phần Danh sách ký hiệu, Lời mở đầu, Lời cảm ơn, Lời cam đoan, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành ba chương • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Phương trình truyền nhiệt với hệ số phi tuyến • Chương 3: Phương trình truyền nhiệt với hệ số phi tuyến không CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương giới thiệu số kiến thức để phục vụ cho chứng minh chương sau 1.1 Đa thfíc Hermite Chúng ta xét khơng gian L2ρ(R) định nghĩa sau: L2 (R) = f ∈ ρ ∫ L2 f (y) ρ (y) dy < ∞ (R) : , (1.1) loc R với hàm trọng ρ ρ (y) = e− |y|2 (4π) (1.2) Chúng ta xét đa thức Hermite định nghĩa sau: hm(y) = [m ] Σ n=0 m! (−1)nym−2n, n!(m − 2n)! y ∈ R (1.3) Dễ thấy h0 = 1, h1 = y ,h2 = y2 − 2, h3 = y3 − 6y Đặc biệt, có đẳng thức sau: ∫ hn(x)hm(x)ρ(x)dx = 2nn!δnm, R với m.n ∈ N, 42 với hàm χ0 giới thiệu Định nghĩa 1.1 Đặt w ˜ (y, s) = χ1 (y, s) w (y, s) , (3.13) P1 (t) ta có w ˜ (y, s) = w(y, s) với s ≥ Từ phương trình (3.11) có w ˜ p−1 ∂w ˜ = ∆w ˜ − y · ∇w ˜+ + |w ˜| w ˜ + g˜ (y, s, w) , s p−1 (3.14) g˜ (y, s, w) = (∂s χ1 ) w − (∆χ1 ) w − (∇ χ1 ) (∇ w) p−1 ˜|p−1 w ˜ + f˜(y, s)|w|p−1 w + y · (∇χ1 ) w + χ1 |w| w − |w (3.15) Từ định nghĩa χ1, thấy |g˜| ≲ e−ϵs với ϵ > đủ nhỏ P1(t) Do g˜ nhiễu nhỏ không đáng kể (3.14) Khi đó, dựa vào mục 2.2 có w ˜(y, s) ≈ φ0 (z) + κ 2ps s → ∞, (3.16) với y x , q z= √ = s (T − t) ln (T − t) φ0(y, s) = (p − 1)2 |y| · p−1+ 4p s !−p−1 (ii) Dáng điệu nghiệm P2(t) Chúng ta định nghĩa t(x0) r K T − t (x0) ln T − t (x0) |x0| = , 43 với t (x0) → T x0 → t(x0) < T Chúng ta đặt U (x0 , ξ, τ ) = T − t (x0 ) p−1 u ˜ (x, t) , (3.17) √ x = x0 + ξ T − t (x0), ξ∈R t = t (x0) + τ T − t (x0) , h τ∈ − t(x0) T −t(x0) ,1 Từ phương trình (3.1), U (x0, ξ, τ ) thỏa mãn phương trình sau: ∂τ U = ∆ξU + |U | p−1 U + fˆ(x0, ξ) |U | p−1 U, với fˆ(x0, ξ) = a−1 f (3.18) ! q x0 + ξ T − t (x0) − a Chúng ta định nghĩa Uˆ (τ ) = (p − 1) (1 − τ ) + bK2 − p−1 , (3.19) dựa vào [16], có ˆ U (x0 , ξ, τ )∼ U (τ ) , với τ = t − t(x0) T − t(x0) r |ξ| ≤ α0 ln T − t (x0 ) (3.20) (iii) Đánh giá tiệm cận miền P3(t) Trên miền dựa vào tính quy parabolic điều khiển nghiệm nhiễu nhỏ giá trị ban đầu sau: u (x, t) − u0(x) ≤ η với η > đủ nhỏ, với x ∈ P3(t) (3.21) 44 3.3 Xây dựng toán Chúng ta dựa kết hình thức (3.16) để định nghĩa κ φ (y, s) = φ0 (y, s) + 2ps (3.22) Sau xét tốn tuyến tính hóa w ˜ (y, s) = φ (y, s) + q (y, s) , (3.23) với q(y, s) thỏa mãn ∂s q = (L + V) q + B(q) + R(y, s) + g˜ (y, s, φ + q) , (3.24) với L, V, B(q), R(y, s) định nghĩa (2.8), (2.19), (2.20), (2.21), g˜ định nghĩa (3.15) 3.4 Xây dựng tập co Định nghĩa 3.2 Xét T, K, ϵ0, α0, A, δ0, C0, η0 số dương, t ∈ [0, T ) với T > Chúng ta định nghĩa S (T, K, α0, A, δ0, C0, η0, t) (viết tắt S(t)), tập C (R) ∩ C (R), chứa tất hàm u thỏa mãn điều kiện sau: (i) Ước lượng P1(t): Ta có q(s) ∈ VA(s), q(s) giới thiệu (2.18), với s = − ln (T − t) VA(s) tập hàm q ∈ L∞, thỏa mãn ước lượng sau: qi(s) ≤ As−2, i = 0, 1, −2 q (s) A (ln s) s ,2 q≤−(y, s) ≤ A + |y|3 s−2, q e (s) ≤ A2s− 45 q (ii) Ước lượng P2(t): Với |x| ∈ (T − t) ln (T − t)., ε0 , q t−t(x) τ (x, t) = |ξ| ≤ α0 ln ϱ (x)., với ϱ (x) = T − t(x), ta có K T −t(x) U x, ξ, τ (x, t) − Uˆ x, τ (x, t) ≤ δ0 , (3.25) U Uˆ định nghĩa trong (3.17),(3.19) (iii) Ước lượng P3(t): Với x ∈ P3(t), có u(x, t) − u(x, 0) ≤ η0 với η0 > đủ nhỏ Nhận xét 3.3 Như Chương 2, để có kết luận Định lý 3.1, việc điều khiển nghiệm u cho u(t) ∈ S(t), 3.5 ∀t ∈ [0, T ) Xây dựng hàm giá trị ban đầu Trong phần hướng đến xây dựng hàm giá trị ban đầu u0 ∈ S(0) cho phương trình (3.1) Chúng ta xét χ1, χ0 định nghĩa (3.12) Tiếp theo giới thiệu H ∗ " b #− |x| ln |x| p−1 , H ∗ (x) = 0, |x| ≤ 4p |x| ≥ 1, = (p−1)2 , (3.26) thấy H∗(x) ∈ C∞ R\ {0} b0 Lấy (d0, d1) ∈ R2, định nghĩa hàm giá trị ban đầu sau: ud0,d1 (0) =T √ , − ln s0 ! T p−1 φ — x 46 z + (d0 + d1 z) χ0 K χ1( · | | ! x) +H∗(x) − χ1(x) , (3.27) 47 z = √ x T |ln T | , s0 = − ln T , φ, χ0, χ1, H ∗ định nghĩa (3.22), (3.12), (3.26) Đặt • u ˜d0 ,d1 (0) = a p−1 u (x, t) χ1 (x, 0)ud0 ,d1 (0) x • qd0,d1 (y0, s0) = w(y0, s0) − φ(y0, s0), y0 = √ T Mệnh đề 3.4 Tồn số K1 > cho ∀K ≥ K1 δ1 > 0, tìm C1(K) > α1(K, δ1) > để ∀α0 ∈ (0, α1], tồn ϵ1(K, δ1, α0) > cho ∀ϵ0 ∈ (0, ϵ1] A ≥ 1, có T1(K, δ2, ϵ0, A, C1) > đủ nhỏ, để ∀T ≤ T1, s0 = |ln T | hàm giá trị ban đầu ud0,d1 (0) định nghĩa (3.27), ta có khẳng định sau: (I) Với |d0| , |d1| ≤ 2, hàm giá trị ban đầu ud0,d1 (0) thỏa mãn ước lượng sau: (i) Các ước lượng P1(0): có qd0,d1 (s0) ∈ VA(s0) A A ln s0 q0 (s0 ) (s (s , q ) , q ) 0 ≤ 20 , 2 0 ≤ ≤ s s s q− (y, s0) ≤ |y| + qe ≡ 0, ∀y ∈ R s0 h √ i 4K0 (ii) Các ước lượng P2(0): với |x| ∈ T | ln T |, ϵ0 , t(x) √ τ0(x) = − ϱ(x) |ξ| ≤ α0 | ln ϱ(x)|, có U x, ξ, τ0 (x) − Uˆ τ0 (x) ≤ δ2 , ϱ(x) = T − t(x) (II) Tồn tập Ds 0⊂ [−2, 2]2 cho xác định ánh xạ sau: Γ:R×R→R×R (d0, d1) ›→ (q0, q1) (s0) , ˆA (s0 ), V ˆA (s) đó, Γ tuyến tính, song ánh từ DA tới V định nghĩa A A ˆ VA (s) = − , s2 s2 48 Hơn nữa, có Γ|∂DA ⊂ ∂VˆA (s0 ) deg Γ|∂DA Chứng minh Hoàn toàn tương tự Mệnh đề 3.1 [16] 3.6 Chfíng minh Định lý 3.1 Trong phần đưa chứng minh cho Định lý 3.1 Trước tiên đưa mệnh đề sau: Mệnh đề 3.5 (Sự tồn nghiệm thuộc S(t)) Tồn tham số dương T, K, ϵ0, α0, A, δ0, C0, η0, cặp (d0, d1) ∈ R2 cho phương trình (3.8) với hàm giá trị ban đầu ud0,d1 (0), có nghiệm [0, T ) u(t) ∈ S(t), với t ∈ [0, T ), với S(t) định nghĩa Định nghĩa 3.2 Chứng minh Tương tự chứng minh cho Mệnh