(Luận văn) sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình maxwell trong lý thuyết tán xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Tú lu an n va SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM gh tn to CHO PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL p ie TRONG LÝ THUYẾT TÁN XẠ w d oa nl Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 846 01 02 nf va an lu lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi z m co l gm @ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH NHÂN an Lu Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 n va ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thành Nhân Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu lu an tham khảo va n Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 05 năm 2020 to p ie gh tn Học viên w d oa nl Nguyễn Thanh Tú nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy TS Nguyễn Thành Nhân, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn đọc lu an góp ý giúp cho luận văn hồn chỉnh Xin chân thành cảm ơn quý n va thầy Khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tn to truyền đạt cho kiến thức quý báu suốt năm học vừa qua, tạo cho tảng vững để thực luận văn Cuối cùng, gh p ie gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể lớp Tốn giải tích K28 hết lòng ủng hộ động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập oa nl w trình thực luận văn Tuy nhiên, thời gian có hạn nên luận văn cịn nhiều hạn chế khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận d an lu đóng góp ý kiến quý thầy bạn để luận văn hồn nf va thiện Xin chân thành cám ơn lm ul Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 05 năm 2020 z at nh oi Học viên z m co l gm @ Nguyễn Thanh Tú an Lu n va ac th si Một số kí hiệu lu an n va Tập số thực C Tập số phức Re a Phần thực a Im a Phần ảo a Ω Miền bị chặn Γ, ∂Ω Biên miền Ω E Cường độ điện trường gh tn to R Ei p ie Sóng tới trường điện Cường độ từ trường Sóng tới trường từ d oa Sóng tán xạ trường từ an lu Hs nl Hi w H Sóng tán xạ trường điện Es Giới hạn từ bên cho trường vectơ hàm F F− Giới hạn từ bên cho trườngvectơ hàm F ε Hằng số điện môi mơi trường µ Hằng số từ mơi mơi trường β Tính chiral mơi trường ∇·, div Tốn tử divergence Trong tọa độ Descartes,   ∂ax ∂ay ∂az + + ∇·a= nf va F+ z at nh oi lm ul z ∂z gm ∂y @ ∂x co l ∇×, curl, rot Tốn tử vectơ mơ tả độ xoáy trường vectơ Trong tọa m độ Descartes, với i, j , k vectơ đơn vị trục x, y, z,       ∂ay ∂ax b ∂az ∂ay b ∂ax ∂az b curl a = − i+ − j+ − k ∂z ∂z ∂x an Lu ∂y ∂x ∂y n va ac th si ν (= ν(x)) Vectơ pháp tuyến đơn vị x ∈ Γ hướng miền Ω k Số sóng (mang giá trị thực) κ Số sóng (mang giá trị phức) κ có giá trị k ik Π Tập hợp số sóng phức Π := {κ ∈ C : κ 6= 0, Re κ ≥ 0, Im κ ≥ 0} lu an Nghiệm u Trường sóng tán xạ ∆u Tốn tử Laplace u ∇ Toán tử Gradient L2 (D) Các hàm có giá trị vơ hướng theo cách thơng thường, trang
