(Luận văn) tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dải

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG THỊ THU HIỀN lu an n va ie gh tn to TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA TRÊN MIỀN HÌNH DẢI p Ngành: Tốn giải tích w d oa nl Mã số: 46 01 02 u nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ll oi m z at nh z Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ NGÂN m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Thị Ngân Nội dung luận văn trung thực, không chép Tôi cam đoan nguồn tài liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ, giúp đỡ để thực luận văn cảm lu an ơn va n Thái Nguyên, tháng năm 2019 to ie gh tn Tác giả p ĐẶNG THỊ THU HIỀN d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp kết thúc khóa học, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Trường Đại học Sư Phạm- Đại học Thái Ngun tạo cho chúng tơi có môi trường học tập, nghiên cứu tuyệt vời Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Ngân, trực tiếp lu an hướng dẫn, truyền đạt kinh nghiệm quý báu cho suốt trình n va thực luận văn tn to Xin gửi lời cảm ơn đến tập thể giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Viện Toán học gh p ie tận tình giảng dạy tạo điều kiện cho chúng tơi q trình học thực luận văn tốt nghiệp nl w Do thời gian kiến thức chuyên môn thân hạn chế nên oa luận văn tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận d ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện nf va an lu Tôi xin chân thành cảm ơn! lm ul Thái Nguyên, tháng năm 2019 z at nh oi Tác giả z ĐẶNG THỊ THU HIỀN m co l gm @ an Lu n va ac th ii si Mục lục Lời nói đầu Chương 1 Kiến thức sở lu an 1.2 Biến đổi Fourier 1.3 Không gian hàm 1.3.1 Không gian H s (R), H s (Ω), Hos (Ω) 1.3.2 Các không gian Sobolev véc tơ 1.4 Toán tử giả vi phân n va 1.1 Hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính ie gh tn to Tính giải hệ phương trình cặp tích phân p Chương toán biên cho phương trình song điều hịa w 11 oa nl miền hình dải 11 2.2 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân 16 2.3 Biến đổi hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính 23 d 2.1 Đặt tốn nf va an lu 24 2.3.2 Biến đổi hệ phương trình vơ hạn đại số tuyến tính 26 Kết luận 30 31 z Tài liệu tham khảo z at nh oi lm ul 2.3.1 Biến đổi hệ phương trình tích phân với hạch logarit m co l gm @ an Lu n va ac th iii si Lời nói đầu Bài tốn biên cho phương trình song điều hịa miền hình dải nhiều tác giả giới nghiên cứu đến V B Zelentsov trình bày vấn đề đĩa Kirchhoff - Love chưa thực miền hình dải, dấu hiệu bao hàm cứng nối với biên lu an đĩa biên khác đĩa cố định Bài toán đưa tốn tìm n va nghiệm tích - chập phương trình tích phân loại khoảng hữu tn to hạn với hạch Từ tính chất hạch phương trình tích phân ta suy nghiệm phương trình khơng kì dị khả tích A I Fridman gh p ie S D Eidelman xét số tốn biên cho phương trình song điều hịa miền hình dải Gần đây, định lý tính cho nghiệm khơng nl w âm toán chứng minh oa Mục đích đề tài nghiên cứu tốn biên cho phương trình song d điều hịa miền hình dải Bài tốn biên miền hình dải với giả thiết lu nf va an giới hạn y = 0, y = h với điều kiện ngàm cho khoảng z at nh oi lm ul |x| a điều kiện gối tựa |x| > a Sử dụng phép biến đổi Fourier đưa toán biên phương trình song điều hịa miền hình dải hệ phương trình cặp tích phân Nghiên cứu tính tồn nghiệm hệ phương trình cặp tích phân thiết lập khơng gian Sobolev Ngoài luận văn đưa phương pháp biến đổi hệ phương trình cặp tích phân hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Luận văn bao gồm: Mở đầu, hai chương nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số kiến thức sở không gian hàm tốn tử giả vi phân, hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Chương 2: Tính giải hệ phương trình cặp tích phân z m co l gm @ an Lu n va ac th si toán biên cho phương trình song điều hịa miền hình dải Đưa phương pháp biến đổi hệ phương trình cặp tích phân hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả ĐẶNG THỊ THU HIỀN lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở hệ vơ hạn lu an phương trình đại số tuyến tính, biến đổi Fourier, khơng gian hàm n va tốn tử giả vi phân Hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính ie gh tn to 1.1 p Định nghĩa 1.1 [6] Hệ phương trình có dạng ∞ X xi = ci,k xk + bi (i = 1, 2, ), nl w (1.1) oa k=1 d số xi xác định trước, gọi hệ vô hạn phương trình nf va an lu đại số tuyến tính Khi ta thay xi , i = 1, vào vế phải (1.1) chuỗi hội tụ lm ul đồng thời thỏa mãn đẳng thức xi , i = 1, gọi nghiệm z at nh oi hệ (1.1) Định nghĩa 1.2 [3] Hệ vơ hạn (1.1) gọi quy ∞ X |ci,k | < (i = 1, 2, ), z (1.2) (1.3) m k=1 (i = 1, 2, ) co gọi hồn tồn quy ∞ X |ci,k | − θ < 1, < θ < 1, l gm @ k=1 an Lu Nếu bất đẳng thức (1.2) (hoặc (1.3)) với i = N + 1, N + 2, , hệ (1.1) gọi tựa tựa quy (hoặc tựa hồn tồn quy) n va ac th si 1.2 Biến đổi Fourier Định nghĩa 1.3 [4],[5] Kí hiệu S = S(R) khơng gian hàm bản, F phép biến đổi Fourier xác định Z∞ gb(ζ) = F [g](ζ) = g(x)eixζ dx, −∞ Định nghĩa 1.4 [4],[5] Kí hiệu S = S(R) không gian hàm suy rộng, F −1 phép biến đổi Fourier ngược xác định lu g˘(ζ) = F −1 [g](ζ) = 2π Z∞ g(x)e−ixζ dx an −∞ va