Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––– MAI KHÁNH LINHTÍNH LIÊN TỤC VÀ TÍNH ĐÓNG CỦA ÁNH XẠ RÀNG BUỘC VÀ ÁNH XẠ NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ NỬA VƠ HẠ
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––– MAI KHÁNH LINH TÍNH LIÊN TỤC VÀ TÍNH ĐÓNG CỦA ÁNH XẠ RÀNG BUỘC VÀ ÁNH XẠ NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ NỬA VÔ HẠN CHỨA THAM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2023 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––– MAI KHÁNH LINH TÍNH LIÊN TỤC VÀ TÍNH ĐÓNG CỦA ÁNH XẠ RÀNG BUỘC VÀ ÁNH XẠ NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ NỬA VÔ HẠN CHỨA THAM SỐ Ngành: Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS BÙI THẾ HÙNG THÁI NGUYÊN - 2023 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn là nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 5 năm 2023 Tác giả luận văn Mai Khánh Linh Xác nhận của người hướng dẫn khoa học TS Bùi Thế Hùng Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 5 năm 2023 Người viết luận văn Mai Khánh Linh ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt v Mở đầu 1 Chương 1 Tính liên tục của ánh xạ nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu vectơ 3 1.1 Không gian lồi địa phương 3 1.2 Một số kiến thức về giải tích đa trị 5 1.3 Bài toán tối ưu vectơ 9 1.4 Tính liên tục của ánh xạ mức 9 1.5 Tính liên tục của ánh xạ nghiệm hữu hiệu 13 Chương 2 Tính liên tục và tính đóng của ánh xạ ràng buộc và ánh xạ nghiệm đối với bài toán tối ưu vectơ nửa vô hạn chứa tham số 20 2.1 Bài toán tối ưu vectơ và tính chất miền 20 2.2 Tính đóng và tính liên tục trên của ánh xạ ràng buộc 25 2.3 Tính liên tục dưới của ánh xạ ràng buộc 29 2.4 Tính liên tục của ánh xạ nghiệm hữu hiệu và ánh xạ giá trị nghiệm hữu hiệu 32 iii Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 iv Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt R tập các số thực tập số thực không âm R+ tập số thực không dương không gian véctơ Euclide n− chiều R− tập các véctơ không âm của Rn Rn tập các véctơ không dương của Rn tập tất cả các tập con của X n ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập Y ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y R+ miền định nghĩa của ánh xạ đa trị F đồ thị của ánh xạ đa trị F n A được định nghĩa bằng B tập rỗng R− A là tập con của B 2X A không là tập con của B f :X→Y hợp của hai tập hợp A và B F : X → 2Y giao của hai tập hợp A và B dom F hiệu của hai tập hợp A và B gr F A := B v ∅ A⊆B A̸ ⊆ B A∪B A∩B A\B A×B tích Descartes của hai tập hợp A và B cl A bao đóng tôpô của tập hợp A int A phần trong tôpô của tập hợp A conv A bao lồi của tập hợp A (QEP ) bài toán tựa cân bằng véctơ (QEP )λ bài toán tựa cân bằng véctơ chứa tham số u.s.c nửa liên tục trên l.s.c nửa liên tục dưới 2 kết thúc chứng minh vi Mở đầu Khi nghiên cứu tính ổn định nghiệm của bài toán trong lý thuyết tối ưu người ta thường nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ nghiệm của bài toán đó, ta có thể kể đến như Penot và Sterna- Karwat ([8], [9]) nghiên cứu tính đóng và tính liên tục của ánh xạ nghiệm đối với bài toán tối ưu mà ở đó nghiệm liên quan đến quan hệ thứ tự tùy ý, Han và Gong [7] nghiên cứu tính liên tục theo nghĩa Berge của ánh xạ nghiệm đối với bài toán tối ưu vectơ, Bednarczuk ([3], [4]) nghiên cứu tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm đối với bài toán tối ưu vectơ Năm 2022, S Kapoor và C S Lalitha [10] nghiên cứu bài toán tối ưu nửa xác định dưới đây: Cho T, Λ là các không gian tôpô và X, Y, Z là các không gian tôpô Hausdorff Trên Y và Z trang bị các quan hệ thứ tự ≺C và ≺D, tương ứng Xét bài toán tối ưu nửa xác định (SIP): C − min f (x) s.t g(x, t) ≺D b(t) với mọi t ∈ T, ở đây f : X → Y là ánh xạ mục tiêu và g : X × T → Z, b : T → Z là các ánh xạ ràng buộc Sau đó bằng việc tham số hóa bài toán (SIP) bởi tham số λ ∈ Λ vào ánh xạ mục tiêu f và các ánh xạ ràng buộc g, b, các tác giả nghiên cứu bài toán tối ưu nửa xác định chứa tham số (SIP )λ: C − min f (x, λ) s.t g(x, t, λ) ≺D b(t, λ) với mọi t ∈ T, 1 ở đây f : X × Λ → Y là ánh xạ mục tiêu và g : X × T × Λ → Z, b : T × Λ → Z là các ánh xạ ràng buộc Ánh xạ ràng buộc của bài toán (SIP )λ là S : Λ → 2X xác định bởi S(λ) = {x ∈ X : g(x, t, λ) ≺D b(t, λ) với mọi t ∈ T } Ánh xạ nghiệm của bài toán (SIP )λ là M : Λ → 2Y xác định bởi M (λ) = min f (S(λ), λ) C Các tác giả S Kapoor và C S Lalitha [10] đã thiết lập điều kiện đủ cho tính đóng, tính liên tục trên, tính liên tục dưới của ánh xạ ràng buộc S và tính liên tục của ánh xạ nghiệm của bài toán (SIP )λ Mục đích của luận văn nhằm trình bày một cách hệ thống các kết quả trong công trình [10] về tính đóng và tính liên tục của ánh xạ ràng buộc và ánh xạ nghiệm của bài toán (SIP )λ Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài liệu tham khảo Chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức về giải tích lồi và giải tích đa trị Ngoài ra, chương này chúng tôi còn trình bày một số điều kiện đủ cho tính liên tục của ánh xạ nghiệm của bài toán tối ưu vectơ với thứ tự sinh bởi nón Chương 2 trình bày một số điều kiện đủ cho tính đóng và tính liên tục trên, liên tục dưới của ánh xạ ràng buộc, tính liên tục của ánh xạ nghiệm cực tiểu và ánh xạ nghiệm hữu hiệu cho bài toán tối ưu vectơ nửa vô hạn chứa tham số Một số ví dụ minh họa cho kết quả lý thuyết cũng được trình bày 2