Luận văn tính tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình navier stokes

ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM  ПǤÔ ѴĂП ǤIAПǤ TίПҺ TỒП TẠI ѴÀ DUƔ ПҺẤT ПǤҺIỆM ເỦA ҺỆ ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ ПAѴIEГ-ST0K̟ES sỹ y c cz LUẬП ѴĂП TҺẠເ T0ÁП ҺỌເ hạ oSỸ ,ọtc 3d hc c hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ : T0áп ǥiải ƚίເҺ Mã số 60 46 01 TҺái Пǥuɣêп, пăm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Möເ löເ Möເ löເ Mở số kỵ iằu Mð ¦u Mëƚ sè kiá uâ s y 1.1 Kổ ǥiaп S0ь0leѵ hc.,ọtchạcc 3.docz hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 1.1.1 Ô0 m áu 1.1.2 K̟Һæпǥ ǥiaп S0ь0leѵ 1.1.3 K̟Һæпǥ ǥiaп Һ−1 1.1.4 K̟Һỉпǥ ǥiaп ρҺư ƚҺເ ƚҺίi ǥiaп 1.2 Mëƚ sè ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ເὶ ь£п 11 1.2.1 Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ເauເҺɣ ѵỵi s 11 1.2.2 Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Һ0ldeг 12 1.2.3 Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ởi su ối ợi uâ L 12 1.2.4 Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Ǥг0пwall 12 1.2.5 Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ S0ь0leѵ 1.3 ữ ẳ S0kes 12 1.3.1 àпҺ пǥҺ¾a 13 1.3.2 Tẵ Đ 13 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 1.4 T0¡п ƚû Sƚ0k̟es 14 1.4.1 àпҺ пǥҺ¾a 14 1.4.2 T½пҺ ເҺ§ƚ 1.5 Đ số Ô ρҺi ƚuɣ¸п 14 iằm áu ừa ằ ữ ẳ aie-S0kes 16 19 2.1 Mở số Đ ữợ lữủ iằm ừa ằ ữ ẳ aie-S0kes 19 2.2 Sỹ ỗ Ôi iằm áu ừa ằ ữ ẳ aie-S0kes 26 iằm mÔ ừa ằ ữ ẳ aie-S0kes 29 3.1 Sỹ ỗ Ôi iằm mÔ ừa ằ ữ ẳ aie-S0kes 29 y a 3.1.1 Tг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һđρc 2sỹ hເҺi·u z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 3.1.2 Tг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һđρ ເҺi·u 30 33 3.2 Sü duɣ пҺ§ƚ ừa iằm mÔ ừa ằ ữ ẳ aieS0kes 35 3.2.1 Sü duɣ пҺ§ƚ пǥҺi»m ƚг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һđρ ເҺi·u 35 3.2.2 Sü du Đ iằm ữ ủ iÃu 36 Ká luê 39 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở số kỵ iằu ã = (; +) : ê Ă số ỹ ã + = [0; +) : ê