(Luận văn) về tính thụ động của mạng nơ ron phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỖ THỊ QUỲNH NGỌC lu an n va VỀ TÍNH THỤ ĐỘNG CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ ie gh tn to p Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 d oa nl w ll u nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Mai Viết Thuận z TS Nguyễn Hữu Sáu m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2020 ac th si Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu an 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ n va 1.1 Giải tích phân thứ gh tn to 1.2 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân p ie thứ 12 w 1.3 Bài tốn nghiên cứu tính thụ động cho hệ phương trình mạng oa nl nơ ron thần kinh với bậc nguyên 15 d 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 20 an lu Chương Tính thụ động hệ phương trình mạng nơ ron phân va 21 ul nf thứ 2.2 Một ví dụ minh họa oi lm 2.1 Tính thụ động hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ 21 26 z at nh Chương Tính thụ động hệ phương trình mạng nơ ron phân 28 z thứ có trễ @ gm 3.1 Phát biểu toán 28 m co l 3.2 Tính thụ động hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ 30 an Lu n va ac th si LỜI NĨI ĐẦU Mơ hình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc lu nguyên nghiên cứu L.O Chua L Yang vào năm 1988 an [7, 8] Mơ hình nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa va n học năm gần ứng dụng rộng lớn xử gh tn to lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa lĩnh vực khác [8, 17] Năm 2008, nghiên cứu mình, A Boroomand M.B Menhaj [3] lần đầu ie p tiên mơ hình hóa mạng nơ ron hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo nl w Riemann–Liouville) So với mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi oa phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả hệ phương trình vi phân d phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) mơ tả đặc tính tính lu va an chất mạng nơ ron cách xác [3, 17] Do hệ phương trình ul nf mạng nơ ron phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà oi lm khoa học Nhiều kết hay thú vị hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ công bố năm gần z at nh Như biết, tính thụ động tính chất quan trọng hệ động lực hệ phương trình vi phân phân thứ z gm @ không ngoại lệ Bài tốn nghiên cứu tính thụ động số lớp hệ nơ ron thần kinh với bậc nguyên nhận quan tâm nghiên cứu nhiều l nhà khoa học có số kết thú vị sâu sắc công bố m co tạp chí quốc tế có uy tín năm gần [13, 18, 20] Gần đây, an Lu Z Ding cộng [9] nghiên cứu tính thụ động lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Bằng cách tiếp cận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov va n cho hệ phân thứ bất đẳng thức ma trận tuyến tính, tác giả [9] ac th đưa vài tiêu chuẩn cho tính thụ động cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân si thứ Luận văn tập trung trình bày tính thụ động cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ dựa sở đọc hiểu tổng hợp báo công bố năm gần (xem [6, 9]) Ngoài ra, đưa số tiêu