Tính liên tục và tính đóng của ánh xạ ràng buộc và ánh xạ nghiệm đối với bài toán tối ưu vectơ nửa vô hạn chứa tham số

Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––– MAI KHÁNH LINHTÍNH LIÊN TỤC VÀ TÍNH ĐÓNG CỦA ÁNH XẠ RÀNG BUỘC VÀ ÁNH XẠ NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ NỬA VƠ HẠ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

––––––––––––––––

MAI KHÁNH LINH

TÍNH LIÊN TỤC VÀ TÍNH ĐÓNG CỦA ÁNH XẠ RÀNG BUỘC

VÀ ÁNH XẠ NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ

NỬA VÔ HẠN CHỨA THAM SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2023

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

––––––––––––––––

MAI KHÁNH LINH

TÍNH LIÊN TỤC VÀ TÍNH ĐÓNG CỦA ÁNH XẠ RÀNG BUỘC

VÀ ÁNH XẠ NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ

NỬA VÔ HẠN CHỨA THAM SỐ

Ngành: Giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS BÙI THẾ HÙNG

THÁI NGUYÊN - 2023

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việchoàn thành luận văn là nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu trongluận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2023

Tác giả luận vănMai Khánh Linh

Xác nhận của người hướng dẫn khoa học

TS Bùi Thế Hùng

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới Thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người đã trực tiếphướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôihoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể cácthầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã truyềnthụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôinhững ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiệnluận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp

đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2023Người viết luận vănMai Khánh Linh

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt v

Mở đầu 1

Chương 1 Tính liên tục của ánh xạ nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu vectơ 3

1.1 Không gian lồi địa phương 3

1.2 Một số kiến thức về giải tích đa trị 5

1.3 Bài toán tối ưu vectơ 9

1.4 Tính liên tục của ánh xạ mức 9

1.5 Tính liên tục của ánh xạ nghiệm hữu hiệu 13

Chương 2 Tính liên tục và tính đóng của ánh xạ ràng buộc và ánh xạ nghiệm đối với bài toán tối ưu vectơ nửa vô hạn chứa tham số 20

2.1 Bài toán tối ưu vectơ và tính chất miền 20

2.2 Tính đóng và tính liên tục trên của ánh xạ ràng buộc 25

2.3 Tính liên tục dưới của ánh xạ ràng buộc 29

2.4 Tính liên tục của ánh xạ nghiệm hữu hiệu và ánh xạ giá trị nghiệm hữu hiệu 32

Kết luận 36Tài liệu tham khảo 37

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

Rn+ tập các véctơ không âm của Rn

Rn− tập các véctơ không dương của Rn

A ∩ B giao của hai tập hợp A và B

A × B tích Descartes của hai tập hợp A và B

cl A bao đóng tôpô của tập hợp A

int A phần trong tôpô của tập hợp A

conv A bao lồi của tập hợp A

(QEP ) bài toán tựa cân bằng véctơ

(QEP )λ bài toán tựa cân bằng véctơ chứa tham số

u.s.c nửa liên tục trên

l.s.c nửa liên tục dưới

Mở đầu

Khi nghiên cứu tính ổn định nghiệm của bài toán trong lý thuyết tối

ưu người ta thường nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ nghiệm của bàitoán đó, ta có thể kể đến như Penot và Sterna- Karwat ([8], [9]) nghiêncứu tính đóng và tính liên tục của ánh xạ nghiệm đối với bài toán tối ưu

mà ở đó nghiệm liên quan đến quan hệ thứ tự tùy ý, Han và Gong [7]nghiên cứu tính liên tục theo nghĩa Berge của ánh xạ nghiệm đối với bàitoán tối ưu vectơ, Bednarczuk ([3], [4]) nghiên cứu tính liên tục Hausdorffcủa ánh xạ nghiệm đối với bài toán tối ưu vectơ Năm 2022, S Kapoor và