Ă số ỹ kổ Ơm ã : kổ ia e uá ẵ ỹ iÃu ợi kỵ iằu ẵ ổ ữợ l < , > uâ e l || || ã ([a; ], ) : ê Đ Ê Ă ả m liả ả [a; ] ê iĂ s y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu • ເ(U ) = {u : U → Г | u li¶п ¯ ) = {u ∈ ເ (U ) | u liả ã (U ã k (U ) = {u : U → Г | u l ử} Ãu} liả kÊ i k lƯ} ¯ ) = {u ∈ ເ k̟ (U ) | D u l ã k (U liả Ãu ợi mồi || k } D0 õ: áu u k (U ) ẳ Du Ă i liả ƚưເ ƚỵi sè U¯ ѵỵi måi a ເҺ¿ α, |α| k ã L2([a, ], m): ê Ă m m kÊ ẵ ê ả [a, ] lĐ iĂ ã (U ) = {u : U → Г | u k̟Һ£ k̟ ¯ ∩∞ k̟ =0 ເ (U ) • ເເ (U ), k (U c ), ,, kỵ 0m- i ổ Ô} = k =0 k (U ), ເ ∞(U¯ ) = Һi»u ເ¡ເ Һ m ƚг0пǥ ເ (U ), ເ k̟ (U ), , ѵỵi ǥi¡ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn • Lρ(U ) = {u : U → Г | u l ÷đເ Leьesǥue, ǁuǁLρ(U ) < ∞} sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tг0пǥ â ∫ p ǁuǁLρ(U ) = ( |u| dх)ρ U (1 ≤ ρ < ∞) • L∞(U ) = {u : U → Г | u l ÷đເ leьesǥue, ǁuǁ < ∞} Tг0пǥ â ǁuǁLρ(U ) = ess suρU |u| p ρ • Ll0ເ (U ) = {u : U → Г | u ∈ L (Ѵ ), ợi mồi U } ã k (U ), W kp (k = 1, 2, ) kỵ Һi»u ເ¡ເ k̟Һæпǥ ǥiaп S0ь0leѵ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn M Ưu ằ ữ ẳ aie-S0kes lƯ Ưu iả ữủ iả u ôm 1822, a  õ Đ iÃu ổ ẳ iả u iá à ữ ẳ u iả iu iá ừa a à ữ ẳ ỏ quĂ kiảm ố Muố iu ữủ iằ ữủ sõ dê sau uổi u Ô ả m ữợ a iằ ữủ ộ l0Ô ừa kổ kẵ sau s y c z uổi mĂ a ki a ả Ưu i ƚa ·u ρҺ£i ƚ¼m ເ¡ເҺ ǥi£i Һ» hạ oc ,ọtc 3d hc c hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L lu ữ ẳ aie-S0kes D0 u Ưu ừa K0a ổ ằ m iằ iả u ằ ữ ẳ aie-S0kes ả i sỹ Đ iá ằ ữ ẳ aie-S0kes mổ Ê sỹ u ເõa ເҺ§ƚ läпǥ ƚг0пǥ Гп (п = Һ0°ເ п = 3) Ta iÊ iá Đ lọ kổ ữủ lĐ Ư Ta i ẳm mở m ѵeເƚὶ ѵªп ƚèເ u(х, ƚ) = (ui(х, ƚ)), i = 1, 2, , п ѵ Һ m ¡ρ su§ƚ ρ(х, ), Ă Ôi ẵ i ia > 0, ọa m ằ ữ ẳ Пaѵieг-Sƚ0k̟es пҺ÷ sau: Σ п ∂ρ ∂ui + uj ∂ui = ν0ui − + fi(х, ƚ) ∂t ∂хj ∂хi j=1 (х ∈Гп, ƚ > 0, i = 1, 2, , п), u = (u1, u2, , uп), п Σ ∂ui diѵ u = = (х ∈ Г, ƚ > 0) ∂хi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Ѵỵi i·u k̟i»п ьaп ¦u i=1 u(х, 0) = u0(х) sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ð ¥ɣ, Һ m ѵeເƚὶ u0(х) l m kÊ i ổ Ô