(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào

(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào(Luận văn thạc sĩ) Điều khiển phân quyền trong thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính quy mô lớn với độ bão hòa đầu vào

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THỊ HẢI YẾN ĐIỀU KHIỂN PHÂN QUYỀN TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO HỆ TUYẾN TÍNH QUY MƠ LỚN VỚI ĐỘ BÃO HỊA ĐẦU VÀO Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Trường Thanh THÁI NGUYÊN - 2021 Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Một số bổ đề bổ trợ 12 1.3 Tính bị chặn thời gian hữu hạn hệ tuyến tính phân thứ 14 Chương Điều khiển phân quyền thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính phân thứ quy mơ lớn với độ bão hịa đầu vào 17 2.1 Phát biểu tốn 18 2.2 Tính bị chặn thời gian hữu hạn hệ phân thứ quy mô lớn 20 2.3 Điều khiển phân quyền thời gian hữu hạn điều khiển ngược phụ thuộc trạng thái 23 2.4 Điều khiển phân quyền thời gian hữu hạn điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ quan sát đầu 29 LỜI NĨI ĐẦU Giải tích phân thứ chủ đề tốn học có lịch sử lâu đời Nó phát triển nhà tốn học tiếng Leibniz, Liouville, Riemann, Caputo Vì khó tính tốn khơng chắn ý nghĩa hình học giải tích phân thứ nên khơng nhận quan tâm nghiên cứu lớn nhà khoa học kỷ trước Tuy nhiên, năm gần đây, nhà khoa học giải tích phân thứ mơ tả xác số tượng vật lý, hóa học tài Ngồi ra, giải tích phân thứ sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực điều khiển kỹ thuật Hệ phương trình vi phân phân thứ quy mô lớn lớp hệ bao gồm nhiều hệ hệ liên kết lại với Do đặc điểm liên kết nên việc nghiên cứu tính chất định tính lớp hệ khó khăn nhiều so với hệ thông thường Bài tốn điều khiển phân quyền cho hệ tuyến tính phân thứ quy mô lớn với nhiễu cấu trúc nghiên cứu năm gần (xem [3, 12, 13, 15]) Chú ý kết nghiên cứu toán ổn định tiệm cận ổn định hóa theo nghĩa Lyapunov Trên thực tế, số hệ thống thực tế, cần phải quan tâm đến tính ổn định thời gian hữu hạn thay ổn định tiệm cận Do đó, tốn nghiên cứu tính ổn định thời gian hữu hạn, tính bị chặn thời gian hữu hạn cho số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học (xem [5, 16, 17, 18, 19] tài liệu tham khảo đó) Gần đây, Z Chen cộng [6] nghiên cứu toán điều khiển phân quyền thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính phân thứ quy mơ lớn với độ bão hòa đầu vào cách sử dụng phương pháp trực tiếp Lyapunov, bất đẳng thức Gronwall mở rộng kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính Luận văn tập trung trình bày số tiêu chuẩn cho toán điều khiển phân quyền thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính phân thứ quy mơ lớn với độ bão hòa đầu vào dựa sở đọc hiểu tổng hợp báo công bố năm gần (xem [6]) Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo, mối liên hệ đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville đạo hàm phân thứ Caputo Tiếp theo, chúng tơi trình bày số bổ đề bổ trợ sử dụng chương luận văn Cuối chương, chúng tơi trình bày tốn nghiên cứu tính bị chặn thời gian hữu hạn lớp hệ tuyến tính phân thứ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [7, 9, 10, 11, 14] Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn cho toán điều khiển phân quyền thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính phân thứ quy mơ lớn với độ bão hịa đầu vào Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [6] Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Trường Thanh Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học Những người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt trình thực đề tài luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} A chuẩn phổ ma trận A, A = λmax (A A) A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) x Rn×r chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t0 It tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α α t0 Dt , D toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số α số nguyên nhỏ lớn α Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo số tính chất chúng Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Cuối chương, trình bày tiêu chuẩn cho tính bị chặn thời gian hữu hạn hệ tuyến tính phân thứ Kiến thức sử dụng chương tham khảo [7, 9, 10] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 ([10]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho α t0 It x(t) := Γ(α) t (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 +∞ Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = tα−1 e−t dt, α > Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước t0 Itα := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lý sau Định lý 1.1 ([10]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân t0 Itα x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([10]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có +∞ α t0 It x(t) =λ −α j=0 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([10]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho RL α t0 Dt x(t) := dn dtn n−α x(t) = t0 It dn Γ(n − α) dtn t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 n := α số nguyên nhỏ lớn α đạo hàm thơng thường cấp n dn dtn Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, t ≥ f (t) =   0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) t−α Γ(1 − α) = Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: AC n [a, b] = f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] D= d dt Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 ([10]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: n−1 f (t) = α t0 It ϕ(t) ck (t − t0 )k , + k=0 ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý α t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 Ngoài ra, từ điều kiện ta có ϕ(s) = f (n) f (k) (t0 ) ck = (k = 0, 1, , n − 1) k! (s), Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Định lý 1.2 ([10]) Cho α ≥ 0, n = α Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau n−1 RL α t0 Dt f (t) = k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 Kết sau suy trực tiếp từ Định lý 1.2 Hệ 1.1 ([10]) Nếu < α < f (t) ∈ AC[a, b] RL α t0 Dt f (t) f (t0 ) = + Γ(1 − α) (t − t0 )α t t0 f (s)ds (t − s)α Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville tốn tử tuyến tính Mệnh đề 1.2 ([9]) Cho trước số thực dương α Khi đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α toán tử tuyến tính, tức RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b] Chứng minh Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] dn = Γ(n − α) dtn λ dn = Γ(n − α) dtn t (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds t0 t n−α−1 (t − s) t0 α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) µ dn f (s)ds + Γ(n − α) dtn t (t − s)n−α−1 g(s)ds t0 23 n  n di t n i=1  xTi (t)Pi xi (t) <   xTi (0)Pi xi (0) + i=1 α  i=1   Eα (βtα ) Γ(α + 1)  n  di t n  λmin (Pi ) i Kết hợp (2.13) (2.14), ta thu  n xTi (t)Mi xi (t) i=1 (2.14) i=1 n α  di t   i=1 max λmax (Pi )δ +  Eα (βtα ) <  i Γ(α + 1)  λmin (Pi ) i (2.15) Từ điều kiện (2.6b) (2.15) suy n xTi (t)Mi xi (t) < i=1 Vậy hệ (2.5) bị chặn thời gian hữu hạn 2.3 Điều khiển phân quyền thời gian hữu hạn điều khiển ngược phụ thuộc trạng thái Trong mục này, chúng tơi trình bày cách thiết kế điều khiển phân quyền điều khiển ngược phụ thuộc trạng thái để hệ đóng tương 24 ứng bị chặn thời gian hữu hạn Cụ thể, hệ thứ i ta thiết kế điều khiển ngược phụ thuộc trạng thái sau ui (t) = Ki xi (t), (2.16) Ki ∈ Rpi ×ni ma trận xác định để hệ đóng tương ứng bị chặn thời gian hữu hạn Theo Bổ đề 2.1, xi (t) ∈ Ω(Hi ) hệ đóng tương ứng với điều khiển phân quyền phụ thuộc trạng thái (2.16) mô tả  n 2pi   − α  Aij xj (t) H))x (t) + K + Γ x (t) = (A + B (Γ D θ i i i i vi i vi  vi   i=1 j=1,j=i  +Bωi ωi (t) , t ≥ 0,        xi (0) = x0i ∈ Rni (2.17) Định lý đưa điều kiện đủ đảm bảo hệ đóng (2.17) bị chặn thời gian hữu hạn Định lý 2.2 ([6]) Cho trước số > δ > 0, di > 0, tf > 0, < α < 1, β > 0, κ > 0, số nguyên n > ma trận < Mi ∈ Rni ×ni Hệ đóng (2.17) bị chặn thời gian hữu hạn eplipsoit (P ) tương ứng với (δ , , tf , M1 , M2 , , Mn , d1 , d2 , , dn ) tồn số λ1 > λ2 > 0, ma trận < Pi = PiT ∈ Rni ×ni cho với i ∈ {1, 2, , n} j ∈ {1, 2, , n}, j = i, điều kiện thỏa mãn (Pi ) ⊂ Ω(Hi ),   T −1 Pi Ai + Ai Pi + κ (n − 1)I − βPi Pi Aij Pi Bωi   −1   < 0, , ∗ −κ I   ∗ ∗ −I λ2 Mi < Pi < λ1 Mi , n δ λ1 + i=1 (2.18a) (2.18b) (2.18c) di tαf Γ(α + 1) ≤ Eα−1 βtαf λ2 , (2.18d) 25 Ai = Ai + Bi (Γvi Ki + Γ− vi Hi ), P = diag{P1 , P2 , , Pn } ký hiệu khác giống Định lý 2.1 Chứng minh Giả sử xi (t) ∈ (Pi ) Khi từ điều kiện (2.18a) suy xi (t) ∈ Ω(Hi ) Vậy hệ đóng tương ứng mơ tả (2.17) Chọn hàm Lyapunov Định lý 2.1 Áp dụng Bổ đề 1.3 ta tính đạo hàm phân thứ cấp α cho hàm V (x(t)) dọc theo quỹ đạo nghiệm sau Dα V (x(t)) n 2xTi (t)Pi Dα xi (t) ≤ i=1  pi n xTi (t)Pi = θvi Ai xi (t) + vi =1 i=1 + T n Aij xj (t) + Bωi ωi (t) Pi xi (t) θvi Ai xi (t) + vi =1 n Aij xj (t) + Bωi ωi (t) j=1,j=i  pi  n j=1,j=i pi n θvi = xTi (t) Pi Ai + ATi Pi xi (t) + 2xTi (t)Pi i=1 vi =1 Aij xj (t) j=1,j=i + 2xTi (t)Pi Bωi ωi (t)  T   n pi xi (t) x (t)  Wi  i  + βV (x(t)) + ≤ θvi  ωi (t) ωi (t) i=1 vi =1 n di , i=1 (2.19)  P i A i + Wi =  ATi Pi n Pi Aij ATij Pi +κ j=1,j=i T Bωi Pi + n−1 κ I  − βPi Pi Bωi   −I Áp dụng Bổ đề Schur (Bổ đề 1.2), điều kiện (2.18b) suy Wi < Từ 26 điều kiện Wi < (2.19), ta thu n α D V (x(t)) < βV (x(t)) + di (2.20) i=1 − 21 −1 Mặt khác, điều kiện (2.18c) suy λ2 I ≤ Mi Pi Mi − 12 − 12 Mi Pi Mi ≤ λ1 I Đặt Pi = cho λ1 = max λmax (Pi ) λ2 = λmin (Pi ) Ta dễ dàng i i thu (2.18d) Chứng minh tương tự chứng minh Định lý 2.1, ta kết luận hệ đóng (2.17) bị