C S Lalitha [10] nghiên cứu bài toán tối ưu nửa xác định dưới đây: Cho

T, Λ là các không gian tôpô và X, Y, Z là các không gian tôpô Hausdorff.Trên Y và Z trang bị các quan hệ thứ tự ≺C và ≺D, tương ứng Xét bàitoán tối ưu nửa xác định (SIP):

C − min f (x)s.t g(x, t) ≺D b(t) với mọi t ∈ T,

ở đây f : X → Y là ánh xạ mục tiêu và g : X × T → Z, b : T → Z là cácánh xạ ràng buộc Sau đó bằng việc tham số hóa bài toán (SIP) bởi tham

số λ ∈ Λ vào ánh xạ mục tiêu f và các ánh xạ ràng buộc g, b, các tác giảnghiên cứu bài toán tối ưu nửa xác định chứa tham số (SIP )λ:

C − min f (x, λ)s.t g(x, t, λ) ≺D b(t, λ) với mọi t ∈ T,

về tính đóng và tính liên tục của ánh xạ ràng buộc và ánh xạ nghiệm củabài toán (SIP )λ.

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tàiliệu tham khảo

Chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức về giải tích lồi vàgiải tích đa trị Ngoài ra, chương này chúng tôi còn trình bày một số điềukiện đủ cho tính liên tục của ánh xạ nghiệm của bài toán tối ưu vectơ vớithứ tự sinh bởi nón

Chương 2 trình bày một số điều kiện đủ cho tính đóng và tính liên tụctrên, liên tục dưới của ánh xạ ràng buộc, tính liên tục của ánh xạ nghiệmcực tiểu và ánh xạ nghiệm hữu hiệu cho bài toán tối ưu vectơ nửa vô hạnchứa tham số Một số ví dụ minh họa cho kết quả lý thuyết cũng đượctrình bày

Chương 1

Tính liên tục của ánh xạ nghiệm

hữu hiệu của bài toán tối ưu vectơ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một điều kiện đủ cho tính nửaliên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm hữu hiệu cho bài toántối ưu vectơ Các kết quả chính của chương này được chúng tôi trích ra từcác tài liệu [1], [2], và [7]

1.1 Không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X là không gian tuyến tính Tập A ⊆ X đượcgọi là lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ A ta luôn có

Chứng minh ĐặtA = λ1A1+λ2A2+· · ·+λmAm.Lấy x, y ∈ A,khi đó tồntại xi ∈ Ai, yi ∈ Ai, i = 1, 2, , m sao cho x = λ1x1+ λ2x2+ · · · + λmxm,

y = λ1y1 + λ2y2 + · · · + λmym Ta có

λx + (1 − λ)y = λ(λ1x1 + · · · + λmxm) + (1 − λ)(λ1y1 + · · · + λmym)

= λ1[λx1 + (1 − λ)y1] + · · · + λm[λxm+ (1 − λ)ym]

Do Ai là tập lồi nên λxi + (1 − λ)yi ∈ Ai, với mọi i ∈ {1, 2, , m} và

λ ∈ [0, 1] Suy ra λx + (1 − λ)y ∈ A, với mọi λ ∈ [0, 1] Vậy A là tậplồi

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử X là không gian tuyến tính, A là một tập concủa X Khi đó giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi củatập A và kí hiệu là conv A

Định lý 1.1.5 Giả sử A là tập con của không gian tuyến tính X Khi đó

conv A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của tập A, tức là

conv A =

( nX

i=1

αixi : xi ∈ A, αi ≥ 0,

nX

i=1

αi = 1

)

Chứng minh Ta có conv A là tập lồi Vì A ⊂ conv A nên conv A chứa tất

cả các tổ hợp lồi của A Hơn nữa tập tất cả các tổ hợp lồi của A là lồi vàchứaA, do đó nó chứa conv A (vì conv A là tập lồi nhỏ nhất chứa A) Vậy

conv A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A

Định nghĩa 1.1.6 Cho X là không gian véctơ trên trường K

(i) Một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của

X nếu các phép toán cộng và nhân vô hướng là các ánh xạ liên tục.(ii) Một không gian tôpô tuyến tính hay không gian véctơ tôpô trêntrường K là một cặp (X, τ ), trong đó X là không gian véctơ trên trường

