Luận văn tính hút trong thời gian hữu hạn đối với một hệ vi phân cấp phân số chứa trễ

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC MAI VĂN NGỌC TÍNH HÚT TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN ĐỐI VỚI MỘT HỆ VI PHÂN CẤP PHÂN SỐ CHỨA TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thanh Hóa, 2017 ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HĨA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC MAI VĂN NGỌC TÍNH HÚT TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN ĐỐI VỚI MỘT HỆ VI PHÂN CẤP PHÂN SỐ CHỨA TRỄ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đình Kế Thanh Hóa, 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Trần Đình Kế Trong q trình nghiên cứu, tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thanh Hóa, tháng năm 2017 Tác giả Mai Văn Ngọc ii Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn nhận giúp đỡ to lớn Thầy, Cơ giáo, gia đình bạn bè Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Trần Đình Kế - Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Trong trình hướng dẫn động viên, giúp đỡ bảo tận tình cho tơi Tơi gửi lời cảm ơn tới thầy cô Khoa Cơ bản, Trường Đại học Hồng Đức giảng dạy giúp đỡ tơi nhiều suốt q trình học tập nghiên cứu luận văn Dù cố gắng luận văn tránh khỏi thiếu sót hạn chế Mọi ý kiến đóng góp tơi xin đón nhận với lịng biết ơn trân trọng Thanh Hóa, tháng năm 2017 Tác giả Mai Văn Ngọc Mục lục Đặt vấn đề Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Toán tử giải thức 1.2 Giải tích cấp phân số có trọng 1.3 Độ đo không compact ánh xạ nén 6 10 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 2.1 Trường hợp tuyến tính 2.2 Trường hợp tuyến tính 12 14 17 TÍNH HÚT TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN 3.1 Một số điều kiện đủ 3.2 Áp dụng 19 19 25 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 Đặt vấn đề Lý chọn đề tài Lý thuyết ổn định hệ vi phân xuất phát từ tốn thực tế, có lịch sử phát triển hàng kỷ từ cơng trình Lyapunov đạt thành tựu quan trọng Một hướng phát triển lý thuyết xem xét khái niệm ổn định thời gian hữu hạn Lý thuyết ổn định hệ vi phân thời gian hữu hạn trở thành chủ đề nghiên cứu sôi động năm gần Với mong muốn tiếp cận hướng nghiên cứu này, chọn đề tài Tính hút thời gian hữu hạn hệ vi phân cấp phân số chứa trễ Mục tiêu cụ thể xét tính hút thời gian hữu hạn điểm cân hệ vi phân cấp phân số dạng Dα,σ u(t) = Au(t) + f (t, ut ), t ∈ (0, T ], (0.1) Dα,σ đạo hàm Caputo cấp α ∈ (1, 2) với trọng w(t) = e−σt , tức Z t −σt e d2 σs α,σ (e u(s))ds D u(t) = Γ(2 − α) (t − s)α−1 