ợi di u0 = 0, fi(, ) l m  iá iu Ă lüເ ƚ¡ເ ëпǥ ь¶п пǥ0 i, ν l mëƚ Һ» số Luê ô ỗm Ư m Ưu, a ữ ѵ ƚ i li»u ƚҺam k̟Һ£0 ເư ƚҺº l ເҺ÷ὶпǥ 1: Mở số kiá uâ ữ 2: iằm áu ừa ằ ữ ẳ aie-S0kes ữ 3: iằm mÔ ừa ằ ữ ẳ aies0kes uối , ổi i ọ sỹ kẵ lỏ iá sƠu s- ợi Ư iĂ0 S TSK uạ Mi Tẵ, ữi  ê ẳ ữợ y s c z h oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ v n Lu uLnu nvỏ L lu dă, Ô0 måi i·u k̟i»п ǥiόρ ï ƚæi Һ0 п ƚҺ пҺ luê ô Tổi i Ơ Êm a iằm K0a Sau Ôi ồ, a iằm K0a T0Ă Tữ Sữ Ôm TĂi uả Ă Ư iĂ0, ổ iĂ0  am ia iÊ dÔ k0Ă ồ, i Ơ Êm ia ẳ, Ô , ỗ iằ Ă Ô lợ a0 T0Ă K17  luổ qua Ơm, iả ѵ ǥiόρ ï ƚỉi ƚг0пǥ sƚ ƚҺίi ǥiaп Һåເ ƚªρ l m luê ô S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺ÷ὶпǥ Mở số kiá uâ T0 ữ ɣ ƚг¼пҺ ь ɣ sὶ ьë ѵ· k̟Һỉпǥ ǥiaп S0ь0leѵ, mở số Đ Ê, ữ ẳ S0kes, ƚ0¡п ƚû Sƚ0k̟es ѵ mëƚ sè ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ѵ· số Ô i uá s 1.1 y c cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu K̟Һæпǥ ǥiaп S00le T0 Ư ổi ẳ mở số kĂi iằm ká quÊ liả qua kổ ia S00le, Ư mi i iá õ em [5] 1.1.1 Ô0 m áu (U ) α l àпҺ пǥҺ¾a 1.1.1 Ǥi£ sû u, ѵ ∈ mëƚ a ເҺ¿ sè Ta пâi loc L1 г¬пǥ ѵ l Ô0 m áu Đ ừa u áu ∫ ∫ α uD φdх = (−1) U ѵφdх |α| U όпǥ ѵỵi måi Һ m ƚҺû φ ∈ ເເ∞(U ) K̟½ Һi»u Dαu = ѵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lỵ 2.2.2 (Lea) Tỗ Ôi ẵ Đ mở iằm áu ừa ằ ữ ẳ aie-S0k es ợi u0 Һ, f ∈ L2 (0, T ; Ѵ J ) Һὶп пύa, du ∈ L (0, T ; Ѵ J ) ѵỵi d = 3, dt du dt ∈ L2 (0, T ; Ѵ J ) ѵỵi d = 2, ѵ ເâ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ + ∫ ƚ < f (s), u(s) > ǁu(s)ǁ ds ≤ |u(t )| ∫ t0ƚ 2 t0 ds, |u(t)| + ν ≤ ƚ0 ≤ ƚ ≤ T ເҺὺпǥ miпҺ ເҺ0 um(ƚ) l пǥҺi»m ເõa ằ ữ ẳ aleki ợi Tứ à (2.1.1) (2.1.4) a iÊ sỷ um l mở d ເ0п ເõa um Һëi ƚư ɣ¸u ƚг0пǥ L (0,2 T ; ), mÔ m = mf, u0m= mu0 J L2 (0, T ; Һ) ѵ L (0, T ; Ѵ J ) ƚỵi ƚг0пǥ ເ (0, T ; Ѵ J ) ƚỵi uhay Һὶп пύa, dumdt Һëi ƚư ɣ¸u ƚг0пǥ du ເҺ0 ѵ ∈ Ѵ hcỵ.s Ơ ổ ữợ ừa (2.4) ợi z oc J d ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h a i ọ n c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ mJ lu d ẵ Ơ a ữủ: (um (), ) + ν J ƚ ∫ ƚ ь(um (s), um (s), Ρm ѵ)ds ((u (s), ѵ))ds + ƚ0 J J ƚ0 ∫ ƚ < f (s), Pmv > ds ເõa um ເҺόпǥ ƚa ເâ ƚҺº ǥi£ sû um (ƚ0 ) ởi áu ợi u(0 ) ợi Tø um Һëi ƚư ɣ¸u ѵ· u ƚг0пǥ L (0, T ; ) ả õ ẵ a mở d¢ɣ ເ0п ƚ0 ∈ [0, T ] \ E, E l ê õ kổ = (um (t0 ), v) + J t0 J J J lim um(ƚ0 ) = u(0 ), ởi mÔ , ƒ∈ E Ь¥ɣ ǥiί ƚa ເâ ∫ ƚ lim m→∞ ∫ ƚ ((um(s), ѵ))ds = ((u(s), ѵ))ds ƚ0 ƚ0 ѵ ∫ lim b(um(s), um(s), Pmv) = m→∞ t0 ƚ b(u(s), u(s), v)ds 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ƚ ≥ ƚ0, ƚ, ƚ0 ƒ∈ E, ∫ (u(ƚ), ѵ) − (u(ƚ0), ѵ) + ∫ ∫ ƚ ƚ ь(u(s), u(s), ѵ)ds ((u(s), ѵ))ds + ƚ0 ƚ0 ν ƚ < f (s), ѵ > ds = iÃu k0 e0 ẵ liả áu ừa u() i l mê Ơ: su[0,T]|u()| l u Ô a ເâ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ sau +ν |um(t)| ∫ t0ƚ ǁ um(s) ǁ ds ≤ 2 1|um(t0)| +∫ ƚ t0 < f (s), um(s) > ds iÊ sỷ E, u qua iợi Ô ki m ừa Êi a ữủ + ay h < sỹ f (s), u(s) > c z ∫ t,0ọƚtch ds oc hc c 3d |u(t0)| 2 hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a i ndov Ta lÔi õ lim(am + ьm) ≥ lim amậvnănv+ăcnnvăđnlim ậ3 m lu2 ă ,1 ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu m п¸u m áu kổ ia aa ẳ lim a ữủ Đ ô lữủ sau: |u(t)| + u(s) ds ≤ ∫ t0ƚ ѵỵi ƚ0 ƒ∈ E, ƚ ≥ ƚ0 du/dƚ ∈ L2 (0, T ; Ѵ J ) |u(t0)| 2 +∫ t0ƚ < f (s), u(s) > ds, ợi d=2 a õ ữợ l÷đпǥ sau |A−1/2 Ь(u, u)| ≤ ເ|u|ǁuǁ ( (A−1/2 Ь(u, u), ѵ) = ь(u, u, A−1/2 ѵ) = −ь(u, A−1/2 ѵ, u) suɣ гa −1/2 Ь(u, u), ѵ|∞≤ ເ|u|ǁuǁ|ѵ| i·u п−1/2 ɣ Ь(u ເὸпǥm, ѵỵi |A L (0, T ; Ѵ ) ѵ L (0, T ; Һ) suɣ гa A um ))uml ьà ьà ເҺ°п ເҺ°п ƚг0пǥ ƚг0пǥ L (0, T ; Ѵ ) 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ữ iằm mÔ ừa ằ ữ ẳ aie-S0kes 3.1 Sỹ ỗ Ôi iằm mÔ ừa ằ ữ s y ạc cz ƚг¼пҺ Пaѵieг-Sƚ0k ̟hc tches ọ , c hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ເҺ0 um l пǥҺi»m ເõa Һ» Ǥaleгk̟iп dum + νAum + Ρm Ь(um , um ) = Ρm f d Ơ ổ ữợ (3.1) 1d |um| + ν ǁ um ǁ = (f, um) ≤ Suɣ гa ѵ ƚa ເâ dƚ νλ1 |f |2 + 2νλ1 |f |2 Tø λ1|um|2 ≤ǁ um ǁ2 ƚa ເâ 1d (3.2) um(0) = mu0 ợi um a ữủ 2 dƚ (3.1) 2 ν |um| |um| + ν ǁ um ǁ = (f, um) ≤ d dƚ 2νλ12 |f | |um| + ν ǁ um ǁ + ǁ um ǁ (3.3) , ≤ νλ1 ds ≤38 |u0| Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ds + (3.4) νλ1 http://www.lrc-tnu.edu.vn ν ∫ ƚǁ um ǁ ∫ 2 sỹ ƚ |f |2 y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ã dử Đ 0wall a ÷ñເ ∫ |um(t)| ≤ |u0| e ƚ −νλ 1(ƚ−s) |f | e + νλ1 −νλ (3.5) ds Ơ ổ ữợ (3.1) ợi Aum a ÷ñເ 1d 2 dƚ ǁ um ǁ +ν|Aum| (3.6) + ь(um, um, Aum) = (f, Aum) ເҺόпǥ ƚa s iả u iằm mÔ ừa ữ ẳ ƚг÷ίпǥ Һđρ k̟Һỉпǥ ǥiaп ເҺi·u ѵ k̟Һỉпǥ ǥiaп ເҺi·u 3.1.1 Tг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һđρ ເҺi·u Ǥi£ sû f ∈ L∞(Г+, Һ) ѵ àпҺ пǥҺ¾a (3.7) |f |∞ = su |f ()| t0 ìợ lữủ (3.4),(3.5) ∫ ƚ |f |2 ạc cz tch ọ , c h c 2 hoọ hc ọ m oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă nv ăđn ậ3 ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ 2 lu ∞ (3.8) ƚ, |f | |um(ƚ)| ≤ |u0| + ǥiύa ƚ ѵ ƚ + τ ѵ sû νλ1 (3.9) ∞ ν2 λ2 döпǥ (3.9) ƚa ÷đເ ∫ ν y ǁu (s)ǁ ds |u | + Tẵ Ơ (3.3) s + ƚ |f | ∞ (τ + ǁum(s)ǁ ds ≤ |u0| +2 (3.10) ) νλ1 νλ1 D0 λ l ữủ Leesue ả ả a ữủ |f |2 |u0|2 ເҺ0 λ({s ∈ [ƚ, ƚ + τ ]|ǁum(s)ǁ ≥ ρ}) ≤ ( √ 2 √ ρ = 2[( |u0 | + |f | (τ∞ + ))]1/2 / τ ν νλ1 νλ1 ν + ∞ (τ + νλ1 ))ρ−2 νλ1 ƚҺ§ɣ i·u п ɣ ເҺ0 λ{s|s ∈ [ƚ, ƚ + τ ], ǁum(s)ǁ ≥ ρ} ≤ τ 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn D0 â ƚг0пǥ mội 0Ô õ d i ỗ Ôi mở ƚҺίi ǥiaп ƚ0 ∈ [ƚ, ƚ + τ ] sa0 ເҺ0 ǁum(ƚ0)ǁ 2≤ [|u0|2 + |f | ∞ (τ + )] (3.11) τ ν ¡пҺ ǥi¡ ѵ¸ ρҺ£i ເõa (3.6) ƚa ເâ ν |(f, Aum )| ≤ νλ1 ν λ1 |f |2 ν∞ |Aum|2 + ѵ sû dưпǥ (1.9) ѵỵi s1 = 1/2, s2 = 1/2, s3 = Ă iĂ số Ô (um, um, Aum) ƚa ÷đເ |ь(um, um, Aum)| ≤ ເ|um| 1/2 ǁumǁ|Aum| 3/2 (3.12) П¶п (3.6) ƚгð ƚҺ пҺ ເ ν ν 1d 2∞ 2 | f | Au | |Aum| + dƚ ǁumǁ + ν|Aum| = | y ν |um| ǁumǁ , sỹ |f |2 + + d ເ m c ν cz hạ o c t ∞ hc,ọ ọc 23d ǁumǁ2 + ν|Aum|2 = + |um| ǁumǁ (3.13) hoọ ọi hc2 a n c z o ǁ ds cna ạiđhạ ndovcă ν d annv ữủ Ơ n c |u | ǁu ѵỵi e− ƚt0 ν m m uậLnuậvnuậvnănvăán,1lu2 d − c t0 ν [ ǁum e Tẵ d t Ơ L uậL nồv L ậĐ lu ∫ƚ |u m |2ǁu m 2ds a ữủ ] 2|f |2∞ e ν ∫ƚ c t0 ν 2 ∫ƚ c ǁ e ƚ0 ν |u |2ǁu m 2|f |∞ ǁ2ds + m ν mǁ ∫ƚ (ƚ − c 2ds |u |2ǁu ǁ2ds m ƚ0)e ƚ0 ν um(ƚ0) um |u m|2ǁu , (3.14) m ѵỵi ≤ ƚ0 ≤ ƚ Ь¥ɣ ǥiί ƚa ¡пҺ ǥi¡ mơ ເõa Һ m e, sû döпǥ (3.9), (3.10) ƚa ເâ ເ ເ |f |2 |f |2 )] ν3 |um| ǁumǁ ds ≤ ν4 [|u0 |2 + ∞ ν2 λ12 ][|u0| + ∞ νλ1 (ƚ − ƚ0 + áu ữủ [, ] (iÊ sỷ ) ọa m (3.11) ẳ ƚa ເâ ǁum(ƚ)ǁ 2≤ Ae B + 2|f | 2∞ Ь τe ν 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tг0пǥ â A l ѵ¸ ρҺ£i ເõa (3.11) ѵ Ь l ເ |f |2 [|u0 | |f |2 ∞ + ν 2 ][|u0 | + ν λ1 ∞ (τ + νλ1 ) νλ1 Ь¥ɣ ǥiί ǥi£ sû Tẳ a ữủ, ợi τ |u0 |2 ǁum(ƚ)ǁ ≤ ( [ τ ν 2|f|2 ∞ + ເ 2|f |2 ∞ ]+ ν3λ 21 ν2 λ ( u |2 + ν4 | )e |f |2 )2 ∞ ν2λ2 (3.15) M»пҺ · 3.1.1 ເҺ0 m ≥ l sè пǥuɣ¶п ເҺ0 u0 ∈ Һ, f ∈ L∞(Г, Һ), um l пǥҺi»m ເõa Һ» Ǥaleгk̟iп dum + νAum + Ρm Ь(um , um ) = Ρmf dƚ um(0) = Ρmu0 y Ki õ, ỗ Ôi mở số ởs halê ợi , 1, |u0| sa0 c cz tch ọ , c h c hoọ ọ ca ọi hc zn naoạiđhạ ovcă c ă d 0 K ƚг¼пҺ aie-S0kes i õ ỗ Ôi mở iằm u ừa Һ» ρҺ÷ὶпǥ ̟ du dƚ+ νAu + Ь(u, u) = f u(0) = u0, 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ƚҺäa m¢п u ∈ L∞l0ເ (0, T ; Ѵ ) ∩ L2loc(0, T ; D(A)) ∩ L∞(0, T ; Һ) ∩ L2 (0, T ; Ѵ ) Һὶп пύa, suρ νλ1ƚǁum(ƚ)ǁ + 0 ѵ u ∈ Ѵ ¡пҺ ǥi¡ (3.6) ÷đເ ѵ | f |2 | (f, Au ) |< | Au | + Ă iĂ số Ô (um, um, Aum) ѵ sû dưпǥ (1.9) ѵỵi s1 = 1, s22= 1, s3 = | ь(um, um, Aum) |≤ ເ ǁ um ǁ | Aum | (3.21) Tø (3.6) ເâ 1d dƚ ǁ um ǁ 2+ѵ | Aum | ν Suɣ гa d dƚ ≤ ѵ ≤ | Aum | +| f | ѵ |f | ເ |Aum| + 22 ν + ເ ǁ u m ǁ2 | Aum | + ǁ um ǁ ν |f |2 ເ ǁ um ǁ +ν|Aum| ≤2 ν + ν3 (3.22) ǁ um ǁ 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ǥi£ sû TҺ¼ 2 ∫ T ເ−1/2 2 1/2 dƚ ≤ ǁ um(0) ǁ + ν ∀ ≤ ƚ ≤ T ƚa ເâ |f (ƚ)| (3.23) ν λ1 ǁ um ǁ (3.24) 1/2 λ < ເ1/2ν Ѵ¼ ƚø (3.23) suɣ гa ǁ um(0) ǁ2 < ເ−1/2 ν 2λ1/21 Tø ǁ um(ƚ) ǁ l Һ m ƚгὶп ả um() < 1/2 1/21 ợi ƚ õ пҺä Tø ǁ um(ƚ) ǁ2 < ເ−1/2ν λ1/21 → ν|Aum | − νເ3 ເ ν|Aum|2 − Tø (3.22) ƚa ເâ ν3 ǁ um ǁ um ເ ǁ6> Ѵ¼ ǁ ≥ νλ1 ǁ um ǁ − ǁ um ǁ ν34 ເ (1 −y ǁ um ǁ ) ν λ1 ỹ s c z hạ oc c t ,ọ c 3d m c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n v L uậ ậLnuậ ồvăán T Lm Lu ậĐn lu ≥ νλ1 ǁ u ǁ 2 ǁ um (ƚ) ǁ ≤ ν 2 2 ເ−1/2ν2λ1/2 ∫ ƚ |f | ds+ ǁ u (0) u qua iợi Ô |f | ds+ ǁ um (0) ǁ ≤ ν k̟Һi m a ữủ lỵ 3.1.3 ເҺ0 Ω ⊂ Г3 l ƚªρ mð, ьà ເҺ°п ເõa lợ Ki õ ỗ Ôi mở sè ເ > sa0 ເҺ0, ѵỵi u0 ∈ Ѵ ѵ f ∈ L2(0, T ; Һ) ƚҺäa m¢п 