K và τ là một tôpô tương thích với cấu trúc đại số của X

Định nghĩa 1.1.7 Không gian tôpô tuyến tínhX được gọi là không gianlồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận của gốc gồm toàn tập

lồi Hơn vậy, nếu không gian lồi địa phương X đồng thời là không gianHausdorff thì X được gọi là không gian lồi địa phương Hausdorff.

Ví dụ 1.1.8 Không gian định chuẩn, không gian Hilbert là các khônggian lồi địa phương Hausdorff

1.2 Một số kiến thức về giải tích đa trị

Định nghĩa 1.2.1 Cho Y là không gian tuyến tính và C là một tập conkhông rỗng trong Y Ta nói rằng C là nón trong Y nếu tc ∈ C, với mọi

c ∈ C và t ≥ 0

Định nghĩa 1.2.2 Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y Ta nóirằng

(i) C là nón lồi nếu C là tập lồi

(ii) C là nón nhọn nếu l(C) = {0}, trong đó l(C) = C ∩ (−C)

(iii) C là nón đóng nếu C là tập đóng trong Y

(iv) C là nón lồi đóng nhọn nếu C là nón lồi, đóng và nhọn

Giả sử X và Y là hai tập hợp Kí hiệu 2X là tập tất cả các tập con của

X

Định nghĩa 1.2.3 Một ánh xạ đa trịF từ X vào Y mà ứng với mỗi phần

tử x ∈ X cho một tập con của Y, được ký hiệu F : X → 2Y

Thực chất, mỗi ánh xạ đa trị F : X → 2Y được đặc trưng bởi một tậpcon của X × Y, kí hiệu là gr F và được xác định bởi

gr F := (x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)

Tập hợp gr F được gọi là đồ thị của F

Miền định nghĩa của F, kí hiệu dom F, xác định bởi

dom F := x ∈ X : F (x) ̸= ∅

Ví dụ 1.2.4 Xét phương trình đa thức với hệ số thực

xn + a1xn−1 + + an−1x + an = 0,

Quy tắc cho ứng mỗi véctơ a = (a1, a2, , an) ∈ Rn với tập nghiệm củaphương trình trên, kí hiệu bởi F (a), cho ta một ánh xạ đa trị

F : Rn → 2C

từ không gian Euclide Rn vào không gian phức C

Định nghĩa 1.2.5 Cho X, Y là các không gian tuyến tính và ánh xạ đatrị F : X → 2Y Ta nói rằng

(i) F có giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi trong Y, với mọi x ∈ X

(ii) F là ánh xạ lồi nếu gr F là tập lồi trong X × Y

Định nghĩa 1.2.6 Cho X, Y là các không gian tôpô và F : X → 2Y làánh xạ đa trị Ta nói rằng

(i) F có giá trị đóng nếu F (x) là tập đóng trong Y, với mọi x ∈ X.(ii) F là ánh xạ đóng nếu gr F là tập đóng trong X × Y

(ii) F là ánh xạ mở nếu gr F là tập mở trong X × Y

(iii) F là ánh xạ compact nếu F (X) là tập compact tương đối trong Y

Mệnh đề 1.2.7 Giả sử X, Y là các không gian tôpô tuyến tính và ánh

xạ đa trị F : X → 2Y Khi đó

(i) Nếu F là ánh xạ đóng thì F có giá trị đóng

(ii) Nếu F là ánh xạ mở thì F có giá trị mở

(iii) Nếu F là ánh xạ lồi thì F có giá trị lồi

(iv) F là ánh xạ lồi khi và chỉ khi

(1 − t)F (x) + tF (x′) ⊆ F ((1 − t)x + tx′) với mọi x, x′ ∈ X và t ∈ [0, 1]

