Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN VĂN HIẾN VỀ BÀI TỐN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN VĂN HIẾN VỀ BÀI TỐN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS MAI VIẾT THUẬN THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Một số ký hiệu chữ viết tắt ii Lời nói đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Các định lí tồn nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ 1.3 Công thức nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 10 1.4 Một bổ đề bổ trợ 12 Chương Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định 13 2.1 Phát biểu toán số tiêu chuẩn 13 2.2 Ví dụ minh họa 21 Chương Bài tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ 24 3.1 Phát biểu toán số tiêu chuẩn 24 3.2 Ví dụ minh họa 32 ii Một số ký hiệu chữ viết tắt R, R+ tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vectơ Euclide thực n−chiều Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục [a, b], nhận giá trị Rn AT ma trận chuyển vị ma trận A A = (A)ij phần tử Aij ma trận A diag{l1 , , ln } ma trận đường chéo I ma trận đơn vị A≥0 A ma trận không âm A≥B A−B ≥0 A>0 A ma trận dương α α t0 It , It tốn tử tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville cấp α C α α t0 Dt , Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α kết thúc chứng minh định lí bổ đề Lời nói đầu Mơ hình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên nghiên cứu L.O Chua L Yang vào năm 1988 [5] Mơ hình nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học năm gần ứng dụng rộng lớn xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa lĩnh vực khác [2, 6, 17] Năm 2008, nghiên cứu mình, A Boroomand M.B Menhaj [2] lần mơ hình hóa mạng nơ ron hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) So với mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) mơ tả đặc tính tính chất mạng nơ ron cách xác [2, 17] Do hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Nhiều kết hay thú vị hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ công bố năm gần (xem [17, 18, 25] tài liệu tham khảo đó) Trong ứng dụng thực tế, ta cần phải xem xét dáng điệu véc tơ trạng thái hệ thống mô tả hệ phương trình vi phân phân thứ thời gian hữu hạn, giá trị lớn véc tơ trạng thái chấp nhận M.P Lazarevi´c cộng [10, 11] tác giả nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian (FTS) cho hệ động lực mô tả hệ phương trình vi phân phân thứ Khác với toán ổn định theo nghĩa Lyapunov, nghiên cứu dáng điệu véc tơ trạng thái hệ phương trình vi phân phân thứ khoảng thời gian vô hạn, khái niệm ổn định hữu hạn thời gian nghiên cứu dáng điệu véc tơ trạng thái khoảng thời gian hữu hạn Cụ thể hệ phương trình vi phân phân thứ gọi FTS ta đưa giới hạn cho điều kiện ban đầu, véc tơ trạng thái hệ không vượt khỏi ngưỡng giới hạn suốt khoảng thời gian cho Bài tốn nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian cho số lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học năm gần [4, 7, 21, 22, 23, 24] Mặt