tóm tắt luận án tiến sĩ ĐIỀU KHIỂN H CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌ C TỰ NHIÊN Nguyễn Trường Thanh ĐIỀU KHIỂN H ∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI P HÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62460103 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội. Người hướng dẫn khoa học: 1. GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát 2. PGS. TS. Vũ Hoàng Linh Phản biện: Phản biện: Phản biện: Luận án sẽ được bảo vệ trướ c Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Đại học Quốc gia họp tại vào hồi giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội MỞ ĐẦU Lý thuyết không gian H ∞ có nguồn gốc từ công trình của G. H. Hardy năm 1915. Sau đó, năm 1981, G. Zames áp dụng thành công lí thuyết này vào điều khiển, lần đầu tiên đưa bài toán thiết kế điều khiển cho hệ thống một đầu vào và một đầu ra về bài toán tối ưu hóa. Bài toán điều khiển H ∞ tối ưu có thể hiểu như sau: Tìm điều khiển để ổn định hóa hệ thống khi không có nhiễu và k hi có nhiễu thì điều khiển này đảm bảo tác dụng củ a nhiễu là nhỏ nhất. Trên cơ sở quy về bài toán tối ưu, việc tìm điều khiển H ∞ có thể dựa trên nhiều công cụ toán học và phương pháp số, và do đó việc thiết kế điều khiển trở nên đơn giản hơn. Điều này làm cho bài toán điều khiển H ∞ phát triển mạnh m ẽ từ thập kỉ 80 cho tới nay, và đã áp dụng thành công trong nhiều lĩnh vực, các quá trình công nghiệp, và kĩ thuật. Trong thập kỉ 80, nhiều phương pháp được sử dụng nhằm giải các bài toán điều khiển H ∞ , như phương pháp hàm giải tích Nevalina-Pick hoặc phương pháp lí thuyết toán tử. Cũng trong giai đoạn này, năm 1984, Doyle lần đầu tiên nghiên cứu bài toán điều khiển H ∞ cho hệ đa đầu vào và đa đầu ra, và kết quả này được phát triển tiếp bởi Glover và Francis. Tuy nhiên, điểm hạn chế của các nghiên cứu này là chúng liên quan tới việc giải phương trình Riccati có kích thước rất lớn và công thức cho các điều khiển là quá phức tạp. Năm 1989, Doyle đã mở rộng các nghiên cứu bài toán điều khiển H ∞ từ việc nghiên cứu trễ hằng số sang nghiên cứu trễ biến thiên, từ không gian hữu hạn chiều sang vô hạn chiều, và cũng thu được một số kết quả nhất định.Trong thập niên 90 cho tới nay, bằng cách sử dụng phương pháp thứ hai Lyapunov và các định lí mở rộng của chúng như Lyapunov-Krasovskii, Lyapunov- 1 Razumikhin, phương pháp LMI (bất đẳng thức ma trận tuyến tính), và các công cụ tính toán tiên tiến khiến việc nghiên cứu bài toán điều khiển H ∞ trở nên dễ dàng hơn và có nhiều kết quả đáng quan tâm. Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H ∞ cho một số hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi hỏi trễ khả vi và thậm chí có cấu trúc khá phức tạp. Dựa trên một lớp hàm Lyapunov-Krasovskii và một số bất đẳng thức mới, một số điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H ∞ đã được chỉ ra thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Lớp hệ đầu tiên được nghiên cứu trong luận án cho bài toán điều khiển H ∞ là hệ phi tuyến có trễ (2.1). Bằng cách sử dụng hàm Lyapunov-Krasovskii và các bất đẳng thức mới, một điều kiện đủ cho bài toán điều khiển H ∞ được thiết lập thông