Tính giải được của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC: TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TỐN BIÊN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ Năm: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Chuyên ngành: : Mã số: : LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn TS 1 PHẦN MỞ ĐẦU Cùng với phát triển vượt bậc toán học ứng dụng, nhiều toán thực tế liên quan đến lý thuyết tối ưu, hệ phương trình địi hỏi cơng cụ giải tích khơng trơn mà cơng cụ giải tích cổ điển giải tích lồi khơng đáp ứng Vì vậy, xuất ngày nhiều khái niệm mở rộng phép tính vi phân hàm khơng khả vi, chí không liên tục Một khái niệm “dưới vi phân xấp xỉ” cho hàm nửa liên tục không gian Hilbert, mà định nghĩa dựa vào khái niệm “vec-tơ pháp xấp xỉ” tập đồ thị hàm số 901 2 Một số kiến thức nhóm Một nhóm (G, ·) tập hợp G ̸= ∅ trang bị phép tốn hai ngơi · thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) a · (b · c) = (a · b) · c với a, b, c ∈ G, (ii) Tồn phần tử e ∈ G cho a · e = a = e · a với a ∈ G, (iii) Với a ∈ G tồn phần tử a′ ∈ G cho a · a′ = a′ · a = e Để đơn giản, ta ký hiệu ab thay cho a · b Phần tử e xác định (ii) nhất, gọi phần tử đơn vị nhóm G, thường ký hiệu Với a ∈ G, phần tử a′ xác định (iii) nhất, gọi phần tử nghịch đảo a, ký hiệu a−1 Một nhóm G gọi giao hoán (hay abel ) ab = ba với a, b ∈ G Nếu nhóm G có hữu hạn phần tử ta gọi G nhóm hữu hạn, gọi số phần tử G cấp nhóm G, ký hiệu |G| Cho G nhóm, H tập G Ta gọi H nhóm G, ký hiệu H ⩽ G, điều kiện sau thỏa mãn: (i) Phép toán G hạn chế lên H cảm sinh phép toán H , (ii) H nhóm với phép tốn cảm sinh Cho G nhóm, H tập G ta ký hiệu ⟨S⟩ nhóm bé G chứa S , gọi S tập sinh ⟨S⟩ Đặc biệt, nhóm có tập sinh gồm phần tử gọi nhóm xiclíc Mệnh đề (Định lý Lagrange) Cho G nhóm hữu hạn, H nhóm G Khi |H| ước |G| Với G nhóm hữu hạn, H ⩽ G, ta ký hiệu |G : H| = |G| : |H|, gọi số nhóm H G Mệnh đề Cho G nhóm, A, B hai nhóm hữu hạn G Ký hiệu AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B} Khi |AB| = |A||B| |A ∩ B| Cho G nhóm, a phần tử G Với u phần tử G, liên hợp u a, ký hiệu ua , định nghĩa ua = a−1 ua Với H nhóm G, ta gọi H nhóm chuẩn tắc G, ký hiệu H ◁ G, ∈ H với a ∈ G, h ∈ H Cho N nhóm chuẩn tắc G Ký hiệu G/N = {aN | a ∈ G} Khi G/N nhóm với phép toán xác định