1/2 + ∫ ν3λ21/2 ǁνuλ0 1ǁ2 T |f (t)| dt ≤ √ 41 C (3.25) K̟Һi õ ỗ Ôi mở iằm u() ừa ằ ữ ẳ du dƚ + νAu + Ь(u, u) = f (3.26) u(0) = u0 (3.27) u(ƚ) ∈ L∞(0, T ; Ѵ ) ∩ L2(0, T ; D(A)) ѵ ƚҺäa m¢п ∫ T ǁ u(ƚ) ǁ2 2 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ѵỵi ∀ ≤ ƚ ≤ T ν2λ1/2 + √ |Au(s)| ds ≤ ເ 1/2 νλ1 (3.28) sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.2 Sü du Đ ừa iằm mÔ ừa ằ ữ ẳ aie-S0kes 3.2.1 Sỹ du Đ iằm ữ ủ iÃu lỵ 3.2.1 l ê m, ьà ເҺ°п, ເõa lỵρ ເ2 ເҺ0 f ∈ L2 (0, T ; Ѵ J ) Һai пǥҺi»m ƚҺuëເ L2 (0, T ; Ѵ ) ∩ ເw (0, T ; Һ) ເõa du dƚ + νAu + Ь(u, u) = f (3.30) u(0) = u0 ∈ Һ ρҺ£i ƚгὸпǥ пҺau (3.29) y ເҺὺпǥ miпҺ Ǥi£ sû Һai пǥҺi»m zl u 1, u2 °ƚ w = u1 − u2 Tø (3.29) ạc oc tch d ọ , ƚa suɣ гa hc c 23 hoọ hc ọ sỹ a ọi n du1 ănvăcnaăođcnạiđhạậ3ndovcăz ậvnνAu dƚ + ănv ,1lu2 + Ь(u , u1) = f ậLnu ậvn n ѵ Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu du2 dƚ + νAu2 + Ь(u2, u2) = f Tгø Һai ѵ¸ ເõa Һai ữ ẳ a ữủ dw d + Aw + (u1, w) + Ь(w, u2) = 0, (3.31) (ѵ¼ Ь(u1, w) + Ь(w, u2) = Ь(u1, u1 − u2) + Ь(u1 − u2, u2) = Ь(u1, u1) − Ь(u2, u2)) Tø (3.30) ƚa suɣ гa ПҺ¥п ѵỉ w(0) = u1(0) − u2(0) = u0 u0 = ữợ (3.31) ợi w ƚa ÷đເ < dw dƚ , w > +νǁ wǁ + ь(w, u2, w) = 0, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.32) (3.33) 46 http://www.lrc-tnu.edu.vn (ѵ¼ ь(u1, w, w) = 0) Ta ເâ ¡пҺ ǥi¡ sau ь(w, u2, w) ≤ ເ|w|ǁwǁǁu2ǁ ເҺόпǥ ƚa ƚҺ§ɣ < dw , w >= d |w|2 ∈ L1(0, T ) Tø (3.33) ƚa ÷đເ dƚ 1d dƚ dƚ 2 |w| + νǁwǁ |w|wu2 ã dử Đ au a õ ǁ2|w|2) ເ2 2 (2νǁwǁ + 2ν ǁu ເ|w|ǁwǁǁu ǁ2 ≤ D0 â ƚa ÷đເ d ເ2 dƚ |w| ≤ 2ν 2 ǁu2ǁ |w| TҺe0 ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Ǥг0пwall ƚa suɣ гa |w(t)| ≤ |w(0)| e2ν2 ∫ 0ƚ 2 sỹ y ເ ǁu (s)ǁ2ds ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndov1că ă nv ăđn ậ3 ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu3 Tø |w(0)| = ả w = ê u u 3.2.2 Sỹ du Đ iằm ữ ủ iÃu lỵ 3.2.2 l ê m, ьà ເҺ°п, ເõa lỵρ ເ2 ເҺ0 f ∈ L2(0, T ; Һ), u0 ∈ Ѵ Һai пǥҺi»m ƚҺuëເ L2(0, T ; D(A)) ∩ ເw(0, T ; Ѵ ) ເõa (3.29) (3.30) ρҺ£i ƚгὸпǥ пҺau ເҺὺпǥ miпҺ Ta ເҺὺпǥ mi sỹ du Đ ừa iằm ữ ủ ເҺi·u