Các ví dụ dưới đây chỉ ra rằng ánh xạ đa trị có giá trị lồi chưa chắc làánh xạ lồi và ánh xạ đa trị có giá trị đóng chưa chắc là ánh xạ đóng

Ví dụ 1.2.8 Cho ánh xạ đa trị F : N∗ → 2R định nghĩa như sau

F (n) =



conv1, 2, , n − 1 , nếu n ≥ 2,{0}, nếu n=1

Hiển nhiên F là ánh xạ đa trị với giá trị lồi Tuy nhiên F không là ánh xạlồi

Ví dụ 1.2.9 Xét ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi

F (x) =



[0, 1], nếu x = 0,

R, trong trường hợp còn lại

Hiển nhiên ánh xạ F có giá trị đóng Mặt khác ta có

gr F = (x, y) ∈ R2 : y ∈ F (x) = ({0} × [0, 1]) ∪ (R\{0} × R)

là tập không đóng trong R2 và như vậy F không là ánh xạ đóng

Định nghĩa 1.2.10 Cho X, Y là các không gian tôpô Ánh xạ bao đóngcủa F là ánh xạ đa trị cl F : X → 2Y mà đồ thị của nó là bao đóng của

Ta nói F−1(y) là ảnh ngược của y

Định nghĩa 1.2.12 Giả sử X là không gian tôpô và hàm g : X → R Ta

nói rằng:

(a) g nửa liên tục trên (viết tắt là u.s.c) tại x ∈ X¯ nếu mỗi ε > 0, tồntại một lân cận U của x¯ sao cho

g(x) ≤ g(¯x) + ε với mọi x ∈ U

(b) g nửa liên tục dưới (viết tắt là l.s.c) tại x ∈ X¯ nếu mỗi ε > 0, tồntại một lân cận U của x¯ sao cho

g(x) ⩾ g(¯x) − ε với mọi x ∈ U

(c) g liên tục tại x ∈ X¯ nếu nó là u.s.c và l.s.c tại x¯

Nhận xét Nếu X là không gian metric thì g là u.s.c (tương ứng, l.s.c)tại x¯ nếu và chỉ nếu với mỗi dãy {xn} hội tụ tới x¯, ta luôn có

(a) nửa liên tục trên (viết tắt là u.s.c) tại x¯nếu với mỗi tập mở U chứa

F (¯x), tồn tại lân cận N của x¯ sao cho F (N ) ⊂ U

(b) nửa liên tục dưới (viết tắt là l.s.c) tại x¯ nếu với mỗi tập mở U trong

Y thỏa mãn F (¯x) ∩ U ̸= ∅, tồn tại lân cận N của x¯ sao cho F (x) ∩ U ̸= ∅

với mọi x ∈ N

(c) nửa liên tục dưới mạnh tại x¯ nếu với mỗi y ∈ F (¯¯ x), tồn tại lân cận

V của y¯và lân cận U của x¯ sao cho V ⊂ F (x) với mọi x ∈ U

(d) liên tục tại x¯ nếu nó là u.s.c và l.s.c tại x¯

(e) đóng tại x¯ nếu với mỗi y ∈ Y \F (¯¯ x), tồn tại lân cận V của y¯và lâncận U của x¯ sao cho F (x) ∩ V = ∅ với mọi x ∈ U

(f) compact địa phương tại x¯ nếu tồn tại lân cận U của x¯ sao cho F (x)

là tập compact với mọi x ∈ U

(g) compact đều tạix¯nếu tồn tại lân cậnU củax¯sao chocl (S

x∈U F (u))

là tập compact

Bổ đề 1.2.14 ([6]) Cho S và S1 là các không gian metric và G : S → 2S1

là ánh xạ đa trị Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) G là u.s.c tại u0 ∈ S và G (u0) là tập compact;