sau Với a, b ∈ G (aN )(bN ) = abN Nhóm G/N gọi nhóm thương G N Với S tập G, tâm hóa S G, ký hiệu CG (S), định nghĩa CG (S) = {a ∈ G | ua = u với u ∈ S} Trong trường hợp S = {x}, ta dùng ký hiệu CG (x) thay cho CG (S) Tâm nhóm G, ký hiệu Z(G), định nghĩa Z(G) = CG (G) Mệnh đề Cho G nhóm khơng giao hốn Khi đó, nhóm thương G/Z(G) khơng nhóm xiclíc Cho G nhóm Với x y hai phần tử G, giao hoán tử x y , ký hiệu [x, y], định nghĩa [x, y] = x−1 y −1 xy Nhóm giao hoán tử G, ký hiệu G′ , định nghĩa nhóm sinh tập tất giao hoán tử {[x, y] | x, y ∈ G} Cho hai nhóm G H Một ánh xạ f : G → H gọi đồng cấu nhóm với a, b ∈ G f (ab) = f (a)f (b) Nếu đồng cấu f đơn ánh (tương ứng, toán ánh, song ánh) ta gọi f đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng cấu) Ta ký hiệu Aut(G) nhóm tất tự đẳng cấu G Cho N H hai nhóm bất kỳ, cho θ : H → Aut(N ) đồng cấu nhóm Khi đó, tập hợp G = {(x, h) | x ∈ N, h ∈ H} nhóm với phép toán xác định sau Với (x1 , h1 ), (x2 , h2 ) ∈ G, (x1 , h1 )(x2 , h2 ) = (x1 θ(h1 )(x2 ), h1 h2 ) Nhóm G xác định gọi tích nửa trực tiếp N H ứng với tác động θ, ký hiệu G = N ×θ H Trong trường hợp đặc biệt θ đồng cấu tầm thường tích nửa trực tiếp tích trực tiếp Sau số kiến thức p-nhóm nhóm abel hữu hạn Cho p số nguyên tố Một nhóm G gọi p-nhóm |G| môt lũy thừa p Ta thấy nhóm con, nhóm thương p-nhóm p-nhóm Mệnh đề Cho p số nguyên tố Khi (i) Mọi nhóm có cấp p nhóm xiclíc (ii) Mọi nhóm có cấp p2 nhóm abel Mệnh đề Mọi nhóm abel hữu hạn G biểu diễn cách thành tích trực tiếp nhóm xiclíc G∼ = Cn1 × Cn2 × · · · × Cnk ni ⩾ 2, i = 1, 2, k , n1 | n2 | · · · | nk Sau số kiến thức nhóm đối xứng nhóm thay phiên Cho X tập hợp Một song ánh từ tập X đến gọi phép tập X Ký hiệu S(X) tập tất phép tập X Khi S(X) nhóm với phép tốn hợp thành ánh xạ Ta gọi S(X) nhóm đối xứng tập X Ta dùng ký hiệu Sn để nhóm đối xứng tập X = {1, 2, , n} gọi Sn nhóm đối xứng bậc n Định lý Mọi phép π ∈ Sn với n ⩾ phân tích thành tích xích rời Phân tích khơng kể đến thứ tự nhân tử Cho π ∈ Sn với n ⩾ Khi đó, theo Định lý ??, ta có phân tích π thành tích xích rời π = (a11 a12 · · · a1k1 )(a21 a22 · · · a2k2 ) · · · (as1 as2 · · · asks ) ta giả thiết k1 ⩾ k2 ⩾ · · · ⩾ ks Ta gọi (k1 , k2 , , ks ) kiểu phép π Mệnh đề Hai phép nhóm đối xứng Sn với n ⩾ liên hợp với chúng có kiểu Cho σ ∈ Sn