ds2 Toán tử A : D(A) ⊂ X → X tốn tử quạt khơng gian Banach X f hàm phi tuyến Trong phương trình trên, ut trạng thái trễ tính đến thời điểm t xác định ut (s) = u(t + s), ∀s ∈ [−h, 0] Có thể tìm hiểu khái niệm phương trình vi phân cấp phân số có trọng [7], khái niệm tính hút thời gian hữu hạn trình bày [9] Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính hút hút mũ thời gian hữu hạn nghiệm u = hệ vi phân (0.1) 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết ổn định thời gian hữu hạn cho hệ vi phân; Tìm hiểu giải tích cấp phân số; Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén; Nghiên cứu tính hút hút mũ hệ (0.1) thời gian hữu hạn Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiêu cứu: hệ vi phân cấp phân số có trọng chứa trễ • Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện đảm bảo tính hút hút mũ Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng số cơng cụ giải tích hàm: • Lý thuyết giải thức cấp phân số; • Độ đo khơng compact; • Lý thuyết điểm bất động Dự kiến đóng góp Trình bày số kết gần tính hút cho phương trình vi phân nửa tuyến tính bậc α ∈ (1, 2) có trọng Các kết trình bày dựa cơng trình [13] MỞ ĐẦU Cho (X, k · k) khơng gian Banach Xét tốn sau Dα,σ u(t) = Au(t) + f (t, ut ), t ∈ [0, T ], u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], u0 (0) = y, (0.2) (0.3) (0.4) α ∈ (1, 2), σ > 0, Dα,σ đạo hàm cấp α có trọng theo nghĩa Caputo (xem Định nghĩa 1.2.2), hàm trạng thái u nhận giá trị X với trễ ut ∈ C([−h, 0]; X) xác định ut (s) = u(t + s), s ∈ [−h, 0], A tốn tử tuyến tính đóng X cho −A toán tử quạt, hàm phi tuyến f định nghĩa [0, T ] × C([−h, 0]; X) Trong trường hợp σ = A toán tử đạo hàm riêng với thiết lập cụ thể, phương trình (0.2) sử dụng để mơ tả lan truyền sóng mơi trường nhớt đàn hồi (xem[17]) Phương trình với thiết lập khác chủ đề nghiên cứu rộng rãi thập kỷ gần đây, có kết tính giải được, tính quy (xem, chẳng hạn [1, 4, 10, 14, 16, 22]) Lưu ý rằng, mơ hình xuất phát từ tốn thực tế (0.2) xuất trễ tự nhiên Theo cách tổng qt hóa giải tích cấp phân số [20, 23], giải tích cấp phân số có trọng phát triển để nghiên cứu số tốn liên quan đến vật liệu xốp [11], dịng chảy địa vật lý [18], thủy văn nước ngầm [19], v.v Nhiều động quan trọng thúc đẩy việc mở rộng giải tích cấp phân số sang giải tích cấp phân số có trọng tìm thấy [21] Gần đây, xuất số cơng trình sử dụng phương pháp số để nghiên cứu phương trình vi phân cấp phân số có trọng [7, 8, 15] Tuy nhiên, kết liên quan đến dáng điệu nghiệm lớp phương trình cịn biết đến Đặc biệt, chưa có kết nghiên cứu định