đề 2.15 Kết Mệnh đề 3.5 suy từ Mệnh đề 3.6 Mục 3.7 Bây sử dụng kết Mệnh đề 3.8 để chứng minh cho Định lý 3.1 Chfíng minh Định lý 3.1 Từ Mệnh đề 3.5, tồn tham số dương T, K, ϵ0, α0, A, δ0, C0, η0 cho tồn hàm giá trị ban đầu ud0,d1 (0) để u(t) ∈ S(t), ∀t ∈ [0, T ) Sử dụng mục (i) Định nghĩa 3.2, định nghĩa χ1 (3.12) suy p−1 (T − t) u(x, t) − a − |x| p−1 φ0 CA ≤ q ., q(T − t) ln (T − t) ln (T − t) (3.28) 49 với |x| ≤ K√ T − t ln (T − t) |x| ≥ K√ T − t ln (T − t) , Ngược lại sử dụng mục (i) (ii) Định nghĩa 3.2, (T − t)p−1 u (·, t) .≲ q , ln (T − t) (3.29) φ0 |x| q (T − t) ln(T − t) ≲q ln(T − t) (3.30) Do có |x| (T − t)p−1 u (x, t) − φ0 q C ≤ q ln(T − t) (T − t) ln(T − t) (3.31) Cuối suy kết luận (3.3) Từ (3.3) thấy u (0, t) ∼ κ f (0) −p−11 (T − t)− p−1 t → T, (3.32) nghiệm bùng nổ gốc tọa độ Về tính điểm bùng nổ hệ trực tiếp từ định nghĩa S(t) Định nghĩa 3.2 Cuối chứng minh hoàn toàn Định lý 3.1 3.7 Sự rút gọn đến toán hữu hạn chiều Rút gọn thành toán hữu hạn chiều: bước suy điều khiển u(t) ∈ S(t) với t ∈ [0, T ) rút gọn thành điều 50 khiển hàm biến đổi q(s) cho hai thành phần (q0, q1) (s) nằm tập VˆA (s), s = − ln (T − t) Chính xác xem mệnh đề sau: Mệnh đề 3.6 Tồn số T > 0, K > 0, ϵ0 > 0, α0 > 0, A > 0, δ0 > 0, C0 > η0 > cho: Nếu u nghiệm phương trình (3.1) khoảng [0, t1], với t1 ∈ (0, T ), ứng với hàm giá trị ban đầu ud0,d1 định nghĩa (3.27), (d0, d1) ∈ Ds0 với Ds0 xác định Mệnh đề 3.4 Chúng ta giả sử u ∈ S(t) với ∀t ∈ [0, t1] u ∈ ∂S (t1) (xem định nghĩa S(t) = S (T, K, ϵ0, α0, A, δ0, C0, η0, t) Định nghĩa 3.2 tập Ds0 cho Mệnh đề 3.4) Thì mệnh đề sau đúng: (i) Chúng ta có (q0 , q1 ) (s1 ) ∈ ∂VˆA (s1 ), (q0 , q1 ) (s) thành phần q(s) q(s) biến đổi hàm u s1 = ln (T − t1) (ii) Tồn ν0 > cho ∀ν ∈ (0, ν0) có (q0 , q1 ) (s1 + ν) ∈ / VˆA (s1 + ν) Từ kết quả, tồn ν1 > cho u∈ / S (t1 + ν) , ∀ν ∈ (0, ν1 ) Chứng minh Tương tự chứng minh cho Mệnh đề 2.14 Kết Mệnh đề 3.6 suy từ đánh giá tiên nghiệm từ Mệnh đề 3.8, 3.9 3.10 phần sau Sau có đánh giá tiên nghiệm dùng để chứng minh cho Mệnh đề 3.6 Trước tiên có bổ đề sau: Bổ đề 3.7 Tồn K2 > 0, A2 > cho ∀K ≥ K2, A ≥ A2 l∗ > 0, ∃T2 (K0, A, l∗) cho ∀ϵ0 > 0, α0 > 0, δ0 > 0, η0 > 0, C0 > 0, T ≤ T2 l ∈ [0, l∗], điều kiện sau đúng: giả sử có điều kiện sau: • Chúng ta xét hàm giá trị ban đầu u(0) = ud0,d1 (0), cho (3.27) (d0, d1) ∈ Ds0 , cho mệnh đề (3.4) cho (q0, q1) (s0) 51 ˆA (s0 ), s0 = − ln T, VˆA (s) q0 , q1 thành phần thuộc vào V qd0,d1 (s0), biến đổi hàm u • Chúng ta cóhu ∈ S (T, K, ϵ0, α0, Ai, δ0, C0, η0, t) , với σ ≥ s0 l ∈ [0, l∗] với t ∈ T − e−σ , T − e−(σ+l) Khi đó, có đánh giá sau: (i) Với s ∈ [σ, σ + l], có q′ (s) − q (s) + q′ (s) − 0 (s) ≤ C , q s2 q′ (s) + q (s) ≤ CA s s3 (ii) Điều