qua LMI, các LMI này có thể giải được một cách đơn giản thông qua Matlab. Cách tiếp cận này cho phép áp dụng nghiên cứu bài toán này cho một lớp hệ không chắc chắn có trễ tương ứng. Lớp hệ thứ hai được nghiên cứu trong luận án là một lớp hệ Large-Scale phi tuyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi hỏi khả vi, được tạo thành từ nhiều hệ con có liên kết trong giữa các hệ con, được mô tả bởi phương trình vi phân (2.21). Kết quả chính thu được là một điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H ∞ và tính ổn định hóa dạng mũ cho hệ đóng tương ứng. Đây là kết quả đầu tiên về bài toán điều khiển H ∞ cho lớp hệ (2.21). Phần tiếp theo của luận án, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của một lớp hệ chuyển mạch Large-Scale được mô tả bởi 2 phương trình vi phân (3.1) với các quy tắc bật nhận giá trị trong tập hữu hạn cho trước. So s ánh với các kết quả đã có, kết quả của chúng tôi có các ưu điểm sau: (i) hàm trễ liên tục biến thiên dạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi của hàm trễ, và cận dưới của trễ có thể khác không; (ii) các điều kiện được thể hiện thông qua LMI có thể giải số một cách hiệu quả thông qua Matlab; (iii) một thiết kế hình học đơn giản được s ử dụng để tìm các luật chuyển đổi và cho phép đảm bảo tính ổn định mũ cho hệ thống. Phần cuối của luận án, chúng tôi mở rộng các kết quả về ổn định cho hệ chuyển mạch (3.1) để nghiên cứu bài toán điều khiển H ∞ cho một lớp hệ Large-Scale chuyển mạch (3.17). Kết quả đạt được là một điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H ∞ và là kết quả đầu tiên về điều khiển H ∞ cho hệ Large-Scale chuyển mạch có trễ biến thiên dạng khoảng. Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các kí hiệu, danh mục 3 công trình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương như sau: Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC Chương 2. ĐIỀU KHIỂN H ∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Chương 3. ĐIỀU KHIỂN H ∞ CHO HỆ LARGE-SCALE CHUYỂN MẠCH CÓ TRỄ BIẾN THIÊN 3 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa 1.1.1 Bài toán ổn định Lyapunov Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân ˙x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0. (1.1) Định nghĩa 1.1.2. Giả s ử f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Khi đó, nghiệm x = 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) với x(t 0 ) = x 0 thỏa mãn ||x(t)|| ≤ Me −δ(t−t 0 ) ||x 0 ||, ∀t ≥ t 0 . Định nghĩa 1.1.3. Giả sử f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Hàm V : R + × D → R khả vi liên tục và thỏa mãn V (t, 0) = 0, ∀ t ≥ 0, với D ⊂ R n là lân cận mở tùy ý của 0, được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa ∃a(·) ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||), ∀(t, x) ∈ R + × D với K là tập các hàm liên tục không giảm a(·) : R + → R + , a(0) = 0, a(s) > 0, ∀s > 0. ii) ˙ V (t, x) := ∂V ∂t + ∂V ∂x f(t, x) ≤ 0, ∀(t, x) ∈ R + × D. Nếu hàm V (t, x) là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm các điều kiện iii) ∃b ∈ K sao cho V (t, x) ≤ b(||x||), ∀(t, x) ∈ R + × D; 4 iv) ∃c ∈ K sao cho ˙ V (t, x(t)) ≤ −c(||x||), ∀t ∈ R + , ∀x ∈ D \ {0}, thì V (t, x) gọi là hàm Lyapunov chặt. Định lí 1.1.4. Giả sử f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Khi đó, nếu hệ (1.1) có hàm Lyapunov thì nghiệm x = 0 của hệ là ổn định. Hơn nữa, nếu hàm Lyapunov đó là chặt thì nghiệm x = 0 của hệ là ổn định tiệm cận đều. 1.1.2 Bài toán ổn định hóa Xét hệ điều khiển được mô tả bởi phương trình vi phân ˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0. (1.2) Định nghĩa 1.1.5. Hệ (1.2) được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm h : R n → R m , h(0) = 0, sao cho với điều khiển u = h(x), nghiệm x = 0 của hệ ˙x(t) = f(t, x(t), h(x(t))) là ổn định tiệm cận. Trong trường hợp này, hàm u = h(x) được gọi là hàm điều khiển ngược ổn định hóa hệ thống. 1.2 Bài toán tồn tại nghiệm của hệ có trễ Xét hệ phương trình vi phân hàm ˙x(t) = f (t, x t ), t ≥ t 0 ≥ 0, x(t) = ϕ(t), t ∈ [t 0 −τ,t 0 ]. (1.3) Định lí 1.2.3. Cho hàm số f : [0, +∞) ×P C([−r, 0], R n ) → R n thỏa mãn các điều kiện sau. i) Với bất kì H > 0, tồn tại M(H) > 0 sao cho ||f(t, ϕ)|| ≤ M(H), (t, ϕ) ∈ [0, +∞)×P C([−r, 0], R n ), ||ϕ|| C ≤ H; ii) Hàm f(t, ϕ) là hàm liên tục trên tập [0, +∞)×P C([−r, 0], R n ) với cả hai biến; 5 iii) Hàm f (t, ϕ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz với biến thứ hai, tức là tồn tại hằng số Lipschitz L(H) > 0 sao cho ||f(t, ϕ 1 ) −f(t, ϕ 2 )|| ≤ L(H)||ϕ 1 − ϕ 2 || C , với mọi t ≥ 0, ϕ i ∈ PC([−r, 0], R n ), ||ϕ i || C ≤ H, i = 1, 2. iv) ||f(t, ϕ)|| ≤ η(||ϕ|| C ), t ≥ 0, ϕ ∈ P C([−r, 0], R n ), trong đó η : [0, ∞) → R liên tục, không giảm và sao cho với r 0 ≥ 0 bất kì điều kiện sau thỏa mãn lim R→∞ R  r 0 dr η(r) = +∞. Khi đó, với t 0 ≥ 0 và hàm ϕ ∈ PC([−r, 0], R n ) cho trước, hệ (1.3) có duy nhất nghiệm x(t) xác định trên [t 0 − r, ∞) với điều kiện ban đầu x t 0 = ϕ. 1.3 Bài toán ổn định và ổn định hóa hệ có trễ 1.3.1 Bài toán ổn định hệ có trễ Định nghĩa 1.3.2. Giả sử f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R và β > 0 cho trước. Khi đó, nghiệm x = 0 của (1.3) được gọi là β− ổn định mũ nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho mọi nghiệm x(t 0 , ϕ) của hệ (1.3) thỏa mãn ||x(t 0 , ϕ)(t)|| ≤ Me −β(t−t 0 ) ||ϕ|| C , ∀t ≥ t 0 . Định nghĩa 1.3.3. Đặt Q H := {ϕ ∈ C([−r, 0], R n )| ||ϕ|| C ≤ H}. Nếu V : R × Q H → R liên tục và x (·) là nghiệm của phương trình (1.3), chúng ta định nghĩa ˙ V (t, ϕ) = lim sup h→0 + 1 h [V (t + h, x t+h (t, ϕ)) −V (t, ϕ)] . Định nghĩa 1.3.4. Hàm V : R ×Q H → R liên tục và thỏa mãn V (t, 0) = 0, ∀t ∈ R, được gọi là hàm Lyapunov-Krasovskii của hệ (1.3) nếu 6 i) hàm V (t, ϕ) xác định dương, tức là ∃u ∈ K : u(||ϕ(0)||) ≤ V (t, ϕ), ∀ϕ ∈ Q H , t ∈ R, ii) ˙ V (t, ϕ) ≤ 0, ∀ϕ ∈ Q H . Định lí 1.3.7. Nếu tồn tại hàm liên tục V : R + × C → R thỏa mãn i) Tồn tại λ 1 , λ 2 > 0 sao cho λ 1 ||ϕ(0)|| 2 ≤ V (t, ϕ) ≤ λ 2 ||ϕ|| 2 C ii) ˙ V (t, ϕ) ≤ 0, thì hệ (1.3) là ổn định và nghiệm là bị chặn, tức là tồn tại M > 0 sao cho ||x(t 0 , ϕ)(t)|| ≤ M||ϕ|| C , ∀(t 0 , ϕ) ∈ R + ×C, t ≥ t 0 . Nếu thay điều kiện (ii) bằng điều kiện iii) Tồn tại λ 0 > 0 sao cho ˙ V (t, ϕ) ≤ −2λ 0 V (t, ϕ) với mọi (t, ϕ) ∈ R + × C, thì hệ (1.3) là ổn định mũ và nghiệm của hệ thỏa mãn ||x(t 0 , ϕ)(t)|| ≤  λ 2 λ 1 e −λ 0 (t−t 0 ) ||ϕ|| C , ∀t ≥ t 0 . 