Luận văn hàm cực tiểu thời gian ứng với một họ các tập hợp và ứng dụng

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Văn Thị Trang i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Văn Lương Trong trình làm luận văn, Thầy người hướng dẫn mặt khoa học mà Thầy cịn ln động viên, khích lệ tác giả khắc phục khó khăn để hồn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bày tỏ kính trọng, lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giảng dạy lớp K12 cao học Tốn Giải tích, trường Đại học Hồng Đức Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý quý báu môi trường thuận lợi để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng quản lý đào tạo, Phòng quản lý sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa KHTN, Bộ mơn Giải tích PPGD Tốn khoa KHTN trường ĐH Hồng Đức tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành thời hạn luận văn Xin cảm ơn bạn bè người thân động viên giúp đỡ Thanh Hóa, tháng năm 2021 Tác giả Văn Thị Trang ii Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm kết giải tích hàm giải tích lồi 1.2 Hàm cực tiểu thời gian không gian định chuẩn Chương Hàm cực tiểu thời gian số tính chất 11 2.1 Định nghĩa ví dụ hàm cực tiểu thời gian 11 2.2 Một số tính chất hàm cực tiểu thời gian 15 2.3 Kết luận chương 26 Chương Dưới vi phân hàm cực tiểu thời gian ứng dụng 27 3.1 Dưới vi phân hàm cực tiểu thời gian 27 3.2 Bài toán định vị 44 3.3 Kết luận chương 47 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho X không gian định chuẩn Ω,U tập khác rỗng X Khi hàm cực tiểu thời gian với tập điều khiển U tập đích Ω xác định bởi: với x ∈ X TΩU (x) = inf{t ≥ : (x + tU) ∩ Ω 6= 0} / Hàm cực tiểu thời gian TΩU hàm mở rộng ba loại hàm quan trọng giải tích biến phân bao gồm: hàm khoảng cách tới tập Ω (khi U hình cầu đơn vị đóng), hàm Minkowski ứng với tập U (khi Ω = {0}) hàm tập Ω (khi U = {0}) Do đó, việc nghiên cứu hàm cực tiểu thời gian TΩU cần thiết Giải tích biến phân đạo hàm mở rộng TΩU với tập điều khiển U tập lồi có phần chứa phần tử không gian Hilbert nghiên cứu tác giả Colombo Wolenski [9, 10] He Ng [14] nghiên cứu đạo hàm mở rộng TΩU không gian Banach, Jiang He [15] nghiên cứu vi phân xấp xỉ Fréchet không gian định chuẩn Các kết mở rộng Mordukhovich Nam [19, 20] mở rộng (trong không gian vectơ tô pô) Bounkhel [3, 4] Áp dụng kết giải tích biến phân đạo hàm mở rộng hàm cực tiểu thời gian TΩU tới toán định vị đưa [21, 22, 23, 24, 25] số tài liệu trích dẫn Gần đây, báo [18], tác giả đưa khái niệm hàm cực tiểu thời gian ứng với họ tập hợp Khái niệm mở rộng khái niệm hàm cực tiểu thời gian TΩU thông thường Cho U = {U1 ,U2 } họ hai tập hợp U1 ,U2 X Khi hàm cực tiểu thời gian ứng với họ U với tập đích Ω định nghĩa bởi: x ∈ X TU ,Ω = inf{t1 + t2 : t1 ,t2 ≥ 0, (x + t1U1 + t2U2 ) ∩ Ω 6= 0} / Khi TU ,Ω (x) < ∞, TU ,Ω (x) thời gian ngắn để từ x tới đích Ω sử dụng nhiều hướng thuộc U1 U2 Không hàm cực tiểu thời gian thông thường quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học, báo [18] báo hàm cực tiểu thời gian ứng với họ tập hợp Vì việc tìm hiểu nghiên cứu hàm cực tiểu thời gian ứng với họ tập hợp vấn đề thú vị có ý nghĩa Do đó, chọn đề tài Hàm cực tiểu thời gian ứng với họ tập hợp ứng dụng Mục tiêu nghiên cứu Mục đích đề tài trình bày cách có hệ thống số tính chất ứng dụng hàm cực tiểu thời gian ứng với họ tập hợp Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hàm