Ánh xạ đa trị tính đo được, tính liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN NGỌC TIẾN ÁNH XẠ ĐA TRỊ: TÍNH ĐO ĐƯỢC, TÍNH LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN NGỌC TIẾN ÁNH XẠ ĐA TRỊ: TÍNH ĐO ĐƯỢC, TÍNH LIÊN TỤC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN Đà Nẵng – Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết luận văn tơi thu thập, hệ thống, trình bày lại cách logic dễ hiểu Tác giả luận văn Nguyễn Ngọc Tiến MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Nội dung đề tài Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 TẬP HỢP 1.1.1 Supremum infimum tập hợp 1.1.2 Lực lượng tập hợp 1.1.3 Tập hữu hạn 1.1.4 Tập đếm 1.1.5 s - đại số 1.2 KHÔNG GIAN METRIC 1.2.1 Định nghĩa không gian metric 1.2.2 Tập mở tập đóng 1.2.3 Tập hợp compact 1.3 KHÔNG GIAN VECTƠ ĐỊNH CHUẨN 1.3.1 Không gian vectơ 1.3.2 Không gian định chuẩn 10 1.3.3 Không gian Banach 10 1.3.4 Không gian Hilbert 12 1.4 KHÔNG GIAN TÔPÔ 12 1.4.1 Định nghĩa không gian tôpô 12 1.4.2 Lân cận 13 1.4.3 Không gian Hausdorff .13 1.4.4 Không gian compact 13 1.4.5 Tính paracompact 14 1.4.6 Phân hoạch đơn vị .14 CHƯƠNG 2: ÁNH XẠ ĐA TRỊ NỬA LIÊN TỤC TRÊN 16 2.1 ÁNH XẠ ĐA TRỊ .16 2.2 ÁNH XẠ ĐA TRỊ NỬA LIÊN TỤC TRÊN 17 2.3 TÍNH CHẤT CỦAA ÁNH XẠ ĐA TRỊ NỬA LIÊN TỤC TRÊN .20 2.4 MỘT SỐ TIÊU CHUẨN NỬA LIÊN TỤC TRÊN 25 CHƯƠNG ÁNH XẠ ĐA TRỊ NỬA LIÊN TỤC DƯỚI .28 3.1 ÁNH XẠ ĐA TRỊ NỬA LIÊN TỤC DƯỚI 28 3.2 NHÁNH ĐƠN TRỊ LIÊN TỤC 32 3.3 TÍNH LIÊN TỤC 34 3.4 XẤP XỈ LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ NỬA LIÊN TỤC TRÊN 35 CHƯƠNG :ÁNH XẠ ĐA TRỊ ĐO ĐƯỢC 38 4.1 ÁNH XẠ ĐA TRỊ ĐO ĐƯỢC .38 4.2 NHÁNH ĐƠN TRỊ ĐO ĐƯỢC .40 4.3 XẤP XỈ BỞI CÁC HÀM BẬC THANG .42 4.4 MỘT SỐ KẾT QUẢ KHÁC .44 4.5 ÁNH XẠ ĐA TRỊ HAI BIẾN 46 CHƯƠNG : MỘT SỐ TÍNH CHẤT KHÁC CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ 49 5.1 ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC 49 5.3 ÁNH XẠ ĐA TRỊ ĐƠN ĐIỆU 54 5.4 ÁNH XẠ ĐA TRỊ ĐỒNG BIẾN 58 5.5 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN BANACH 63 KẾT LUẬN 67 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN (Bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, toán chuyển động Cơ học Vật lý học thường dẫn đến việc khảo sát phương trình vi phân: dx = f (t , x); dt (1) đó, t biến thời gian x = x(t ) vận tốc thời điểm t (vận tốc tức thời) đối tượng học hay đối tượng vật lý khảo sát, f hàm số (đơn trị) biết Trên thực tế, phép đo đạc thường khơng có độ xác tuyệt đối; thế, dấu “=” (1) “lý tưởng” Một cách tự nhiên, ta thay dấu “Ỵ ” đến việc khảo sát “bao hàm thức vi phân” (còn gọi “phương trình vi phân đa trị”) có dạng: dx Ỵ F (t , x); dt (2) đó, F “hàm số nhận giá trị tập hợp” (sẽ gọi “ánh xạ đa trị”) Ở hầu hết trường đại học sư phạm đại học khoa học, giáo trình “Phương