tính thực cho phương trình dạng (0.2) Trong luận văn này, chứng minh kết tính giải tốn (0.2)-(0.4) thiết lập tổng qt (khơng có điều kiện Lipschitz f tính compact nửa nhóm sinh A, tình thảo luận [14] trường hợp σ = 0) Thêm nữa, nghiên cứu dáng điệu nghiệm (0.2) cách sử dụng khái niệm hút thời gian hữu hạn đưa [9] Có thể mơ tả ngắn gọn phương pháp tiếp cận để giải toán sau Chúng chứng minh tồn nghiệm cách sử dụng định lí điểm bất động cho ánh xạ nén, điều yêu cầu hàm phi tuyến f phải thỏa mãn tính quy thể thơng qua độ đo không compact Hausdorff Lưu ý rằng, thiết lập chúng tơi, hàm f tăng trưởng tuyến tính Để đạt kết tính hút thời gian hữu hạn nghiệm, thực số ước lượng cục (ước lượng với kiện ban đầu nhỏ) sử dụng bất đẳng thức Gronwall kì dị Trong chương đầu, chúng tơi nhắc lại số khái niệm kết liên quan đến lí thuyết giải thức cấp phân số đề cập [14], giải tích cấp phân số có trọng, độ đo khơng compact đưa [12] Chúng xây dựng công thức biễu diễn nghiệm (0.2) cách sử dụng công thức biến thiên số Chương dành cho việc chứng minh tồn nghiệm hai trường hợp ứng với hai điều kiện tăng trưởng hàm f Chương trình bày kết chính, số điều kiện đủ cho tính hút thời gian hữu hạn trình bày Phần cuối Chương 3, đưa ứng dụng cho kết thu được lớp phương trình đạo hàm riêng cấp phân số có trọng theo biến thời gian Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Toán tử giải thức Cho L(X) khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn X Chúng đưa số khái niệm kết toán tử giải thức liên quan đến luận văn Định nghĩa 1.1.1 Cho A toán tử tuyến tính đóng với miền xác định D(A) khơng gian Banach X Ta nói A sinh α-giải thức tồn ω ∈ R hàm liên tục mạnh Sα : R+ → L(X) cho {λα : Reλ > ω} ⊂ ρ(A) Z ∞ λα−1 (λα I − A)−1 x = e−λt Sα (t)xdt, Reλ > ω, x ∈ X Ta biết rằng, trường hợp α = 1, Sα (·) = S1 (·) C0 -nửa nhóm α = 2, ta có họ cosine S2 (·) Theo nguyên lý phụ thuộc (xem [5]), A sinh β-giải thức với β > α sinh α-giải thức Đặc biệt, A toán tử sinh họ cosine, tồn α-giải thức sinh A với α ∈ (1, 2) Theo [14], chúng tơi đề cập đến lớp tốn tử quạt Sect(ω), sử dụng để sinh α-giải thức với α ∈ (1, 2) Định nghĩa 1.1.2 Cho A tốn tử đóng, định nghĩa trù mật Khi A gọi tốn tử quạt góc ω ∈ [0, π) viết A ∈ Sect(ω), thỏa mãn (1) σ(A) ⊆ Sω , ( z ∈ C\{0} : | arg z| < ω Sω = (0, ∞) ω > 0, ω = (2) Với ω ∈ (ω, π), ta có sup{kzR(z, A)k : z ∈ C \ Sω0 } < ∞ 16 bị chặn M cho F(M) ⊂ M Lấy v ∈ Cϕ , có Z t −σt −σt kF(v)(t)k ≤ e kSα (t)kkϕkCh + e kSα (s)k(kyk + σkϕkCh )ds Z t + e−σ(t−s) k(gα−1 ∗ Sα )(t − s)kkf (s, v[ϕ]s )kds −σt kϕkCh + M te−σt (kyk + σkϕkCh ) Z