cực tiểu thời gian ứng với họ tập hợp • Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất liên tục, lồi, Lipschitz, vi phân hàm cực tiểu thời gian, ứng dụng vào toán định vị Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phương pháp giải tích khơng trơn • Phân tích, đánh giá, tổng hợp phát triển kết liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu, trình bày số kiến thức giải tích khơng trơn • Trình bày định nghĩa tính chất hàm cực tiểu thời gian • Trình bày ứng dụng hàm cực tiểu thời gian vào toán định vị Cấu trúc luận văn Ngoài Lời cảm ơn, Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, phần nội dung luận văn chia thành ba chương Chương 1: Trong chương này, trình bày số kiến thức giải tích hàm, giải tích khơng trơn tổng quan hàm cực tiểu thời gian Chương 2: Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa hàm cực tiểu thời gian ứng với họ tập hợp số tính chất bản: liên tục, lồi, Lipschitz, Chương 3: Chương trình bày cơng thức tính số loại vi phân hàm cực tiểu thời gian ứng dụng vào toán định vị Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm kết giải tích hàm giải tích lồi Trong phần này, chúng tơi trình bày số định nghĩa kết giải tích hàm giải tích lồi sử dụng phần sau luận văn Tài liệu tham khảo cho phần [1, 2, 16, 29] Trước hết, chúng tơi trình bày số ký hiệu Trong tồn luận văn, X không gian định chuẩn với không gian đối ngẫu ký hiệu X ∗ Ta ký hiệu || · || chuẩn X h·, ·i cặp đối ngẫu X ∗ X Tức là, với x∗ ∈ X ∗ x ∈ X, ta có hx∗ , xi = x∗ (x) Ta ký hiệu SX mặt cầu đơn vị X, B(x, r) hình cầu mở tâm x, bán kính r Nếu K tập X, ta ký hiệu bdryK biên A, intK miền w K, clK bao đóng K Ký hiệu → − → hội tụ theo chuẩn hội tụ yếu X Kết sau giải tích hàm sử dụng phần sau luận văn Mệnh đề 1.1.1 [2, Định lý 2.28(i)] Giả sử X không gian Banach phản xạ {xn } dãy bị chặn X Khi đó, {xn } có dãy hội tụ yếu X Cho A, B hai tập khác rỗng X α số thực Khi đó: A + B := {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, α B := {α b : b ∈ B} Định nghĩa 1.1.2 Tập C X gọi lồi với x, y ∈ C α ∈ (0, 1), ta có α x + (1 − α )y ∈ C Ví dụ 1.1.3 Các hình cầu đóng, hình cầu mở khơng gian định chuẩn tập lồi Tập rỗng 0/ xem tập lồi Định nghĩa 1.1.4 Tập C X gọi nón λ c ∈ C với λ ≥ với c ∈ C Nếu nón C lồi, gọi nón lồi Nón sinh tập F X, ký hiệu coneF, tập coneF = {λ f : λ ≥ 0, f ∈ F} Định nghĩa 1.1.5 Cho A tập X Nón lùi xa A tập A∞ xác định sau A∞ = {x ∈ X : a + tx ∈ A, ∀t ≥ 0, a ∈ A} Chú ý ta ln có A + A∞ = A A bị chặn A∞ = {0} Ngồi ra, A∞ nón lồi Định nghĩa 1.1.6 Cho C tập lồi khác rỗng X x ∈ C Nón pháp tuyến C x, ký hiệu N(x;C), tập N(x;C) = {x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , y − xi ≤ với x ∈ C} Ta quy ước rằng, x ∈ / C, N(x;C) = / Từ định nghĩa, ta thấy rằng, N(x;C) nón lồi với x ∈ C Ví dụ 1.1.7 Giả sử X = Rn (i) C = {z} Khi N(z;C) = Rn N(x;C) = 0/ với x 6= z (ii) C = {x ∈ X : ||x|| ≤ 1} Khi đó: ||x|| = N(x;C) = {λ x : λ ≥ 0} Nếu ||x|| < 1, N(x;C) = {0} Các trường hợp khác N(x;C) = / Định nghĩa 1.1.8 Cho C tập khác rỗng X x ∈ X Khoảng cách từ x tới C định nghĩa dC (x) := inf{||y − x|| : y ∈ C} Hình chiếu x lên C định nghĩa PC (x) := {y ∈ C : ||y − x|| = dC (x)} Khi C tập đóng, lồi khác rỗng PC (x) chứa phần tử PC ánh xạ không giãn, tức ||PC (y) − PC (x)|| ≤ ||y − x|| với x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.9 Hàm số ϕ : X → (−∞, ∞] gọi nửa liên tục x ∈ domϕ với dãy {xn } ⊂ X