với n ⩾ Ta nói cặp (σ(i), σ(j)) nghịch σ i < j σ(i) > σ(j) Dấu phép σ, ký hiệu sign(σ), xác định công thức sign(σ) = (−1)t t số nghịch σ Nếu sign(σ) = ta gọi σ phép chẵn, sign(σ) = −1 ta gọi σ phép lẻ Mệnh đề Cho σ, τ ∈ Sn với n ⩾ Khi (i) sign(στ ) = sign(σ)sign(τ ) (ii) Nếu σ xích độ dài k sign(σ) = (−1)k+1 Với n ⩾ ta ký hiệu An tập phép chẵn bậc n Khi An nhóm chuẩn tắc số Sn Ta gọi An nhóm thay phiên bậc n Cuối mục kết độ giao hoán nhóm Định nghĩa Cho G nhóm Ký hiệu C = {(x, y) ∈ G × G | xy = yx} Độ giao hoán G, ký hiệu Pr(G), định nghĩa sau Pr(G) = |C| |G|2 Mệnh đề Nếu G nhóm khơng giao hốn Pr(G) ⩽ Mở rộng Dorroh mở rộng tail ring ∆U -vành Mệnh đề Cho R vành, điều kiện sau tương đương (1) R ∆U -vành (2) ∆(R) = U◦ (R) (3) Ánh xạ ε : (∆(R), ◦) → (U (R), ) cho ε(x) = − x đẳng cấu nhóm Định lý Cho R vành có đơn vị Khi điều kiện sau tương đương (1) Mở rộng Dorroh Z ⊕ R ∆U -vành (2) R ∆U -vành Mệnh đề 10 R[D, C] ∆U -vành D C ∆U -vành 3.1 Các nhóm vành Định lý Cho G nhóm hữu hạn với cấp + 2n R ∆U -vành Khi RG ∆U -vành agumentation iđêan ∇(RG) ∆U -vành Bổ đề Nếu G locally finite 2-group R ∆U -vành với ∆(R) lũy linh, ∇(RG) ⊆ ∆(RG) Định lý Cho R ∆U -vành G locally finite 2-group Nếu ∆(R) lũy linh, RG ∆U -vành Hệ Cho R right (or left) perfect ring G locally finite 2-group Khi đó, R ∆U -vành RG ∆U -vành Vô hạn chiều Định nghĩa (i) Không gian vector thực E gọi vô hạn chiều khơng hữu hạn chiều ta viết dimR E = ∞ (ii) Nếu dimR E = ∞, hệ B ⊂ E gọi sở (đại số Hamel) E hệ vector độc lập tuyến tính (nghĩa tập hữu hạn độc lập tuyến tính) B tập lớn tất tập chứa vector độc lập tuyến tính E Điều chứng minh theo nguyên lý cực đại Hausdorff, với không gian vector vơ hạn chiều E có sở B phần tử thuộc E biểu diễn (hữu hạn) theo tổ hợp tuyến tính phần tử thuộc B Khi dimR E = ∞, (E, ∥.∥E ) (E ′ , ∥.∥E ′ ) không thiết đẳng cấu topo Tuy nhiên, ta chứng minh vài tính chất topo (E ′ , ∥.∥E ′ ) tính tách giữ (E, ∥.∥E ) Định lý (E, ∥.∥E ) tách (E ′ , ∥.∥E ′ ) tách Trước chứng minh định lý ta cần sử dụng điều kiện trù mật cho khơng gian định chuẩn, hệ định lý Hahn-Banach thứ hai hình học Mệnh đề 11 (Điều kiện trù mật không gian con) Cho (E, ∥.∥E ) không gian định chuẩn Giả sử M ⊂ E không gian không trù mật (E, ∥.