(ii) Với mỗi dãy {un} ⊆ S với un → u0 và mỗi xn ∈ G (un), tồn tại

x0 ∈ G (u0) và dãy con {xnk} của {xn} sao cho xnk → x0

1.3 Bài toán tối ưu vectơ

Cho W, X và Y là các không gian định chuẩn Kí hiệu BX và BY là hìnhcầu đơn vị trong X và Y, tương ứng Giả sử C ⊆ Y là nón lồi đóng nhọn

và f : X → Y là ánh xạ vectơ Cho D là tập con không rỗng của X Xétbài toán tối ưu vectơ dưới đây:

VP(f, D) C − Minx∈Df (x),

ở đây Min(P ) := {y ∈ P : (P − y) ∩ (−C) = {0}} Điểm x ∈ D được gọi

là nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu VP(f, D) nếu

(f (D) − f (x)) ∩ (−C) = {0}

Ta kí hiệu Eff(f, D) là tập tất cả nghiệm hữu hiệu của bài toánVP(f, D)

và

Min(f, D) = {y ∈ Y : tồn tại x ∈ Ef f (f, D) sao cho y = f (x)}

là tập các giá trị tối ưu của bài toán VP(f, D)

1.4 Tính liên tục của ánh xạ mức

Định nghĩa 1.4.1 Cho A : W → 2X là ánh xạ đa trị và f : X → Y làánh xạ vectơ đơn trị Ta định nghĩa ánh xạ đa trị Q : Y × W → 2X bởi:

Q(y, u) := Lev(f, y) ∩ A(u), (y, u) ∈ Y × W,

ở đây tập mức Lev(f, y) := {x ∈ X : f (x) ∈ y − C} Ánh xạ đa trị Q

được gọi là ánh xạ mức

Trong mục này, chúng tôi trình bày điều kiện đủ để ánh xạ mức Q làu.s.c và l.s.c Ánh xạ mức Q được sử dụng trong các kết quả chính củachương này.

Định lý 1.4.2 Giả sử A : W → 2X là u.s.c tại u0 ∈ W, A (u0) là tậpcompact và f : X → Y liên tục trên A (u0) Khi đó ánh xạ mức Q là u.s.ctrên f (A (u0)) × {u0}

Chứng minh Giả sử Q không u.s.c trên f (A (u0)) × {u0} Khi đó tồn tại

y0 ∈ f (A (u0))sao choQkhông u.s.c tại(y0, u0) Bởi giả thiết,Q (y0, u0)làtập không rỗng và đóng Do đó tồn tại lân cậnO0 củaQ (y0, u0), sao cho vớimỗi lân cậnV củay0 và lân cậnU củau0, tồn tại(y′, u′) ∈ (V ×U )∩dom Q

sao cho

Q (y′, u′) ̸⊂ O0 (1.1)

Từ Q (y0, u0) ⊆ A (u0) và tính compact của A (u0) ta thu được Q (y0, u0)

là tập compact Do O0 là lân cận của Q (y0, u0), tồn tại ε0 > 0 sao cho

Q (y0, u0) + ε0BX ⊆ O0

Do (1.1), tồn tại {(yn, un)} ⊆ dom Q với (yn, un) → (y0, u0) thỏa mãn

Q (yn, un) ̸⊂ Q (y0, u0) + ε0BX (1.2)Bởi (1.2), tồn tại xn ∈ Q (yn, un) sao cho

Từ (1.5) và Bổ đề 1.2.14, tồn tại x0 ∈ A (u0) và dãy con {xnk} của {xn}

sao cho xnk → x0 Vì f liên tục tại x0, nên f (xnk) → f (x0) Do yn → y0

nên f (xnk) − ynk → f (x0) − y0 Từ (1.4) và tính đóng của C ta suy ra

f (x0) − y0 ∈ −C Vậy x0 ∈ Q (y0, u0) Bởi xnk → x0, tồn tại N ∈ N sao

cho với k ≥ N, ta có xnk ∈ x0 + ε0BX Do vậy xnk ∈ Q (y0, u0) + ε0BX,điều này mâu thuẫn với (1.3) Định lý được chứng minh