khiển q−(s): với s ∈ [σ, σ + l], y ∈ R có hai trường hợp sau: • Trong trường hợp σ ≥ s0 : q−(y, s) ≤ C Ae− s−σ2 + A 2e−(s−σ)2 + (s − σ) + |y|3 s2 , • Trong trường hợp σ = s0 q−(y, s) ≤ C(1 + (s − σ)) + |y| s2 (iv) Điều khiển phần bên qe: với s ∈ [σ, σ + λ], có hai trường hợp sau: • Trong trường hợp σ s0 : ăqe(., s) ă C A2e — −2 + Ae (s−σ) + + (s − σ) L (R ) s σ • Trong trường hợp = s0: ăqe(., s)ă L ( R ) ≤ C(1 + (s − σ))√ s Chứng minh Tương tự Mệnh đề 2.12 √ , s 52 Mệnh đề 3.8 (Các đánh giá nghiệm P1(t)) Tồn K3 ≥ A3 ≥ cho với ≥ K3, A ≥ A3, ϵ0 > 0, α0 > 0, δ0 ≤2 U(0), C0 > 0, η0 > 0, tồn T3 (K, ϵ0, α0, A, δ0, C0, η0) cho với T ≤ T3, điều sau đúng: Nếu u nghiệm phương trình (3.1) thỏa mãn u ∈ S (T, K, ϵ0, α0, A, δ0, C0, η0, t) với t ∈ [0, t3] với t3 ∈ [0, T ), hàm giá trị ban đầu u(0) = ud0,d1 với d0, d1 ∈ Ds0 , với s ∈ — ln T, − ln (T − t3) , có đánh giá sau: q2(s) ≤ A2 ln s 2s2 , A A2 ă q (., s) ă ă ă L qe(s) s ă + |y|3 ăL 2s2 , v Chứng minh Hoàn toàn tương tự Mệnh đề 2.13 Mệnh đề 3.9 (Các đánh giá nghiệm P2(t)) Tồn K4 > A4 > cho với K ≥ K4 , A ≥ A4 , tồn δ4 ≤ 21 Uˆ(0) C4 (K, A) cho với δ0 ≤ δ4, C0 ≥ C4 tồn α4 (K, δ0) cho với α0 ≤ α4, tồn ϵ4 (K, δ0, C0) > cho với ϵ0 ≤ ϵ4, tồn T4 (ϵ0, A, δ0, C0) > cho với T ≤ T4 có điều sau: giả sử có u ∈ S (T, K, ϵ0, α0, A, δ0, C0, t) với t ∈ [0, t4] với t4 ∈ [0, T ), khiqđó với |x| ∈ K40 (T − t∗) ln (T − t∗)., ϵ0 √ , |ξ| ≤ α0 | ln ϱ(x)| τ ∈ max − t(x) , , t4−t(x) ϱ(x) ϱ(x), có U (x, ξ, τ∗) − Uˆ (x, ξ, τ∗ ) ≤ δ0 , ϱ(x) = T − t(x) Chứng minh Xem chứng minh Mệnh đề 4.2 [16] Mệnh đề 3.10 (Các đánh giáinghiệm P3(t)) Cho K > 0, ϵ0 > h 0, α0 > 0, A > 0, δ0 ∈ 0,21 Uˆ (0) , C0 > 0, η0 > Khi đó, tồn T5 (η0 ) > cho với T ≤ T5, điều sau đúng: giả sử u nghiệm phương trình (3.1) [0, t5] với t5 < T, u ∈ S (t), ∀t ∈ [0, t5] ứng với hàm giá trị ban đầu u0 = ud0,d1 với |d0| , |d1| ≤ Khi đó, với |x| ≥ ϵ0 t ∈ (0, t5] ta có: |u(x, t) − u0(x)| ≤ η0 53 Chứng minh Xem chứng minh Mệnh đề 4.6 [16] 54 KẾT LUẬN Trong luận văn này, đạt kết sau Hiểu phương pháp xây dựng nghiệm bùng nổ công trình [1] rút ngắn số chứng minh nhờ vào đánh giá từ [11] Chứng minh kết với mơ hình (3.1) f khả vi bị chặn, f (0) = a ∈ R∗+ 55 Tài liệu tham khảo [1] F Merle and H Zaag Stability of the blow-up profile for equations of the type ut = ∆u + |u|p−1u Duke Math J., 86(1):143–195, 1997 [2] G K Duong, N Nouaili, and H Zaag Refined asymptotic for the blow-up solution of the complex ginzburg-landau equation in the subcritical cases Ann I H Poincaré - AN, 2021 to appear [3] Q H Phan Singularity and blow-up estimates via liouville-type theorems for hardyhénon parabolic equations J Evol Equ., 13(2):411 – 442, 2013 [4] C N Le and X T Le Global