n Ký hiệu < g, ψ > giá trị hàm suy rộng g ∈ S hàm 1.3 Không gian hàm p ie gh tn to ψ ∈ S, (g, ψ) :=< g, ψ > w Không gian H s (R), H s (Ω), Hos (Ω) oa nl 1.3.1 d Định nghĩa 1.5 [5] Cho H s := H s (R)(s ∈ R) không gian Sobolev - lu nf va an Slobodeskii định nghĩa bao đóng tập hợp Co∞ (R) hàm vi phân vô hạn với chuẩn xác định lm ul s (1 + ζ ) |vb(ζ)| dζ −∞ i1/2 z at nh oi ||v||s := h Z∞ < ∞, vb = F [v] (1.4) Không gian H s khơng gian Hilbert với tích vơ hướng sau @ b(ζ)vb(ζ)dζ (1 + ζ )s u (1.5) l gm (u, v)s := z Z∞ −∞ co m Định nghĩa 1.6 [5] Giả sử Ω khoảng hệ khoảng không an Lu giao R Không gian H s (R) bao gồm hàm v(x) với giá ac th n va Ω kí hiệu Hos (Ω) định nghĩa chuẩn C0∞ (Ω) si Định nghĩa 1.7 [5] Giả sử h ∈ H s (R) Hạn chế h Ω kí hiệu hΩ , ta có hhΩ , λi = hh, λi với λ ∈ C0∞ (Ω) Tập hợp hạn chế hàm thuộc H s (R) Ω kí hiệu H s (Ω) Chuẩn H s (Ω) xác định công thức ||h||Hs (Ω) = inf ||lh||s , l cận lấy theo thác triển lh ∈ H s (R), h ∈ H s (Ω) lu 1.3.2 Các không gian Sobolev véc tơ an Giả sử X không gian tôpô tuyến tính Ta kí hiệu X X tích trực va n tiếp hai khơng gian Tơpơ X xác định tôpô thường tn to tích trực tiếp Ta dùng chữ in đậm để biểu thị hàm véc tơ ma trận ie gh Kí hiệu véc tơ v = (v1 , v2 ), (S0 )2 = S × S p S2 = S × S, d oa nl w Với v ∈ (S )2 , ψ ∈ S , ta đặt an lu < v,ψ >= X < vi , ψi > i=1 nf va Biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược véc tơ v ∈ (S )2 véc tơ lm ul b = F ±1 [v] = (F ±1 [v1 ], F ±1 [v2 ])T , xác định đẳng thức v z at nh oi < F [v], ψ >=< v, F [ψ] >, < F −1 [v], ψ >= < v, F [ψ](−x) >, ψ ∈ S 2π (1.6) z @ Giả sử H si , Hosi (Ω), H si (Ω) khơng gian Sobolev, n va ac th an Lu ~s = (s1 , s2 )T , H~s = H s1 × H s2 , H~os (Ω) = Hos1 (Ω) × Hos2 (Ω), H~s (Ω) = H s1 (Ω) × H s2 (Ω) m co l gm i = 1, 2, Ω khoảng hệ khoảng không giao R Ta đặt si Tích vơ hướng chuẩn H ~s Ho~s (Ω) xác định công thức 2 X 1/2 X (u,v)~s = (ui , vi )si , ||v||~s = ||vi ||si , i=1 i=1 ||vi ||si (ui , vi )si xác định công thức (1.4) (1.5) Chuẩn H~s (Ω) định nghĩa công thức ||v||H~s (Ω) := X i=1 inf li ||li vi ||2si 1/2 , li tốn tử suy rộng vi ∈ H si (Ω) từ Ω vào R lu Định lý 1.1 [1] Giả sử Ω ⊂ R, v = (v1 , v2 )T ∈ H~s (Ω), g ∈ H−~s (Ω) an lg = (l1 g1 , l2 g2 )T thác triển g từ Ω đến R thuộc vào H−~s (R) Khi va n tích phân gh tn to p ie [g, v] := (lg, v)o := Z∞ X [ lc i gi (ζ)vi (ζ)dζ, (1.7) w i=1 −∞ oa nl không phụ thuộc vào việc chọn thác triển lg Do đó, cơng thức xác định d hàm tuyến tính H~os (Ω) Ngược lại, với hàm tuyến tính Ψ(v) liên tục nf va an lu H~os (Ω) tồn g ∈ H−~s (Ω) cho Ψ(v) = [v, g] ||Ψ|| = ||g||H−~s (Ω) Chứng