t + Cα (t − s)α−1 e−σ(t−s) (a + bkv[ϕ]s kCh )ds, ≤ Me nhờ đánh giá cho Định lí 1.1.1 1.1.1 Dễ thấy kv[ϕ]s kCh = sup kv[ϕ](s + θ)k ≤ kϕkCh + sup kv(ρ)k, θ∈[−h,0] ρ∈[0,s] nên ta có eσt kF(v)(t)k ≤ M kϕkCh + M t(kyk + σkϕkCh ) + Cα (a + bkϕkCh )I(t) Z t + bCα (t − s)α−1 eσs sup kv(ρ)kds ρ∈[0,s] với t Z (t − s)α−1 eσs ds I(t) = Lưu ý σt I(t) ≤ e Z t (t − s)α−1 ds = tα σt e , α σt e kF(v)(t)k ≤ C1 + C2 Z t (t − s)α−1 eσs sup kv(r)kds, (2.6) r∈[0,s] C1 = M kϕkCh + M T (kyk + σkϕkCh ) + Cα (a + bkϕkCh )T α eσT , C2 = bCα α Do vế phải bất đẳng thức (2.6) không giảm theo t, suy Z t eσt sup kF(v)(r)k ≤ C1 + C2 (t − s)α−1 eσs sup kv(r)kds, r∈[0,t] r∈[0,s] Kí hiệu M = {u ∈ Cϕ : eσt sup ku(s)k ≤ ψ(t), t ∈ [0, T ]}, s∈[0,t] (2.7) 17 ψ nghiệm phương trình tích phân Z t ψ(t) = C1 + C2 (t − s)α−1 ψ(s)ds, t ∈ [0, T ] Rõ ràng M tập lồi, đóng bị chặn Cϕ Ước lượng (2.7) đảm bảo F(M) ⊂ M Chứng minh hồn tất 2.2 Trường hợp tuyến tính Giả thiết (F)(1) thể f có tăng trưởng tuyến tính Bây để xét trường hợp f tăng trưởng tuyến tính, ta thay điều kiện (F) điều kiện sau (F*) f : [0, T ] × Ch → X liên tục thỏa mãn (F)(2) Hơn nữa, tồn hàm m ∈ C([0, T ]; R+ ) hàm không giảm Ψ ∈ C(R+ ; R+ ) cho kf (t, v)k ≤ m(t)Ψ(kvkCh ), ∀v ∈ Ch Đặt Cσ = max{σ −1 e−1 , T e−σT }, kí hiệu | · |∞ chuẩn sup C([0, T ]; R) Ta có kết tồn nghiệm phần phi tuyến có tăng trưởng tuyến tính Định lí 2.2.1 Giả sử giả thiết (A) (F*) thỏa mãn Nếu tồn R > cho M kϕkCh + M Cσ (kyk + σkϕkCh ) + Cα Γ(α)|I0α,σ m|∞ Ψ(kϕkCh + R) ≤ R, (2.8) tốn (0.2)-(0.4) có nghiệm tích phân Chứng minh Để áp dụng Định lí 1.3.2, ta cần F(BR ) ⊂ BR , BR hình cầu đóng Cϕ có tâm gốc tọa độ với bán kính R Thật vậy, lấy v ∈ BR Z t kF(v)(t)k ≤ e−σt kSα (t)kkϕkCh + e−σt kSα (s)k(kyk + σkϕkCh )ds Z t + e−σ(t−s) k(gα−1 ∗ Sα )(t − s)kkf (s, v[ϕ]s )kds −σt kϕkCh + M te−σt (kyk + σkϕkCh ) Z t + Cα e−σ(t−s) (t − s)α−1 m(s)Ψ(kv[ϕ]s kCh )ds ≤ Me ≤ M kϕkCh + M Cσ (kyk + σkϕkCh ) + Cα Γ(α)I0α,σ m(t)Ψ(kϕkCh + R), 18 nhờ đánh giá te−σt ≤ Cσ , ∀t ∈ [0, T ] Điều kéo theo kF(v)kCϕ ≤ M kϕkCh + M Cσ (kyk + σkϕkCh ) + Cα Γ(α)|I0α,σ m|∞ Ψ(kϕkCh + R) ≤ R Chứng minh hoàn tất Chú ý 2.2.1 Nếu Ψ có tăng trưởng kiểu đa thức, điều kiện (2.8) xảy k(ϕ, y)k kI0α,σ mk∞ nhỏ Đặc biệt, Ψ(r) = rq với q > 1, (2.8) thỏa mãn kiện ban đầu đủ nhỏ, nghĩa là, điều kiện áp đặt lên kI0α,σ mk∞ giải phóng 19 Chương TÍNH HÚT TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN 3.1 Một số điều kiện đủ Trong phần này, chứng minh kết luận văn tính hút thời gian hữu hạn nghiệm khơng Kí hiệu S(ξ) tập nghiệm toán (0.2)-(0.4) ứng với kiện ban đầu ξ = (ϕ, y) Chúng