Về tính ổn định kiểu ulam cho một số lớp hệ phương trình vi phân phân thường

Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC————— o0o —————NGUYỄN QUANG PHÁTVỀ TÍNH ỔN ĐỊNH ULAM CHO MỘT SỐ LỚP HỆPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNGLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————— o0o —————

NGUYỄN QUANG PHÁT

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH ULAM CHO MỘT SỐ LỚP HỆ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 12/2023

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————— o0o —————

NGUYỄN QUANG PHÁT

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH ULAM CHO MỘT SỐ LỚP HỆ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS MAI VIẾT THUẬN

TS NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

Thái Nguyên, 12/2023

Mục lục

Chương 1 Tính ổn định kiểu Ulam cho hệ phương trình vi

1.1 Một số khái niệm và định nghĩa 6

1.2 Tính ổn định Ulam-Hyers-Rassias mở rộng 10

Chương 2 Tính ổn định kiểu Ulam cho hệ phương trình vi phân phân thứ 14 2.1 Giải tích phân thứ Caputo 14

2.1.1 Tích phân phân thứ 14

2.1.2 Đạo hàm phân thứ 16

2.2 Một số khái niệm và định nghĩa 21

2.3 Tính ổn định Eα-Ulam-Hyers-Rassias 24

LỜI NÓI ĐẦU

Khái niệm ổn định Ulam ra đời năm 1940 tại một hội thảo khoa học

tổ chức tại Đại học Wisconsin [5] Trong hội thảo này, Ulam đặt ra mộtcâu hỏi “Với những điều kiện nào thì tồn tại một ánh xạ cộng tính đủ gầnmột ánh xạ xấp xỉ cộng tính?” Năm 1941, D H Hyers [1] chứng minhrằng nếu f : E1 → E2 là một ánh xạ thỏa mãn

kf (x + y) − f (x) − f (y)k ≤ δ, ∀x, y ∈ E1,trong đó E1 và E2 là hai không gian Banach, δ là một số dương cho trước,thì tồn tại duy nhất một ánh xạ cộng tính T : E1 → E2 sao cho

kf (x) − T (x)k ≤ δ, ∀x ∈ E1.Sau đó kết quả này được mở rộng bởi nhiều nhà khoa học trên thế giới.Năm 2009, I.A Rus [4] đưa ra và nghiên cứu bốn khái niệm ổn định kiểuUlam bao gồm ổn định Ulam-Hyers, ổn định Ulam-Hyers tổng quát, ổnđịnh Ulam-Hyers-Rassias và ổn định Ulam-Hyers-Rassias tổng quát chophương trình vi phân thường Không giống như tính ổn định thông thường,

ổn định Ulam có thể đảm bảo sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm,miễn là có một nghiệm xấp xỉ với sai số xác định cho trướ c Do vậy, ổnđịnh Ulam không chỉ thiết lập nền tảng quan trọng cho sự tồn tại và duy

nhất nghiệm của phương trình vi phân mà còn cung cấp cơ sở lý thuyếtcho việc giải xấp xỉ phương trình vi phân.

Vì tính không địa phương và phụ thuộc vào lịch sử của đạo hàm và tíchphân phân thứ nên hệ phương trình vi phân mô tả bởi đạo hàm phân thứphù hợp để miêu tả nhiều hệ động lực trong thế giới thực Các phươngtrình vi phân phân thứ xuất hiện một cách tự nhiên trong các lĩnh vựcnhư đàn nhớt, mạch điện [2, 3] Sử dụng ý tưởng của Ulam, J Wang cùngcác cộng sự [6, 7, 8] đưa ra và nghiên cứu tính ổn định Ulam cho phươngtrình vi phân phân thứ Sử dụng bất đẳng thức tích phân suy biến kiểuGronwall, J Wang và X Li [9] giới thiệu khái niệm ổn định Eα-Ulam-Hyers, ổn định Eα-Ulam-Hyers mở rộng, ổn định Eα-Ulam-Hyers-Rassias

và ổn định Eα-Ulam-Hyers-Rassias mở rộng và nghiên cứu các tính chất

ổn định nêu cho hệ phương trình vi phân phân thứ

Trong luận văn này, trên cơ sở đọc hiểu kết quả của các bài báo [4, 6, 9],chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định Ulam cho một sốlớp hệ phương trình vi phân thường bao gồm hệ phương trình vi phân cấpmột và hệ phương trình vi phân phân thứ Luận văn gồm có hai chươngbao gồm các nội dung chính như sau:

Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số định nghĩa về ổn địnhUlam-Hyers, ổn định Ulam-Hyers mở rộng, ổn định Ulam-Hyers-Rassias

và ổn định Ulam-Hyers-Rassias mở rộng Ngoài ra, chúng tôi trình bày mộttiêu chuẩn cho tính ổn định Ulam-Hyers-Rassias mở rộng cho hệ phươngtrình vi phân thường cấp 1 Nội dung trình bày trong chương này đượcchúng tôi tham khảo từ tài liệu [4]

Chương 2 của luận văn trình bày tính ổn định Eα-Ulam-Hyers-Rassiascho một lớp phương trình vi phân phân thứ Caputo phi tuyến cùng vớimột vài ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết Nội dung trình bàytrong chương này được chúng tôi tham khảo từ tài liệu [9].

Luận văn này đã được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS MaiViết Thuận và TS Nguyễn Thị Thanh Huyền Tôi muốn bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến tập thể hướng dẫn khoa học đã đặt vấn đề nghiên cứu,tận tình hướng dẫn, và chỉ bảo tôi một cách chu đáo trong quá trình thựchiện đề tài luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học

- Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, và tất cả cácgiảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi

có thể học tập và nghiên cứu

Ngoài ra, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt tới gia đình thân yêu

và những người bạn đồng hành, những người đã chăm sóc và động viêntôi suốt thời gian nghiên cứu

Cuối cùng, tôi xin gửi lời chúc tốt đẹp nhất đến toàn thể quý thầy côtrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, kính chúc thầy cô dồidào sức khỏe và niềm tin để tiếp tục truyền đạt tri thức cho thế hệ maisau, thực hiện sứ mệnh cao quý của mình

Danh mục ký hiệu

Rn không gian véc tơ thực Euclide n chiều

R tập số thực

R+ tập số thực không âm

(B, |.|) không gian Banach Bvới chuẩn|.|

C([0, ∞), B) không gian hàm liên tục trên [0, ∞) nhận giá trị trong B

C1([0, ∞), B) không gian hàm khả vi liên tục trên [0, ∞) nhận giá trị trong B

L1([0, ∞), B) tập các hàm khả tích trên [0, ∞) nhận giá trị trong B

ACm[a, b] không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên [a, b]

t 0Itα toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

Ulam-1.1 Một số khái niệm và định nghĩa

Cho (B, |.|) là một không gian Banach, a, b là các số thực thỏa mãn

a < b ≤ +∞,  là một số thực dương, f : [a, b) × B −→ B là một toán tửliên tục và ϕ : [a, b) −→ R+ là một hàm liên tục Ta xét phương trình viphân dưới đây

˙x(t) = f (t, x(t)), ∀t ∈ [a, b), (1.1)

và các bất phương trình vi phân sau đây

| ˙y(t) − f (t, y(t))| ≤ , ∀t ∈ [a, b), (1.2)

| ˙y(t) − f (t, y(t))| ≤ ϕ(t), ∀t ∈ [a, b), (1.3)

| ˙y(t) − f (t, y(t))| ≤ ϕ(t), ∀t ∈ [a, b) (1.4)Định nghĩa 1.1 Phương trình (1.1) được gọi là ổn định Ulam-Hyers nếutồn tại một số thực cf > 0 sao cho với mỗi  > 0 và với mỗi nghiệmy(.) ∈ C1([a, b), B) của (1.2), tồn tại một nghiệm x(.) ∈ C1([a, b), B) của(1.1) thỏa mãn

|y(t) − x(t)| ≤ cf, ∀t ∈ [a, b)