minh Lấy l’g thác triển khác hàm g Khi ta có lm ul lg - lg’ = Ω, tức z at nh oi ∀z ∈ (Co∞ (Ω))2 (lg − l’g,z)o = 0, (1.8) Do (Co∞ (Ω))2 tập trù mật H~so (Ω), nên từ (1.8) ta có z ∀u ∈ H~os (Ω), gm @ (lg - l’g,v)o = 0, an Lu |(lg,v)o | ||v||~s ||lg||−~s m vào cách chọn mở rộng lg Từ đó, co l Tức (l’g,v)o = (lg,v)o Do đó, tích phân (1.7) không phụ thuộc n va ac th si = 0, x ∈ R\(−a, a), (2.4)  ∂Φ   = g2 (x), x ∈ (−a, a), ∂y y=h  M [Φ] = 0, x ∈ R\(−a, a), (2.5) y=0 lu an y=h n va < θ < (2.6) gh tn to ∂ 2Φ ∂ 2Φ + θ 2, M [Φ] = M [Φ](x, y) = ∂y ∂x p ie Bài toán biên miền hình dải với giả thiết y = 0, y = h với điều kiện ngàm cho khoảng |x| a điều kiện gối tựa |x| > a Hiển nhiên, d oa nl w M [Φ] mômen lực uốn với trục Oy Sử dụng biến đổi Fourier với biến số x phương trình song điều hồ (2.1), ta đạt an lu nf va 2b b y) d4 Φ(ζ, d Φ(ζ, y) b y) = 0, − 2ζ + ζ Φ(ζ, dy dy (2.7) lm ul b y) = Fx [Φ(x, y)](ζ) biến đổi Fourier x hàm Φ(ζ, z at nh oi Φ(x, y) Lời giải tổng quát phương trình vi phân (2.7) với ζ 6= biểu diễn z b y) = G1 (ζ) cosh(|ζ|y) + G2 (ζ)y cosh(|ζ|y) + G3 (ζ) sinh(|ζ|y) Φ(ζ, l gm @ + G4 (ζ)y sinh(|ζ|y), (2.8) m co G1 (ζ), G2 (ζ), G3 (ζ), G4 (ζ) hàm tuỳ ý với biến số ζ Giá trị b y) biểu diễn Φ(0, ζ→0 an Lu b y) = lim Φ(ζ, b y) Φ(0, (2.9) n va ac th 12 si Sử dụng đổi Fourier điều kiện (2.9), (2.2) (2.8) ta có b 0) = G1 (ζ) = pb1 (ζ), Φ(ζ, (2.10) b h) = G1 (ζ) cosh(|ζ|h) + G2 (ζ)h cosh(|ζ|h) + G3 (ζ) sinh(|ζ|h) Φ(ζ, + G4 (ζ)h sinh(|ζ|h) = pb2 (ζ) Tức c[Φ](ζ, 0) = Φ b yy (ζ, 0) − θζ Φ(ζ, b 0) = (1 − θ)ζ G1 (ζ) + 2|ζ|G4 (ζ), vb1 (ζ) = M (2.11) c[Φ](ζ, h) = Φ b yy (ζ, h) − θζ Φ(ζ, b h) = (1 − θ)ζ cosh(|ζ|h)G1 (ζ) vb2 (ζ) = M lu + [2|ζ| sinh(|ζ|h) + (1 − θ)ζ h cosh(|ζ|h)]G2 (ζ) + (1 − θ)ζ sinh(|ζ|h)G3 (ζ) an n va + [2|ζ| cosh(|ζ|h) + (1 − θ)ζ h sinh(|ζ|h)]G4 (ζ) (2.12) b1 (ζ), u b2 (ζ), pb1 (ζ), pb2 (ζ) Với G1 (ζ), G2 (ζ), G3 (ζ), G4 (ζ) theo giới hạn u ζ 6= 0, sau số bước biến đổi, ta có p ie gh tn to Từ biểu thức (2.10) - (2.12) ta biểu diễn hàm chưa biết d oa nl w G1 (ζ) = pb1 (ζ), (2.13) vb1 (1 − θ)|ζ|pb1 (ζ) G4 (ζ) = − , (2.14) 2|ζ| cosh(|ζ|h) vb2 (ζ) G2 (ζ) = − vb1 (ζ) + 2|ζ| sinh(|λ|h) 2|ζ| sinh(|ζ|h) (1 − θ)|ζ| (1 − θ)|ζ| cosh(|ζ|h) pb1 (ξ) − pb2 (ζ), (2.15) + sinh(|ζ|h) sinh(|ζ|h) h cosh(|ζ|h) h b v (ζ) − vb2 (ζ) G3 (ζ) = 2|ζ| sinh2 (|ζ|h) 2|ζ| sinh2 (|ζ|h) sinh(2|ζ|h) + (1 − θ)|ζ|h (1 − θ)|ζ|h cosh(|ζ|h) + sinh(|ζ|h) b − p (ζ) + pb2 (ζ) sinh2 (|ζ|h) sinh2 (|ζ|h) (2.16) nf va an lu z at nh oi lm ul z l gm @ m co Thế (2.13) - (2.16) vào (2.8) ta đạt   h sinh(|ζ|y) − y sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|(h − y)) b