Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu các hệ phương trình vi phân có trễ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  - HỒNG THANH NGA BÀI TỐN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 60 46 01 Thái Nguyên, năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✶ ▼ô❝ ❧ô❝ ✶ ▼ét sè ❦ý ❤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❈➡ së t♦➳♥ ❤ä❝ ✺ ✶✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✶✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ æ♥ ➤Þ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✶✳✷ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✶✳✸ ❇➭✐ t♦➳♥ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ❇➭✐ t♦➳♥ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❤Ư ❝ã trÔ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✷✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❤Ư ❝ã trƠ ✾ ✶✳✷✳✷ ❇➭✐ t♦➳♥ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ ➤✐Ị✉ ✶✳✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❦❤✐Ĩ♥ ❝ã trƠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✸ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ tè✐ ➢✉ ✶✳✸✳✶ ✶✳✸✳✷ ✶✳✹ ✷ ✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▼ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤➷❝ ❜✐Öt ✶✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ❇➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ▼ét sè ❜ỉ ➤Ị ❜ỉ trỵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ tè✐ ➢✉ ✶✺ ✷✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✳ ✳ ✶✺ ✷✳✷ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ tè✐ ➢✉ ❤Ư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã trƠ ✶✽ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã ➤é trƠ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐ ✸✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã ➤é trƠ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐ ✸✳✷ ✷✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ❱Ý ❞ô ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ ▼ét sè ❦ý ❤✐Ư✉ • R = (−∞; +∞) ✿ t❐♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝✳ • R+ = [0; +∞) ✿ t❐♣ ❝➳❝ số tự ã Rnìr tr n ì r ề ã Rn ❣✐❛♥ ✈Ð❝t➡ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤ù❝ n ❝❤✐Ị✉ ✈í✐ ❦ý ❤✐Ư✉ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ❧➭ < , > ✈➭ ❝❤✉➮♥ ✈Ð❝ t➡ ❧➭ || || • C([a; b], Rn ) ✿ t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ [a; b] trị tr Rn ã L2 ([a, b], Rm )✿ t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤➭♠ ❦❤➯ tÝ❝❤ ❜❐❝ ❤❛✐ tr➟♥ [a, b] ✈➭ ❧✃② ❣✐➳ m trị tr R ã AT tr ể ị ủ A tr A ợ ọ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ T ♥Õ✉ A = A • I ✿ ♠❛ tr❐♥ ➤➡♥ ✈Þ✳ • λ(A)✿ t❐♣ trị r ủ A ã max (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} • λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} • A > 0✿ ♠❛ tr❐♥ A ị ã A tr A ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ▲ý t❤✉②Õt ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ tè✐ ➢✉ r❛ ➤ê✐ ✈➭♦ ❝✉è✐ ♥❤÷♥❣ ♥➝♠ ✺✵ ❝đ❛ t❤Õ ❦Ø ❤❛✐ ♠➢➡✐✳ ❚r➯✐ q✉❛ q✉➳ tr×♥❤ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ♠➵♥❤ ♠Ï ♥ã ➤➲ t❤✉ ➤➢ỵ❝ ♥❤✐Ị✉ t❤➭♥❤ tù✉ rù❝ rì✳ ◆❣➭② ♥❛②✱ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ tè✐ ➢✉ ❝ã t➬♠ q✉❛♥ trä♥❣ ➤➷❝ ❜✐Ưt✱ t❤✉ ❤ót sù q✉❛♥ t➞♠ ❝đ❛ ➤➠♥❣ ➤➯♦ ❝➳❝ ♥❤➭ ❦❤♦❛ ❤ä❝✳ ▲ý t❤✉②Õt ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ tè✐ ➢✉ ➤➲ trë t❤➭♥❤ ♠ét ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ t♦➳♥ ❤ä❝✱ ❝ã ♥❤✐Ị✉ ø♥❣ ❞ơ♥❣ t♦ ❧í♥ tr♦♥❣ ➤ê✐ sè♥❣ ❦✐♥❤ tÕ✱ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❦Ü t❤✉❐t✳ P❤➳t tr✐Ĩ♥ tõ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ❤ã❛ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ tè✐ ➢✉ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ t×♠ q✉➳ tr×♥❤ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❝➳❝ ❤Ư ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ ♠➠ t➯ ❜ë✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ ❤ä❝✳ ❚r➟♥ t❤ù❝ tÕ ❝➳❝ ❤Ư t❤è♥❣ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ t❤➢ê♥❣ ❜Þ t➳❝ ➤é♥❣ ❜ë✐ ♥❤✐Ị✉ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ♣❤➳t s✐♥❤ tõ ➤➷❝ tÝ♥❤ ✈❐t ❧Ý ❝đ❛ ➤è✐ tợ tết ế t r ì ✈✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❤Ư t❤è♥❣ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ tè✐ ➢✉ ❧➭ ♠ét ♥❤✐Ư♠ ✈ơ q✉❛♥ trä♥❣ ❝đ❛ ❧ý t❤✉②Õt ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ t♦➳♥ ❤ä❝✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ ❣✐➳ trÞ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❝➳❝ ệ ộ ự ợ t ệ trì ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ã trÔ✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❜❛♦ ❣å♠ ✸ ❝❤➢➡♥❣✿ ❈❤➢➡♥❣ ✶✿ ❈➡ së t♦➳♥ ❤ä❝✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ tr➢í❝ ❤Õt ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ✈Ị ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ ❝ã trƠ✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ỉ♥ ➤Þ♥❤✱ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ ❝ã trƠ✱ ♠ét sè ❜ỉ ➤Ị ❞ï♥❣ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❦Õt q✉➯ ë ❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷✿ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ tè✐ ➢✉✳ ❈❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝➡ së ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ tè✐ ➢✉✳ P❤➬♥ ➤➬✉ ❝❤➢➡♥❣ trì ề t trị ề ❦❤✐Ĩ♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈í✐ ❤➭♠ ♠ơ❝ t✐➟✉ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣✳ P❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã trƠ✳ P❤➬♥ ❝✉è✐ ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣ ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❦Õt q✉➯ ➤Þ♥❤ ❧Ý ❝❤♦ ❤Ư ❝ã trÔ ❜✐Õ♥ t❤✐➟♥✳ ❈❤➢➡♥❣ ✸✿ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã ➤é trƠ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❧➭ ✈✐Ư❝ t×♠ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ ❝❤♦ ❤Ư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã ➤é trƠ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝ị♥❣ ➤➢❛ r❛ ♠ét ✈Ý ❞ơ ♠✐♥❤ ❤ä❛ ❝❤♦ ❦Õt q✉➯ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá sù ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ●❙✳ ❚❙❑❍ ❱ị ◆❣ä❝ P❤➳t✱ ♥❣➢ê✐ t❤➬② ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❝❤Ø ❜➯♦ t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ t➠✐ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❚➠✐ r✃t ❜✐Õt ➡♥ ❚r➢ê♥❣ ➜❍❙P ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥✱ ❑❤♦❛ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤♦ t➠✐ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ tr➢ê♥❣✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❝ỉ ✈ị ➤é♥❣✱ ✈✐➟♥ t➠✐ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ▼➷❝ ❞ï ➤➲ ❝è ❣➽♥❣ r✃t ♥❤✐Ị✉ ♥❤➢♥❣ ✈× t❤ê✐ ❣✐❛♥ ✈➭ trì ộ ò ế tể tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ t❤✐Õ✉ sãt ✈➭ s❛✐ ❧➬♠✳ ❚➠✐ r✃t ợ ỉ ữ ó ó ❝ñ❛ t❤➬② ❝➠ ✈➭ ❝➳❝ ❜➵♥✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥✦ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❈➡ së t♦➳♥ ❤ä❝ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ị tÝ♥❤ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ ổ ị ó ợ ủ ệ trì t❤➢ê♥❣ ✈➭ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ã trƠ ✈➭ ♠ét sè ❜ỉ ➤Ị ❜ỉ trỵ ❝❤♦ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝❤Ý♥❤✳ ✶✳✶ ✶✳✶✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❇➭✐ t♦➳♥ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❳Ðt ♠ét ❤Ư tố ợ t ột ệ trì ♣❤➞♥✿ x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ t0 x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, tr♦♥❣ ➤ã x(t) ∈ Rn ❧➭ ✈Ð❝ t➡ tr➵♥❣ t❤➳✐ ❝đ❛ ❤Ư✱ ✭✶✳✶✮ f (t, x) : R+ × Rn → Rn ❧➭ f (t, x) ❧➭ ❤➭♠ t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ư♥ s❛♦ ❝❤♦ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❈❛✉❝❤② ❤Ư (1.1) ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜❛♥ ➤➬✉ x(t0 ) = x0 , t0 ≥ ❤➭♠ ✈Ð❝ t➡ ❝❤♦ tr➢í❝✳ ●✐➯ t❤✐Õt ❧✉➠♥ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠✳ ❑❤✐ ➤ã ❞➵♥❣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 x(t) ❝đ❛ ❤Ư (1.1) ❣ä✐ ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ sè ε > 0, t0 ≥ sÏ tå♥ t➵✐ sè δ > ✭ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ ε, t0 ✮ s❛♦ ❝❤♦ ❜✃t ❦ú ♥❣❤✐Ư♠ y(t), y(t0 )) = y0 ❝đ❛ ❤Ư t❤á❛ ♠➲♥ y0 − x0 < δ t❤× sÏ ♥❣❤✐Ư♠ ➤ó♥❣ ❜✃t ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳ ◆❣❤✐Ư♠ ➤➻♥❣ t❤ø❝ y(t) − x(t) < ε, ∀t ≥ t0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻ ◆ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝✱ ♥❣❤✐Ư♠ x(t) ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❦❤✐ ♠ä✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❦❤➳❝ ❝đ❛ ❤Ư ❝ã ❣✐➳ trÞ ❜❛♥ ➤➬✉ ➤đ ❣➬♥ ✈í✐ ❣✐➳ trÞ ❜❛♥ ➤➬✉ ❝đ❛ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ x(t) t❤× ✈➱♥ ➤đ ❣➬♥ ♥ã tr♦♥❣ t ≥ t0 ✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✷✳ x(t) ❝đ❛ ❤Ư (1.1) ❣ä✐ ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥ ♥Õ✉ ♥ã δ > s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ y0 − x0 < δ t❤× ◆❣❤✐Ư♠ ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ ❝ã ♠ét sè y(t) − x(t) lim t→∞ x(t) ◆❣❤Ü❛ ❧➭✱ ♥❣❤✐Ư♠ = ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥ ♥Õ✉ ♥ã ỉ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ ♠ä✐ ♥❣❤✐Ư♠ y(t) ❦❤➳❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ❜❛♥ ➤➬✉ y0 ❣➬♥ ✈í✐ ❣✐➳ trÞ ❜❛♥ ➤➬✉ x0 sÏ t✐Õ♥ tí✐ ❣➬♥ x(t) ❦❤✐ t t✐Õ♥ tí✐ ✈➠ ❝ï♥❣✳ ◆❤❐♥ ①Ðt r➺♥❣ ❜➺♥❣ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤ỉ✐ tr×♥❤ (x − y) → z, (t − t0 ) → τ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ (1.1) sÏ ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ ✈Ị ❞➵♥❣ z˙ = F (τ, z) ✭✶✳✷✮ F (τ, 0) = 0✱ ✈➭ ❦❤✐ ➤ã sù ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ x(t) ♥➭♦ ➤ã ❝đ❛ ❤Ư (1.1) sÏ ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ ✈Ị ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ✵ ❝đ❛ ❤Ư (1.2)✳ ➜Ĩ ♥❣➽♥ ❣ä♥✱ tõ ♥❛② t❛ sÏ ♥ã✐ ❤Ư (1.2) ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t❤❛② ✈➭♦ ♥ã✐ ♥❣❤✐Ư♠ ✵ ❝đ❛ ❤Ư ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤✳ ❉♦ ➤ã✱ tõ ❜➞② ❣✐ê t❛ ①Ðt ❤Ư (1.1) ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt ❤Ư ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ✵✱ + tø❝ ❧➭ ✱ f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R ✳ ❚❛ ♥ã✐ ✿ tr♦♥❣ ➤ã (1.1) ổ ị ế t ì > 0, t0 ∈ R+ sÏ tå♥ t➵✐ sè δ > ✭ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ , t0 ✮ s❛♦ ❝❤♦ ❜✃t ❦× ♥❣❤✐Ö♠ x(t) : x(t0 ) = x0 t❤á❛ ♠➲♥ x0 < δ t❤× x(t) < ✈í✐ ♠ä✐ t ≥ t0 ✳ ❍Ư ❍Ư ♥Õ✉ (1.1) ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥ ♥Õ✉ ❤Ư ỉ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ ❝ã ♠ét sè δ > s❛♦ ❝❤♦ x0 < δ t❤× lim x(t) = t→∞ ◆Õ✉ sè δ>0 tr♦♥❣ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ t❤ê✐ ➤✐Ĩ♠ ❜❛♥ ➤➬✉ t0 ✱ tì tí ổ ị ổ ị tệ ợ ọ ổ ị ề ổ ị tệ ❝❐♥ ➤Ị✉✮✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✸✳ ❍Ư (1.1) s❛♦ ❝❤♦ ♠ä✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❤Ư ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ♠ị ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ sè (1.1) ✈í✐ x(t0 ) = x0 x(t) ≤ M e−δ(t−t0 ) M >0δ>0 t❤á❛ ♠➲♥ x0 , ∀t ≥ t0 ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ✵ ❝đ❛ ❤Ư ❦❤➠♥❣ ♥❤÷♥❣ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥ ♠➭ ♠ä✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♥ã t✐Õ♥ tí✐ ✵ ♥❤❛♥❤ ✈í✐ tè❝ ➤é t❤❡♦ ❤➭♠ sè ♠ị✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼ ✶✳✶✳✷ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❚r➢í❝ t✐➟♥ t❛ ①Ðt ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ❞õ♥❣ x˙ = f (x), f (0) = 0, t ∈ R+ ◆❤➽❝ ❧➵✐ r➺♥❣ ❤➭♠ ✭✐✮ ✭✐✐✮ ✭✶✳✸✮ V (x) : Rn → R ❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ♥Õ✉ V (x) ≥ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ Rn ✳ V (x) = ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ x = 0✳ ❍➭♠ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✹✳ V (x) : Rn → R+ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❝đ❛ ❤Ư (1.3) ♥Õ✉ ✭✐✮ ✭✐✐✮ ✭✐✐✐✮ V (x) ❧➭ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ Rn V (x) ❧➭ ❤➭♠ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳ Df V (x) := ∂V ∂x f (x) ≤ 0, ∀x ∈ Rn ✳ ❍➭♠ ❱✭①✮ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❝❤➷t ♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✈➭ t❤➟♠ ✈➭♦ ➤ã✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr♦♥❣ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✐✐✐✮ ❧➭ t❤ù❝ sù ➞♠✱ ✈í✐ ♠ä✐ ① ♥➺♠ ♥❣♦➭✐ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ✵ ♥➭♦ ➤ã✱ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ❤➡♥✿ ✭✐✈✮ ∃c > : Df V (x) ≤ −c x < 0, x ∈ Rn \{0} ➜Þ♥❤ ❧Ý ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ ➤Ĩ ❤Ư (1.3) ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥ ✈í✐ sù tå♥ t➵✐ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✺✳ ◆Õ✉ ❤Ư (1.3) ❝ã ❤➭♠ tì ổ ị ữ ế ó t tì ệ ổ ị tệ ề ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❝❤♦ ❤➭♠ ❤❛✐ ❜✐Õ♥ ✈í✐ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ s❛✉✿ x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0, ✭✶✳✹✮ f (t, x) : R+ × Rn → Rn ❧➭ ❤➭♠ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ❝❤♦ tr➢í❝ f (t, 0) = + ✈í✐ ♠ä✐ t ∈ R ✳ ❚❛ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tr➟♥ ❢✭✳✮ s❛♦ ❝❤♦ ❤Ö (1.4) ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ①✭t✮ ✈í✐ x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0✳ ➜è✐ ✈í✐ ❤Ư ♣❤✐ t✉②Õ♥ ❦❤➠♥❣ ❞õ♥❣ tỉ♥❣ q✉➳t (1.4) t❤× ợ ị ĩ t tự ❜✐Õ♥ ❱✭t✱ ①✮✳ ❑Ý ❤✐Ö✉ K ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧✐➟♥ + + tô❝ t➝♥❣ ❝❤➷t a(.) : R → R a(0) = 0✳ + n + ❍➭♠ V (t, x) : R × R → R ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ♥Õ✉ t❤á❛ ♠➲♥✿ tr♦♥❣ ➤ã Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✽ ✐✱ ∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a( x ) ∀(t, x) ∈ R+ × Rn ✐✐✱ Df V (t, x) = ∂V ∂V + f (t, x) ≤ ∀(t, x) ∈ R+ × Rn ∂t ∂x ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❱✭t✱①✮ ❧➭ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✈➭ t❤á❛ ♠➲♥ t❤➟♠ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥✿ ✐✐✐✱ ∃b(.) ∈ K : V (t, x) ≤ b( x ) ∀(t, x) ∈ R+ × Rn ✐✈✱ ∃γ(.) ∈ K : Df V (t, x) ≤ −γ( x ) ∀x ∈ R+ ∀x ∈ Rn \{0} tì t ọ t ị ý ◆Õ✉ ❤Ö ♣❤✐ t✉②Õ♥ ❦❤➠♥❣ ❞õ♥❣ (1.4) ❝ã ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ tì ệ ổ ị ế ó t tì ệ ổ ị tệ ị ý ✭✐✮ ✭✐✐✮ ●✐➯ sö tå♥ t➵✐ ❤➭♠ ∃λ1 , λ2 > : λ1 R+ × Rn x(t) V (t, x) : R+ × Rn → R t❤á❛ ♠➲♥✿ ≤ V (t, x(t)) ≤ λ2 x(t) , ∀(t, x) ∈ ∃α > : V˙ (t, x(t)) ≤ −2αV (t, x(t)) ✈í✐ ♠ä✐ ♥❣❤✐Ư♠ x(t) ❝đ❛ ❤Ư(1.1) t❤× ❤Ư (1.1) ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ♠ị ✈í✐ α✱ N = λ2 λ1 ❧➭ ❝➳❝ ❝❤Ø sè ỉ♥ ➤Þ♥❤ ▲②❛♣✉♥♦✈✳ ✶✳✶✳✸ ❇➭✐ t♦➳♥ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❳Ðt ❤Ư ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ ♠➠ t➯ ❜ë✐ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ t0 , x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm ✭✶✳✺✮ u(.) ∈ L2 ([0, t], Rm )∀t ≥ ❧➭ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ ❝❤✃♣ ợ (1.5) ọ ổ ị ó ợ ế tå♥ t➵✐ ❤➭♠ u(t) = h(x(t)) : R → Rm s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ❤➭♠ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ ♥➭② ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✽✳ ❍Ư n ✈✐ ♣❤➞♥ x(t) ˙ = f (t, x(t), h(x(t))), t ≥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✾ ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥✳ ❍➭♠ u = h(x) t❤➢ê♥❣ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ ♥❣➢ỵ❝✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❤Ư (1.5) ❧➭ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ x˙ = Ax + Bu tì ệ ổ ị ó ợ ế tồ t ♠❛ tr❐♥ ✭✶✳✻✮ K s❛♦ ❝❤♦ ♠❛ tr❐♥ (A + BK) ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤✳ ❍❛② ❤Ư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ x˙ = Ax + Bu ổ ị ó ợ ế tồ t➵✐ ♠❛ tr❐♥ K s❛♦ ❝❤♦ ❤Ö ˙ = (A + BK) x(t) ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ ♠ơ❝ ➤Ý❝❤ ủ t ổ ị ó tì ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ ♥❣➢ỵ❝ h(.) ❤♦➷❝ ♠❛ tr❐♥ K ❍Ư ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ó♥ n ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ❤➭♠ g(x) : R → ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✾✳ s❛♦ ❝❤♦ ❤Ư ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t❤❡♦ ĩ (1.5) ợ ọ ổ ị ó ợ ❞➵♥❣ Rm s❛♦ ❝❤♦ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ♠ị x(t) ˙ = f (t, x(t), g(x(t))), t ≥ ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ♠ị✳ ✶✳✷ ✶✳✷✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❤Ư ❝ã trƠ ❇➭✐ t♦➳♥ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❤Ư ❝ã trƠ (1.1) ♠➠ t➯ ♠è✐ x(t) ✈➭ ✈❐♥ tè❝ t❤❛② ❈❤ó♥❣ t❛ ♥❤❐♥ t❤✃② r➺♥❣ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ trì tờ q ệ ữ ế tờ ➤ỉ✐ ❝đ❛ tr➵♥❣ t❤➳✐ t✱ tr➵♥❣ t❤➳✐ ❝đ❛ ❤Ư t❤è♥❣ x(t) t➵✐ ❝ï♥❣ ♠ét t❤ê✐ ➤✐Ó♠ t✳ ❙♦♥❣ tr➟♥ t❤ù❝ tÕ✱ ❝➳❝ q✉➳ tr×♥❤ ①➯② r❛ tr♦♥❣ tù ♥❤✐➟♥ t❤➢ê♥❣ ❝ã sù ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ q✉➳ ❦❤ø✱ ➤Ò✉ Ýt ♥❤✐Ò✉ ♠❛♥❣ tÝ♥❤ ❞✐ tr✉②Ị♥✳ ❱× ✈❐②✱ ❦❤✐ ♠➠ t➯ q✉➳ trì ú ợ ể ễ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ã trƠ✳ ●✐➯ sư ♠ét ❤Ư t❤è♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ q✉➳ ❦❤ø ✈í✐ ➤é trƠ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (0 ≤ h ≤ +∞), http://www.lrc-tnu.edu.vn ✈í✐ ✷✻ H1 = h1med M h1med M h1med M h1med M H2 = h2med Z h2med Z h2med Z h2med Z H3 = δ1 N AT1 δ1 N AT1 δ1 N AT1 δ1 N AT1 T T T , , , T H4 = δ2 Y T B1T δ2 Y T B1T δ2 Y T B1T δ2 Y T B1T H5 = k1 N AT2 k1 N AT2 k1 N AT2 k1 N AT2 T , T H6 = k2 Y T B2T k2 Y T B2T k2 Y T B2T k2 Y T B2T H7 = QN 0 H8 = RY  Ξ11  ∗ Ξ=  ∗ ∗ 0 Ξ12 Ξ13 Ξ22 Ξ23 ∗ Ξ33 ∗ ∗ T T , , , ,  Ξ14 Ξ24  , Ξ34  Ξ44 Ξ11 = 2αP + Q1 + Q2 + k1 T1 + k2 T2 + M T + M + Z T + Z + A0 N + N AT0 + B0 Y + Y T B0T Ξ12 = M + Z − M T + N AT0 + A1 N + Y T B0T , Ξ13 = M + Z − Z T + B1 Y + N AT0 + Y T B0T , Ξ14 = P + M + Z + N AT0 + Y T B0T − N, Ξ22 = −e−2αh1med Q1 − M T − M + A1 N + N AT1 , Ξ23 = −M − Z T + N AT1 + B1 Y, Ξ24 = −M + N AT1 − N, Ξ33 = −e−2αh2med Q2 − Z T − Z + B1 Y + Y T B1T , Ξ34 = −Z + Y T B1T − N, Ξ44 = h1med R1 + h2med R2 + 2δ1 S1 + 2δ2 S2 − 2N, Ξ55 = −h1med e−2αh1med R1 , Ξ66 = −h2med e−2αh2med R2 , Ξ77 = −δ1 e−2α(h1med +δ1 ) S1 , Ξ88 = −δ2 e−2α(h2med +δ1 ) S2 , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✼ (3.1) ✈í✐ ❤➭♠ ♠ơ❝ t✐➟✉ (3.3) ✈í✐ α > 0, Q > ✈➭ R > 0✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ N, P, Q1 , Q2 , R1 , R2 , S1 , S2 , T1 , T2 ✈➭ ♠❛ tr❐♥ Y, M, Z s❛♦ ❝❤♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr s ợ tỏ ị ý ét ❤Ö ♠➲♥   Ξ H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8 ∗ Ξ 0 0 0  55   ∗ ∗ Ξ 0 0 0    66 ∗ ∗ ∗ Ξ77 0 0      ∗ ∗ Ξ88 0 0  tr A ị ã A... ❝đ❛ ❧ý t❤✉②Õt ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ t♦➳♥ ❤ä❝✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ ❣✐➳ trị tố ệ ộ ự ợ t➯ ❜ë✐ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ã trƠ✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❜❛♦ ❣å♠ ✸ ❝❤➢➡♥❣✿ ❈❤➢➡♥❣ ✶✿ ❈➡