solution and blow-up for a class of pseudo p-laplacian evolution equations with logarithmic nonlinearity Comput Math Appl., 73(9):2076 – 2091, 2017 [5] T Ghoul, V T Nguyen, and H Zaag Blowup solutions for a nonlinear heat equation involving a critical power nonlinear gradient term J Diff Eqs, No 8:4517–4564, 2017 [6] T Ghoul, V T Nguyen, and H Zaag Construction and stability of blowup solutions for a non-variational semilinear parabolic system submitted:, 2016 [7] G K Duong, V T Nguyen, and H Zaag Construction of a stable blowup solution with a prescribed behavior for a non-scaling invariant semilinear heat equation Tunisian J Math, 2019 56 [8] G K Duong, N Nouaili, and H Zaag Construction of blow-up solutions for the complex ginzburg-landau equation with critical parameters Mem Amer Math Soc., 2022 [9] N Nouaili and H Zaag Profile for a simultaneously blowing up solution to a complex valued semilinear heat equation Comm Partial Differential Equations, 40(7):1197–1217, 2015 [10] P Quittner and P Souplet Superlinear parabolic problems Birkhăauser Verlag, 2007 Blow-up, global existence and steady states [11] V T Nguyen and H Zaag Finite degrees of freedom for the refined blow-up profile for a semilinear heat equation Ann Scient Éc Norm Sup, 50:5:1241–1282, 2017 [12] J Bricmont and A Kupiainen Universality in blow-up for nonlinear heat equations Nonlinearity, 7(2):539–575, 1994 [13] H Zaag Blow-up results for vector-valued nonlinear heat equations with no gradient structure Ann Inst H Poincaré Anal Non Linéaire, 15(5):581–622, 1998 [14] Y Giga and R V Kohn Nondegeneracy of blowup for semilinear heat equations Comm Pure Appl Math., 42(6):845–884, 1989 [15] S Tayachi and H Zaag Existence of a stable blow-up profile for the nonlinear heat equation with a critical power nonlinear gradient term Trans Amer Math Soc, 317:5899–5972, 2019 [16] G K Duong and H Zaag Profile of a touch-down solution to a nonlocal mems model Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 29(07):1279–1348, 2019 ... NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Đặng Minh Hiếu HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NGHIỆM TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT PHI TUYẾN Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN... lệ bùng nổ cho phương trình truyền nhiệt định lý kiểu Liouville cho nghiệm bùng nổ, xem [3]; nhóm PGS TS Lê Xuân Trường Đại học Kinh tế TP Hồ Chí Minh nghiên cứu tồn nghiệm bùng nổ cho lớp phương. .. 2.7 [11] s−σ (1.11) CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHI TUYẾN HẰNG 2.1 Giới thiệu vấn đề Trong chương nghiên cứu phương trình truyền nhiệt phi tuyến ∂tu = ∆u + |u|p−1u, u(x,