1 RR dx , bị chuẩn kukL2 (D) := |u(x)| D va Φκ n với D ⊂ R3 tập đo có độ đo dương Khơng gian hàm trơn có giá compact gh tn to C0∞ Độ điện thẩm chân không ε0 ie Độ từ thẩm chân khơng p µ0 Mật độ điện tích J nl w ρ c Vận tốc ánh sáng ω Tần số góc F Tốn tử trường sóng xa QL , QR Các trường Beltrami d oa Mật độ dòng điện nf va an lu lm ul z at nh oi QL := E + iH QR := E − iH Phổ điện trường trường sóng xa H∞ Phổ từ trường trường sóng xa S2 Hình cầu đơn vị m pm n , qn Các hệ số Fourier z E∞ m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục Lời cam đoan lu Lời cảm ơn an n va Một số kí hiệu to gh tn MỞ ĐẦU Bài toán từ trường 1.1.1 Bài toán điện trường an lu 1.2.1 Giới thiệu toán điện trường 1.2.2 Công thức biến phân nf va 8 lm ul 1.3 d 1.2 Công thức biến phân oa 1.1.2 Giới thiệu toán từ trường nl w 1.1 p ie Phương trình tích phân Lippmann-Schwinger Phương trình vi tích phân 14 z at nh oi Sự tồn nghiệm 19 Chứng minh tồn nghiệm 19 2.2 Chứng minh tính nghiệm 27 z 2.1 gm @ Biểu diễn nghiệm qua chuỗi hàm cầu điều hịa l Phương trình Maxwell hệ vectơ cầu điều hòa 33 co 3.1 32 Phổ trường sóng xa tốn tử trường sóng xa 33 3.1.2 Vectơ hàm cầu điều hòa 38 m 3.1.1 an Lu n va ac th si 3.2 3.1.3 Phương trình Maxwell miền achiral 41 3.1.4 Bài tốn truyền sóng cầu chiral 44 Tốn tử trường sóng xa 47 3.2.1 Chuỗi khai triển sóng phẳng 47 3.2.2 Trường hợp achiral 51 3.2.3 Trường hợp chiral 54 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Phương trình Maxwell phương trình có nhiều ứng dụng Vật lý, đặc biệt lý thuyết tán xạ điện từ Phương trình nhận nhiều quan tâm nhà Toán học Cho đến nay, nhiều lu an toán xung quanh phương trình vấn đề mở Các nghiên cứu n va phương trình liên quan đến tồn nghiệm, tính chất tn to nghiệm, phương pháp giải tích phương pháp số để giải phương trình Một kết hữu ích gần chứng minh tồn gh p ie nghiệm phương trình Maxwell cách đưa phương trình tích phân Lippmann-Schwinger Từ đó, thay cho việc nghiên cứu phương trình Maxwell, oa nl w nhà tốn học tập trung vào phương trình tích phân Lippmann-Schwinger Nghiên cứu phương trình tích phân có số thuận lợi định d an lu Luận văn tập trung tìm hiểu việc chứng minh tồn nghiệm nf va phương trình Maxwell tổng qt cách khảo sát phương trình tích phân Lippmann-Schwinger, dựa tài liệu tham khảo [6], [8], [10], [11], lm ul [15], [16] Bên cạnh đó, tác giả trình bày lại biểu diễn nghiệm phương trình z at nh oi Maxwell thông qua chuỗi hàm cầu điều hòa trường hợp achiral chiral Các biểu diễn mang lại