y) = vb1 (ζ) Φ(ζ, 2|ζ| sinh2 (|ζ|h) an Lu n va ac th 13 si  y cosh(|ζ|y) sinh(|ζ|h) − h sinh(|ζ|y) cosh(|ζ|h) + vb2 (ζ) 2|ζ| sinh2 (|ζ|h)   sinh(|ζ|h) sinh(|ζ|(h − y)) + pb1 (ζ) sinh2 (|ζ|h)   (1 − θ)|ζ|[y sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|(h − y)) − h sinh(|ζ|y)] + pb1 (ζ) sinh2 (|ζ|h)   (1 − θ)|ζ|(h − y) sinh(|ζ|y) cosh(|ζ|h) + pb2 (ζ) sinh2 (|ζ|h)   sinh(|ζ|y) sinh(|ζ|h) − (1 − θ)y|ζ| sinh(|ζ|(h − y)) (2.17) + pb2 (ζ) sinh2 (|ζ|h)  Từ (2.17), ta có lu an O(|ζ|e−|ζ|(h−y) ), |ζ| → ∞, (2.18) va n nữa, từ (2.9) ta có tn to gh b y) = α1 (y) lim vb1 (ζ) + α2 (y) lim vb2 (ζ) + α3 (y) lim pb1 (ζ) + α4 (y) lim pb2 (ζ), Φ(0, ζ→0 ζ→0 ζ→0 ζ→0 p ie d oa nl w nf va an lu y(h2 − y ) + 3y(h − y)2 , α1 (y) = − 12h y(y − h2 ) α2 (y) = , 6h h−y α3 (y) = , h y α4 (y) = h z at nh oi lm ul Thế (2.13) - (2.16) vào quan hệ sau z b 0) dΦ(ζ, = |ζ|G3 (ζ) + G2 (ζ), dy b h) dΦ(ζ, = [G1 (ζ)|ζ| + G4 (ζ)] sinh(|ζ|h) + [G3 (ζ)|ζ| + G2 (ζ)] cosh(|ζ|h) dy + G2 (ζ)|ζ|y sinh(|ζ|h) + G4 (ζ)|ζ|h cosh(|ζ|h), m co l gm @ an Lu n va ac th 14 si ta b 0) dΦ(ζ, = −a11 (ζ)vb1 (ζ) − a12 (ζ)vb2 (ζ) − a1 (ζ)pb1 (ζ) + a2 (ζ)pb2 (ζ), (2.19) dy b h) dΦ(ζ, = −a21 (ζ)vb1 (ζ) − a22 (ζ)vb2 (ζ) − a2 (ζ pb1 (ζ) + a1 (ζ)pb2 (ζ), (2.20) dy |ζ|[(1 + θ) sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|h) + (1 − θ)|ζ|h] , sinh2 (|ζ|h) |ζ|[(1 + θ) sinh(|ζ|h) + (1 − θ)|ζ|h cosh(|ζ|h)] a2 (ζ) = , sinh2 (|ζ|h) sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|h) − |ζ|h , a11 (ζ) = a22 (ζ) 2|ζ| sinh2 (|ζ| sinh2 (|ζ|h)) |ζ|h cosh(|ζ|h) − sinh(|ζ|h) a21 (ζ) = a12 (ζ) 2|ζ| sinh2 (|ζ| sinh2 (|ζ|h)) a1 (ζ) = (2.21) (2.22) lu an (2.23) n va (2.24) ie gh tn to Để xác định hàm chưa biết vb1 (ζ) vb2 (ζ), sử dụng đồng thời p điều kiện (2.4) (2.5) Thoả mãn điều kiện từ (2.11), (2.12), (2.19) oa nl w (2.20), ta có hệ phương trình cặp tích phân với vb1 (ζ), vb2 (ζ) : ( b(ζ)](x) = g e(x), x ∈ (−a, a) F −1 [A(ζ)v b(ζ)](x) = 0, F −1 [v d v2 (x) = M [Φ](x, h), v(x) = (v1 (x), v2 (x))T , (2.26) lm ul v1 (x) = M [Φ](x, 0), nf va an lu (2.25) x ∈ R\(−a, a), (2.27) ge1 (x) = −g1 (x) − F −1 [a1 (ζ)pb1 (ζ)](x) + F −1 [a2 (ζ)pb2 (ζ)](x), (2.28) ge2 (x) = g2 (x) + F −1 [a2 (ζ)pb1 (ζ)](x) − F −1 [a1 (ζ)pb2 (ζ)](x),   a11 (ζ) a12 (ζ) A(ζ) = a21 (ζ) a22 (ζ) (2.29) z at nh oi b(ζ) = F [v(x)](ζ), g e(x) = (ge1 (x), ge2 (x))T , v z @ m co l gm (2.30) an Lu n va ac th 15 si 2.2 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân Hệ (2.25) [3] viết lại dạng ( b(ζ)](x) = g e(x), rF −1 [A(ζ)v b(ζ)](x) = 0, r0 v := r0 F −1 [v x ∈ (−a, a), (2.31) x ∈ R\(−a, a), e(x) = (g1 (x), g2 (x))T , v b(ζ) = F [v](ζ) = tốn tử F −1 hiểu g (vb1 (ζ), vb2 (ζ))T , Khi đó, ta có Bổ đề 2.1 [3] Ma trận A(ζ) định nghĩa công thức (2.23), (2.24) lu , (2.30) gọi xác định dương, với ζ 6= P α Từ ta có A(ζ) ∈ −~ α ~ = (1, 1)T o , an n va tn to Bổ đề 2.2 [3]Giả sử a1 (ζ), a2 (ζ), a11 (ζ) a12 (ζ) xác định công p ie gh thức (2.21) (2.22) (2.23), (2.24) Khi ∀ζ 6= 0, (i) nl w a11 (−ζ) = a11 (ζ) > 0, a12 (−ζ) = a12 (ζ) > 0, d oa a1 (−ζ) = a1 (ζ) > 0, a2 (−ζ) = a2 (ζ) > 0, ∀ζ 6= h h a11 (0) = lim a11 (ζ) = , a12 (0) = lim a12 (ζ) = , ζ→0 ζ→0 1 a1 (0) = lim D1 (ζ) = , a2 (0) = lim a2 (ζ) = ζ→0 ζ→0 h h lim a11 (ζ) = , lim a12 (ζ) = 0, h→∞ 2|ζ| h→∞ (1 + θ)|ζ lim a1 (ζ) = , lim a2 (ζ) = h→∞ h→∞ lu nf va an (ii) lm ul z at nh oi (iii) z (2.21) đến (2.24) ta có biểu thức sau l a1 (ζ) ∈ σ+ ∩ C(R), m ∀β > (2.33) an Lu a12 (ζ) = a21 (ζ) a2 (ζ) ∈ σ −β ∩ C(R), (2.32) co −1 a11 (ζ) = a22 (ζ) ∈ σ+ ∩ C(R), gm @ Từ kết Bổ đề 1.1 Bổ đề , kết hợp biểu thức từ n va ac th 16 si Chúng ta đưa kết sau cho vết Φ(x, y) biên y = y = h hình dải Π : p1 (x) := Φ(x, 0) p2 (x) := Φ(x, h) ∈ H (R), (2.34) v1 (x) := M [Φ](x, 0) v2 (x) := M [Φ](x, h) ∈ H − (R) (2.35) Từ (2.32) Bổ đề 1.2 nên ta có điều sau Định lý 2.1 [3] Với điều kiện (2.34) (2.35) thỏa mãn, nên ta có F −1 [a11 (ζ)vb1 (ζ)](x) F −1 [a22 (ζ)vb2 (ζ)](x) ∈ H (R), F −1 [a21 (ζ)vb1 (ζ)](x) F −1 [a12 (ζ)vb2 (ζ)](x) ∈ H δ (R), ∀δ > 1, lu F −1 [a11 (ζ)pb1 (ζ)](x) F −1 [a1 (ζ)pb2 (ζ)](x) ∈ H (R), an n va F −1 [a2 (ζ)pb1 (ζ)](x) F −1 [a2 (ζ)pb2 (ζ)](x) ∈ H δ (R), ∀δ > tn to Từ Định lý 2.1, ta giả sử có điều kiện sau gh ie p1 (x) p2 (x) ∈ H (R), (2.36) p g1 (x) g2 (x) ∈ H (−a, a) (2.37) w d oa nl Do đó, có α ~ = (1, 1)T (2.38) an lu e(x) ∈ Hα~ /2 (−a, a), g nf va Định lý 2.2 [3](Tính nhất) Với điều kiện (2.38) thỏa mãn Khi đó, −~ α/2 lm ul hệ phương trình cặp (2.31) có nhiều nghiệm v ∈ Ho (−a, a) z at nh oi Chứng minh Giả sử v ∈ Hα~ /2 (−a, a) nghiệm hệ (2.31) Sử dụng công thức từ (1.7)-(1.11) Định lý 1.1, ta bT (ζ)A(ζ)v b(ζ)dζ = 0, v gm @ [Av,v] = z Z∞ −∞ l từ v ≡ co m Tức an Lu b(ζ)](x), (Av)(x) = pF −1 [A(ζ)v x ∈ (−a, a) n va ac th 17 si ta viết lại (2.31) thành (Av)(x) = g(x), x ∈ (−a, a) (2.39) Bây giờ, xác định tồn nghiệm hệ (2.39) không −~ α/2 (−a, a), α ~ = (1, 1)T Ta có ma trận   tanh(|ζ|h)   2|ζ|  A+ (ζ) =   tanh(|ζ|h)  , 2|ζ| B(ζ) = A(ζ) − A+ (ζ) gian Ho lu an Bổ đề 2.3 [3] Chúng ta có A+ (ζ) ∈ P−~α + (2.40) (2.41) ,α ~ = (1, 1)T va n Chứng minh Giả sử tn to a1 , b1 , a2 , b2 ∈ R vb2 = a2 + jb2 , ie gh vb1 = a1 + jb1 , p Chúng ta có oa Ta có nl w |vb1 |2 = a21 + b21 , d T b A+ v b= v tanh(|ζ|h) −1 ∈ σ+ (R), nghĩa tồn |ζ| z số