khác, tốn kỹ thuật, ngồi việc tìm cách thiết kế điều khiển làm cho hệ thống ổn định hữu hạn thời gian mà đảm bảo mức độ đầy đủ hiệu suất (guarantees an adequate level of performance) Bài toán gọi toán đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn hệ động lực Nội dung toán việc thiết kế điều khiển để đảm bảo cho hệ thống điều khiển ổn định hữu hạn thời gian, ta phải dựa điều khiển tìm cận hàm mục tiêu (hàm chi phí) tương ứng Đối với hệ phương trình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với bậc ngun có vài cơng trình nghiên cứu toán (xem [9]) Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ nghiên cứu [18] Luận văn tập trung nghiên cứu toán đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho số lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Sau đó, chúng tơi trình bày số định lí tồn nghiệm Cuối chương, chúng tơi trình bày số bổ đề bổ trợ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [8, 13, 14] Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [18] Trong chương luận văn, chúng tơi nghiên cứu tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ Đây đóng góp luận văn Để hoàn thành luận văn này, nỗ lực học hỏi thân, em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ Với tình cảm chân thành em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Mai Viết Thuận - người Thầy tận tình hướng dẫn, bảo, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu cho em suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, người trực tiếp tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K11 khóa 2017 - 2019, phịng ban chức năng, Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho em thời gian học tập vừa qua Thái Nguyên, ngày 01 tháng năm 2019 Tác giả luận văn NGUYỄN VĂN HIẾN Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức giải tích phân thứ tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, đạo hàm phân thứ RiemannLiouville, mối liên hệ hai loại đạo hàm Caputo Riemann-Liouville Ngoài ra, chúng tơi trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Các kiến thức trình bày chương chúng tơi tham khảo [1, 13, 16] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho bởi: α t0 It x(t) := Γ(α) t (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 +∞ Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = quy ước α t It := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lí sau: Định lí 1.1 Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có: α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , t > a Γ(α + β + 1) (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có: +∞ α t0 It x(t) =λ −α j=0 1.1.2 (λt)α+j , t > Γ(α + j + 1) Đạo hàm phân thứ Định nghĩa 1.2 Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho bởi: dn t dn n−α (t − s)n−α−1 x(s)ds, := n t0 It x(t) = n dt Γ(n − α) dt t0 n = [α] + số nguyên nhỏ lớn α RL α t0 Dt x(t) dn dtn đạo hàm thơng thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function):    t ≥ 0; f (t) =   t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) là: RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau: Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)) a Do hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] (D = d )} dt Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: n−1 f (t) = α t0 It ϕ(t) ck (t − t0 )k , + k=0 ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý α t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 Ngoài ra, từ điều kiện ta có: f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) k! Định lí sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ ϕ(s) = f (n) (s), ck = Riemann–Liouville Định lí 1.2 Cho α ≥ 0, n = [α] + Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau: n−1 RL α t0 Dt f (t) = k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 Kết sau suy trực tiếp từ Định lí 1.2 Hệ 1.1 Nếu < α < f (t) ∈ AC[a, b] RL α t0 Dt f (t) f (t0 ) = [ + Γ(1 − α) (t − t0 )α t t0 f (s)ds ] (t − s)α 23 vào hệ (2.20), ta thu hệ đóng sau    Dt0.98 x(t) = (−A + BK)x(t) + Df (x(t))    +W ω(t), t ≥ 0,      x(0) = x0 ∈ R3 (2.21) Hàm chi phí điều khiển liên kết với hệ (2.20) có dạng (2.3) với   0.5 0    , Q2 = 0.2 Q1 =  0.2   0 0.1 Cho trước c1 = 1, c2 = 2.9, Tf = 1, R = I, ta thấy điều kiện (2.19a) (2.19b) Hệ 2.1 thỏa mãn với   4.4778 0.2517 0.5986   , P = 0.2517 4.3515 0.2527   0.5986 0.2527 10.5415 Y = −6.9910 −4.5758 −8.2268 Theo Hệ 2.1, hệ đóng (2.21) ổn định thời gian hữu hạn tương ứng với (1, 2.9, 1, I, 1) với giá trị đảm bảo chi phí điều khiển J ∗ = 11.6206 Ngồi ra, luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ xác định u(t) = −1.4184 −0.9301 −0.6776 x(t), t ∈ [0, 1] 24 Chương Bài tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ Chương nghiên cứu toán đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ Đây kết nghiên cứu chúng tơi Để thuận tiện cho việc trình bày nội dung chương này, đạo hàm phân thứ Caputo hàm f (.) ký hiệu Dtα f (t), tích phân phân thứ Riemann–Liouville hàm g(.) ký hiệu Itα g(t) 3.1 Phát biểu toán số tiêu chuẩn Xét hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ    Dtα x(t) = −[Aσ + ∆Aσ (t)]x(t) + [Dσ + ∆Dσ (t)]f (x(t))    (Σσ ) +[Wσ + ∆Wσ (t)]ω(t) + [Bσ + ∆Bσ (t)]u(t), t ≥      x(0) = x0 ∈ Rn , (3.1) α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm véc tơ điều khiển, ω(t) ∈ Rp véc tơ nhiễu; σ(.) : Rn −→ N := {1, 2, , N } luật chuyển mạch hệ hệ chuyển mạch 3.1 Hàm σ(.) phụ thuộc vào véc tơ trạng thái thời điểm, tức σ(x(t)) = i, i = 1, 2, , N hệ 25 thứ i chọn; ma trận Ai ma trận đường chéo chính, xác định dương, ma trận Di , Wi , Bi (i = 1, 2, , N ) ma trận thực, số cho trước có số chiều thích hợp cho phép toán đại số ma trận thực được; T f (x(t)) = [f1 (x1 (t)) , fn (xn (t))] ∈ Rn hàm kích hoạt mạng nơ ron; x0 điều kiện ban đầu Cho trước số dương Tf Hàm chi phí bậc hai liên kết với mạng nơ ron phân thứ (3.1) có dạng Tf J(u) = Γ(α) (Tf − s)α−1 (xT (s)Q1 x(s) + uT (s)Q2 u(s))ds, (3.2) Q1 ∈ Rn×n , Q2 ∈ Rm×m ma trận đối xứng xác định dương cho trước Để nghiên cứu tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ (3.1), ta cần giả thiết sau: (A1) Các ma trận ∆Ai (t), ∆Di (t), ∆Wi (t), ∆Bi (t) thỏa mãn điều kiện ∆Ai (t) = Eai Fai (t)Hai , ∆Di (t) = Edi Fdi (t)Hdi , i = 1, , N, ∆Wi (t) = Ewi Fwi (t)Hwi , ∆Bi (t) = Ebi Fbi (t)Hbi , i = 1, , N, Eai , Hai , Edi , Hdi , Ewi , Hwi , Ebi , Hbi (i = 1, 2, , N ), ma trận thực, số cho trước; Fai (t), Fdi (t), Fwi (t), Fbi (t) ma trận thực, thỏa mãn điều kiện T FaiT (t)Fai (t) ≤ I, FdiT (t)Fdi (t) ≤ I, Fwi (t)Fwi (t) ≤ I, FbiT (t)Fbi (t) ≤ I, ∀t ≥ (A2) Hàm kích hoạt fj (.)(j = 1, , n) thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hàng số Lipschitz lj > 0, fj (0) = (j = 1, , n) : |fj (ξ1 ) − fj (ξ2 )| ≤ lj |ξ1 − ξ2 |, j = 1, , n, ∀ξ1 , ξ2 ∈ R (3.3) (A3) Véc tơ nhiễu ω(t) ∈ Rp thỏa mãn điều kiện ∃d > : ω T (t)ω(t) ≤ d, ∀t ∈ [0, Tf ] (3.4) 26 Bây giờ, ta thiết kế điều khiển ngược u(t) = Kσ x(t) cho hệ đóng sau    Dtα x(t) = [−Aσ + Bσ Kσ − ∆Aσ (t) + ∆Bσ (t)Kσ ]x(t)    +[Dσ + ∆Dσ (t)]f (x(t)) + Wσ + ∆Wσ (t)]ω(t),      x(0) = x0 ∈ Rn , t ≥ (3.5) ổn định thời gian hữu hạn tương ứng với (c1 , c2 , Tf , R, d) hàm chi phí tồn phương (3.2) thỏa mãn J(u) ≤ J ∗ với J ∗ số dương mà ta xác định sau Để chứng minh kết tiếp theo, chúng tơi trình bày định nghĩa hệ ma trận đầy đủ chặt điều kiện đủ để hệ ma trận đầy đủ chặt Định nghĩa 3.1 ([19]) Hệ ma trận {Li } gọi đầy đủ chặt với x ∈ Rn , x = tồn số i ∈ N := {1, 2, , N } cho xT Li x < Nhận xét 3.1 ([19]) Đặt Si = {x ∈ Rn : xT Li x < 0} Khi hệ ma trận {Li } đầy đủ chặt N Si = Rn \{0} i=1 N Bổ đề 3.1 ([19]) Nếu tồn số < βi < 1, βi = cho i=1 N βi Li < i=1 hệ ma trận {Li } đầy đủ chặt Để thuận tiện cho việc trình bày kết mục này, với i = 1, 2, , N, ta ký hiệu 1 L = diag{l1 , , ln }, Pˆ = R− P −1 R− , ν1 = λmin (Pˆ ), ν2 = λmax (Pˆ ), T T θ = max λmax (Hwi Hwi ), γi = + λmax (Hdi Hdi ) 1≤i≤N Li (P ) = T −Ai P − P ATi + Bi Yi + YiT BiT + i Eai Eai + T + YiT HbiT Hbi Yi + Di DiT + Edi Edi + γi P LLP T + Wi WiT + Ewi Ewi , −1 T i P Hai Hai P + Ebi EbiT 27 −Ai P − P ATi + Bi Yi + YiT BiT , Si = {x ∈ Rn : xT Li (P )x < 0}, Ξi = Λi = {P x : x ∈ Si }, Λ1 = Λ1 , Λ2 = Λ2 \ Λ2 ∩ Λ1 , , Λp = Λp \ Λp ∩ ∪p−1 j=1 Λj N −1 ΛN = ΛN \ ΛN ∩ ∪k=1 Λk , , Định lí 3.1 Giả sử điều kiện (A1), (A2) (A3) thỏa mãn Cho trước số dương c1 , c2 , Tf ma trận đối xứng xác định dương R Giả sử tồn ma trận đối xứng, xác định dương P , ma trận Yi (i = 1, 2, , N ), số dương i (i = 1, 2, , N ) cho điều kiện thỏa mãn: (i) Hệ  ma trận Li (P )đầy đủ chặt; Ξi P Q1 YiT Q2    < (i = 1, , N ) (ii)  ∗ −Q   ∗ ∗ −Q2 (iii) ν2 c1 + d(1+θ) α Γ(α+1) Tf < ν1 c2 Khi hệ (3.5) ổn định thời gian hữu hạn tương ứng với (c1 , c2 , Tf , R, d) với luật chuyển mạch xác định σ(x(t)) = i ∈ N mà x(t) ∈ Λi Hơn nữa, u(t) = Yσ P −1 x(t), ∀t ≥ 0, luật điểu khiển đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (3.1) với giá trị đảm bảo chi phí điều khiển J∗ = d(1 + θ) α T + ν2 c Γ(α + 1) f Chứng minh Vì hệ ma trận {Li (P )} đầy đủ chặt nên ta có Si ∩Sj = ∅ (i = j) N Si = Rn \{0} Dựa