giá trị cho người nghiên cứu phương pháp số giải phương trình Maxwell z gm @ Nội dung luận văn trình bày thành chương: l • Trong Chương 1, tác giả giới thiệu số ký hiệu kiến thức m co phương trình Maxwell lý thuyết tán xạ điện từ, đồng thời an Lu mơ tả hai tốn tương ứng với q trình truyền sóng điện trường sóng từ trường Các lớp công thức biến phân tương ứng với hai toán n va ac th si đưa sau Tiếp theo, tác giả trình bày kết tương đương dạng biến phân với phương trình tích phân Lippmann-Schwinger • Ở Chương 2, tác giả trình bày kết tồn nghiệm phương trình tích phân Lippmann-Schwinger, từ thu tồn nghiệm tốn ban đầu • Chương luận văn tập trung xây dựng công thức biểu diễn đại lượng sóng tới, sóng tán xạ thơng qua chuỗi hàm vectơ cầu điều hịa lu Cơng thức khai triển cụ thể trường hợp sóng tới sóng phẳng an trường hợp achiral chiral đưa phần cuối luận va n văn p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Phương trình tích phân Lippmann-Schwinger lu an n va 1.1 Bài toán từ trường Giới thiệu toán từ trường tn to 1.1.1 ie gh Trong luận văn này, khảo sát hệ phương trình Maxwell có dạng p sau: (1.1) curl E = ikµ(H + βcurl H), (1.2) d oa nl w curl H = −ikε(E + βcurl E), E i, H i nf va an lu E s, H s lm ul ε = µ = 1, β = Ω ε(x), µ(x), β(x) z at nh oi Xây dựng toán thuận z @ gm miền Rn \ Γ, Γ ∈ C biên miền bị chặn Ω ⊂ R3 , k > l số sóng, hàm ε, µ, β ∈ C (R3 \ Γ) đặc trưng cho số điện môi, m co số từ mơi tính chiral mơi trường Lưu ý đại lượng an Lu hàm phức khơng phụ thuộc thời gian có giá trị số vật liệu đồng Môi trường gọi achiral trường hợp β = 0, n va ac th si x curl v(x) × ds(x) − ikv(x) |x| |x|=R Z 2 Z |curl v| + k |v| ds − 2k Im ie = p |x|=R |curl v|2 + k |v|2 ds ≥ |x|=R oa nl w Z (curl v × ν) · v ds |x|=R Như chứng minh Định lý 5.5 [9], ta kết luận v triệt tiêu d an lu bên ngồi Ω Bây giờ, phương trình (2.2) cịn ZZ nf va Ω |curl v|2 − k µ|β curl v + v|2 dx = ε lm ul Lấy phần ảo cho ta curl v = Ω β curl v + v = từ v = Ω z at nh oi  Hệ 2.11 ([11]) Giả sử có giả thiết 2.8, Im µ > 0, Im ε ≥ hầu khắp nơi z co l Định lý 2.12 ([1],[5],[11],[13]) gm nghiệm @ Ω Khi đó, tốn truyền sóng điện trường (1.16) có khơng m Giả sử giả thiết 2.5 2.8 thỏa mãn Giả sử thêm ε, µ, β ∈ C (R3 ) an Lu k εµβ 6= R3 Khi đó, hai tốn truyền sóng từ trường (1.15) truyền sóng điện trường (1.16) có khơng nghiệm n va ac th si 29 Chứng minh Chứng minh dựa theo tác giả Ammari Nédélec [1] lập luận nguyên lý mở rộng [5] Giả sử v nghiệm tốn truyền sóng từ trường với κ = k ; nghĩa v radiating nghiệm (1.15) với g = h = Như chứng minh định lý trước, ta kết luận v triệt tiêu bên Ω Xác định hàm w −ikw := 1 ε − k µβ  curl v − k µβv Theo cơng thức yếu tốn nhất: w ∈ Hloc (curl, R3 ) Khi theo lu Bổ đề 1.5, w nghiệm radiating tốn truyền sóng điện trường an −ikcurl w = k µβ curl v + k µv n va ta có tn to Từ hai phương trình cuối cùng, ta suy gh p ie k εµβ ε curl v = v − ik w, 2 − k εµβ − k εµβ µ k εµβ curl w = ik v + w − k εµβ − k εµβ oa nl w d Bây giờ, ta tiến hành [1] Từ hệ này, ta tính curl2 v , curl2 w, div v lu nf va an div w Sau ta dùng vectơ đơn vị ∆ = ∇ div − curl2 áp dụng nguyên lý k εµβ −ikε   ∈ C (R3 , C2ì2 ) k ikµ k εµβ z at nh oi M = (mjl )j,l=1,2 := lm ul mở rộng từ [5] phiên Bổ đề 4.15 [13]: Viết gọn   z Chú ý det M = −k εµ 6= Khi đó, phương trình      = M   w l gm curl w u @ curl v     an Lu u = div M   ; w m co Lấy div hai vế, ta thu n va ac th si 30 nghĩa là, = div (m11 v + m12 w), = div (m21 v + m22 w) Từ hai phương trình cuối cùng, ta kết luận   div v  div w =−   u M −1 (∇M ) ·   ; det M w nghĩa là, 1 (m ∇m − m ∇m ) · v + (m22 ∇m12 − m12 ∇m22 ) · w, 22 11 12 21 k εµ k εµ 1 div w = (−m21 ∇m11 + m11 ∇m21 ) · v + (−m21 ∇m12 + m22 ∇m22 ) · w k εµ k εµ div v = lu an n va tn to Vì v triệt tiêu bên ngồi Ω nên w triệt tiêu bên ngồi Ω, vết ν × v ν × w triệt tiêu ∂B với cầu B ⊃ Ω Do đó, với cầu gh p ie B ⊃ Ω bất kỳ: curl v ∈ L2 (B, C3 ), div v ∈ L2 (B) ν × v = ∂B Ta kết luận   curl v nl w v ∈ H (B, C3 ) Tương tự cho w Tính curl2 w   u curl v w curl w  = (∇M ) ×   + M  ; d oa    lu nf va an nghĩa là, curl v = ∇m11 × v + ∇m12 × w + m11 curl v + m12 curl w, lm ul curl w = ∇m21 × v + ∇m22 × w + m21 curl v + m22 curl w z at nh oi Cuối cùng, với ∆ = ∇ div − curl2 ,      ∆v    u u curl v  M −1 (∇M )   − (∇M ) ×   + M  det M w w curl w z ∆w  = −∇    @ m |vj | + |wj | + |∇ vj | + |∇ wj | an Lu l=1 |vj | + |wj | + |∇ vj | + |∇ wj |, co |∆ wj | ≤ c l=1 X l |∆ vj | ≤ c X gm ∆ v , ∆ w tồn L2 Có thể suy ước lượng dạng n va ac th si 31 với j = 1, 2, hầu khắp nơi B ta áp dụng nguyên lý mở rộng Bổ đề 4.15 [13], điều cho ta v (và w) triệt tiêu B ⊃ Ω  Lập luận tương tự cho toán truyền sóng điện trường lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Biểu diễn nghiệm qua chuỗi hàm cầu điều hòa lu an n va Trong tọa độ cầu, đưa chuỗi khai triển cho nghiệm phương trình Maxwell hệ vectơ cầu điều hòa Ta nghiên cứu tán xạ to gh tn cầu chiral đồng Tất thông số vật liệu giá trị thực Trong [3] nghiên cứu toán tương tự: tán xạ cách dẫn cách hoàn hảo ie p cầu nằm môi trường chiral nl w Trong phần đầu, ta giải tốn truyền sóng thuận Trước tiên oa nhắc lại bước để suy vectơ cầu điều hịa Chúng tơi đưa d kết quả, lập luận tham khảo [5] Cùng với hàm cầu Bessel lu nf va an Hankel, chúng tạo thành nghiệm cho phương trình Maxwell: hàm sóng vectơ Sau ta xử lý toán achiral: Bắt đầu với biểu diễn lm ul chuỗi trường sóng tới, ta đưa chuỗi khai