chuẩn cho tính thụ động lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ Caputo có trễ biến thiên Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân lu an thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo n va hàm phân thứ Caputo Bài tốn nghiên cứu tính thụ động cho số lớp hệ tn to phương trình mạng nơ ron có trễ với bậc nguyên giới thiệu chương Cuối chương, chúng tơi trình bày số bổ đề bổ gh p ie trợ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu w [10, 11, 12, 14, 19] oa nl Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tính thụ động hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ Nội dung d an lu chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [9] Ngoài ra, chúng tơi va đưa ví dụ minh họa cho kết lý thuyết ul nf Chương kết luận văn Trong chương này, đưa oi lm số tiêu chuẩn cho tính ổn định tiệm cận tính thụ động cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ Caputo có trễ biến thiên Điều kiện z at nh đưa chương mở rộng kết có mà cịn z bảo thủ kết có @ Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái gm l Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Mai Viết Thuận TS m co Nguyễn Hữu Sáu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học Những người đặt vấn đề nghiên cứu, an Lu dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt q n va trình thực đề tài luận văn ac th Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin giảng viên si tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Danh mục ký hiệu lu an n va không gian vec tơ thực Euclide n chiều A> ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A tn to Rn gh = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmax (A) ie = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} p λmin (A) chuẩn phổ ma trận A, kAk = nghĩa A − B ≥ lu ma trận A xác định dương, tức hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= va an A>0 d A≥B p λmax (A> A) ma trận A nửa xác định dương, tức hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn oa A≥0 nl w kAk bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn )> ∈ Rn Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t0 It toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số oi lm ul z at nh z m co l gm @ an Lu dαe nf LM Is n va ac th si số nguyên nhỏ lớn α   l1 0    L = diag{l1 , l2 , l3 } L =  l2    0 l3 Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu an n va Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính tn to ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ gh p ie sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ an lu 1.1.1 d oa nl 1.1 w Kiến thức sử dụng chương tham khảo [10, 11, 12] nf va Trong mục này, trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân tích phân lặp thơng thường oi lm ul thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm z at nh Định nghĩa 1.1 ([12]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann- z Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho Z t α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 gm @ l α t0 It := I với I