hội tụ tới x lim inf ϕ (xn ) ≥ ϕ (x) n→∞ Hàm ϕ gọi nửa liên tục tập A ⊂ X nửa liên tục x ∈ A Định nghĩa 1.1.10 Cho Ω tập lồi khác rỗng ϕ : Ω → (−∞, ∞] Hàm số ϕ gọi ℓ-Lipschitz Ω tồn ℓ > cho |ϕ (x) − ϕ (y)| ≤ ℓ||x − y||, với x, y ∈ Ω Định nghĩa 1.1.11 Cho Ω tập lồi khác rỗng ϕ : Ω → (−∞, ∞] Hàm số ϕ gọi lồi Ω ϕ (λ x + (1 − λ )y) ≤ λ ϕ (x) + (1 − λ )ϕ (y), với x, y ∈ Ω λ ∈ (0, 1) Định nghĩa 1.1.12 Cho K tập X x ∈ K Nón pháp tuyến xấp xỉ NKP (x) K x tập tất ζ ∈ X ∗ cho tồn σ ≥ thoả mãn hζ , y − xi ≤ σ ||y − x||2 ∀y ∈ K bK (x) K x tập tất ζ ∈ X ∗ cho với Nón pháp tuyến Fréchet N ε > 0, tồn δ > thoả mãn hζ , y − xi ≤ ε ||y − x||, ∀ y ∈ K ∩ B(x, δ ) Nếu X khơng gian Asplund (xem định nghĩa [16]), nón pháp tuyến giới hạn/Mordukhovich K x tập n o w∗ K ∗ b NK (x) := ζ ∈ X : ∃xn − → x, ζn −→ ζ , ζn ∈ NK (xn ), ∀n ∈ N , K xn − → x nghĩa xn → x xn ∈ K với n bΩ (0, 0) = Ví dụ 1.1.13 Cho Ω := {(x1 , x2 ) ∈ R2 |x2 ≥ −| x1 | ⊂ R2 Ta có N {(0, 0)} NΩ (0, 0) = {(v, v) | v ≤ 0} ∪ {(v, −v) | v ≥ 0} bK (x) = Nk (x) với Chú ý Trong trường hợp K tập lồi ta có NKP (x) = N x ∈ K Cho f : X → (−∞, ∞] Kí hiệu dom( f ) := {x ∈ X : f (x) < ∞} miền hữu hiệu f epi( f ) := {(x, α ) ∈ X × R : f (x) ≤ α } tập đồ thị f Định nghĩa 1.1.14 Cho f : X → (−∞, ∞] x ∈ dom( f ) Dưới vi phân xấp xỉ ∂ P f (x) f x tập tất phần tử ζ ∈ X ∗ cho P (ζ , −1) ∈ Nepi( f ) (x, f (x)) Dưới vi phân Fréchet ∂b f (x) f x tập tất ζ ∈ X ∗ cho bepi( f ) (x, f (x)) (ζ , −1) ∈ N cho Một cách tương đương, ζ ∈ ∂ P f (x) tồn η > 0, σ ≥ f (y) ≥ f (x) + hζ , y − xi − σ ||y − x||2 với y ∈ B(x, η )} Tương tự, ζ ∈ ∂b f (x) lim inf y→x f (y) − f (x) − hζ , y − xi ≥ ||y − x|| Do đó, o(||wi − x0 ||) ||wi − x0 || C≤ , (3.28) ||wi − x0 || ||yi − x0 || + ti n i o ||w −x0 || với i đủ lớn Ta thấy dãy ||yi −x ||+ti bị Thật vậy, ngược lại tồn i0 cho với i > i0 , ta có ||wi − x0 || > M + ||yi − x0 || + ti (3.29) Tức là, với i > i0 , (M + 2)(||yi − x0 || + ti ) ≤ ||wi − x0 || ≤ ||yi − x0 || + (ti + ε )M Cho ε → 0+, ta có (M + 2)(||yi − x0 || + ti ) ≤ ||yi − x0 || + ti M với i đủ lớn Hay, (M + 1)||yi − x0 || ≤ −ti < với i > i0 đủ lớn Điều vô lý Đặt Từ (3.28), ta có  ||wi − x0 || Q = sup ||yi − x0 || + ti i  C≤ o(||zi − x0 ||) Q, ||zi − x0 || ∀i Cho i → ∞ ta C ≤ Điều vô lý Vậy ζ ∈ ∂b ∞ TU ,Ω (x0 ) Định lý chứng minh bR(r) (x0 ), Mệnh đề 3.1.5 Cho x0 6∈ Ω cho TU ,Ω (x0 ) < +∞ Nếu ζ ∈ N ρU (−ζ ) ≥ bR(r) (x0 ), nên với ε > 0, tồn δ > cho Chứng minh Vì ζ ∈ N hζ , y − x0 i ≤ ε ||y − x0 || (3.30) với y ∈ B(x0 , δ ) ∩ R(r) Vì r = TU ,Ω (x0 ) < +∞, theo định nghĩa TU ,Ω với < γ < r/2, tồn t1 ,t2 ≥ 0, w ∈ Ω, u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 cho r < t1 +t2 < r + γ w = x0 +t1 u1 + t2 u2 Khơng giảm tính tổng quát, giả sử t1 ≥ t2 t1 > Khi t1 > r/2 Lấy r/2 < η < max{r, δ /M} Xét z = x0 + η u1 Dễ thấy z ∈ B(x0 , δ ) Ngồi ra, z + (t1 − η )u1 + t2 u2 = w ∈ Ω 37 nên TU ,Ω (z) ≤ t1 − η + t2 < r + γ − η ≤ r Tức z ∈ B(x0 , δ ) ∩ R(r) Từ (3.30), ta có hζ , η u1 i ≤ ε ||η u1 || Hay, hζ , u1 i ≤ ε ||u1 || Cho ε → 0+, ta hζ , u1 i ≤ Do đó, ρU (−ζ ) ≥ Định lý sau đưa cơng thức tính vi phân Fréchet suy biến hàm cực tiểu thời gian điểm không thuộc tập đích Định lý 3.1.6 Giả sử U1 U2 tập lồi x0 ∈ X cho < r := TU ,Ω (x0 ) < ∞ Khi bR(r) (x0 ) ∩ {ζ ∈ X ∗ : max{ρU (−ζ ), ρU (−ζ )} = 0} (3.31) ∂b ∞ TU ,Ω (x0 ) = N Chứng minh Giả sử ζ ∈ ∂b ∞ TU ,Ω Khi đó, với ε > 0, tồn δ > cho hζ , y − x0 i ≤ ε (||y − x0 || + |β − r|), ∀y ∈ B(x0 , δ ), (y, β ) ∈ epi(T ) (3.32) Từ suy hζ , y − x0 i ≤ ε ||y − x0 ||, ∀y ∈ R(r) ∩ B(x0 , δ ), bR(r) (x0 ) tức là, ζ ∈ N Vì r = TU ,Ω (x0 ) < +∞, với < γ < r2 /4, tồn t1 ,t2 ≥ 0, w ∈ Ω, u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 cho r < t1 + t2 < r + γ , w = x0 + t1 u1 + t2 u2 Lấy u ∈ U tuỳ ý λ > Giả sử u ∈ U1 Khi đó, tính lồi U1 , w ∈ x0 − λ u + λ U1 + t1U1 + t2U2 = x0 − λ u + (t1 + λ )U1 + t2U2 Do đó, TU ,Ω (x0 − λ u) ≤ t1 + t2 + λ < r + γ + λ Với λ đủ nhỏ, ta có x0 − λ u ∈ B(x0 , δ Từ (3.32), ta có hζ , −λ ui ≤ ε (|| − λ u|| + |λ + γ |) 38 Cho γ → 0+, ta λ h−ζ , ui ≤ λ ε (||u|| + 1) Chia hai vế cho λ > cho ε → 0+, ta h−ζ , ui ≤ Tương tự u ∈ U2 ta chứng minh h−ζ , ui ≤ Vì u ∈ U tuỳ ý nên ρU (−ζ ) ≤ Kết hợp Mệnh đề 3.1.5, ta ρU (−ζ ) = bR(r) (x0 ) cho ρU (−ζ ) = Ta chứng minh Ngược lại, cho ζ ∈ N ζ ∈ ∂b ∞ TU ,Ω (x0 ) Giả sử ngược lại ζ 6∈ ∂b ∞ TU ,Ω (x0 ) Khi tồn α > dãy {yi } ⊂ X, {βi } ⊂ R cho yi → x0 , yi 6= x0 , ri := TU ,Ω (yi ) ≤ βi hζ , yi − x0 i ≥ α (||yi − x0 || + |βi − r|), ∀i (3.33) Ta có hai trường hợp Trường hợp Tồn dãy dãy {yi } mà ta ký hiệu {yi } cho TU ,Ω (yi ) ≤ TU ,Ω (x0 ) với i Khi đó, yi ∈ R(r) với i Do đó, hζ , yi − x0 i ≤ o(||yi − x0 ||), i → ∞ Kết hợp với (3.33), o(||yi − x0 ||) ≥ α (||yi − x0 || + |βi − r|) ≥ α ||yi − x0 || i → ∞ Hay α≤ o(||yi − x0 ||) ||yi − x0 || Cho i → ∞, ta α ≤ Điều vô lý Trường hợp Tồn dãy dãy {yi } mà ta ký hiệu {yi } cho TU ,Ω (yi ) > TU ,Ω (x0 )với i Từ (3.33), ri = TU ,Ω (yi ) < +∞ < ri − r ≤ βi − r ≤ ||ζ ||||yi − x0 || α với i Suy ri → r i → ∞ Do đó, ta coi 5(ri − r) < r với i Với i, tồn ti1 ,ti2 ≥ 0, wi ∈ Ω, u1i ∈ U1 , u2i ∈ U2 cho ri < ti1 + ti2 < 2ri − r, wi = yi + ti1 u1i + ti2 u2i Khơng tính tổng qt, giả sử ti1 ≥ ti2 Khi đó, với i 1 ti1 ≥ (ti1 + ti2 ) > ri > 3(ri − r) 2 39 Lấy γi ∈ (2ri − 2r, 3ri − 3r) Khi đó, wi = yi + γi uii + (ti1 − γi )u1i + ti2 u2i Do đó, TU ,Ω (yi + γi u1i ) ≤ ti1 − γi + ti2 < 2ri − r − (2ri − 2r) = r Tức là, yi + γi u1i ∈ R(r) Ngoài ra, ||yi + γi1 ui − x0 || ≤ ||yi − x0 || + 3(ri − r)M → i → ∞ bR(r) (x0 ), nên với i Tức là, với i đủ lớn yi + γi1 ui ∈ R(r) ∩ B(x0 , δ ) Vì ζ ∈ N đủ lớn ta có hζ , yi + γi1 ui − x0 i ≤ o(||yi + γi1 ui − x0 ||) Vì ρU (−ζ ) = 0, nên hζ , yi − x0 i ≤ o(||yi + γi u1i − x0 ||) + γi h−ζ , u1i i ≤ o(||yi + γi u1i − x0 ||) Kết hợp với (3.33), ta có α (||yi − x0 || + |ri − r|) ≤ α (||yi − x0 || + |βi − r|) ≤ o(||yi + γi u1i − x0 ||) Do đó, o(||yi + γi u1i − x0 ||) ||yi + γi u1i − x0 || α ≤ ||yi + γi u1i − x0 || ||yi − x0 || + |ri − r| o(||yi + γi u1i − x0 ||) ||yi − x0 || + 3M|ri − r| ≤ ||yi − x0 || + |ri − r| ||yi + γi u1i − x0 || o(||yi + γi u1i − x0 ||) ≤ (3M + 1) ||yi + γi u1i − x0 || Cho i → ∞ ta α ≤ Điều vô lý Vậy ta có ζ ∈ ∂b ∞ TU ,Ω (x0 ) Định lý chứng minh Tiếp theo chúng tơi trình bày số kết liên quan tới đường tối ưu 40 Mệnh đề 3.1.7 Giả sử U1 , U2 tập lồi x ∈ R cho r := TU ,Ω (x) > Π(x) 6= / Nếu yx (·) đường tối ưu x, bR(r) (x) ⊂ N bR(r−s) (yx (s)), N với s ∈ [0, r] (3.34) Chứng minh Vì yx (·) đường tối ưu x, nên yx (·) có dạng ( x + su1 ≤ s ≤ t1 yx (s) = x + t1 u1 + (s − t1 )u2 t1 ≤ s ≤ TU ,Ω (x) ti ≥ 0, ui ∈ Ui , i = 1, với t1 + t2 = TU ,Ω (x) x + t1 u1 + t2 u2 ∈ Ω Theo Mệnh đề 2.2.9, ta có TU ,Ω (yx (s)) = r −s với s ∈ [0, r] Ta chứng minh (3.34) cho trường hợp t1 ≤ s ≤ r Trường hợp ≤ s ≤ t1 chứng minh tương tự bR(r) (x) Khi đó, với ε > 0, tồn δ > cho Giả sử ζ ∈ N hζ , y − xi ≤ ε ||y − x||, ∀y ∈ B(x, δ ) (3.35) Cho z ∈ R(r − s) ∩ B(yx (s), δ ) đặt y := z − t1 u1 − (s − t1 )u2 Khi đó, TU ,Ω (y) ≤ TU ,Ω (z) + t1 + (s − t1 ) ≤ r − s + s = r Ngoài ra, ||y−x|| = ||(z−t1 u1 −(s−t1 )u2 )−(yx (s)−t1 u1 −(s−t1 )u2 )|| = ||z−yx (s)|| ≤ δ Do đó, y ∈ R(r) ∩ B(x, δ ) Từ (3.35), ta có hζ , z − yx (s)i = hζ , y − xi ≤ ε ||y − x|| = ε ||z − yx (s)|| bR(r−s) (yx (s)) Ta có điều cần chứng minh Do đó, ζ ∈ N Mệnh đề 3.1.8 Giả sử U1 ,U2 tập lồi x ∈ X cho < r := TU ,Ω (x) < ∞ Π(x) 6= / Khi đó, với cặp hướng tối ưu (u1 , u2 ) x đường tối ưu tương ứng yx (·) nó, ta có bR(r−s) (yx (s)), (3.36) ∂b TU ,Ω (x) ⊂ {ζ ∈ X ∗ : min{hζ , u1 i, hζ , u2 i} = −1} ∩ N với s ∈ [0, r] 41 Chứng minh Giả sử (u1 , u2 ) ∈ Uo (x) yx (·) đường tối ưu tương ứng Cho b ζ ∈ ∂b TU ,Ω (x) Theo Định lý 3.1.3, ta có ζ ∈ N (x) Sử dụng Mệnh đề 3.1.7, R(r) bR(r−s) (yx (s)) với s ∈ [0, r] Ngồi ra, phần đầu chứng ta có ζ ∈ N minh Định lý 3.1.3, ta có hζ , ui i ≥ −1, i = 1, Vì ζ ∈ ∂b TU ,Ω (x), nên với σ > 0, tồn δ > cho TU ,Ω (y) − TU ,Ω (x) + σ ||y − x|| ≥ hζ , y − xi với y ∈ B(x, δ ) (3.37) Cho t1 ,t2 ≥ w ∈ Ω cho t1 + t2 = TU ,Ω (x) w = x + t1 u1 + t2 u2 Vì TU ,Ω (x) > 0, nên t1 > t2 > Giả sử t1 > Lấy ε ∈ (0,t1 ) cho x + ε u1 ∈ B(x, δ ) Trong (3.37), cho y := x + ε u1 , ta TU ,Ω (x + ε u1 ) − TU ,Ω (x) − σ ε ||u1 || ≥ ε hζ , u1 i Hơn nữa, x + ε u1 + (t1 − ε )u1 + t2 u2 = w ∈ Ω, nên TU ,Ω (x + ε u1 ) ≤ t1 − ε + t2 = TU ,Ω (x) − ε Do đó, ε hζ , u1 i ≤ −ε − εσ ||u1 || Điều dẫn tới hζ , u1 i ≤ −1 Tương tự, t2 > 0, hζ , u2 i ≤ −1 Do đó, min{hζ , u1 i, hζ , u2 i} = −1 Từ ta có điều phải chứng minh Một kết liên quan tới bao hàm thức (3.36) s = r cho hàm cực tiểu thời gian cổ điển xem [11, Mệnh đề 5.2(ii)] Ví dụ sau trường hợp tổng quát bao hàm thức ngược lại bao hàm thức (3.36) khơng Ví dụ 3.1.9 Cho X = R2 , U1 = {(0, 1)}, U2 = {(−1, 0)} Ω = {(0, 0)} Dễ thấy miền xác định TU ,Ω tập
D := dom TU ,Ω = {(x1 , x2 ) : x1 ≥ 0, x2 ≤ 0} Với x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , ta có ( x1 − x2 TU ,Ω (x) = +∞ 42 x ∈ D, x 6∈ D Cho x¯ = (1, −1) Ta tính ∂b TU ,Ω (x) ¯ = {(1, −1)} Cặp hướng tối ưu (u1 , u2 ) x¯ u1 = (0, 1), u2 = (−1, 0) hình chiếu Π(x) ¯ = Ω = {(0, 0)} =: bΩ (0) = R2 {0} Ta có N {ζ = (ζ1 , ζ2 ) : min{hζ , u1 i, hζ , u2 i = −1} = {(ζ1 , ζ2 ) : min{h(ζ1 , ζ2 )(0, 1)i, h(ζ1 , ζ2 ), (−1, 0)i = −1} = {(ζ1 , ζ2 ) : min{ζ2 , −ζ1 } = −1} = {(ζ1 , −1) : ζ1 ≥ 1} ∪ {(1, ζ2 ) : ζ2 ≥ −1} Do đó, bΩ (0) {ζ = (ζ1 , ζ2 ) : min{hζ , u1 i, hζ , u2 i = −1} ∩ N = {(ζ1 , −1) : ζ1 ≥ 1} ∪ {(1, ζ2 ) : ζ2 ≥ −1} Điều có nghĩa ∂b TU ,Ω (x) ¯ tập chặt {(ζ1 , ζ2 ) : min{hζ , u1 i, hζ , u2 i = −1} Do đó, bao hàm thức ngược (3.36) không Trong báo [17], bao hàm thức tương tự (3.36) cho hàm cực tiểu thời gian cổ điển trở thành đẳng thức tập điều khiển có vector Cụ thể, v 6= {0}, Ω tập đóng, < r := TΩv (x) < ∞, bR(α r) (α x + (1 − α )w), ∂b TΩv (x) = {ζ ∈ X ∗ : hζ , vi = −1} ∩ N với α ∈ [0, 1] w ∈ Π(x) Từ ví dụ trên, ta thấy tính chất khơng thể mở rộng cho hàm cực tiểu thời gian ứng với họ hai tập hợp chứa vector Mệnh đề 3.1.10 Cho X không gian Asplund U1 ,U2 tập lồi, com¯ tồn cặp hướng tối ưu (u1 , u2 ) ∈ pact Với x¯ ∈ R ζ ∈ ∂ TU ,Ω (x), Uo (x) ¯ đường tối ưu tương ứng yx¯(·) cho: ¯ (i) Nếu x¯ ∈ Ω, min{hζ , u1 i, hζ , u2 i} ≥ −1 ζ ∈ NΩ (x) (ii) Nếu x¯ 6∈ Ω, min{hζ , u1 i, hζ , u2 i} = −1 ζ ∈ NΩ (yx¯(TU ,Ω (x))) ¯ 43 Chứng minh (i) Nếu ζ ∈ ∂ TU ,Ω (x), ¯ tồn {xn } ⊂ X cho