Định nghĩa 1.2 Phương trình (1.1) được gọi là ổn định Ulam-Hyers mởrộng nếu tồn tại hàm θf(.) ∈ C(R+, R+), θf(0) = 0 sao cho với mỗi nghiệmy(.) ∈ C1([a, b), B) của (1.2), tồn tại một nghiệm x(.) ∈ C1([a, b), B) của(1.1) thỏa mãn

Ulam-Hyers-với mỗi nghiệm y(.) ∈ C1([a, b), B) của (1.3), tồn tại một nghiệm x(.) ∈

C1([a, b), B) của (1.1) thỏa mãn

|y(t) − x(t)| ≤ cf,ϕϕ(t), ∀t ∈ [a, b)

Nhận xét 1.1 Một hàm y(.) ∈ C1([a, b), B) là nghiệm của (1.2) khi vàchỉ khi tồn tại một hàm g(.) ∈ C([a, b), B) (phụ thuộc vào y) sao cho(i) |g(t)| ≤ , ∀t ∈ [a, b),

(ii) ˙y(t) = f (t, y(t)) + g(t), ∀t ∈ [a, b) Hoàn toàn tương tự, ta cũng có cácnhận xét tương tự đối với các bất đẳng thức (1.3) và (1.4)

Nhận xét 1.2 Nếu y(.) ∈ C1([a, b), B) là một nghiệm của bất phươngtrình (1.2) thì y(.) là nghiệm của bất đẳng thức tích phân dưới đây

f (s, y(s))ds

≤ (t − a), ∀t ∈ [a, b)

Thật vậy, theo Nhận xét 1.1, ta có

˙y(t) = f (t, y(t)) + g(t), ∀t ∈ [a, b)

Điều này suy ra

y(t) = y(a) +

Z t a

f (s, y(s))ds +

Z t a

f (s, y(s))ds

≤

≤

Z t a

ϕ(s)ds ≤ λϕϕ(t), t ∈ [a, +∞)

Từ đó ta có ước lượng dưới đây

|y(t) − x(t)| ≤

y(t) − y(a) −

Z t a

f (s, y(s))ds

+

Z t a

|f (s, y(s)) − f (s, x(s))|ds

≤ λϕϕ(t) +

Z t a

Chương 2

Tính ổn định kiểu Ulam cho hệ

phương trình vi phân phân thứ

Dựa trên việc đọc hiểu và trình bày lại một cách có hệ thống bài báo củaWang và Li [9], chúng tôi trình bày một tiêu chuẩn cho tính ổn định Eα-Ulam-Hyers-Rassias của một lớp phương trình vi phân phân thứ Caputo.Mục 2.1, chúng tôi trình bày một số kiến thực cơ bản về giải tích phânthứ Riemann-Liouville và giải tích phân thứ Caputo Mục 2.2 trình bàymột số định nghĩa và khái niệm về các kiểu ổn định Ulam cho hệ phươngtrình vi phân phân thứ Mục 2.3 trình bày một tiêu chuẩn cho tính ổnđịnh Eα−Ulam-Hyers-Rassias cho một lớp phương trình vi phân phân thứphi tuyến cùng hai ví dụ minh họa cho kết quả lý thuyết

2.1 Giải tích phân thứ Caputo

2.1.1 Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phânphân thứ Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của

khái niệm tích phân lặp thông thường.