tập Si , ta xây dựng tập Λi bên i=1 Ta N Λi = Rn \{0} Λi ∩ Λj = ∅ (i = j), (3.6) i=1 Rõ ràng, Λi ∩ Λj = ∅ (i = j) Với x ∈ Rn \{0}, tồn số i ∈ N cho y = P −1 x ∈ Si Suy x = P P −1 x = P y ∈ Λi Suy N i=1 Λi = Rn \{0} 28 Từ cách xây dựng tập Λi , ta thu N Λi = Rn \{0} Λi ∩ Λj = ∅ (i = j), (3.7) i=1 Luật chuyển mạch chọn sau σ(x(t)) = i ∈ N mà x(t) ∈ Λi Do x(t) ∈ Λi , hệ thứ i kích hoạt ta có hệ thứ i sau    Dtα x(t) = −[Ai + ∆Ai (t)]x(t) + [Di + ∆Di (t)]f (x(t))    (Σi ) +[Wi + ∆Wi (t)]ω(t) + [Bi + ∆Bi (t)]u(t), t ≥ (3.8)      x(0) = x0 ∈ Rn Đặt Ki = Yi P −1 Xét hàm toàn phương V (x(t)) = xT (t)P −1 x(t) Áp dụng Bổ đề 1.1, ta tính đạo hàm Caputo V (x(t)) theo t hệ Σi hệ (3.5) sau: Dtα V (x(t)) ≤ xT (t) −P −1 Ai − ATi P −1 + P −1 Bi Ki + KiT BiT P −1 x(t) − 2xT (t)P −1 Eai Fai (t)Hai x(t) + 2xT (t)P −1 Ebi Fbi (t)Hbi Ki x(t) + 2xT (t)P −1 Di f (x(t)) + 2xT (t)P −1 Edi Fdi (t)Hdi f (x(t)) + 2xT (t)P −1 Wi ω(t) + 2xT (t)P −1 Ewi Fwi (t)Hwi ω(t) (3.9) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ma trận, ta thu đánh giá sau − 2xT (t)P −1 Eai Fai (t)Hai x(t) T ≤ i x (t)P −1 T −1 Eai Eai P x(t) + −1 T T i x (t)Hai Hai x(t), 2xT (t)P −1 Ebi Fbi (t)Hbi Ki x(t) ≤ xT (t)P −1 Ebi EbiT P −1 x(t) + xT (t)KiT HbiT Hbi Ki x(t), 2xT (t)P −1 Wi ω(t) ≤ xT (t)P −1 Wi WiT P −1 x(t) + ω T (t)ω(t), (3.10) (3.11) (3.12) 2xT (t)P −1 Ewi Fwi (t)Hwi ω(t) T T ≤ xT (t)P −1 Ewi Ewi P −1 x(t) + ω T (t)Hwi Hwi ω(t) T T ≤ xT (t)P −1 Ewi Ewi P −1 x(t) + λmax (Hwi Hwi )ω T (t)ω(t) (3.13) 29 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ma trận điều kiện (A2), ta thu đánh giá sau 2xT (t)P −1 Di f (x(t)) ≤ xT (t)P −1 Di DiT P −1 x(t) + f T (x(t))f (x(t)) (3.14) ≤ xT (t)P −1 Di DiT P −1 x(t) + xT (t)LLx(t), 2xT (t)P −1 Edi Fdi (t)Hdi f (x(t)) T −1 T ≤ xT (t)P −1 Edi Edi P x(t) + f T (x(t))Hdi Hdi f (x(t)) T ≤ x (t)P −1 T −1 Edi Edi P x(t) + T λmax (Hdi Hdi )f T (x(t))f (x(t)) (3.15) T −1 T ≤ xT (t)P −1 Edi Edi P x(t) + λmax (Hdi Hdi )xT (t)LLx(t) Từ (3.9)–(3.15), ta thu đánh giá sau Dtα V (x(t)) ≤ η T (t)Li (P )η(t) + (1 + θ)ω T (t)ω(t), ∀t ∈ [0, Tf ], (3.16) η(t) = P −1 x(t) Chú ý x(t) ∈ Λi nên η(t) = P −1 x(t) ∈ Si η T (t)Li (P )η(t) < Từ lập luận (3.16), ta có Dtα V (x(t)) ≤ (1 + θ)ω T (t)ω(t), ∀t ∈ [0, Tf ] (3.17) Tích phân cấp α hai vế (3.17) từ đến t(0 < t < Tf ) sử dụng Định lý 1.5, ta thu xT (t)P −1 x(t) ≤ xT (0)P −1 x(0) + Itα ((1 + θ)ω T (t)ω(t)) 1+θ t = x (0)P x(0) + (t − s)α−1 ω T (s)ω(s)ds Γ(α) d(1 + θ) t T −1 ≤ x (0)P x(0) + (t − s)α−1 ds Γ(α) d(1 + θ) ≤ xT (0)P −1 x(0) + T α Γ(α + 1) f T −1 (3.18) Mặt khác, ta có 1 xT (t)P −1 x(t) =xT (t)R Pˆ R x(t) ≥λmin (Pˆ )xT (t)Rx(t) =ν1 xT (t)Rx(t), (3.19) 30 1 xT (0)P −1 x(0) = xT (0)R Pˆ R x(0) (3.20) ≤ λmax (Pˆ )xT (0)Rx(0) = ν2 xT (0)Rx(0) ≤ ν2 c1 Từ (3.18)–(3.20), ta nhận ν1 xT (t)Rx(t) ≤V (x(t)) = xT (t)P −1 x(t) ≤ν2 c1 + d(1 + θ) α T Γ(α + 1) f Điều kiện (iii) suy xT (t)Rx(t) < c2 Vậy, hệ (3.5) ổn định thời gian hữu hạn tương ứng với (c1 , c2 , Tf , R, d) Tiếp theo, chúng tơi tìm giá trị chi phí đảm