TU ,Ω (xn ) → w∗ TU ,Ω (x) ¯ = 0, xn → x¯ {ζn } ⊂ X ∗ cho ζn ∈ ∂b TU ,Ω (xn ) ζn −→ ζ Nếu Ω {xn } có dãy con, mà ta kí hiệu {xn }, phần tử Ω, xn − → x ¯ bΩ (xn ) hζn , ui ≥ −1 với u ∈ U Do đó, Theo Định lý 3.1.1, ta có ζn ∈ N ζ ∈ NΩ (x) ¯ hζ , ui ≥ −1 với u ∈ U Khơng tính tổng qt, giả sử xn 6∈ Ω với n Khi đó, tồn tin ≥ 0, uni ∈ Ui , i = 1, wn ∈ Ω cho t1n + t2n = TU ,Ω (xn ) xn + t1n un1 + t2n un2 = wn , bΩ (wn ) min{hζn , un i : với n D đó, theo Mệnh đề 3.1.8, ta có ζn ∈ N i i = 1, 2} = −1 với n Vì TU ,Ω (xn ) → 0, nên tin → 0, i = 1, Do tính bị ¯ Vì U1 ,U2 tập comchặn U1 ,U2 , ta có wn → x ¯ Do đó, ζ ∈ NΩ (x) pact, ta giả sử dãy {uni } hội tụ tới ui ∈ Ui , i = 1, Do đó, min{hζ , u1 i, hζ , u2 ii} = −1 ¯ tồn {xn } ⊂ X cho xn → x, ¯ TU ,Ω (xn ) → (ii) Nếu ζ ∈ ∂ TU ,Ω (x), ∗ w TU ,Ω (x) ¯ {ζn } ⊂ X ∗ cho ζn ∈ ∂b TU ,Ω (xn ) ζn −→ ζ Vì x¯ 6∈ Ω, nên ta giả sử xn 6∈ Ω với n Do đó, tồn tin ≥ 0, uni ∈ Ui , i = 1, wn ∈ Ω cho t1n + t2n = TU ,Ω (xn ) xn + t1n u1 + t2n u2 = wn bΩ (wn ) min{hζn , un i : i = 1, 2} = −1 với Theo Mệnh đề 3.1.8, ta có ζn ∈ N i n Vì U1 ,U2 tập compact, ta giả sử dãy {uni } hội tụ tới ui ∈ Ui , i = 1, Vì TU ,Ω (xn ) → TU ,Ω (x), ¯ nên ta giả sử tin → ti ≥ 0, i = 1, Ω t1 + t2 = TU ,Ω (x) ¯ Do đó, tính đóng Ω dẫn tới wn − → w = x + t1 u1 + t2 u2 w∗ Điều suy ζ ∈ NΩ (x +t1 u1 +t2 u2 ) Hơn nữa, ζn −→ ζ , nên min{hζ , ui i : i = 1, 2} = −1 Ta có điều phải chứng minh 3.2 Bài toán định vị Trong phần này, chúng tơi trình bày ứng dụng kết vào nghiên cứu toán định vị Giả sử ta có số hữu hạn tập đích tập đóng Ωi , i = 1, · · · , m, hai tập khác rỗng U1 ,U2 với U1 ∩U2 ⊂ {0}, U1 ∪U2 6= {0} cho trước tập ràng buộc đóng Ω, ta xét tốn tìm x ∈ Ω cho tổng 44 thời gian tới tập đích nhỏ nhất: m minimize f (x) := ∑ TU ,Ωi (x) x ∈ Ω (3.38) i=1 Mệnh đề 3.2.1 Giả sử dom( f ) ∩ Ω 6= 0, / Ωi , i = 1, · · · , m, Ω tập đóng U1 ,U2 tập đóng, bị chặn Khi đó, tốn tối ưu (3.38) có nghiệm tối ưu điều kiện sau thoả mãn: (i) U1 ,U2 Ω tập compact (ii) U1 ,U2 tập compact tập Ωi , i = 1, · · · , m compact (iii) X không gian Banach phản xạ, Ωi , i = 1, · · · , m, U1 U2 tập lồi, Ω tập compact (iv) X không gian Banach phản xạ, Ωi , i = 1, · · · , m, Ω, U1 U2 tập lồi tập Ω, Ωi , i = 1, · · · , m bị chặn Chứng minh Nếu điều kiện (i) - (iv) thoả mãn, theo Mệnh đề 2.2.4, hàm TU ,Ωi , i = 1, · · · , m hàm nửa liên tục miền xác định chúng Do đó, f hàm nửa liên tục miền xác định (i), (iii) Vì Ω tập compact, nên theo định lý Weierstrass, tồn nghiệm tối ưu toán (3.38) (ii) Xét giá trị α := inf f (x) < ∞ x∈Ω Khơng giảm tính tổng qt, giả sử Ω1 tập compact Gọi {xk } ⊂ Ω dãy số cho f (xk ) → α k → ∞ Khi đó, { f (xk )} dãy bị chặn Do đó, {TU ,Ωi (xk )}, i = 1, · · · , m, dãy bị chặn Với k, đặt tk := TU ,Ω (xk ) Khi đó, tồn tik ≥ 0, uki ∈ Ui , i = 1, wk ∈ Ω1 cho tk ≤ t1k + t2k < tk + wk = xk + t1k uk1 + t2k uk2 Vì {t1k }, {t2k } dãy số thực bị chặn, nên chúng có dãy hội tụ Do U1 ,U2 Ω tập compact, nên {uk1 }, {uk2 } {wk } có dãy 45 hội tụ Do đó, {xk } có dãy (vẫn kí hiệu {xk }) hội tụ tới x¯ ∈ Ω Vì f hàm nửa liên tục dưới, nên ta có f (x) ¯ ≤ lim inf f (xk ) = α k→∞ Do đó, x¯ nghiệm tối ưu toán (3.38) (iv) Trước tiên ta thấy f hàm lồi TU ,Ωi hàm lồi với i = 1, · · · , m Điều với tính nửa liên tục suy hàm f hàm nửa liên tục yếu Lập luận trường hợp sử dụng tính chất tập lồi đóng, bị chặn không gian Banach phản xạ compact yếu Mệnh đề 3.2.2 Giả sử tập Ωi , i = 