chặn thời gian hữu hạn elipsoid (P ) tương ứng với (δ , , tf , M1 , M2 , , Mn , d1 , d2 , , dn ) Định lý 2.2 đưa điều kiện đủ đảm bảo hệ đóng tương ứng bị chặn thời gian hữu hạn elipsoid (P ) điều khiển ngược phụ thuộc trạng thái (2.16) Tuy nhiên, Định lý chưa đưa cách tìm ma trận điều khiển ngược Ki điều kiện (2.18a)–(2.18d) bất đẳng thức ma trận phi tuyến Cho tới chưa có thuật toán hữu hiệu để giải điều kiện dạng (2.18a) Định lý cho ta điều kiện đủ đảm bảo hệ đóng tương ứng bị chặn thời gian hữu hạn elipsoid (P ) cho ta cách xác định ma trận điều khiển ngược Ki Định lý 2.3 ([6]) Cho trước số > δ > 0, di > 0, tf > 0, < α < 1, β > 0, κ > 0, số nguyên n > ma trận < Mi ∈ Rni ×ni Hệ đóng (2.17) bị chặn thời gian hữu hạn eplipsoit (P ) tương ứng với (δ , , tf , M1 , M2 , , Mn , d1 , d2 , , dn ) tồn số > λ2 > λ1 > 0, ma trận < P i ∈ Rni ×ni , Υi ∈ Rpi ×ni Xi ∈ Rpi ×ni cho với i ∈ {1, 2, , n} j ∈ {1, 2, , n}, j = i, điều kiện thỏa mãn   T −u P Υi  i i  < 0, ∗ −I (2.21a) 27  (n − Π  ∗   ∗  1)κ−1 P Aij i     < 0, −κ−1 I   ∗ −I  n −I ∗ ∗ ∗  −Eα−1  Bωi  βtαf + i=1 (2.21b) di tα f δ  < 0,  −λ1 Γ(α+1) δ λ1 Mi−1 < P i < λ2 Mi−1 , (2.21c) (2.21d) T T − Π = Ai P i +P i ATi +Bi Γivi Xi +XiT Γivi BiT +Bi Γ− ivi Υi +Υi Γivi Bi − βP i ký hiệu khác giống Định lý 2.1 Ngoài ra, ma trận điều khiển phân quyền ổn định hóa hệ (2.17) xác định Ki = Xi P i −1 Chứng minh Đặt Pi := P i −1 , Hi := Υi P i −1 Nhân bên trái bên phải (2.21a) với ma trận diag{P i −1 , I} ma trận chuyển vị nó, ta thấy điều kiện (2.21a) tương đương với điều kiện ui Pi > HiT Hi Điều chứng tỏ điều kiện (2.21a) suy (Pi ) ⊂ Ω(Hi ), tức điều kiện (2.18a) Định lý 2.2 thỏa mãn Tiếp theo, ta nhân bên trái bên phải (2.21b) với ma trận diag{P i −1 , I, I, I} ma trận chuyển vị áp dụng Bổ đề Schur, ta điều kiện (2.18b) Định lý 2.2 thỏa mãn Ngồi ra, ta có điều kiện (2.21c) tương đương với bất đẳng thức n − Eα−1 βtαf + λ1 δ2 + i=1 di tαf Γ(α + 1) < (2.22) Vì > λ2 > λ1 > nên (2.21c) suy bắt đẳng thưc n λ1 δ + i=1 di tαf Γ(α + 1) < Eα−1 βtαf λ2 (2.23) Mặt khác, từ (2.21d) ta có λ1 I < Mi2 P i Mi2 < λ2 I Chú ý Pi = −1 −1 Mi Pi Mi nên từ bất đẳng thức bên ta suy λ1 I < Pi−1 < 28 λ2 I Đặt λ1 = λmin Pi−1 i max λmax Pi i λ2 λ2 = max λmax Pi−1 Khi i = λmin Pi Cho λ1 := i λ1 λ2 := , λ2 λ1 = ta thấy điều kiện (2.23) điều kiện (2.18d) Định lý 2.2 Từ suy (2.21c) (2.21d) suy điều kiện (2.18d) Do điều kiện (2.21a)-(2.21d) suy điều kiện Định lý 2.2 Vậy hệ đóng (2.17) bị chặn thời gian hữu hạn eplipsoit (P ) tương ứng với (δ , , tf , M1 , M2 , , Mn , d1 , d2 , , dn ) tác động điều khiển phân quyền phụ thuộc véc tơ trạng thái ui (t) = Xi P i −1 xi (t) Nhận xét 2.1 Các điều kiện (2.21a)–(2.21d) bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) Vì điều kiện giải số cách hiệu hộp công cụ LMI TOOL BOX MATLAB Nhận xét 2.2 Đối với tốn nghiên cứu tính bị chặn thời gian hữu hạn hệ động lực, cho trước giá trị δ ta cần phải cực tiểu hóa giá trị tham số Do tốn ổn định hóa phân quyền đưa toán tối ưu sau , 1>λ2 >λ1 >0,P i >0,Υi ,Xi với ràng buộc > δ bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.21a)– (2.21d) với tham số cho trước δ > 0, di > 0, tf > 0, < α < 1, β > 0, κ > số nguyên dương n ma trận Mi Ví dụ sau