∥E ) lấy x0 ∈ E \ M Khi tồn f ∈ E ′ cho ⟨f, x⟩E ′ ×E = 0, ∀x ∈ M ⟨f, x0 ⟩E ′ ×E = Chứng minh Từ định lý Hahn-Banach thứ hai hình học, tồn g ∈ E ′ cho siêu phẳng H := {x ∈ E : ⟨g, x⟩E ′ ×E = α}, tách tập M {x0 } cách nghiêm ngặt, tức ⟨g, x⟩E ′ ×E < α < ⟨g, x0 ⟩E ′ ×E ∀x ∈ M (1) Từ M không gian con, theo (??), suy λ ⟨g, x⟩E ′ ×E < α, ∀λ ∈ R, ⟨g, x⟩E ′ ×E = 0, ∀x ∈ M Do đó, ta xác định hàm f ∈ E ′ f := ta có điều phải chứng minh g, ⟨g, x0 ⟩E ′ ×E (2) Chứng minh Định lý Cho D := {fh : h ∈ N} ⊂ (E ′ , ∥.∥E ′ ), trù mật Với h có phần tử xh ∈ E với ∥xh ∥ = 1 |fh (x)| ≥ ∥fh ∥E ′ Cho e := spanQ {xh : h ∈ N} D := spanR {xh : h ∈ N}, D tức là, tập tất tổ hợp tuyến tính phần tử {xh : e đếm được, D không gian h ∈ N} với hệ số thực Khi D E theo cách xây dựng ˜ ⊂ (D, ∥.∥) trù mật D Để đưa kết luận chứng minh, ta cần phải D ⊂ (D, ∥.∥) trù mật Theo phản chứng, D không trù mật, lấy x0 ∈ E \ D Khi từ mệnh đề ??, tồn f ∈ E ′ cho ⟨f, x⟩E ′ ×E = 0, ∀x ∈ D ⟨f, x0 ⟩E ′ ×E = Từ D trù mật, có dãy (fhk )k mà lim ∥fhk − f ∥E ′ = k→∞ Tuy nhiên, từ ∥xhk ∥ = 1, ∥fhk − f ∥E ′ ≥ |fhk (xhk ) − f (xhk )| = |f (xhk )| ≥ ∥fhk ∥E ′ Do dó ∥fhk ∥E ′ → k → ∞, nghĩa f ≡ 0, mâu thuẫn với f (x0 ) = Vì D = E ∀k ∈ N h=1 h=m+1 ∞ X ≤ ∥ϕ∥(Lp (Ω))′ χEh h=m+1 | ∪∞ h=m+1 Eh | = ∞ X Lp (Ω) |Eh | → m → ∞ từ E < ∞ Vì h=m+1 ν(E) = ∞ X 1/p = ∥ϕ∥(Lp (Ω))′ ∪∞ h=m+1 Eh ν(Eh ) h=1 kết cho cách xếp dãy (Eh )h , chuỗi hội tụ tuyệt đối thỏa (82) Hơn nữa, từ |ν(E) ≤ ∥ϕ∥(Lp (Ω))′ |E|1/p , ∀E ∈ M, 59 suy (83) Lưu ý: Nếu p = ∞ đánh giá trước, (83) khơng cịn giữ Theo định lý Radon-Nikodym cho độ đo dấu, tồn M-hàm đo u : Ω → R với u+ u− ∈ L1 (Ω) cho Z ϕ(χE ) = ν(E) = udx, ∀E ∈ M (25) E Thực thỏa mãn u ∈ L1 (Ω) Thật vậy, cho En+ := {x ∈ Ω : u(x) ≥ 0} En− := {x ∈ Ω : u(x) ≤ 0} Từ (84) ta Z 0≤ Z ± u dx = En± Ω udx = ν(En± ) < ∞ Do u± ∈ L1 (Ω) Từ tuyến tính ϕ tích phân, rõ ràng Z ϕ(s) = (26) u s dx Ω với hàm đơn giản đo s : Ω → R Để kết luận, cần chứng minh ′ u ∈ Lp (Ω), ∀p ∈ [1, ∞) (27) Thật vậy, với f ∈ Lp (Ω), theo xấp xỉ hàm đơn giản (Định lý 25), tồn dãy sh : Ω → R, (h = 1, 2, ) hàm đơn gian đo thỏa mãn sh → f Lp (Ω) (28) Từ (86), (87) bất đẳng thức Holder, suy Z u(sh − f )dx ≤ ∥u∥ p′ ∥f − sh ∥Lp (Ω) → L (Ω) Ω Điều kiện (85), (88) tính liên tục ϕ cho Z Z ϕ(f ) = lim ϕ(sh ) = lim h→∞ u sh dx = h→∞ Ω ′ Đặc biệt, tồn u ∈ Lp (Ω) cho T (u) = ϕ Ω u f dx, ∀f ∈ Lp (Ω) (29)