Định nghĩa 2.1 ([3]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứRiemann-Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

+∞

R

0

tα−1e−tdt, α > 0.Trong Định nghĩa 2.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t0Itα := I với I làtoán tử đồng nhất Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouvillecấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lý sau

Định lý 2.1 ([3]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b].Khi đó, tích phân t0Itαx(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, t 0Itαxcũng là một hàm khả tích

Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản

2.1.2 Đạo hàm phân thứ

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville

và đạo hàm Caputo Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trongnhiều lĩnh vực

Định nghĩa 2.2 ([3]) Cho số thực dương α và khoảng [a, b] ⊂ R Đạohàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được chobởi

Ví dụ 2.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)

Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R AC[a, b] là không gian cáchàm tuyệt đối liên tục trên [a, b] Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên

hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:

f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c +

Z t a

ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)),

do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f0(t) = ϕ(t) hầu khắpnơi trên [a, b].

Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm ACn[a, b] như sau:

 .Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm ACn[a, b]

Mệnh đề 2.1 ([3]) Không gian ACn[a, b] chứa tất cả các hàm f (t) códạng như sau:

Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàmphân thứ Riemann–Liouville

Định lý 2.2 ([3]) Cho α ≥ 0, n = dαe Nếu f (t) ∈ ACn[a, b], khi đó đạohàm phân thứ RLt

0 Dαtf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể đượcbiểu diễn dưới dạng sau

Hệ quả 2.1 ([3]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì

Z t

t 0

f0(s)ds(t − s)α

.Định nghĩa 2.3 ([2]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng[a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R đượccho bởi

C

t 0Dtαx(t) := t 0Itn−αDnx(t),trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dxdnn

là đạo hàm thông thường cấp n

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1(t), x2(t), , xd(t))T đạo hàm phânthứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:

C

t 0Dαtf (t) = 1

Γ(1 − α)

Z t t

f0(s)ds(t − s)α

(ii) Nếu α = n ∈ N thì Ct 0Dntf (t) biểu diễn dưới dạng sau:

Giống với phép tính vi-tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo

là nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ

Định lý 2.4 ([3]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b] Khi đó ta có

k

.Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì

(j)(t0)

!,với hầu hết t ∈ [a, b]

Tiếp theo, ta trình bày định nghĩa của hàm Mittag-Leffler và một vàitính chất cơ bản của nó.

Định nghĩa 2.4 Hàm Mittag-Leffler hai tham số được định nghĩa nhưsau

E1,1(z) = ez

Bổ đề 2.1 [9] Với mọi số λ > 0, t ∈ J := [0, T ], T > 0, ta có

Eα(−tαλ) ≤ 1, Eα,α(−tαλ) ≤ 1

Γ(α).Ngoài ra, ta có

Eα(0) = 1, Eα,α(0) = 1

Γ(α).Tiêp theo, ta trình bày bất đẳng thức Gronwall mở rộng được đưa rabởi H Ye cùng các cộng sự [10]

Bổ đề 2.2 [10] Giả sử β > 0, ˜a(t) là một hàm không âm khả tích địaphương trên [0, b), b ≤ +∞, và ˜g(t) là một hàm không giảm, không âmthỏa mãn ˜g(t) ≤ M, t ∈ [0, b), y(t) là một hàm không âm và khả tích địaphương trên [0, b) thỏa mãn

y(t) ≤ ˜a(t) + ˜g(t)

Z t 0

(t − s)β−1y(s)ds, t ∈ [0, b)

Khi đó

y(t) ≤ ˜a(t) +

Z t 0

" ∞

X

n=1

(˜g(t)Γ(β))nΓ(nβ) (t − s)

2.2 Một số khái niệm và định nghĩa

Cho C(J, R), J = [0, T ], T > 0, là không gian Banach các hàm liên tục

từ J vào R với chuẩn cho bởi kykC = sup{|y(t)| : t ∈ J } Xét phươngtrình vi phân phân thứ Caputo dưới đây

(2.1)

trong đó α > 0 là bậc phân thứ của phương trình vi phân (2.1), f :

J × R −→ R là một hàm phi tuyến cho trước Cho các số dương , λ, f :

J × R −→ R là một hàm liên tục, ϕ : J −→ R+ là một hàm liên tục.Liên kết với phương trình vi phân phân thứ Caputo (2.1), ta xét ba bấtphương trình vi phân phân thứ Caputo dưới đây