triển cho trường sóng tán z at nh oi xạ phổ trường sóng xa tùy thuộc vào hệ số trường sóng tới Đối với tốn truyền sóng chiral, ta sử dụng khai triển Bohren [4]: Điện trường từ trường phân tách thành tổng trường Beltrami, thỏa mãn phương z trình achiral Maxwell cho số sóng khác Vì vậy, trực @ gm tiếp áp dụng kết achiral cho trường hợp chiral co l Phần thứ hai dành cho toán tử trường sóng xa Trong trường hợp hình cầu, biểu thị tốn tử trường sóng xa F cách rõ ràng tính m an Lu tốn giá trị riêng hàm riêng n va ac th 32 si 33 3.1 Phương trình Maxwell hệ vectơ cầu điều hịa 3.1.1 Phổ trường sóng xa tốn tử trường sóng xa Trong chương trước ta thảo luận tốn truyền sóng từ trường Nhưng dễ dàng tính tốn điện trường từ từ trường nghiệm cho tốn truyền sóng Vì vậy, phần ta bàn nghiệm (E s , H s ) cho tốn truyền sóng Có thể suy dáng điệu tiệm cận nghiệm vô từ nghiệm Φk với trợ giúp công thức biểu diễn Stratton–Chu Khi biết lu phổ trường sóng xa, ta chọn trường sóng tới đặc biệt xác định an n va trường tiếp tuyến biểu thị vectơ phân cực xác định ánh xạ tốn tử trường sóng xa từ trường tiếp tuyến đến phổ trường sóng xa gh tn to Các công thức lấy từ chứng minh Định lý 2.5 6.8 [5] p ie Bổ đề 3.1 ([11]) (Dáng điệu tiệm cận (Asymptotic behavior) Φk ) nl w Cho Ω miền bị chặn với biên Γ d oa (a) Nghiệm Φk có dạng tiệm cận  ik|x| −ik x ˆ·y e  +O |x|  , |x| → ∞ nf va an lu e Φk (x, y) = 4π|x| theo hướng xˆ := x/|x| với y ∈ Γ lm ul curlx a Φk (x, y) = ik e 4π|x| ik|x| 2e  −ik x ˆ·y e  (ˆ x × a × xˆ) + O , |x|  co l gm @ |x| → ∞ với y ∈ Γ 4π|x| |x| e−ik xˆ·y (ˆ x × a) + O z curlx curlx a Φk (x, y) = k z at nh oi (b) Với vectơ số a ∈ C3 bất kì, đạo hàm (a Φk ) có dạng tiệm cận    ik|x| Ta tiếp tục với công thức Stratton–Chu tiếng Họ mơ tả nghiệm m an Lu phương trình Maxwell miền vết chúng, từ tài liệu [5] Chứng minh cho dạng yếu tìm thấy sách Monk [13] Monk n va ac th si 34 vết xác định rõ: Cho D miền Lipschitz bị chặn với pháp tuyến đơn vị ν , ánh xạ v 7→ ν × v|∂D với v ∈ (C ∞ (D))3 khai triển liên tục thành ánh xạ tuyến tính liên tục từ H(curl, D) đến H − (∂D)3 Định lý 3.29 tài liệu [13] Ta bắt đầu với công thức Stratton–Chu miền bị chặn Bổ đề 3.2 ([5],[11],[13]) (Bên (Interior) Stratton–Chu) Giả sử Ω miền Lipschitz bị chặn Kí hiệu ν vectơ pháp tuyến đơn vị cho biên Γ Ω hướng bên Ω Cho E, H ∈ H(curl, Ω) nghiệm phương trình Maxwell Ω lu an curl H = −ikE (3.1) curl E = ikH n va −curl (ν × E)(y) Φk (x, y) ds(y) Γ   E(x), x ∈ Ω, p ie gh tn to Khi ta có cơng thức Stratton–Chu Z curl2 ik (ν × H)(y) Φk (x, y) ds(y) = Γ x ∈ R3 r Ω,  0, d oa nl w + Z an lu Z (ν × H)(y) Φk (x, y) ds(y) nf va −curl Γ (ν × E)(y) Φk (x, y) ds(y) = Γ z at nh oi curl2 ik lm ul − Z   H(x), x ∈ Ω, x ∈ R3 r Ω  0, Monk lập luận cho E(x) H(x) (sự đánh giá E H điểm x ∈ Ω) z có nghĩa Hơn nữa, tích phân biên phải hiểu theo nghĩa ghép đôi @ gm H − (Γ) H (Γ) Đối với đạo hàm phổ trường sóng xa có công co l thức biểu diễn cho miền bị chặn bên cần thiết: m Bổ đề 3.3 ([5],[11],[13]) (Bên (Exterior) Stratton–Chu) an Lu Giả sử Ω miền Lipschitz bị chặn có phần bù liên thơng Kí hiệu ν vectơ pháp tuyến đơn vị cho biên Γ Ω hướng bên Ω Cho E s , H s ∈ n va ac th si 35 Hloc (curl, R3 r Ω) nghiệm radiating phương trình Maxwell R3 r Ω curl H s = −ikE s curl E s = ikH s Khi ta có cơng thức Stratton–Chu Z (ν × E s )(y) Φk (x, y) ds(y) curl Γ − curl2 ik Z (ν × H s )(y) Φk (x, y) ds(y) = Γ   E s (x), x ∈ R3 r Ω, (3.2) x ∈ Ω,  0, lu an Z va curl (ν × H s )(y) Φk (x, y) ds(y) n Γ tn to curl2 ik (ν × E s )(y) Φk (x, y) ds(y) = Γ   H s (x), x ∈ R3 r Ω, (3.3) x ∈ Ω  0, p ie gh + Z w Theo công thức (3.2) (3.3), phụ thuộc trường E s H s oa nl x biểu diễn nghiệm Để xác định dáng điệu tiệm cận, ta d cần biết vết tiếp tuyến chúng dáng điệu tiệm cận Φk đưa lu an Bổ đề 3.1 Thay định lý 6.8 [5] cho trường hợp hàm nf va Hloc (curl, R3 ): lm ul Định lý 3.4 ([5],[11]) (Phổ trường sóng xa (Far field pattern)) z at nh oi Mọi nghiệm radiating (yếu) E s , H s tốn truyền sóng (1.8), (1.9) cho vật tán xạ Ω với biên Γ có dạng tiệm cận   ik|x| ∞ H (ˆ x) + O   , |x| −→ ∞ co l |x| |x| −→ ∞, , gm   @ eik|x| H (x) = 4π|x| s E ∞ (ˆ x) + O |x| z e E s (x) = 4π|x| theo hướng xˆ = x/|x| Các hàm E ∞ H ∞ xác định hình m an Lu cầu đơn vị S2 gọi phổ điện trường trường sóng xa từ trường n va ac th si 36 trường sóng xa thỏa mãn Z E ∞ (ˆ x) = ik xˆ × H ∞ (ˆ x) = ik xˆ × (ν × E s )(y)e−ik xˆ·y ds(y) + ik xˆ × ZΓ (ν × H s )(y)e−ik xˆ·y ds(y) − ik xˆ × Γ Z (ν × H s )(y)e−ik xˆ·y ds(y) × xˆ, ZΓ (ν × E s )(y)e−ik xˆ·y ds(y) × xˆ Γ (3.4) với xˆ ∈ S2 Nhận xét 3.5 Từ định lý này, ta thấy phổ trường sóng xa hàm giải tích trường tiếp tuyến: Chúng thỏa mãn E ∞ (ˆ x) · xˆ = lu H ∞ (ˆ x) · xˆ = với xˆ ∈ S2 Hơn nữa, ta dễ dàng thấy với xˆ ∈ S2 , an va n E ∞ (ˆ x) = H ∞ (ˆ x) × xˆ H ∞ (ˆ x) = −E ∞ (ˆ x) × xˆ tn to Để xác định tốn tử trường sóng xa, ta cần rõ loại trường sóng tới gh p ie gây trường sóng tán xạ trường sóng xa Như trường sóng tới, ta xét sóng w phẳng có dạng Ei (x; d, p) := −(d × p)eik d·x d oa nl Hi (x; d, p) := peik d·x , an lu vectơ d ∈ S2 p ∈ C3 vectơ hướng tới vectơ hướng phân cực Chúng chọn cho d · p = để đảm bảo Hi Ei tự nf va phân kỳ Các phổ trường sóng xa H∞ E∞ trường sóng tán xạ Hs lm ul Es phụ thuộc vào d p ký hiệu H∞ (ˆ x; d, p) E∞ (ˆ x; d, p) z at nh oi Bây ta hình thành tốn ngược Nhắc lại tốn thuận: Cho sóng tới vật chiral với hàm vật liệu biết tính tốn trường z sóng tán xạ Nếu ta biết trường sóng tán xạ, ta dễ dàng tính tốn trường @ m co Bài toán ([11]) (Bài toán ngược) l xa Chính xác hơn: gm sóng xa tương ứng Bài toán ngược xác định vật tán xạ cho số liệu trường sóng p ∈ C3 với p · d = ta xác định vật tán xạ Ω an Lu Cho số sóng k > số liệu H∞ (ˆ x; d, p) (phổ trường sóng xa), với xˆ, d ∈ S2 n va ac th si 37 Đối với việc nghiên cứu toán ngược, ta phải diễn đạt thuật ngữ tốn học; nghĩa là, ta định nghĩa toán tử mà ánh xạ họ vectơ phân cực p(d) đặc trưng cho trường sóng tới thành phổ trường sóng xa Họ vectơ phân cực phổ trường sóng xa trường tiếp tuyến hình cầu đơn vị Định nghĩa 3.6 ([11]) (Tốn tử trường sóng xa (Far field operator)) Ta biểu diễn không gian trường tiếp tuyến L2t (S2 ) ⊂ L2 (S2 , C3 ); L2t (S2 ) := v ∈ L2 (S2 , C3 ) : v(ˆ x) · xˆ = 0, xˆ ∈ S2 lu  an n va tn to Tốn tử trường sóng xa F : L2t (S2 ) → L2t (S2 ) định nghĩa Z
H∞ xˆ; d, p(d) ds(d) (Fp)(ˆ x) := với xˆ ∈ S2 ie gh S2 p Nhận xét 3.7 ([5],[11])
d × p(d) × d = p(d) |{z} d · d −d p(d) · d = p(d) d oa nl w (a) Đối với trường tiếp tuyến p ∈ L2t (S2 ), ta có đồng thức lu =1 | {z } nf va an =0 (b) Phổ trường sóng xa H∞ (·; d, p) phụ thuộc tuyến tính vào vectơ phân cực p lm ul Nó liên tục hàm d Xem chứng minh Định lý 6.32 z at nh oi [5] (c) Vì vậy, F tốn tử ngun tuyến tính với hạt nhân liên tục Do z F compact Hơn nữa, Fp phổ trường sóng xa tương ứng với trường = H x; d, p(d) ds(d), Epi (x) Z = Ei x; d, p(d) ds(d) S2
m co S2 an Lu với x ∈ R3
l i gm Hpi (x) @ sóng tới (Hpi , Epi ) với Z n va ac th si 38 3.1.2 Vectơ hàm cầu điều hịa Ta tìm nghiệm phương trình Maxwell tọa độ cầu Có thể xây dựng nghiệm vậy(các vectơ hàm cầu) từ nghiệm phương trình Helmholtz Trong tọa độ cầu (ρ, θ, ϕ) với x = (ρ sin θ cos ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos θ)> ∈ R3 , ρ ≥ 0, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π], phương trình Helmholtz có dạng     ∂ ρ2 ∂ρ ρ2 ∂u ∂ρ + ∂ ρ2 sin θ ∂θ sin θ ∂u ∂θ + ∂ u + k u = 2 ∂ϕ ρ sin θ lu an Tách biến va n u(ρ, θ, ϕ) = u1 (ρ)u2 (θ, ϕ) to gh tn dẫn đến hàm cầu điều hòa hàm cầu Bessel Các hàm cầu điều hòa cho ie r p Ynm (θ, ϕ) := 2n + (n − |m|)! |m| Pn (cos θ)eimϕ 4π (n + |m|)! liên kết d oa nl w với m = −n, , n n = 0, 1, 2, Ở Pnm kí hiệu đa thức Legendre m an lu Pnm (t) := (1 − t2 ) dm Pn (t) , dtm m = 0, , n, nf va nghiệm phương trình vi phân Legendre liên kết   lm ul (1 − t2 )f 00 (t) − 2tf (t) + n(n + 1) − m − t2 f (t) = z at nh oi Pn đa thức Legendre thỏa mãn phương trình vi phân Legendre 00 (1 − t2 )Pn (t) − 2tPn (t) + n(n + 1)Pn (t) = z n = 0, 1, 2, @ co l Bessel gm Phần tia phương trình Helmholtz cho phương trình vi phân cầu t2 f 00 (t) + 2tf (t) + [t2 − n(n + 1)]f (t) = m an Lu n va ac th si