sử dụng khái niệm tính hút thời gian hữu hạn nghiệm phương trình (0.2) sau Định nghĩa 3.1.1 (Tính hút thời gian hữu hạn) Cho ξ0 = (ϕ0 , y0 ) ∈ Ch × X Nghiệm u ∈ S(ξ0 ) gọi (i) hút [0, T ] tồn η > cho kvT − uT kCh + kv (T ) − u0 (T )k < kϕ − ϕ0 kCh + ky − y0 k với ξ = (ϕ, y) ∈ Bη (ξ0 ) \ {ξ0 } v ∈ S(ξ), Bη (ξ0 ) hình cầu đóng Ch × X có tâm ξ0 bán kính η (ii) hút mũ [0, T ] lim sup η&0 sup sup (kvT − uT kCh + kv (T ) − u0 (T )k) < η ξ∈Bη (ξ0 ) v∈S(ξ) Hiển nhiên, từ tính hút mũ suy tính hút Chúng tơi đưa điều kiện đủ cho tính hút mũ bổ đề sau Bổ đề 3.1.1 Cho trước ξ0 = (ϕ0 , y0 ) ∈ Ch × X Nghiệm u ∈ S(ξ0 ) hút mũ [0, T ], kvT − uT kCh + kv (T ) − u0 (T )k lim sup sup < kξk kξk→0 v∈S(ξ+ξ0 ) (3.1) 20 Chứng minh Lấy v ∈ S(ξ) với ξ = (ϕ, y) ∈ Bη (ξ0 ) Đặt ζ = ξ − ξ0 , ta có ζ ∈ Bη (0) sup sup (kvT − uT kCh + kv (T ) − u0 (T )k) η ξ∈Bη (ξ0 ) v∈S(ξ) kvT − uT kCh + kv (T ) − u0 (T )k kζk kζk η kζk cho Ψ(r) ≤ (γ + )r, ∀r ∈ (0, δ) Sử dụng Bổ đề 3.1.2, ta tìm η > để kut kCh < δ, ∀u ∈ S(ξ) miễn kξk < η Điều rằng, với kξk < η, ta có kf (t, us )k ≤ m(t)Ψ(kus kCh ) ≤ |m|∞ (γ + )kus kCh , ∀u ∈ S(ξ) Lấy ξ ∈ Bη (0) Khi theo (3.5) ku(t + θ)k ≤ e−σt eσh M kϕkCh + e−σt eσh M t(kyk + σkϕkCh ) Z t+θ + Cα |m|∞ (γ + ) (t + θ − s)α−1 e−σ(t+θ−s) kus kCh ds, ∀t ∈ (h, T ] Kéo theo kut kCh ≤ e−σt eσh M max{t; + σt}(kϕkCh + kyk) Z t σh + Cα e |m|∞ (γ + ) (t − s)α−1 e−σ(t−s) kus kCh ds, ∀t ∈ (h, T ] Vì eσt kut kCh ≤ eσh M max{t; + σt}(kϕkCh + kyk) Z t σh + Cα e |m|∞ (γ + ) (t − s)α−1 es kus kCh ds, ∀t ∈ (h, T ] (3.6) Bây ta cần đến ước lượng cho eσt kut kCh với t ∈ [0, h] Sử dụng ước lượng tương tự chứng minh Bổ đề 3.1.2, suy ku(t)k ≤ M kϕkCh + M t(kyk + σkϕkCh ) Z t + Cα |m|∞ (t − s)α−1 eσs Ψ(kus kCh )ds, ∀t ∈ [0, h] Do số hạng cuối không giảm nên sup ku(t)k ≤ M kϕkCh + M t(kyk + σkϕkCh ) r∈[0,t] + Cα |m|∞ (γ + ) Z t (t − s)α−1 eσs kus kCh ds, ∀t ∈ [0, h] 23 Vì kut kCh ≤ kϕkCh + sup ku(t)k r∈[0,t] ≤ 2M kϕkCh + M t(kyk + σkϕkCh ) Z t + Cα |m|∞ (γ + ) (t − s)α−1 eσs kus kCh ds, ∀t ∈ [0, h] Cho nên eσt kut kCh ≤ kϕkCh + sup ku(t)k r∈[0,t] σh ≤ e M max{t; + σt}(kϕkCh + kyk) Z t σh + Cα e |m|∞ (γ + ) (t − s)α−1 eσs kus kCh ds, ∀t ∈ [0, h] Từ (3.6) ta eσt kut kCh ≤ eσh M max{t; + σt}(kϕkCh + kyk) Z t σh + Cα e |m|∞ (γ + ) (t − s)α−1 eσs kus kCh ds, với t ∈ [0, T ] Áp dụng bất đẳng thức Gronwall kì dị cho bất đẳng thức cuối, để có
eσt kut kCh ≤ eσh M max{t; 2+σt}(kϕkCh +kyk)Eα tα (γ + )|m|∞ eσh Cα Γ(α) Do kut kCh ≤ Φ (t)(kϕkCh + kyk), (3.7)