1, · · · , m đóng (coneU1 + coneU2 ) ∩ int(Ωi )∞ 6= 0/ int(coneU1 + coneU2 ) ∩ (Ωi )∞ 6= / Khi đó, tốn tối ưu (3.38) có nghiệm tối ưu điều kiện sau thoả mãn: (i) Một tập Ωi , i = 1, · · · , m Ω tập compact (ii) X không gian Banach phản xạ, Ωi , i = 1, · · · , m, Ω tập lồi tập bị chặn Chứng minh Chứng minh tương tự Mệnh đề 3.2.1 với lưu ý tính nửa liên tục thay tính liên tục Lipschitz Định lý sau đưa điều kiện cần tối ưu cho toán (3.38) Với x ∈ X, ta định nghĩa I(x) := {i ∈ {1, · · · , m} : x ∈ Ωi }, J(x) := {i ∈ {1, · · · , m} : x 6∈ Ωi } Định lý 3.2.3 Giả sử X không gian Asplund, U1 ,U2 tập lồi, compact, tập Ωi , i = 1, · · · , m Ω tập đóng Nếu x¯ nghiệm tối ưu toán (3.38) TU ,Ωi Lipschitz địa phương x¯ với i = 1, · · · , m, tồn ζi ∈ X ∗ cặp hướng tối ưu (ui1 , ui2 ) với đường tối ưu tương ứng yix¯(·) x¯ với i = 1, · · · , m cho ¯ i = 1, · · · , m (i) ζ ∈ NΩi (yix¯(TU ,Ωi (x)) 46 (ii) min{hζi , ui1 i, hζi , ui2 i} ≥ −1 với i ∈ I(x) ¯ min{hζi , ui1 i, hζi , ui2 i} = −1 với i ∈ J(x) ¯ ¯ (iii) − ∑m i=1 ζi ∈ NΩ (x) Chứng minh Bài toán tối ưu (3.38) tương đương với tốn khơng ràng buộc: minimize f (x) + δΩ (x), x ∈ X, đây, δΩ hàm tập Ω xác định δΩ (x) = x ∈ Ω δΩ (x) = ∞ x 6∈ Ω Vì hàm TU ,Ωi , i = 1, · · · , m, hàm Lipschitz địa phương x, ¯ nên áp dụng cơng thức tính vi phân giới hạn (xem, [16, Định lý 3.36]), ta có m ¯ + NΩ (x) ¯ ⊂ ∑ ∂ TU ,Ωi (x) ¯ + NΩ (x) ¯ ¯ ⊂ ∂ f (x) ∈ ∂ ( f + δΩ )(x) i=1 Do đó, tồn ζi ∈ ∂ TU ,Ωi (x), ¯ i = 1, · · · , m cho m ¯ − ∑ ζi ∈ NΩ (x) i=1 Theo Mệnh đề 3.1.10, ta có điều cần chứng minh 3.3 Kết luận chương Trong chương chúng tơi trình bày đưa số kết vi phân hàm cực tiểu thời gian bao gồm cơng thức tính vi phân Frechet, cơng thức tính vi phân Frechet suy biến hàm cực tiểu thời gian điểm thuộc tập đích điểm khơng thuộc tập đích Một số kết liên quan tới vi phân giới hạn ứng dụng cho toán định vị trình bày Định lý 3.1.4, Mệnh đề 3.1.5 Định lý 3.1.6 kết đưa 47 KẾT LUẬN Luận văn "Hàm cực tiểu thời gian ứng với họ tập hợp ứng dụng" trình bày số tính chất vi phân hàm cực tiểu thời gian ứng với họ tập hợp không gian định chuẩn ứng dụng hàm toán định vị Ngoài số khái niệm kết giải tích hàm giải tích khơng trơn, kết trình bày luận văn bao gồm: Phát biểu định nghĩa hàm cực tiểu thời gian ứng với họ tập hợp không gian định chuẩn khái niệm liên quan Phát biểu chứng minh số tính chất cho hàm cực tiểu thời gian ứng với họ tập hợp: tính nửa liên tục dưới, tính lồi, tính Lipschitz, số tính chất khác Đưa cơng thức tính vi phân Fréchet vi phân Fréchet suy biến hàm cực tiểu thời gian, vi phân giới hạn Áp dụng cho toán định vị Các phát biểu chứng minh chủ yếu dựa báo [18] Ngoài ra, luận văn đưa chứng minh số kết bao gồm: Định lý 3.1.4, Mệnh đề 3.1.5 Định lý 3.1.6 48 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] H Tuỵ, Hàm thực giải tích hàm (Giải tích đại), NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2003 Tiếng Anh [2] J.F Bonnans, A Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York, 2000 [3] M Bounkhel, Directional Lipschitzness of minimal time functions in Hausdorff topological vector spaces, Set-Valued Var Anal 22 (2014) 221–245 [4] M Bounkhel, On subdifferentials of a minimal time function in Hausdorff topological vector spaces, Appl Anal 93 (2014) 1761–1791 [5] P Cannarsa, C Sinestrari, Semiconcave Functions, Hamilton-Jacobi Equations, and Optimal Control, Birkhauser, Boston, 2004 [6] P