đưa để minh họa cho kết lý thuyết Định lý 2.3 Ví dụ 2.1 Xét hệ quy mô lớn phân thứ (2.1) với hai hệ cho sau: Hệ 1: 29       −0, 0,  x1 (t) +   x2 (t) +   sat (u1 (t)) D0,5 x1 (t) =  −2 −0, 2   0, sin 2t  + 0, cos 2t Hệ 2:       −0, 3  x2 (t) +   x1 (t) +   sat (u2 (t)) D0,5 x2 (t) =  −4 0, −0,   0, sin 2t  + 0, cos 2t Cho tham số δ = 0, 1, = 0, 4, β = 0, 1, ui = 1, κ = 1, Mi = I, tf = 10 di = 0, 01 (i = 1, 2) Giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính Định lý 2.3 ta tìm ma trận Ki (i = 1, 2) sau K1 = −10, 6542 −5, 0605 , K2 = −7, 7153 −5, 0989 Theo Định lý 2.3, hệ cho bị chặn thời gian hữu hạn 2.4 Điều khiển phân quyền thời gian hữu hạn điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ quan sát đầu Noi chung, biến trạng thái xi (t) hệ quy mô lớn phân thứ (2.1) khơng đo đạc chi phí để đo biến tốn Trong trường hợp véc tơ quan sát đầu yi (t) sử dụng để thiết kế điều khiển ngược để đảm bảo hệ đóng tương ứng bị chặn thời gian hữu hạn Bài toán điều khiển phân quyền thời gian hữu hạn điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ quan sát đầu nói chung tổng quát phức tạp toán điều khiển phân quyền thời gian hữu hạn điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ trạng thái Trong mục luận văn, chúng tơi trình bày tốn thiết kế điều 30 khiển phân quyền phụ thuộc véc tơ quan sát đầu để đảm bảo cho hệ đóng tương ứng bị chặn thời gian hữu hạn Cụ thể, hệ thứ i hệ quy mô lớn phân thứ (2.1) ta thiết kế điều khiển ngược phụ thuộc véc tơ quan sát sau ui (t) = Fi yi (t), (2.24) Fi ∈ Rpi ×mi ma trận điều khiển phân quyền xác định sau để hệ đóng tương ứng bị chặn thời gian hữu hạn Theo Bổ đề 2.1, xi (t) ∈ Ω(Hi ) hệ đóng tương ứng với điều khiển phân quyền phụ thuộc véc tơ quan sát (2.24) mô tả  pi  α   D xi (t) = θvi (Ai + Bi (Γvi Fi Ci + Γ−  vi H))xi (t)   i=1  n + Aij xj (t) + Bωi ωi (t) , t ≥ 0, (2.25)   j=1,j=i      xi (0) = x0 ∈ Rni i Định lý đưa điều kiện đủ đảm bảo hệ đóng (2.25) bị chặn thời gian hữu hạn Định lý 2.4 ([6]) Cho trước số > δ > 0, di > 0, tf > 0, < α < 1, β > 0, κ > 0, số nguyên n > ma trận < Mi ∈ Rni ×ni Hệ đóng (2.25) bị chặn thời gian hữu hạn eplipsoit (P ) tương ứng với (δ , , tf , M1 , M2 , , Mn , d1 , d2 , , dn ) tồn số > λ2 > λ1 > 0, ma trận < P i ∈ Rni ×ni , Φi ∈ Rpi ×mi , Ψi ∈ Rpi ×ni cho với i ∈ {1, 2, , n} j ∈ {1, 2, , n}, j = i vi ∈ {1, 2, , 2pi }, điều kiện (2.21c), (2.21d) Định lý 2.3 điều kiện thỏa mãn   −u P ΨTi  i i  < 0, ∗ −I (2.26a) 31  Ξ  ∗   ∗  ∗ (n − 1)κ−1 P i −I ∗ ∗ Aij Bωi      < 0, −κ−1 I   ∗ −I (2.26b) Ξ = Ai P i + P i ATi + Bi Γivi Φi Ci + CiT ΦTi Γivi BiT T − T + Bi Γ− ivi Ψi + Ψi Γivi Bi − βP i , Ci = Ci0 ViT ,   P i1  ViT , P i = Vi  P i2 với Ui , Vi ma trận unita Ngoài ra, ma trận điều khiển phân quyền phụ thuộc véc tơ quan sát ổn định hóa hệ (2.25) xác định Fi = − −1 T Φi Ui Ci0 P i1 Ci0 Ui Chứng minh Tương tự chứng minh Định lý 2.3, ta thấy điều kiện (2.21c), (2.21d) suy điều kiện (2.18c) (2.18d) Định lý 2.2 Nhân bên trái bên phải ma trận (2.26a) lần −1 lượt với ma trận diag{P i , I} ma trận chuyển vị sử dụng Bổ đề Schur (Bổ đề 1.2), ta điều kiện (2.26a) điều kiện (2.18a) Định lý 2.2 Tiếp theo ta nhân bên trái bên phải ma trận −1 (2.26b) với ma trận diag{P