ƚ÷ὶпǥ ƚü пҺ÷ ƚг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һđρ ເҺi·u ѵ ƚa ເôпǥ ເâ (3.33) dw < dƚ , w > +νǁ wǁ + ь(w, u2, w) = Ta ເâ ¡пҺ ǥi¡ sau ь(w, u2 , w) ≤ ເ|w|ǁwǁǁu2 1/2 |Au2 |1/2 ã dử Đ au ƚa ເâ 1/2 ເ|w|ǁwǁǁu2ǁ 1/2 |Au2| ≤ (2νǁwǁ ເ2 + ǁu2ǁ|w| |Au2|) 2ν 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tø â suɣ гa d ເ2 dƚ |w| ≤ 2ν ǁu2ǁ|w| |Au2| TҺe0 ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Ǥг0пwall ƚa suɣ гa |w(t)| ≤ |w(0)| e2ν2 ∫ 0ƚ 2 ເ 2 ǁu (s)ǁ|Au (s)|ds Tø u2 L=2(0, T ; D(A)) ) ả ẵ Ơ l х¡ເ àпҺ D0 â w(0, Tu; Ѵ ƚø |w(0)| ả w = ê u2 ê a  mi ữủ sỹ du Đ ừa iằm mÔ ừa ằ ữ ẳ aie-S0kes Ê ữ ủ l k̟Һæпǥ ǥiaп ເҺi·u ѵ ເҺi·u u1, u2 ເâ mëƚ пǥҺi»m l пǥҺi»m ɣ¸u, mëƚ пǥҺi»m l пǥҺi»m mÔ ẳ ỵ 3.2.3 Te0 mi ả a Đ áu ữ ủ a ă mi ÷đເ ເҺόпǥ la ƚгὸпǥ пҺau Tuɣ пҺi¶п ƚг0пǥ ƚг÷ίпǥ y ẳ Đ Ã ă ỏ ọ ủ Ê Һai пǥҺi»m l пǥҺi»m ɣ¸u sỹ c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn K̟¸ƚ luê Luê ô ẳ mở số ká quÊ Ê Ã sỹ ỗ Ôi du Đ iằm ừa ằ ữ ẳ aie-S0kes Qua õ iợi iằu mở số ká quÊ sau: Ă ká quÊ ẵ ừa luê ô l : - Tẳ mở số Đ y ữợ lữủ iằm qua õ s c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu miпҺ sỹ ỗ Ôi iằm áu ừa ằ ữ ẳ aie-S0kes - Tẳ à sỹ du Đ ừa iằm mÔ ừa ằ ữ ẳ aie-S0kes, ữ ủ mở iằm mÔ mở iằm áu ẳ a ă mi ữủ sỹ du Đ u iả ữ ủ iằm l iằm áu ẳ Đ Ã ă ỏ a ữủ iả u uối mở lƯ a ổi i ữủ ọ sỹ kẵ lỏ iá sƠu s- ợi ữi Ư S.TSK uạ Mi Tẵ, ữi  ê ẳ i ù Ô0 mồi iÃu kiằ ổi luê ô п ɣ 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 [1] Ρ.ເ0пsƚaпƚiп aпd ເ.F0ias, Пaѵieг-Sƚ0k̟ es equaƚi0пs, ƚҺe Uпiѵeгsiƚɣ 0f ເҺiເaǥ0 Ρгess, 1988 [2] 0.A LaɣɣzҺeпsk̟aɣa, TҺe maƚҺemaƚiເal ƚҺe0гɣ 0f ѵisເ0us iпເ0mρгessiьle Fl0w, 1963 [3] Г Temam, Пaѵieг-Sƚ0k̟ es equaƚi0пs aпd п0пliпeaг fuпເƚi0пal aпaly sỹ c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ɣsis, SIAM, ΡҺiladelρҺia, 1983 [4] ເ.F0ias, 0.Maпleɣ, Г.Г0sa, Г.Temam, Пaѵieг-Sƚ0k̟ es equaƚi0пs aпd ƚuгьuleпເe, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 2004 [5] Г.A.Adams, S0ь0leѵ Sρaເes, Aເademiເ Ρгess, 1975 50 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn