Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC————— o0o —————NGUYỄN QUANG PHÁTVỀ TÍNH ỔN ĐỊNH ULAM CHO MỘT SỐ LỚP HỆPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNGLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN QUANG PHÁT VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH ULAM CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 12/2023 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN QUANG PHÁT VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH ULAM CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MAI VIẾT THUẬN TS NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN Thái Nguyên, 12/2023 1 Mục lục Chương 1 Tính ổn định kiểu Ulam cho hệ phương trình vi phân cấp một 6 1.1 Một số khái niệm và định nghĩa 6 1.2 Tính ổn định Ulam-Hyers-Rassias mở rộng 10 Chương 2 Tính ổn định kiểu Ulam cho hệ phương trình vi phân phân thứ 14 2.1 Giải tích phân thứ Caputo 14 2.1.1 Tích phân phân thứ 14 2.1.2 Đạo hàm phân thứ 16 2.2 Một số khái niệm và định nghĩa 21 2.3 Tính ổn định Eα-Ulam-Hyers-Rassias 24 2 LỜI NÓI ĐẦU Khái niệm ổn định Ulam ra đời năm 1940 tại một hội thảo khoa học tổ chức tại Đại học Wisconsin [5] Trong hội thảo này, Ulam đặt ra một câu hỏi “Với những điều kiện nào thì tồn tại một ánh xạ cộng tính đủ gần một ánh xạ xấp xỉ cộng tính?” Năm 1941, D H Hyers [1] chứng minh rằng nếu f : E1 → E2 là một ánh xạ thỏa mãn f (x + y) − f (x) − f (y) ≤ δ, ∀x, y ∈ E1, trong đó E1 và E2 là hai không gian Banach, δ là một số dương cho trước, thì tồn tại duy nhất một ánh xạ cộng tính T : E1 → E2 sao cho f (x) − T (x) ≤ δ, ∀x ∈ E1 Sau đó kết quả này được mở rộng bởi nhiều nhà khoa học trên thế giới Năm 2009, I.A Rus [4] đưa ra và nghiên cứu bốn khái niệm ổn định kiểu Ulam bao gồm ổn định Ulam-Hyers, ổn định Ulam-Hyers tổng quát, ổn định Ulam-Hyers-Rassias và ổn định Ulam-Hyers-Rassias tổng quát cho phương trình vi phân thường Không giống như tính ổn định thông thường, ổn định Ulam có thể đảm bảo sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm, miễn là có một nghiệm xấp xỉ với sai số xác định cho trướ c Do vậy, ổn định Ulam không chỉ thiết lập nền tảng quan trọng cho sự tồn tại và duy 3 nhất nghiệm của phương trình vi phân mà còn cung cấp cơ sở lý thuyết cho việc giải xấp xỉ phương trình vi phân Vì tính không địa phương và phụ thuộc vào lịch sử của đạo hàm và tích phân phân thứ nên hệ phương trình vi phân mô tả bởi đạo hàm phân thứ phù hợp để miêu tả nhiều hệ động lực trong thế giới thực Các phương trình vi phân phân thứ xuất hiện một cách tự nhiên trong các lĩnh vực như đàn nhớt, mạch điện [2, 3] Sử dụng ý tưởng của Ulam, J Wang cùng các cộng sự [6, 7, 8] đưa ra và nghiên cứu tính ổn định Ulam cho phương trình vi phân phân thứ Sử dụng bất đẳng thức tích phân suy biến kiểu Gronwall, J Wang và X Li [9] giới thiệu khái niệm ổn định Eα-Ulam- Hyers, ổn định Eα-Ulam-Hyers mở rộng, ổn định Eα-Ulam-Hyers-Rassias và ổn định Eα-Ulam-Hyers-Rassias mở rộng và nghiên cứu các tính chất ổn định nêu cho hệ phương trình vi phân phân thứ Trong luận văn này, trên cơ sở đọc hiểu kết quả của các bài báo [4, 6, 9], chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định Ulam cho một số lớp hệ phương trình vi phân thường bao gồm hệ phương trình vi phân cấp một và hệ phương trình vi phân phân thứ Luận văn gồm có hai chương bao gồm các nội dung chính như sau: Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số định nghĩa về ổn định Ulam-Hyers, ổn định Ulam-Hyers mở rộng, ổn định Ulam-Hyers-Rassias và ổn định Ulam-Hyers-Rassias mở rộng Ngoài ra, chúng tôi trình bày một tiêu chuẩn cho tính ổn định Ulam-Hyers-Rassias mở rộng cho hệ phương trình vi phân thường cấp 1 Nội dung trình bày trong chương này được chúng tôi tham khảo từ tài liệu [4] 4 Chương 2 của luận văn trình bày tính ổn định Eα-Ulam-Hyers-Rassias cho một lớp phương trình vi phân phân thứ Caputo phi tuyến cùng với một vài ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết Nội dung trình bày trong chương này được chúng tôi tham khảo từ tài liệu [9] Luận văn này đã được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS Mai Viết Thuận và TS Nguyễn Thị Thanh Huyền Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tập thể hướng dẫn khoa học đã đặt vấn đề nghiên cứu, tận tình hướng dẫn, và chỉ bảo tôi một cách chu đáo trong quá trình thực hiện đề tài luận văn này Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, và tất cả các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi có thể học tập và nghiên cứu Ngoài ra, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt tới gia đình thân yêu và những người bạn đồng hành, những người đã chăm sóc và động viên tôi suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, tôi xin gửi lời chúc tốt đẹp nhất đến toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, kính chúc thầy cô dồi dào sức khỏe và niềm tin để tiếp tục truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau, thực hiện sứ mệnh cao quý của mình 5 Danh mục ký hiệu Rn không gian véc tơ thực Euclide n chiều R tập số thực R+ tập số thực không âm (B, |.|) không gian Banach Bvới chuẩn|.| C([0, ∞), B) không gian hàm liên tục trên [0, ∞) nhận giá trị trong B C1([0, ∞), B) không gian hàm khả vi liên tục trên [0, ∞) nhận giá trị trong B L1([0, ∞), B) tập các hàm khả tích trên [0, ∞) nhận giá trị trong B ACm[a, b] không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên [a, b] α toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α t0 It toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm Gamma RL α t0 Dt CDα, Dα t0 t Γ(x) α số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α 6 Chương 1 Tính ổn định kiểu Ulam cho hệ phương trình vi phân cấp một Trong Mục 1.1, chúng tôi trình bày một số định nghĩa về ổn định Ulam- Hyers, ổn định Ulam-Hyers mở rộng, ổn định Ulam-Hyers-Rassias, ổn định Ulam-Hyers-Rassias mở rộng và một số ví dụ Mục 1.2, chúng tôi trình bày một tiêu chuẩn cho tính ổn định Ulam-Hyers-Rassias mở rộng của một lớp phương trình vi phân thường Nội dung trình bày trong chương này được chúng tôi tham khảo từ tài liệu [4] 1.1 Một số khái niệm và định nghĩa Cho (B, |.|) là một không gian Banach, a, b là các số thực thỏa mãn a < b ≤ +∞, là một số thực dương, f : [a, b) × B −→ B là một toán tử liên tục và ϕ : [a, b) −→ R+ là một hàm liên tục Ta xét phương trình vi phân dưới đây x˙ (t) = f (t, x(t)), ∀t ∈ [a, b), (1.1) 7 và các bất phương trình vi phân sau đây |y˙(t) − f (t, y(t))| ≤ , ∀t ∈ [a, b), (1.2) |y˙(t) − f (t, y(t))| ≤ ϕ(t), ∀t ∈ [a, b), (1.3) |y˙(t) − f (t, y(t))| ≤ ϕ(t), ∀t ∈ [a, b) (1.4) Định nghĩa 1.1 Phương trình (1.1) được gọi là ổn định Ulam-Hyers nếu tồn tại một số thực cf > 0 sao cho với mỗi > 0 và với mỗi nghiệm y(.) ∈ C1([a, b), B) của (1.2), tồn tại một nghiệm x(.) ∈ C1([a, b), B) của (1.1) thỏa mãn |y(t) − x(t)| ≤ cf , ∀t ∈ [a, b) Định nghĩa 1.2 Phương trình (1.1) được gọi là ổn định Ulam-Hyers mở rộng nếu tồn tại hàm θf (.) ∈ C(R+, R+), θf (0) = 0 sao cho với mỗi nghiệm y(.) ∈ C1([a, b), B) của (1.2), tồn tại một nghiệm x(.) ∈ C1([a, b), B) của (1.1) thỏa mãn |y(t) − x(t)| ≤ θf ( ), ∀t ∈ [a, b) Định nghĩa 1.3 Phương trình (1.1) được gọi là ổn định Ulam-Hyers- Rassias tương ứng với hàm ϕ nếu tồn tại số cf,ϕ > 0 sao cho với mỗi số > 0 và với mỗi nghiệm y(.) ∈ C1([a, b), B) của (1.4), tồn tại một nghiệm x(.) ∈ C1([a, b), B) của (1.1) thỏa mãn |y(t) − x(t)| ≤ cf,ϕ ϕ(t), ∀t ∈ [a, b) Định nghĩa 1.4 Phương trình (1.1) được gọi là ổn định Ulam-Hyers- Rassias mở rộng tương ứng với hàm ϕ nếu tồn tại số cf,ϕ > 0 sao cho 8 với mỗi nghiệm y(.) ∈ C1([a, b), B) của (1.3), tồn tại một nghiệm x(.) ∈ C1([a, b), B) của (1.1) thỏa mãn |y(t) − x(t)| ≤ cf,ϕϕ(t), ∀t ∈ [a, b) Nhận xét 1.1 Một hàm y(.) ∈ C1([a, b), B) là nghiệm của (1.2) khi và chỉ khi tồn tại một hàm g(.) ∈ C([a, b), B) (phụ thuộc vào y) sao cho (i) |g(t)| ≤ , ∀t ∈ [a, b), (ii) y˙(t) = f (t, y(t)) + g(t), ∀t ∈ [a, b) Hoàn toàn tương tự, ta cũng có các nhận xét tương tự đối với các bất đẳng thức (1.3) và (1.4) Nhận xét 1.2 Nếu y(.) ∈ C1([a, b), B) là một nghiệm của bất phương trình (1.2) thì y(.) là nghiệm của bất đẳng thức tích phân dưới đây t y(t) − y(a) − f (s, y(s))ds ≤ (t − a) , ∀t ∈ [a, b) a Thật vậy, theo Nhận xét 1.1, ta có y˙(t) = f (t, y(t)) + g(t), ∀t ∈ [a, b) Điều này suy ra t t y(t) = y(a) + f (s, y(s))ds + g(s)ds, t ∈ [a, b) a a Từ đó suy ra t t t y(t) − y(a) − f (s, y(s))ds ≤ g(s)ds ≤ |g(s)|ds ≤ (t − a) a a a Hoàn toàn tương tự, ta cũng có nhận xét tương tự đối với các nghiệm của bất phương trình vi phân (1.3) và (1.4) 16 2.1.2 Đạo hàm phân thứ Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực Định nghĩa 2.2 ([3]) Cho số thực dương α và khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi dn n−α 1 dn t RLDtαx(t) := t0It x(t) = t0 n (t − s)n−α−1x(s)ds, n dt Γ(n − α) dt t0 trong đó n := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dtn dn là đạo hàm thông thường cấp n Ví dụ 2.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function) 1, nếu t ≥ 0 f (t) = 0, nếu t < 0 Bằng cách sử dụng Định nghĩa 2.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f (t) là RLDtαf (t) =0 t−α Γ(1 − α) Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b] Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a 17 do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm ACn[a, b] như sau: ACn[a, b] = f : [a, b] −→ R, (Dn−1f )(t) ∈ AC[a, b] d D= dt Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm ACn[a, b] Mệnh đề 2.1 ([3]) Không gian ACn[a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng như sau: n−1 f (t) = t0Itαϕ(t) + ck(t − t0)k, k=0 trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck(k = 0, 1, , n − 1) là các hằng số tùy ý và Itαϕ(t) = 1 t t0 (n − 1)! t0 (t − s)n−1ϕ(s)ds Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có ϕ(s) = f (n)(s), ck = f (k)(t0) (k = 0, 1, , n − 1) k! Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Định lý 2.2 ([3]) Cho α ≥ 0, n = α Nếu f (t) ∈ ACn[a, b], khi đó đạo hàm phân thứ Rt L 0 Dtαf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau RL α n−1 f (k)(t0) k−α 1 t f (n)(s)ds Dt f (t) = (t − t0) + t (t − s)α−n+1 t0 Γ(1 + k − α) Γ(n − α) 0 k=0 Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.2 18 Hệ quả 2.1 ([3]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì RLDtαf (t) = 1t0 f (t0) t f (s)ds α+ α Γ(1 − α) (t − t0) t0 (t − s) Định nghĩa 2.3 ([2]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi Ct0Dtαx(t) := t0Itn−αDnx(t), trong đó n := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dn dxn là đạo hàm thông thường cấp n Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1(t), x2(t), , xd(t))T đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau: t0 C Dtαx(t) := t0 C Dtαx1(t), t0 C Dtαx2(t), , t0 C Dtαxd(t) T Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân thứ cấp α Định lý 2.3 ([3]) Cho α ≥ 0, n = α Nếu f (t) ∈ ACn[a, b], khi đó đạo hàm phân thứ Caputo C Dα f (t ) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] Hơn nữa, t0 t ta có (i) Nếu α ∈ N thì Ct0Dtαx(t) biểu diễn dưới dạng sau: C Dtαf (t) = 1t0 t f (n)(s)ds α−n+1 Γ(n − α) t0 (t − s) Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có: C Dtαf (t) = 1t0 t f (s)ds α Γ(1 − α) t0 (t − s)