i , I, I, I} ma trận chuyển vị nó, ta thu điều kiện (2.26b) điều kiện (2.18b) Định lý 2.2 Từ suy hệ đóng (2.25) bị chặn thời gian hữu hạn eplipsoit (P ) tương ứng với (δ , , tf , M1 , M2 , , Mn , d1 , d2 , , dn ) Nhận xét 2.3 Tương tự Nhận xét 2.2, toán điều khiển phân quyền ổn định hóa hệ đóng (2.25) điều khiển phụ thuộc véc tơ quan 32 sát đưa toán tối ưu sau , 1>λ2 >λ1 >0,P i >0,Φi >0,Ψi với ràng buộc > δ bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.21c), (2.21d), (2.26a) (2.26b) với số δ > 0, di > 0, tf > 0, < α < 1, β > 0, κ > số nguyên dương n ma trận Mi > cho trước Ví dụ sau đưa để minh họa cho kết lý thuyết Định lý 2.4 Ví dụ 2.2 Xét hệ quy mô lớn phân thứ (2.1) với bậc α = 0, gồm ba hệ với hệ thống ma trận cho sau     0, −0, 0,        A1 =  , A = 12  −2   −0, 0,  , −1 −2 0, −0,   −0, 0, 0,   A13 =  0, −0, 1  , 0, −0,     −0, 0,      , A21 =  0, −0, 0, 1 , A2 =  −4     −4 −0, 0, 0,   0, 0,   , A23 =  0, 0, 0,   0, 0, 0,     −0, 0,        A3 =  , A = 31 2 −2   0, 0, −0, 1 , −1 0, 0, −0,   −0, 0,   , A32 =  0, −0, 0,   0, −0, 0, 33         3       0  , B2 = 4 , B3 = 3 , Bωi = 0, 1I3 , Ci =   B1 =        1 Cho tham số δ = 0, 5, β = 0, 1, κ = 1, tf = 10, ui = 1, Mi = I di = 0, 01 (i = 1, 2, 3) Bằng hộp công cụ LMI Tool Box MATLAB, tốn tối ưu Nhận xét 2.3 có giá trị tối ưu = 2, 317 Ngồi ra, ta tìm ma trận điều khiển phân quyền F1 = −5, 1893 −0, 9780 , F2 = −4, 6587 −1, 8508 , F3 = −2, 0771 −2, 5845 Theo Định lý 2.4, hệ đóng tương ứng bị chặn thời gian hữu hạn 34 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo; • Trình bày tốn thiết kế điều khiển phân quyền phụ thuộc véc tơ trạng thái đảm bảo hệ đóng tương ứng bị chặn thời gian hữu hạn; • Trình bày tốn thiết kế điều khiển phân quyền phụ thuộc véc tơ quan sát đảm bảo hệ đóng tương ứng bị chặn thời gian hữu hạn; • Trình bày 02 ví dụ số để minh họa cho kết lý thuyết; • Luận văn trình bày tốn ổn định hóa cho hệ phân thứ quy mơ lớn khơng có trễ Bài tốn thiết kế điều khiển phân quyền đảm bảo cho hệ quy mô lớn với độ bão hịa đầu vào có trễ biến thiên chưa nghiên cứu Theo hiểu biết chúng tôi, chưa có kết cơng bố nghiên cứu vấn đề Đó hướng phát triển đề tài luận văn 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Thế Tuấn, Về số vấn đề định tính hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ Toán học, Viện Toán học, 2017 [2] Bùi Thị Thúy, Dao động phi tuyến yếu hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số, Luận án tiến sĩ Cơ học, Học viện Khoa học Công nghệ, 2017 Tiếng Anh [3] Y Boukal, M Darouach, M Zasadzinski and N.E Radhy (2017), “Large-scale fractionalorder systems : Stability analysis and their decentralized functional observers design”, IET Control Theory and Applications, 12(3), pp 359–367 [4] S Boyd, L El Ghaoui, E Feron and V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [5] L Chen, C Liu, X Wu, Y He and Y Chai (2015), “Finite-time stability criteria for a class of fractional-order neural networks with delay”, Neural Computing and Applications, 27, pp 549–556 [6] Z Chen, J Cheng, J Tan and Z Cao (2020), “Decentralized finitetime control for linear interconnected fractional-order systems with 36 input saturation”, Journal of the