Φ (t) = M max{t; + σt}e−σ(t−h) Eα tα (γ + )|m|∞ eσh Cα Γ(α) Mặt khác, với t > 0 −σt u (t) = −σe −σt Sα (t)ϕ(0) + e Sα0 (t)ϕ(0) −σt − σe Z t Sα (s)(y + σϕ(0))ds −σt Z t + e Sα (t)(y + σϕ(0)) − σ e−σ(t−s) (gα−1 ∗ Sα )(t − s)f (s, us )ds Z t d + e−σ(t−s) ((gα−1 ∗ Sα )(t − s)) f (s, us )ds dt 24 Nên  ku0 (t)k ≤ e−σt max Ct−1 + M σ t; M (1 + σt) (kϕkCh + kyk) Z t + (kϕkCh + kyk)σCα (γ + ) (t − s)α−1 e−σ(t−s) Φ (s)ds Z t0 + (kϕkCh + kyk)Cα (γ + ) (t − s)α−2 e−σ(t−s) Φ (s)ds = Σ (t)(kϕkCh + kyk), (3.8) nhờ Định lí 1.1.2,  Σ (t) = e−σt max Ct−1 + M σ t, M (1 + σt) Z t  α−1 α−2 −σ(t−s) + (γ + )Cα [σ(t − s) + (t − s) ]e Φ (s)ds Kết hợp (3.7)-(3.8), ta có kut kCh + ku0 (t)k ≤ (Φ (t) + Σ (t))(kϕkCh + kyk), ∀t ∈ (0, T ], (3.9) với ξ = (ϕ, y) ∈ Bη (0) u ∈ S(ξ) Do (3.1.3), chọn  > cho Φ (T ) + Σ (T ) < Từ bất đẳng thức (3.9) ta có điều phải chứng minh Để chứng minh tính hút nghiệm khác không, cần giả thiết sau phần phi tuyến (F] ) Hàm f : [0, T ] × Ch → X liên tục, thỏa mãn (F)(2) Hơn nữa, tồn hàm m ∈ C([0, T ]; R+ ) hàm không giảm, Lipschitz địa phương Ψ ∈ C(R+ ; R+ ) cho Ψ(r) = γr + o(r) r → với γ ≥ đó, kf (t, v1 ) − f (t, v2 )k ≤ m(t)Ψ(kv1 − v2 kCh ), ∀v1 , v2 ∈ Ch Định lí 3.1.4 Nếu giả thiết (A) (F] ) thỏa mãn, nghiệm phương trình (0.2) hút mũ [0, T ], với điều kiện Φ (T ) + Σ (T ) < 1, Φ Σ hàm cho Định lí 3.1.3 Chứng minh Lấy ξ0 = (ϕ0 , y0 ) ∈ Ch × X u∗ ∈ S(ξ0 ) Ta chứng minh tính hút nghiệm u∗ Giả sử ξ = (ϕ, y) ∈ Bη (ξ0 ) u ∈ S(ξ), đặt ϕ˜ = ϕ − ϕ0 , y˜ = y − y0 , ξ˜ = ξ − ξ0 u˜ = u − u∗ Khi ta có Z t −σt −σt u˜(t) = e Sα (t)ϕ(0) ˜ +e Sα (s)(σ ϕ(0) ˜ + y˜)ds Z t + e−σ(t−s) (gα−1 ∗ Sα )(t − s)[f (t, us ) − f (t, u∗s )]ds 25 Sử dụng (F] ), suy k˜ u(t)k = e−σt M kϕk ˜ Ch + M te−σt t(σkϕk ˜ Ch + k˜ y k)ds Z t + Cα |m|∞ e−σ(t−s) (t − s)α−1 Ψ(k˜ us kCh )ds Lí luận tương tự chứng minh Bổ đề 3.1.2, ta thấy k˜ ut kCh → ξ˜ → Phần lại chứng minh tiến hành tương tự chứng minh Định lí 3.1.3 Cuối cùng, ta có kuT −u∗T kCh +ku0 (T )−(u∗ )0 (T )k ≤ (Φ (T )+Σ (T ))(kϕ−ϕ0 kCh +ky−y0 k), với ξ = (ϕ, y) ∈ Bη (ξ0 ) u ∈ S(ξ) Chứng minh kết thúc 3.2 Áp dụng Cho Ω ⊂ Rn miền bị chặn với biên trơn ∂Ω Xét toán sau ∂tα,σ u(t, x) = ∆x u(t, x)   Z + f˜ t, u(t, x), k(y)u(t − h, y)dy , x ∈ Ω, t ∈ [0, T ], Ω u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, u(s, x) = ϕ(s, x), x ∈ Ω, s ∈ [−h, 0], ∂t u(0, x) = y(x), x ∈ Ω, (3.10) (3.11) (3.12) (3.13) α ∈ (1, 2), σ > 0, ∂tα,σ đạo hàm cấp phân số có trọng theo nghĩa Caputo với bậc α, f˜ : [0, T ] × R2 → R hàm liên tục k ∈ L2 (Ω) Lấy X = L2 (Ω) A = ∆ với D(A) = H (Ω) ∩ H01 (Ω) Khi A tốn tử sinh nửa nhóm compact {S(t)}t≥0 (xem, ví dụ [25, Theorem 7.2.5]) Phổ −A tập giá trị riêng −A, gồm số dương, dễ thấy ∈ ρ(A) −A ∈ Sect(θ) với θ = Vì A sinh α-giải thức compact {Sα (t)}t≥0 sở hữu tất tính chất phát biểu Định lí 1.1.1 1.1.2 Về phần phi tuyến f˜, giả thiết thêm |f˜(t, y, z)| ≤ m(t)|y||z|p , ∀(t, y, z) ∈ [0, T ] × R2 , (3.14) với m ∈ C([0, T ]; R+ ), p > Đặt Ch = C([−h, 0]; L2 (Ω)) Xét hàm số f : [0, T ] × Ch → L2 (Ω) xác định sau   Z f (t, φ)(x) = f˜ t, φ(0, x), k(y)φ(−h, y)dy Ω 26 Rõ ràng, toán (3.10)-(3.13) nguyên mẫu toán (0.2)(0.3) Sử dụng (3.14), ta có Z p |f (t, φ)(x)| ≤ m(t)|φ(0, x)| |k(y)||φ(−ρ(0), y)|dy ≤ Ω m(t)|φ(0, x)|kkkpX kφ(−ρ(0), Ã)kpX , bt ng thc Hăolder Vỡ vy kf (t, φ)k ≤ m(t)kkkpX kφ(0, ·)kX kφ(−ρ(0), ·)kpX ≤ m(t)kkkpX sup kφ(s, ·)kp+1 X = s∈[−h,0] p m(t)kkkX kφkp+1 Ch Có thể kiểm tra f liên tục, nhờ vào tính liên tục f˜ định lí hội tụ trội Lebesgue Do f thỏa mãn (F*) với Ψ(r) = kkkpX rp+1 = o(r) r → Sử dụng Định lí 3.1.3, ta suy nghiệm khơng (3.10) hút mũ [0, T ], thỏa mãn  M max{T, + σT }eσh + max CT −1 + M σ T, M (1 + σT ) < eσT , M = supt∈[0,T ] kSα (t)k C = supt∈[0,T ] ktA(gα−1 ∗ Sα )(t)k 27 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn trình bày số kết gần dáng điệu nghiệm cho lớp phương trình vi phân bậc phân nửa tuyến tính số có trọng Các kết trình bày dựa cơng trình [13] bao gồm: Tính giải tốn Cauchy ứng với lớp phương trình; Tính hút thời gian hữu hạn nghiệm Các kết phát triển cho bao hàm thức vi phân cấp phân số có trọng với trễ hữu hạn vô hạn 28 Tài liệu tham khảo [1] M Abbaszadeh, M Dehghan (2017), "An improved meshless method for solving two-dimensional distributed order timefractional diffusion-wave equation with error estimate", Numer Algorithms 75 , pp.173-211 [2] N.T Anh, T.D Ke (2015), "Decay integral solutions for neutral fractional differential equations with infinite delays, Math Methods" Appl Sci 38 , pp.1601-1622 [3] P Drábek, J Milota (2007), "Methods of Nonlinear Analysis Applications to Differential Equations, Birkhauser Advanced Texts", Birkhauser, Basel, [4] E.G Bajlekova (2001),"Fractional evolution equations in Banach spaces Dissertation, University Press Facilities", Eindhoven University of Technology [5] E Bazhlekova(2001), "Fractional evolution equations in Banach spaces, Ph.D" Thesis, Eindhoven University of Technology [6] B Baeumera, M.M Meerschaert (2010), "Tempered stable Lévy motion and transient super-diffusion", J Comput Appl Math 233, pp.2438-2448 [7] M Chen, W Deng (2017), "A second-order accurate numerical method for the space-time, tempered fractional diffusion-wave equation", Appl Math Lett 68, pp.87-93 [8] J Deng, L Zhao, Y Wu (2017), "Fast