1.3.2 Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển có trễ Xét hệ điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân ˙x(t) = f (t, x t , u(t)), t ≥ 0, x 0 = ϕ. (1.4) Định nghĩa 1.3.8. Cho β > 0. Hệ (1.4) gọi là ổn định hóa được dạng mũ nếu tồn tại hàm g : R n → R m , g(0) = 0, sao cho x = 0 của hệ ˙x(t) = f(t, x t , g(x(t))) là β− ổn định mũ. 1.4 Phương pháp H ∞ trong lí thuyết điều khiển 7 1.4.1 Không gian H ∞ Định nghĩa 1.4.1. H ∞ là không gian các hàm có giá trị ma trận, giải tích trên nửa mặt phẳng Re(s) > 0 và bị chặn trên trục ảo. Chuẩn H ∞ được định nghĩa ||F || ∞ := sup Re(s)>0  λ max (F ∗ (s)F (s )). Định nghĩa 1.4.2. Cho ω ∈ L 2 ([0, ∞), R n ) và z ∈ L 2 ([0, ∞), R m ) . Ma trận chuyển T zω từ ω tới z được định nghĩa Z(s) = T zω (s)Ω(s), trong đó Z(s), Ω(s) là các biến đổi Laplace của z(t), ω(t). 1.4.2 Bài toán điều khiển H ∞ Xét hệ điều khiển được mô tả như sau: Thiết bị P có hai đầu vào: đầu vào ngoại sinh ω và các biến điều khiển u. Các kết quả đầu r a, các tín hiệu lỗi z và các biến đo x được sử dụng trong K để thiết kế biến điều khiển u. Trước hết, chúng ta nhận định một bộ điều khiển là chấp nhận được nếu nó ổn định hệ thống khi không có đầu vào ngoại sinh (ω ≡ 0). Hình 1: Sự miêu tả thiết bị cho bài toán điều khiển H ∞ H1. Điều khiển H ∞ tối ưu. Tìm tất cả các điều khiển chấp nhận được được K sao cho ||T zω || ∞ là nhỏ nhất. H2. Điều khiển H ∞ tựa tối ưu (suboptimal). Cho γ > 0. Tìm điều khiển chấp nhận được được K sao cho ||T zω || ∞ ≤ γ. 8 [...]... dụng các kĩ thuật mới nhất, cho phép đánh giá tính ổn định với độ biến thiên của trễ lớn h n so với các kết quả đã có Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu tính ổn định và bài toán điều khiển H cho các h phương trình vi phân và điều khiển khác có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng • Nghiên cứu tính ổn định và thiết kế các điều khiển khác như điều khiển phụ thuộc h m...CHƯƠNG 2 ĐIỀU KHIỂN H CHO MỘT SỐ LỚP H PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H cho một số lớp h phương trình vi phân có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, và không khả vi Nội dung được trình bày trong chương này dựa vào hai bài báo [1,2] trong danh mục các công trình khoa h c của tác giả 2.1 Điều khiển H cho một lớp h phi tuyến... H cho h Large-Scale chuyển mạch có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng Điểm mới của luận án so với các kết quả đã có: • H m trễ không đòi h i tính khả vi và cận dưới của trễ có thể khác 0 • H u h t các h được nghiên cứu trong luận án là LargeScale, tức là các h quy mô lớn có cấu trúc phức tạp được h nh thành từ rất nhiều h con • Các quy tắc chuyển mạch được biểu diễn bằng h nh h c một cách đơn... + (h2 h1 )3 λmax (Ui1 )+ (h2 h1 )h2 λmax (Λi1 ) 2 14 CHƯƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN H CHO H LARGE-SCALE CHUYỂN MẠCH CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định và bài toán điều khiển H của một lớp h Large-Scale chuyển mạch có trễ dạng khoảng Dựa vào các bất đẳng thức ma trận tuyến tính, chúng tôi xây dựng các quy tắc chuyển mạch dạng h nh h