Franklin Institute, 357(10), pp 6137–6153 [7] M.A Duarte-Mermoud, N Aguila-Camacho, J.A Gallegos and R Castro-Linares (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lyapunov uniform stability for fractional order systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), pp 650–659 [8] D Ho and G Lu (2003), “Robust stabilization for a class of discretetime non-linear systems via output feedback: The unified lmi approach”, International Journal of Control, 76, pp 105–115 [9] T Kaczorek (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer [10] A.A Kilbas, H.M Srivastava and J.J Trujillo (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Springer [11] Y.J Ma, B.W Wu and Y.E Wang (2016), “Finite-time stability and finite-time boundedness of fractional order linear systems”, Neurocomputing, 173, pp 2076–2082 [12] S.S Majidabad, H.T Shandiz and A Hajizadeh (2014), “Decentralized sliding mode control of fractional-order large-scale nonlinear systems”, Nonlinear Dynamics, 77(1-2), pp 119–134 [13] J Li, J.G Lu and Y Chen (2013), “Robust decentralized control of perturbed fractional-order linear interconnected systems”, Computers and Mathematics with Applications, 66, pp 844–859 [14] Y Li, Y.Q Chen and I Podlubny (2010), “Stability of fractionalorder nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and generalized Mittag-Leffler stability”, Computers & Mathematics with Applications, 59, pp 1810–1821 37 [15] J Lin (2013), “Robust resilient controllers synthesis for uncertain fractional-order large scale interconnected system”, Journal of the Franklin Institute, 351, pp 1630–1643 [16] Y.J Ma, B.W Wu and Y.E Wang (2015), “Finite-time stability and finite-time boundedness of fractional order linear systems”, Neurocomputing, 173, pp 2076–2082 [17] M.V Thuan, N.H Sau and N.T.T Huyen (2020), “Finite-time H∞ control of uncertain fractional-order neural networks”, Computational and Applied Mathematics, 39(59), pp 1-18 [18] M.V Thuan, T.N Binh and D.C Huong (2020), “Finite-time guaranteed cost control of Caputo fractional-order neural networks”, Asian Journal of Control, 22(2), pp 696–705 [19] M.V Thuan, P Niamsup and V.N Phat (2020), “Finite-time control analysis of nonlinear fractional-order systems subject to disturbances”, Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 44(3), pp 1425–1441 [20] H Ye, J Gao, Y Ding (2007), “A generalized gronwall inequality and its application to a fractional differential equation”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 328, pp 1075–1081 ... Chương Điều khiển phân quy? ??n thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính phân thứ quy mơ lớn với độ bão hịa đầu vào Trong chương này, chúng tơi trình bày tốn ổn định hóa hệ điều khiển phân thứ quy mô lớn điều. .. thời gian hữu hạn hệ tuyến tính phân thứ 14 Chương Điều khiển phân quy? ??n thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính phân thứ quy mơ lớn với độ bão hòa đầu vào 17 2.1 Phát... 9, 10, 11, 14] Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn cho toán điều khiển phân quy? ??n thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính phân thứ quy mơ lớn với độ bão hịa đầu vào Nội dung chương