dương D, cho (2.42) z at nh oi Sử dụng Bổ đề 1.1, ta có tanh(|ζ|h) (|vb1 |2 + |vb2 |2 ) |ζ| lm ul T tanh(|ζ|h) [2(a21 + b21 + a22 + b22 )] > 2|ζ| nf va Do an lu b A+ v b= v |vb2 |2 = a22 + b22 gm @ l tanh(|ζ|h) >D , ∀ζ ∈ R |ζ| (1 + |ζ|) P α Từ (2.42), (2.43) suy A+ (ζ) ∈ −~ α ~ = (1, 1)T + , Bổ đề chứng minh (2.43) m co an Lu n va ac th 18 si Ta suy ~ B(ζ) ∈ −β X , β~ = (β, β)T , ∀β > −~ α/2 Bổ đề 2.4 [6]Tích vơ hướng chuẩn Ho (R)(~ α = (1, 1)T ) xác định sau Z∞ (u,v)A+,−~α/2 = ||v||A+,~α/2 =  T b(ζ) A+ (ζ)v b(ζ)dζ, v −∞ Z∞ T b(ζ) A+ (ζ)v b(ζ)dζ v (2.44) 1/2 , (2.45) lu −∞ an ma trận A+ (ζ) xác định cơng thức (2.40) n va hệ phương trình cặp tích phân (2.31) có nghiệm v = F −1 [b v] ∈ gh tn to Định lý 2.3 [3](Sự tồn tại) Giả sử biểu thức (2.36) (2.37) đúng, −~ α/2 (−a, a) p ie Ho w Chứng minh Từ giả thiết (2.36) (2.37) đúng, (2.28) (2.29) Định oa nl lý 2.1, ta có d e(x) ∈ Hα~ /2 (−a.a), g α ~ = (1, 1)T lu an Chúng ta biểu diễn toán tử A công thức (2.39) theo dạng A = A+ + B, nf va lm ul b], A+ v = rF −1 [A+ v B v = rF −1 [Bb v], v = F [v] (2.46) z at nh oi Trước hết, ta xét hệ phương trình A+ v(x) = f(x), α/2 v(x) ∈ H−~ (−a, a), o (2.47) z @ gm đó, g(x) ∈ Hα~ /2 (−a, a) hàm véc tơ biết Từ (1.7), (1.10), F [uT ](ζ)A+ (ζ)F [v](ζ)dζ = (u,v)A+,−~α/2 , an Lu [A+ u,v] = m Z∞ co l (2.44) có −∞ n va ac th 19 si −~ α/2 (−a, a) thỏa mãn (2.47), ta có với hàm véc tơ tùy ý u v thuộc Ho α ~ /2 Ho (−a.a) Do đó, v ∈ α/2 ∀u ∈ H−~ (−a, a) o (u,v)A+,−~α/2 = [f,u], (2.48) −~ α/2 Với [f, v] hàm tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert Ho từ định lý Riesz, tồn vo ∈ [f, v] = (vo , u)A+,−~α/2 , −~ α/2 Ho (−a, a) (−a, a), cho α/2 v ∈ H−~ (−a, a) o (2.49) Từ (2.48) (2.49) v = vo Hơn nữa, ta lại có lu ||vo ||A+,~α/2 = ||A−1 f||A+,~α/2 D||f||Hα~ /2 (−a,a) , an (2.50) va n đúng, D số dương Sau đó, ta biến đổi hệ (2.31) thành tn to ie gh e A+ v + B v = g p Từ ta có (2.51) oa nl w −1 e v + A−1 + B v = A+ g d Theo tính chất Định lý 1.3, toán tử B v xác định (2.46) đầy −~ α/2 lu −1 (−a, a) vào Hα~ /2 (−a, a), (2.50) toán tử A+ bị chặn Do tốn tử A−1 + B hồn tồn bị chặn Nên hệ phương trình (2.51) Fredholm Vì tính nghiệm, ( Định lý 2.2) nên hệ có −~ α/2 nghiệm v ∈ Ho (−a, a) nf va an đủ liên tục từ Ho z at nh oi lm ul Định lý 2.4 Giả sử (2.36) (2.37) Khi đó, có nghiệm Φ Bài toán (2.1) - (2.5) thuộc vào không gian Sobolev H (Π), H n (Π )(∀n > z 2, ∀ > 0), l gm @ m co Π := {(x, y) : −∞ < x < ∞,  < y < h − } an Lu b y)](x) Φ(x, b y) xác Chứng minh Biểu diễn Φ(x, y) := F −1 [Φ(ζ, định (2.17) Đầu tiên, ta chứng minh hàm Φ(x, y) thỏa mãn phương n va ac th 20 si