bảo điều khiển cho hàm chi phí tồn phương (3.2) Từ điều kiện (3.17), ta có Dtα V (x(t)) ≤ η T (t)Ωi η(t)+(1+θ)ω T (t)ω(t)−xT (t)[Q1 +K T Q2 K]x(t), (3.21) −Ai P − P ATi + Bi Yi + YiT BiT + P Q1 P + YiT Q2 Yi Bằng cách sử dụng Bổ đề Schur, ta có Ωi < tương đương với điều kiện (ii) Ωi = Do đó, từ (ii) (3.21), ta suy Dtα V (x(t)) ≤ (1 + θ)ω T (t)ω(t) − xT (t)[Q1 + K T Q2 K]x(t), (3.22) Tích phân cấp α hai vế (3.22) từ đến Tf sử dụng Định lý 1.5, ta thu V (x(Tf )) − V (x(0)) ≤ ITαf ((1 + θ)ω T (t)ω(t)) − J(u) (3.23) Suy J(u) ≤ ITαf ((1 + θ)ω T (t)ω(t)) + V (x(0)) ≤ d(1 + θ) α T + ν2 c1 := J ∗ Γ(α + 1) f (3.24) V (x(Tf )) = xT (Tf )P −1 x(Tf ) ≥ Định lý chứng minh ✷ 31 Nhận xét 3.2 Từ Bổ đề 3.1, ta thấy điều kiện (i) Định lý 3.1 N thỏa mãn tồn số τi (i = 1, , N ) thỏa mãn < τi < 1, τi = i=1 cho N τi Li (P ) < M= (3.25) i=1 Bằng cách sử dụng Bổ đề Schur, ta nhận thấy điều kiện M < tương đương với điều kiện Ψ11 Ψ12 ΨT12 −Ψ22 < 0, (3.26) N τi Ψ11 = i=1 T (−Ai P − P ATi + Bi Yi + YiT BiT ) + i Eai Eai + Ebi EbiT T T + Di DiT + Edi Edi + Wi WiT + Ewi Ewi T T T T Ψ12 = τ1 P Ha1 τN P HaN τ1 Y1T Hb1 τN YNT HbN τ1 γ1 P L τN γN P L , Ψ22 = diag{τ1 I, , τN N I, τ1 I, , τN I, τ1 γ1 I, , τN γN I} Chú ý bất đẳng thức ma trận (3.26) đưa bất đẳng thức ma trận tuyến tính ta cố định N số dương τ1 , , τN Vì điều kiện (i) Định lý 3.1 giải số bất đẳng thức ma trận tuyến tính Nhận xét 3.3 Từ Định lý 3.1 Nhận xét 3.2, ta có bước sau để giải tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ (3.1) Bước Giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính (3.26), bất đẳng thức ma trận tuyến tính điều kiện (ii), điều kiện (iii) Định lý 3.1 để tìm ma trận đối xứng, xác định dương P , ma trận Yi (i = 1, , N ), số dương i (i = 1, , N ); Bước Xây dựng tập Λi (i = 1, , N ); Bước Chọn quy tắc chuyển mạch hệ sau σ(x(t)) = i ∈ N , mà x(t) ∈ Λi ; 32 Bước u(t) = Yσ P −1 x(t) luật điểu khiển đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (3.1) với giá trị đảm bảo chi phí điều khiển d(1 + θ) α T + ν2 c Γ(α + 1) f J∗ = 3.2 Ví dụ minh họa Trong mục này, chúng tơi đưa ví dụ minh họa cho kết lý thuyết mục trước Ví dụ 3.1 Xét hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ (3.1) với √ hai hệ con, tức N = tham số α = 0.95, ω(t) = 0.1 sin t, f (x(t)) = T (tanh x1 (t), x2 (t)) ∈ R2 , A1 = D1 = W1 = B1 = A2 = D2 = W2 = B2 = 0 , Ea1 = 0.2 −0.3 0.4 0.3 0.8 −2 0 0.7 0.1 0.3 0.4 0.5 −1 , Eb1 = , Ea2 = 0.2 0.5 1 , Ed2 = , Ew2 = , Eb2 = , Ha1 = 0.5 0.4 , Fa1 (t) = sin t, , Ed1 = , Ew1 = 0.1 0.3 0.1 0.3 0.5 0.3 , Hd1 = 0.1 0.4 , Fd1 (t) = cos t, , Hw1 = 0.5 , Fw1 (t) = sin t, , Hb1 = 0.5 , Fb1 (t) = sin t, , Ha2 = 0.3 0.4 , Fa2 (t) = cos t, 0.3 , Hd2 = 0.2 0.3 , Fd2 (t) = sin t, , Hw2 = , Fw2 (t) = sin t, , Hb2 = 0.9 , Fb2 (t) = cos t Cho trước Tf = 5, c1 = 1, c2 = 3, R = Ta thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn điều kiện (A2) với L = diag{1, 1}, véc tơ nhiễu ω(t) thỏa mãn điều 33 kiện (A3) với d = 0.1 Ta xét hàm chi phí tồn phương có dạng (3.2) với Q1 = , Q2 = Ta thấy điều kiện Định lý 3.1 Nhận xét 3.2 thỏa mãn với τ1 = 0.4, τ2 = 0.6, = 0.9295, = 0.2034, P = 0.8564 −0.1927 −0.1927 0.6730 , Y1 = 1.7240 −2.6191 Y2 = −2.5183 −3.2950 Khi ta có hệ ma trận {L1 (P ), L2 (P )} đầy đủ chặt, L1 (P ) = L2 (P ) = 2.8208 6.3084 6.3084 −3.6504 −6.9188 −4.0994 −4.0994 2.3572 Ta xây dựng miền chuyển mạch sau S1 = {x = (x1 , x2 )T ∈ R2 : 2.8208x21 + 12.6168x1 x2 − 3.6504x22 < 0} S2 = {x = (x1 , x2 )T ∈ R2 : −6.9188x21 − 8.1988x1 x2 + 2.3572x22 < 0}, Λ1 = {P x : x ∈ S1 }, Λ2 = {P x : x ∈ S2 }, Λ1 = Λ1 , Λ2 = Λ2 \ Λ2 ∩ Λ1 Luật chuyển mạch hai hệ xác định sau    1, x(t) ∈ Λ1 σ(x(t)) =   2, x(t) ∈ Λ2 Theo Định lý 3.1, hệ đóng tương ứng ổn định thời gian hữu hạn ứng với (1, 3, 0.1, 5, R) Ngồi ra, luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ u(t) = Ki x(t)(i = 1, 2), t ∈ [0, 5] với K1 = 1.2158 −3.5434 , K2 = −4.3205 −6.1328 Giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ J ∗ = 2.8344 34 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo, cơng thức nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo; • Trình bày tiêu chuẩn cho tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định; • Nghiên cứu tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ; • Đưa 01 ví dụ để minh họa cho kết lý thuyết Chương 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Thế Tuấn (2017), Về số vấn đề định tính hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ toán học, Viện Toán học Tiếng Anh [2] Boroomand, A and Menhaj, M B (2008), “Fractional-order Hopfield neural networks”, In International Conference on Neural Information Processing (pp 883-890), Springer, Berlin, Heidelberg [3] Boyd S., El Ghaoui L., Feron E and Balakrishnan V (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [4] Chen L P., Liu C., Wu R.C., He Y.G., and Chai Y (2016), “Finite-time stability criteria for a class of fractional-order neural networks with delay”, Neural Computing and Applications, 27(3), 549–556 [5] Chua L.O and Yang L (1998), “Cellular neural networks: Theory”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), 1257–1272 [6] Chua L.O and Yang L (1998), “Cellular neural networks: Applications", IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), 1273–1290 [7] Ding X., Cao J., Zhao X., and Alsaadi F.E (2017) “Finite-time Stability of fractional-order complex-valued neural networks with time delays", Neural Processing Letters, 46(2), 561–580 [8] Duarte-Mermoud M.A., Aguila-Camacho N., Gallegos J.A and CastroLinares R (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove 36 Lyapunov uniform stability for fractional order systems", Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), 650–659 [9] Niamsup P., Ratchgit K and Phat V.N (2015), “Novel criteria for finitetime stabilization and guaranteed cost control of delayed neural networks", Neurocomputing, 160, 281–286 [10] Lazarevi´c M P and Debeljkovi´c D.L (2005), “Finite-time stability analysis of linear autonomous fractional order systems