Cannarsa, C Sinestrari, Convexity properties of the minimum time function, Calc Var Partial Differential Equations (1995), 273-298 [7] G Colombo, A Marigonda, P.R Wolenski, Some new regularity properties for the minimal time function, SIAM J Control Optim 44 (2006), 2285–2299 49 [8] G Colombo, V Goncharov, B Mordukhovich, Well-posedness of minimal time problems with constant dynamics in Banach spaces, Set-Valued Var Anal 18 (2010) 349–372 [9] G Colombo, P.R Wolenski, The subgradient formula for the minimal time function in the case of constant dynamics in Hilbert spaces, J Global Optim 28 (2004) 269–282 [10] G Colombo, P.R Wolenski, Variational analysis for a class of minimal time functions in Hilbert spaces, J Convex Anal 11 (2004) 335–361 [11] M Durea, M Pantiruc, R Strugariu, Minimal time function with respect to a set of directions Basic properties and applications, Optim Methods Softw 31 (2016) 535-561 [12] M Durea, R Strugariu, Vectorial penalization for generalized functional constrained problems, J Global Optim 68 (2017) 899–923 [13] M Durea, M Pantiruc, R Strugariu, A new type of directional regularity for mappings and applications to optimization, SIAM J Optim 27 (2017) 1204–1229 [14] Y He, K.F Ng, Subdifferentials of a minimum time function in Banach spaces, J Math Anal Appl 321 (2006) 896–910 [15] Y Jiang, Y He, Subdifferentials of a minimal time function in normed spaces, J Math Anal Appl 358 (2009) 410–418 [16] B Mordukhovich, Variational Analysis and Generalized Differentiation I and II, Springer, New York, 2005 [17] L.V Nguyen, X.Qin, On variational analysis for general distance functions J Appl Numer Optim (2020) 199-211 [18] L.V Nguyen, X.Qin, The minimla time function asociated with a collection of sets, ESAIM Control Optim Calc Var 26 (2020) 93 [19] B Mordukhovich, N.M Nam, Limiting subgradients of minimal time functions in Banach spaces, J Global Optim 46 (2010) 615–633 50 [20] B Mordukhovich, N.M Nam, Subgradients of minimal time functions under minimal requirements, J Convex Anal 18 (2011) 915–947 [21] B Mordukhovich, N.M Nam, Applications of variational analysis to a generalized Fermat - Torricelli problem, J Optim Theory Appl 148 (2011) 431-454 [22] B Mordukhovich, N.M Nam, J Salinas, Applications of variational analysis to a generalized Heron problem, Appl Anal 91 (2012) 1915-1942 [23] N.M Nam, N.T An, C Villalobos, Minimal time functions and the smallest intersecting ball problem with unbounded dynamics, J Optim Theory Appl 154 (2012) 768–791 [24] N.M Nam, T.A Nguyen, R.B Rector, J Sun, Nonsmooth algorithms and Nesterov’s smoothing techniques for generalized Fermat-Torricelli problems, SIAM J Optim 24 (2014) 1815-1839 [25] N.M Nam, N Hoang, A generalized Sylvester problem and a generalized Fermat-Torricelli problem, J Convex Anal 20 (2013) 669–687 [26] N.M Nam, D V Cuong, Subgradients of minimal time functions without calmness, J Convex Anal 26 (2019) 189–200 [27] N.M Nam, C Zalinescu, Variational analysis of directional minimal time functions and applications to location problems, Set-Valued Var Anal 21 (2013) 405–430 [28] S Sun, Y He, Exact characterztion for subdifferentials a speccial optimal value function, Optim Lett 12 (2018) 519–534 [29] R.T Rockafellar, R.J.-B Wets, Variational Analysis Grundlehren Series (Fundamental Principles of Mathematical Sciences), vol 517 Springer, Berlin, 1998 51