Định nghĩa 1.4.3 Cho int C ̸= ∅ và ∆ là tập con không rỗng lồi của X.Ánh xạ f : X → Y được gọi là C-tựa lồi chặt trên ∆ nếu với mỗi y ∈ Y,với mỗi x1, x2 ∈ ∆ thỏa mãn x1 ̸= x2 và t ∈ (0, 1) sao cho

f (x1) , f (x2) ∈ y − C

thì kéo theo f (tx1 + (1 − t)x2) ∈ y − int C

Định lý 1.4.4 Cho int C ̸= ∅, A : W → 2X liên tục tại u0 ∈ W, A (u0) làtập lồi compact và f : X → Y liên tục trên A (u0) và C-tựa lồi chặt trên

A (u0) Khi đó Q là l.s.c trên f (A (u0)) × {u0}

Chứng minh Giả sử Q không l.s.c trên f (A (u0)) × {u0} Khi đó tồn tại

y0 ∈ f (A (u0)) sao cho Q không l.s.c tại (y0, u0) Hiển nhiên, Q (y0, u0) làkhông rỗng Vậy tồn tại x′ ∈ Q (y0, u0) và lân cận W0 của 0 ∈ X, với mỗilân cận V của y0 và lân cận U của u0, tồn tại (y′, u′) ∈ (V × U ) ∩ dom Q

Từ (1.8) và Bổ đề 1.2.14, tồn tại x0 ∈ A (u0) và dãy con {xnk} của {xn}

sao cho xnk → x0 Vì f liên tục tại x0, f (xnk) → f (x0) Bởi yn → y0, nên

ta thu được

f (xnk) − ynk → f (x0) − y0

Từ (1.7) và tính đóng của C ta suy ra f (x0) − y0 ∈ −C Vậy x0 ∈

Q (y0, u0) Do Q (y0, u0) là một điểm, x′ = x0 Bởi xnk → x0 = x′, tồn tại

N1 ∈ N, sao cho xnk ∈ x′+ W0 với mọi k ≥ N1 Vậy

xnk ∈ (x′+ W0) ∩ Q (ynk, unk) ,

điều này mâu thuẫn với (1.6)

Trường hợp 2 Q (y0, u0) không là một điểm Khi đó tồn tại phần tử

x′′ ∈ Q (y0, u0) sao cho x′′ ̸= x′ Từ x′, x′′ ∈ Q (y0, u0) nên ta có

f (x′) ∈ y0 − C và f (x′′) ∈ y0 − C

Từ tính C-tựa lồi chặt của f trên A (u0), với mỗi t ∈ (0, 1), ta có

f (tx′′ + (1 − t)x′) ∈ y0 − int C (1.9)Đặt

x(t) := tx′′+ (1 − t)x′, t ∈ (0, 1) (1.10)Hiển nhiên x(t) ∈ Q (y0, u0) Với lân cận W0 của 0 ∈ X, tồn tại lân cận

W1 của 0 ∈ X sao cho W1 + W1 ⊆ W0 Từ đó suy ra tồn tại t0 ∈ (0, 1)

sao cho x (t0) ∈ x′ + W1 Do đó

x (t0) + W1 ⊆ x′ + W1 + W1 ⊆ x′ + W0 (1.11)Bởi (1.9) và (1.10), tồn tại lân cận V0 của 0 ∈ Y sao cho

f (x (t0)) + V0 − y0 ⊆ −C

Với x (t0) ∈ Q (y0, u0) ⊆ A (u0), từ A là l.s.c tại u0 ∈ W, nên tồn tại

x′n ∈ A (un) sao cho x′n → x (t0) Bởi f liên tục tại x (t0), nên ta có

f (x′n) → f (x (t0)) (1.12)