with delayed state", Asian Journal of Control, 7(4), 440–447 (2005) [11] Lazarevi´c M P and Spasi´c A.M., “Finite-time stability analysis of fractional order time-delay systems: Gronwall’s approach", Mathematical and Computer Modelling, 49, 475–481 (2009) [12] Hilfer R (2000), Applications of Fractional Calculus in Physics, World Science Publishing, Singapore [13] Kaczorek T (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer [14] Kilbas A.A., Srivastava H.M and Trujillo J.J (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Springer [15] Li M and Wang J (2017), “Finite time stability of fractional delay differential equations", Applied Mathematics Letters, 64, 170–176 [16] Podlubny I (1999), Fractional Differential Equations, Academic Press [17] Shuo Z, Chen Y.Q and Yu Y (2017), “A Survey of Fractional-Order Neural Network”, ASME 2017 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, American Society of Mechanical Engineers [18] Thuan M.V., Binh T.N and Huong D.C (2018), “Finite-time guaranteed cost control of Caputo fractional-order neural networks”, Asian Journal of Control, DOI: 10.1002/asjc.1927 37 [19] Thuan M.V (2018), “Robust finite-time guaranteed cost control for positive systems with multiple time delays”, Journal of Systems Science and Complexity, 31, 1–14 [20] VanAntwerp J G., and R D Braatz (2000), “A tutorial on linear and bilinear matrix inequalities", Journal of Process Control, 10(4), 363–385 [21] Velmurugana G., Rakkiyappan R., and Cao J (2016), “Finite-time synchronization of fractional-order memristor-based neural networks with time delays”, Neural Networks, 73, 36–46 [22] Wang L., Song Q.K., Liu Y., Zhao Z.J., and Alsaadi F.E (2017), “Finitetime stability analysis of fractional-order complex-valued memristor-based neural networks with both leakage and time-varying delays”, Neurocomputing, 245, 86–101 [23] Wu R.C., Lu Y.F., and Chen L.P (2015), “Finite-time stability of fractional delayed neural networks”, Neurocomputing, 149, 700–707 [24] Yang X., Song Q.K., Liu Y., and Zhao Z.J (2015), “Finite-time stability analysis of fractional-order neural networks with delay”, Neurocomputing, 152, 19–26 [25] Zhang S., Yu Y and Yu J (2017), “LMI conditions for global stability of fractional-order neural networks”, IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 28(10), 2423–2433 [26] Zhou K and Khargonekar P P (1988), “Robust stabilization of linear systems with norm-bounded time-varying uncertainty”, Syst Control Lett., 10, 17–20 ... Chương Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ Chương nghiên cứu tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình. .. thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định Trong chương này, chúng tơi trình bày tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ. .. với hệ phương trình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với bậc ngun có vài cơng trình nghiên cứu toán (xem [9]) Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