c nhằm đảm bảo tính ổn định của một lớp h ... khoảng, không đòi h i tính khả vi của h m trễ Những kết quả đã được chứng minh trong luận án: • Đưa ra một số điều đủ cho sự tồn tại điều khiển H và ổn định h a dạng mũ cho lớp h phi tuyến và h Large-Scale có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng xuất hiện trong cả h m trạng thái và quan sát (Định lí 2.1.3 và Định lí 2.2.3) Tiếp đó, áp dụng các định lí này cho các h không chắc chắn tương ứng và thu... được các kết quả tương tự • Đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định mũ cho h Large- Scale chuyển mạch thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính và thiết kế quy tắc chuyển mạch dạng h nh h c (Định lí 3.1.4) • Đưa ra một điều kiện đủ (Định lí 3.2.2) cho sự tồn tại điều khiển H cho h Large-Scale chuyển mạch trên cơ sở phát triển Định lí 3.1.4 Đây là kết quả đầu tiên của bài toán điều khiển H cho... định của một lớp h chuyển mạch, cũng như thiết kế các điều khiển H tương ứng Các kết quả chính trong chương này dựa vào bài báo [3] trong danh mục các công trình khoa h c của tác giả 3.1 Tính ổn định của h Large-Scale phi tuyến chuyển mạch Xét h Large-Scale chuyển mạch được h nh thành từ các h con Σi , i = 1, 2, , N, có dạng như sau  N  x (t) = Aσi x (t) +  ˙i Aσi xj (t − hij (t)) i  ij i ... quan sát cho các h phương trình vi phân và điều khiển có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng 24 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA H C CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] Thanh N T and Phat V N (2012), "Decentralized H Control for Large-Scale Interconnected Nonlinear Time-Varying Delay Systems via LMI Approach", Journal of Process Control, 22(7), pp 1325-1339.(SCI) [2] Thanh N T and Phat V N (2013), "H Control... )+ (h2 h1 )h2 λmax (Λi1 ) 2 + Al Pi + 2βPi + 2Qi − i N + Ωl = {x ∈ i aij , + j=1,j=i R ni : Al Al ij ij T e−4 h2 (h2 h1 ) Λi h2 +h1 + εl Ii , i xT Pi−1 Ll Pi−1 x < 0}, l = 1, s, i = 1, N , i Ω1 = Ω1 ∪ {0}, Ωl = Ωl \ i i i i j−1 k=1 Ωk , j = 2, , N, i = 1, 2, , N i 22 KẾT LUẬN Luận án nghiên cứu tính ổn định và bài toán điều khiển H cho một số h phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên liên... +fiσi t, xi (t), {xj (t − hij (t))}N  j=1,j=i ,      xi (θ) = ϕi (θ), θ ∈ [ h2 , 0], trong đó các h m trễ thỏa mãn 0 ≤ h1 ≤ hij (t) ≤ h2 , các h m σi : Rni → {1, 2, , s} là quy tắc bật của h con thứ i nhận giá trị trong tập h u h n {1, 2, , s} Quy tắc này lựa chọn cho tất cả các i sao cho σi (xi (t)) = l suy ra chuyển chế độ thứ l được kích hoạt cho h con thứ i Chính xác h n, σ(x(t)) = σ1 (x1 . γ. 8 CHƯƠNG 2 ĐIỀU KHIỂN H ∞ CHO MỘT SỐ LỚP H PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H ∞ cho một số lớp h phương trình vi phân có trễ biến. ĐẠI H C QUỐC GIA H NỘI TRƯỜNG ĐẠI H C KHOA H C TỰ NHIÊN Nguyễn Trường Thanh ĐIỀU KHIỂN H ∞ CÁC H PHƯƠNG TRÌNH VI P H N CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã. công trình khoa h c của tác giả, tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương như sau: Chương 1. CƠ SỞ TOÁN H C Chương 2. ĐIỀU KHIỂN H ∞ CHO MỘT SỐ LỚP H PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Chương