toán an Lu Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước tα−1 e−t dt, α > m co Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = +∞ R tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với n va < α < cho định lý sau ac th Định lý 1.1 ([12]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi si đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([12]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a lu (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có an n va α t0 It x(t) −α =λ +∞ X tn to j=0 t > Đạo hàm phân thứ p ie gh 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville d oa lĩnh vực nl w đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều an lu Định nghĩa 1.2 ([12]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂  dn  n−α dn := n t0 It x(t) = dt Γ(n − α) dtn oi lm RL α t0 Dt x(t) ul cho nf va R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R Z t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 z at nh n := dαe số nguyên nhỏ lớn α đạo z hàm thông thường cấp n dn dtn @ m co l gm Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, t ≥ f (t) =   0, t < an Lu Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– va = t−α Γ(1 − α) ac th RL α Dt f (t) n Liouville cấp α hàm f (t) si Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi lu an [a, b] n va Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau:   d } D= dt gh tn to AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] p ie Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] oa nl sau: w Mệnh đề 1.1 ([12]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng d f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X ck (t − t0 )k , an lu k=0 oi lm ul nf va ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý Z t α (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngồi ra, từ điều kiện ta có (s), z at nh ϕ(s) = f (n) f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) ck = k! z l gm thứ Riemann–Liouville @ Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) m co Định lý 1.2 ([12]) Cho α ≥ 0, n = dαe Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu Kết sau suy trực tiếp từ Định lý 1.2 Z t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 ac th k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) n = n−1 X va RL α t0 Dt f (t) an Lu diễn dạng sau si 27 Ta thấy hàm kích hoạt thỏa mãn Giả thiết 2.2 với K = diag{1, 1, 1} Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI Tool box MATLAB ta thấy điều kiện Định lý 2.1 thỏa mãn với 1 = 1.5705, 2 = 0.8492, γ = 2.5722   0.1297 −0.0956  0.4598   P =  0.1297 0.3562 −0.0768   −0.0956 −0.0768 0.2639 Theo Định lý 2.1 hệ (2.18) thụ động lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 28 Chương Tính thụ động hệ phương lu trình mạng nơ ron phân thứ có trễ an n va tn to Chương trình bày kết nghiên cứu luận văn Bằng cách sử dụng ie gh định lý Razumikhin cho hệ phân thứ kết hợp với bất đẳng thức ma trận tuyến p tính, chúng tơi đưa số điều kiện đủ cho tính ổn định tính thụ động nl w cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ Trong tồn chương oa để thuận lợi cho việc biểu diễn, đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm d f (.) ký hiệu Dtα f (t) tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp lu Phát biểu toán oi lm ul 3.1 nf va an α hàm g(.) ký hiệu Itα g(t) z at nh Xét hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ sau     Dtα x(t) = −[A + ∆A(t)]x(t) + [W + ∆W (t)]g(x(t))       +[D + ∆D(t)]g(x(t − τ (t))) + u(t), t ≥ 0, z @ (3.1) T m co l gm   y(t) = g(x(t)), t ≥ 0,        x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], an Lu α ∈ (0, 1], x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xn (t)) ∈ Rn véc tơ trạng thái mạng nơ ron phân thứ, A = diag{a1 , a2 , , an } ∈ Rn×n ma trận đường n va chéo chính, xác định dương, tức > 0, (i = 1, , n), W, D ∈ Rn×n T ac th ma trận số, u(t) ∈ Rn véc tơ đầu vào (input vector), y(t) ∈ Rn véc tơ đầu (output vector); g(x(t)) = (g1 (x1 (.)), , gn (xn (.))) ∈ Rn hàm si 29 kích hoạt mạng nơ ron, φ(t) ∈ C([a, b]Rn ) điều kiện ban đầu Để nghiên cứu tính thụ động hệ (3.1) ta cần giả thiết sau đây: Giả thiết 3.1 ∆A(t) = E1 F1 (t)H1 , ∆W (t) = E2 F2 (t)H2 , ∆D(t) = E3 F3 (t)H3 , E1 , E2 , E3 , H1 , H2 , H3 ma trận số cho trước có số chiều thích hợp, F1 (t), F2 (t), F3 (t) ma trận hàm số thỏa mãn điều kiện F1T (t)F1 (t) ≤ I, F2T (t)F2 (t) ≤ I, F3T (t)F3 (t) ≤ I lu an Giả thiết 3.2 Các hàm kích hoạt gj (.), j = 1, 2, , n hàm bị chặn n va tồn số kj > cho với x1 , x2 ∈ R, x1 6= x2 , điều kiện sau tn to thỏa mãn gj (x1 ) − gj (x2 ) ≤ kj , gj (0) = 0, ∀j = 1, 2, , n x1 − x2 (3.2) p ie gh 0≤ Giả thiết 3.3 Độ trễ τ (t) hàm liên tục thỏa mãn điều kiện w (3.3) oa nl ≤ τ (t) ≤ τ, d τ số dương cho trước an lu va Định nghĩa 3.1 Hệ (3.1) gọi thụ động (passive) nếu: ul nf (i) Hệ (3.1) khơng có véc tơ đầu vào u(t) véc tơ đầu y(t), tức hệ oi lm z at nh    Dtα x(t) = −[A + ∆A(t)]x(t) + [W + ∆W (t)]g(x(t))    +[D + ∆D(t)]g(x(t − τ (t))), t ≥ 0,      x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], (3.4) z gm @ l ổn định tiệm cận m co (ii) Với điều kiện ban đầu 0, tức φ(t) ≡ 0, ∀t ∈ [−τ, 0], tồn số an Lu γ > cho bất đẳng thức thỏa mãn Z t Z t T y (s)u(s)ds ≥ −γ uT (s)u(s)ds, ∀t > 0 n va động hệ (3.1) ac th Trong mục tiếp theo, chúng tơi trình bày điều kiện đủ cho tính thụ si 30 3.2 Tính thụ động hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ Trước hết, đưa điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận hệ (3.1) khơng có véc tơ đầu vào u(t) véc tơ đầu y(t) Định lý 3.1 Giả sử Giả thiết 3.1, 3.2 3.3 thỏa mãn Hệ (3.4) ổn định tiệm cận tồn hai ma trận đối xứng, xác định dương P, Q ∈ Rn×n , ma trận có số chiều thích hợp X, Y, Z số i > 0, (i = 1, , 6), ρ > lu an n va (3.5) Ω11 P W P D −AT Q+τ α α−1 Y P E1 P E2 P E3 0 ∗ −P +K 0 0 0 0  ˆ 33 ∗ Ω WTQ 0 0 0  ∗ T  ∗ ˆ ∗ ∗ Ω D Q 0 0 0 44  ∗ ∗ ∗ τ α α−1 Z−2Q 0 QE1 QE2 QE3  ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −1 I 0 0  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −2 I 0 0  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −3 I 0  