predictor-corrector approach for the tempered fractional differential equations", Numer Algor 74 , pp.717-754 [9] P Giesl, M Rasmussen (2012), "Areas of attraction for nonautonomous differential equations on finite time intervals", J Math Anal Appl 390 ,pp 27-46 [10] W Fan, F Liu, X Jiang, I Turner (2017),"A novel unstructured mesh finite element method for solving the time-space fractional 29 wave equation on a two-dimensional irregular convex domain", Fract Calc Appl Anal 20 , pp.352-383 [11] A Hanyga(2001), "Wave propagation in media with singular memory", Math Comput Model 34 , pp.1399-1421 [12] M Kamenskii, V Obukhovskii, P Zecca (2001), "Condensing multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces", Walter de Gruyter, Berlin, New York [13] T.D Ke (2017),"N.N Quan, Finite-time attractivity for semilinear tempered fractional wave equations", preprint [14] Y.-N Li, H.-R Sun, Z.S Feng (2016), "Fractional abstract Cauchy problem with order α ∈ (1, 2)", Dynamics of PDE 13 , pp.155-177 [15] C Li, W Deng (2016)," High order schemes for the tempered fractional diffusion equations", Adv Comput Math 42 , pp.543-572 [16] Yu Luchko (2013), "Fractional wave equation and damped waves", J Math Phys 54 , 031505 [17] F Mainardi (2010)," Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity", Imperial College Press, London [18] M.M Meerschaert, F Sabzikar, M.S Phanikumar, A Zeleke (2014), "Tempered fractional time series model for turbulence in geophysical flows", Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 14 , pp.1742-5468 [19] M.M Meerschaert, Y Zhang, B Baeumer (2008), "Tempered anomalous diffusion in heterogeneous systems", Geophys Res Lett 35 , L17403 [20] I Podlubny (1999), "Fractional differential equations" Academic Press, New York [21] F Sabzikar, M.M Meerschaert, J.H Chen (2015), "Tempered fractional calculus:, J Comput Phys 293 ,pp 14-28 [22] K Sakamoto and M Yamamoto (2011)," Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems", J Math Anal Appl 382 , pp.426447 [23] S Samko, A Kilbas, O Marichev (1993), "Fractional integrals and derivatives: theory and applications", Gordon & Breach, London [24] T.I Seidman (1987)," Invariance of the reachable set under nonlinear perturbations", SIAM J Control Optim 25 (5) , pp.1173-1191 30 [25] I.I Vrabie (2003), "C0 -Semigroups and Applications", NorthHolland Publishing Co., Amsterdam [26] H Ye, J Gao and Y Ding (2007), "A generalized Gronwall inequality and its application to a fractional differential equation", J Math Anal Appl 328 , pp.1075-1081