Ta có thể chọn được lân cận cân V1 của 0 ∈ Y sao cho V1 + V1 ⊆ V0

Từ (1.12) và yn → y0, tồn tại N2 ∈ N sao cho f (x′n) − f (x (t0)) ∈ V1 và

y0 − yn ∈ V1 với mọi n ≥ N2 Vậy

n ≥ N3 Từ (1.11), với n ≥ max {N2, N3}, ta có

x′n ∈ (x (t0) + W1) ∩ Q (yn, un) ⊆ (x′ + W0) ∩ Q (yn, un)

điều này mâu thuẫn với (1.6) Định lý được chứng minh

1.5 Tính liên tục của ánh xạ nghiệm hữu hiệu

Cho f : X → Y là ánh xạ Với ánh xạ đa trị A : W → 2X, ta định nghĩaánh xạ đa trị M : W → 2Y và E : W → 2X bởi

M (u) := Min(f, A(u)), E(u) := Eff(f, A(u))

Ánh xạ đa trị E là ánh xạ nghiệm hữu hiệu và M là ánh xạ giá trị nghiệmhữu hiệu của bài toán tối ưu V P (f, A(u)) Ta kí hiệu Im A là ảnh của A,tức là Im A := S

u∈W A(u).Xét ánh xạ đa trị T : W → 2Y bởi T (u) = {f (x) : x ∈ A(u)}, u ∈ W

Bổ đề 1.5.1 Cho A : W → 2X là ánh xạ đa trị và f : X → Y liên tụctrên A (u0) Khi đó

(i) Nếu A là u.s.c tại u0 thì T là u.s.c tại u0

(ii) Nếu A là l.s.c tại u0 thì T là l.s.c tại u0

Chứng minh (i) Giả sử V là tập mở thỏa mãn T (u0) ⊂ V Từ đó suy ra

f (x) ∈ V với mọi x ∈ A(u0)

Vì f liên tục trên A (u0) nên tồn tại lân cận Ux của x sao cho

Điều này chứng tỏ T là u.s.c tại u0

(ii) Chứng minh tương tự như chứng minh (i)

Nhận xét Giả sử f : X → Y liên tục trên A (u0), theo Bổ đề 1.5.1, ta

có E là u.s.c (tương ứng, l.s.c) tại u0 kéo theo M là u.s.c (tương ứng, l.s.c)tại u0

Định lý 1.5.2 Cho A : W → 2X là l.s.c tại u0 và compact địa phươngtại u0, f : X → Y liên tục trên Im A, Q là u.s.c trên f (A (u0)) × {u0}.Khi đó M là l.s.c tại u0

Chứng minh Giả sử M không l.s.c tại u0, khi đó tồn tại y0 ∈ M (u0) vàlân cận W0 của y0 sao cho với mỗi lân cận U của u0, tồn tại u′ ∈ U thỏamãn

W0 ∩ M (u′) = ∅

Do đó tồn tại dãy {un} với un → u0 sao cho

Bởi y0 ∈ M (u0), nên ta có

Lev (f, y0) ∩ A (u0) = f−1(y0) ∩ A (u0) ̸= ∅

Theo giả thiết, ta có f−1(y0) ∩ A (u0) là compact Ta chỉ ra với mỗi δ > 0

thỏa mãn y0 + δBY ⊆ W0, tồn tại 1 > ε0 > 0 sao cho

f f−1(y0) ∩ A (u0) + ε0BX

⊆ y0 + δBY (1.14)Thật vậy, nếu không thì tồn tại δ0 > 0 với y0 + δ0BY ⊆ W0, với mọi

nbn → 0, xn + 1nbn → x0 ∈ f−1(y0) ∩ A (u0) và chú ý rằng f liên tục tại

x0, nên ta có y′n = f xn + 1nbn
→ f (x0) = y0, điều này mâu thuẫn với(1.15) Vậy (1.14) được chứng minh

Cho x′ ∈ f−1(y0) ∩ A (u0) Từ un → u0 và A là l.s.c tại u0 ∈ W,nên tồn tại zn ∈ A (un) sao cho zn → x′ Vì ánh xạ f liên tục tại x′