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −4 I 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −5 I ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −6 I ˆ p ie gh tn to cho bất đẳng thức ma trận thỏa mãn   X Y  ≥ 0, Ξ= YT Z  d oa nl w      < 0,     (3.6) nf va an lu oi lm ul ˆ 11 = −P A − AP + (1 + 4 )H T H1 + K + ρP + τ α α−1 X, Ω ˆ 33 = (2 + 5 )H2T H2 − I, Ω K = diag{k1 , k2 , , kn } z at nh ˆ 44 = (3 + 6 )H T H3 − I, Ω z @ V (t, x(t)) = xT (t)P x(t) m co l gm Chứng minh Xét hàm Lyapunov sau cho hệ (3.4): λmin (P )kx(t)k2 ≤ V (t) ≤ λmax (P )kx(t)k2 an Lu Vì P ma trận đối xứng, xác định dương nên ta có n va ac th Áp dụng Bổ đề 1.3, ta tính đạo hàm Caputo cấp α cho hàm V (t) dọc si 31 theo quỹ đạo nghiệm hệ (3.4) sau Dtα V (t, x(t)) ≤ 2xT (t)P Dtα x(t) = xT (t) [−P A − AP ] x(t) − 2xT (t)P E1 F1 (t)H1 x(t) + 2xT (t)P W g(x(t)) + 2xT (t)P E2 F2 (t)H2 g(x(t)) (3.7) + 2xT (t)P Dg(x(t − τ (t))) + 2xT (t)P E3 F3 (t)H3 g(x(t − τ (t))) lu Áp dụng Bổ đề 1.1, ta thu đánh giá sau an va − 2xT (t)P E1 F1 (t)H1 x(t) n ≤ tn to T T −1 x (t)P E1 E1 P x(t) T + 1 x (3.8) (t)H1T H1 x(t), ie gh 2xT (t)P E2 F2 (t)H2 g(x(t)) p ≤ T T −1 x (t)P E2 E2 P x(t) + 2 g T (3.9) (x(t))H2T H2 g(x(t)), w T T −1 x (t)P E3 E3 P x(t) d ≤ oa nl 2xT (t)P E3 F3 (t)H3 g(x(t − τ (t))) an lu  T + 3 g (x(t − τ (t)))H3T H3 g(x(t (3.10) − τ (t)))  α −1 T oi lm ul nf va X Y  ≥ 0, ta có ước lượng sau Với ma trận Ξ =  T Y Z Z t τ α η (t)Ξη(t) − (t − s)α−1 η T (t)Ξη(t)ds z at nh t−τ (t) α s=t (t − s) = τ α α−1 η T (t)Ξη(t) + η T (t)Ξη(t) α s=t−τ (t) (3.11) z gm @ = τ α α−1 η T (t)Ξη(t) − τ α (t)α−1 η T (t)Ξη(t) m co l ≥ 0, h i η T (t) = xT (t) (Dtα x(t))T Từ Giả thiết 3.2, ta có ≤ gj (θ) θ ≤ an Lu kj , j = 1, 2, , n Do với K = diag{k1 , k2 , , kn }, ta có đánh giá ac th xT (t − τ (t))K x(t − τ (t)) − g T (x(t − τ (t)))g(x(t − τ (t))) ≥ (3.12) n va xT (t)K x(t) − g T (x(t))g(x(t)) ≥ 0, (3.13) si 32 Mặt khác, ta lại có T (Dtα x(t)) Q [−Dtα x(t) − Ax(t) + W g(x(t)) + Dg(x(t − τ (t)))] T T − (Dtα x(t)) QE1 F1 (t)H1 x(t) + (Dtα x(t)) QE2 F2 (t)H2 g(x(t)) (3.14) T + (Dtα x(t)) QE3 F3 (t)H3 g(x(t − τ (t))) = Áp dụng Bổ đề 1.1, ta thu đánh giá sau T − (Dtα x(t)) QE1 F1 (t)H1 x(t) (3.15) T lu α T α T T ≤ −1 (Dt x(t)) QE1 E1 QDt x(t) + 4 x (t)H1 H1 x(t), an T va (Dtα x(t)) QE2 F2 (t)H2 g(x(t)) (3.16) T n α T α T T ≤ −1 (Dt x(t)) QE2 E2 QDt x(t) + 5 g (x(t))H2 H2 g(x(t)), gh tn to T (Dtα x(t)) QE3 F3 (t)H3 g(x(t − τ (t))) T p ie α T α T T ≤ −1 (Dt x(t)) QE3 E3 QDt x(t) + 6 g (x(t − τ (t)))H3 H3 g(x(t − τ (t))) w (3.17) oa nl Vì V (t, x(t)) = xT (t)P x(t) nên theo Định lý Razumikhin cho hệ phân thứ có d trễ (Định lý 1.9), với số ρ > thỏa mãn an lu V (t + s, x(t + s)) < ρV (t, x(t)), ∀s ∈ [−τ, 0] nf va ul Suy oi lm ρxT (t)P x(t) − xT (t − τ (t))P x(t − τ (t)) > (3.18) z at nh Từ điều kiện (3.7) tới điều kiện (3.18), ta thu đánh giá sau Z t α T Dt V (t, x(t)) ≤ ξ (t)Ωξ(t) − (t − s)α−1 η T (t)Ξη(t)ds, (3.19) @ h T T Ω55 ac th ∗ , n ∗ i va ∗ g (x(t)) g (x(t − τ (t)))  P D −AT Q + τ α α−1 Y   0   , WTQ    Ω44 DT Q  T (Dtα x(t)) an Lu ∗ T m co ξ (t) = x (t) x (t − τ (t))  Ω11 PW   ∗ −P + K   Ω= ∗ Ω33  ∗   ∗ ∗ ∗  T l gm T z t−τ (t) si 33 T T −1 T Ω11 = −P A − AP + −1 P E1 E1 P + (1 + 4 )H1 H1 + 2 P E2 E2 P T α −1 + −1 P E3 E3 P + K + ρP + τ α X, Ω33 = (2 + 5 )H2T H2 − I, Ω44 = (3 + 6 )H3T H3 − I, T −1 T α −1 Ω55 = 4−1 QE1 E1T Q + −1 QE2 E2 Q + 6 QE3 E3 Q + τ α Z − 2Q Vì Rt − s)α−1 η T (t)Ξη(t)ds ≥ nên ta có lu t−τ (t) (t an n va Dtα V (t, x(t)) ≤ ξ T (t)Ωξ(t) (3.20) kiện (3.6) Từ suy Dtα V (t, x(t)) < Vậy hệ (3.4) ổn định tiệm cận gh tn to Sử dụng Bổ đề Schur (Bổ đề 1.2), ta thấy điều kiện Ω < tương đương với điều p ie Nhận xét 3.1 Bằng cách sử dụng Định lý Razumikhin cho hệ phân thứ kết w hợp với bất đẳng thức ma trận tuyến tính, Định lý 3.1 đưa tiêu chuẩn oa nl cho tính ổn định mũ lớp hệ mạng nơ ron phân thứ Caputo có trễ biến d thiên Tiêu chuẩn đưa Định lý 3.1 phụ thuộc vào cận τ lu an độ trễ bậc phân thứ α Trong [5, 21], tác giả đưa điều kiện đủ nf va cho tính ổn định số lớp hệ mạng nơ ron phân thứ Tuy nhiên, điều oi lm ul kiện đưa không phụ thuộc vào độ trễ khơng phụ thuộc vào bậc phân thứ α Vì điều kiện đưa Định lý 3.1 bảo thủ z at nh kết có Tiếp theo, chúng tơi trình bày tiêu chuẩn cho tính thụ động hệ (3.1) z @ cách sử dụng Định lý 3.1 số tính chất đạo hàm phân thứ l gm Caputo tích phân phân thứ Riemann-Liouville m co Định lý 3.2 Giả sử Giả thiết 3.1, 3.2 3.3 thỏa mãn Hệ (3.1) thụ động tồn hai ma trận đối xứng, xác định dương P, Q ∈ Rn×n , an Lu ma trận có số chiều thích hợp X, Y, Z, số i > 0, (i = 1, , 6), ρ > n va ac th γ > cho bất đẳng thức ma trận thỏa mãn   X Y  ≥ 0, Ξ= T Y Z (3.21) si 34 Ψ 11           ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ P W P D −AT Q+τ α α−1 Y P E1 P E2 P E3 0 P −P +K 0 0 0 0 0 ∗ Ψ33 WTQ 0 0 0 −I ∗ ∗ Ψ44 DT Q 0 0 0 α −1 ∗ ∗ ∗ τ α Z−2Q 0 QE1 QE2 QE3 Q ∗ ∗ ∗ ∗ −1 I 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −2 I 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −3 I 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −4 I 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −5 I 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −6 I ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −γI        < 0, (3.22)     Ψ11 = −P A − AP + (1 + 4 )H1T H1 + K + ρP + τ α α−1 X, lu an Ψ33 = (2 + 5 )H2T H2 − I, n va Ψ44 = (3 + 6 )H3T H3 − I, to gh tn K = diag{k1 , k2 , , kn } Chứng minh Khi u(t) ≡ y(t) ≡ điều kiện (3.22) suy điều kiện (3.6) ie p Do theo Định lý 3.1 hệ (3.1) với u(t) ≡ y(t) ≡ ổn định tiệm cận Để nl w nghiên cứu tính thụ động cho hệ (3.1) ta chọn hàm Lyapunov giống d oa chứng minh Định lý 3.1 Sử dụng kỹ thuật tương tự chứng minh T T Z T t (t − s)α−1 η T (t)Ξη(t)ds, − 2y (t)u(t) − γu (t)u(t) ≤ ζ (t)Ψζ(t) − va Dtα x(t) an lu Định lý 3.1, ta thu đánh giá ul nf t−τ (t) Ξ cho chứng minh Định lý 3.1 T T z at nh T (Dtα x(t)) T x (t − τ (t)) g (x(t)) g (x(t − τ (t))) α −1 P W P D −A Q + τ α Y @ + K2 T z ∗ Ψ33 WTQ ∗ ∗ Ψ44 DT Q ∗ ∗ ∗ τ α α−1 Z − 2Q ∗ ∗ ∗ ∗  l     −I    < 0,    Q   −γI an Lu P i u (t) , T m co gm n va oi lm η(t) h T ζ (t) = xT (t)  Ψ11   ∗ −P    ∗  Ψ=  ∗    ∗  ∗ (3.23) ac th T T −1 T Ψ11 = −P A − AP + −1 P E1 E1 P + (1 + 4 )H1 H1 + 2 P E2 E2 P si 35 + 3−1 P E3 E3T P + K + ρP + τ α α−1 X, Ψ33 = (2 + 5 )H2T H2 − I, Ψ44 = (3 + 6 )H3T H3 − I, T −1 T α −1 Ψ55 = 4−1 QE1 E1T Q + −1 QE2 E2 Q + 6 QE3 E3 Q + τ α Z − 2Q Vì Rt − s)α−1 η T (t)Ξη(t)ds ≥ nên từ (3.23) ta thu ước lượng sau t−τ (t) (t lu Dtα x(t) − 2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t) ≤ ζ T (t)Ψζ(t), ∀t ≥ (3.24) an Sử dụng Bổ đề Schur, ta thấy điều kiện Ψ < tương đương với điều kiện va n (3.22) Từ suy to (3.25) gh tn Dtα x(t) − 2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t) ≤ 0, ∀t ≥ p ie Lấy tích phân hai vế (3.25) từ tới t, ta thu Z t Z t α α T It Dt V (t) − y (s)u(s)ds − γuT (s)u(s)ds < w nl (3.26) d oa Theo Định lý 1.7, ta có an lu It1 Dtα V (t) = It1−α Itα Dtα V (t) = It1−α (Itα Dtα V (t)) nf va (3.27) oi lm ul = It1−α (V (t) − V (0)) = It1−α V (t) − It1−α V (0) Ta lại có t Z (t − s)−α xT (s)P x(s)ds ≥ z at nh It1−α V (t) = Γ(1 − α) (3.28) z Từ điều kiện ban đầu 0, tức φ(t) = 0, t ∈ [−τ, 0], ta có @ gm It1−α V (0) l Z t = (t − s)−α xT (0)P x(0)ds Γ(1 − α) Z t = (t − s)−α xT0 P x0 ds = Γ(1 − α) (3.29) m co an Lu ac th Vậy hệ (3.1) thụ động n va Từ (3.26)–(3.29), ta có It1 Dtα V (t) ≥ 0, ∀t ≥ Từ suy Z t Z t T −2 y (s)u(s)ds < γ uT (s)u(s)ds, ∀t ≥ si 36 Nhận xét 3.2 Trong [9] tác giả nghiên cứu tính thụ động cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ Tuy nhiên, tác giả xét cho lớp hệ khơng có trễ điều kiện đưa không phụ thuộc vào bậc phân thứ α Định lý 3.2 đưa điều kiện đủ cho tính thụ động cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ biến thiên Do nói tiêu chuẩn đưa Định lý 3.2 tổng quát thụ động kết có Chúng tơi đưa ví dụ sau để minh họa cho kết lý thuyết chương lu an n va gh tn to Ví dụ 3.1 Xét hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ sau     Dt0,9 x(t) = −[A + E1 F1 (t)H1 ]x(t) + [W + E2 F2 (t)H2 ]g(x(t))       +[D + E3 F3 (t)H3 ]g(x(t − τ (t))) + u(t), t ≥ 0, ie (3.30) p   y(t) = g(x(t)), t ≥ 0,        x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], oa nl w d x(t) ∈ R2 , u(t) ∈ R2 , y(t) ∈ R2     h i 0     A= , E1 = , H1 = 0, 0, , F1 (t) = sin t,     h i 0, 0,  , E2 =   , H2 = 0, 0, , F2 (t) = cos t, W = 0, 0,     h i 0, 0, 0,     D= , E3 = , H3 = , F3 (t) = sin t 0, 0, 0, oi lm ul nf va an lu z at nh z l gm @ Độ trễ τ (t) = sin |t| Hàm kích hoạt cho m co gi (xi ) = 0.5 (|xi + 1| + |xi − 1|) , i = 1, an Lu Ta thấy độ trễ τ (t) hàm liên tục thỏa mãn Giả thiết 3.3 với cận τ = Hàm kích hoạt thỏa mãn Giả thiết 3.2 với K = diag{1, 1} Cho ρ = 1, 01 va Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI Tool box MATLAB ta thấy n ac th điều kiện Định lý 3.2 thỏa mãn với 1 = 3.9935, 2 = 3.3895, 3 = si 37 0.4791, 4 = 3.3222, 5 = 2.8105, 6 = 0.2114, γ = 75.5170     6.8004 −4.4518 0.9829 −0.5318 , Q =  , P = −4.4518 5.6577 −0.5318 0.4195     14.0133 −12.3691 1.2405 −0.6517 , Y =  , X= −12.3691 12.9230 −1.2244 0.8309   0.4797 −0.2668  Z= −0.2668 0.2266 lu an Theo Định lý 3.2 hệ (3.30) thụ động n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si