trình vi phân” ln mơn học bắt buộc sinh viên khoa Toán, Lý (và sinh viên trường đại học bách khoa); nhiên, khơng phải trường sinh viên có điều kiện học giáo trình “Bao hàm thức vi phân”, – biết – ánh xạ đa trị bao hàm thức vi phân trở thành đối tượng nghiên cứu quan trọng ngày có nhiều ứng dụng lý thuyết “điều khiển tối ưu”; chúng phát triển cách sâu rộng… Trong luận văn này, chúng tơi bước đầu tìm hiểu lý thuyết ánh xạ đa trị: định nghĩa, tính đo được, tính đơn điệu, tính nửa liên tục (trên/dưới), tính liên tục… Dưới hướng dẫn Thầy giáo Nguyễn Duy Thái Sơn, cố gắng lĩnh hội đầy đủ kiến thức ánh xạ đa trị để trình bày lại kiến thức luận văn theo thể khép kín hy vọng luận văn sử dụng tập tài liệu có tính chất nhập mơn, hệ thống ánh xạ đa trị Tuy nhiên, hạn chế định trình độ khoa học, thời gian thực kinh nghiệm nghiên cứu nên chắn luận văn khơng tránh thiếu sót… Nội dung đề tài Luận văn trình bày chương: Chương I: Những kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức để chuẩn bị cho việc sâu nghiên cứu ánh xạ đa trị số tính chất Chương II: Ánh xạ đa trị nửa liên tục Chương trình bày khái niệm Ánh xạ đa trị, tính nửa liên tục số tính chất có liên quan Chương III: Ánh xạ đa trị nửa liên tục Chương trình bày khái niệm tính liên tục Ánh xạ đa trị số tính chất Chương IV: Ánh xạ đa trị đo Chương trình bày khái niệm tính chất Ánh xạ đa trị đo Chương V: Một số tính chất Ánh xạ đa trị Nội dung chủ yếu chương gồm có: Điều kiện tiếp xúc, tích phân Bochner, ánh xạ đa trị đơn điệu, ánh xạ đa trị đồng biến Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài Đóng góp đề tài Tổng quan số kết có Ánh xạ đa trị nhằm xây dựng tài liệu tham khảo có ích cho muốn bắt đầu nghiên cứu ánh xạ đa trị Các phép chứng minh làm chi tiết dễ hiểu Tuy nhiên, hạn chế định trình độ khoa học, thời gian thực kinh nghiệm nghiên cứu nên chắn luận văn không tránh thiếu sót… CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương luận văn trình bày số kiến thức để phục vụ cho việc tìm hiểu chương sau luận văn Ở đây, định lý, hệ quả, bổ đề kết phát biểu không chứng minh Các kiến thức chương trích dẫn từ [1], [2], [3] 1.1 TẬP HỢP 1.1.1 Supremum infimum tập hợp Cho M tập  Số a Ỵ  gọi cận M với x Ỵ M x £ a Số b Ỵ  gọi cận M với x Ỵ M x ³ b Cận bé (nếu có) tập M gọi supremum tập M , ký hiệu sup M Như a = sup M a "x Ỵ M , x £ a , b "a ' < a , $x Ỵ M ,a ' < x Ta có định nghĩa tương đương sau a = sup M điều kiện a nói điều kiện b’ thỏa mãn: b’ "e > 0, $x Ỵ M ,a - e < x Cận lớn (nếu có) tập M gọi infimum tập M , ký hiệu inf M Như b = inf M a "x Ỵ M , x ³ b , b "b ' > b , $x Ỵ M , x < b ' Cũng supremum, infimum định nghĩa nói ta thay điều kiện b điều kiện tương đương sau: b’ "e > 0, $x Ỵ M ,a + e > x Ghi chú: Nếu tập M khơng có cận (hữu hạn) , ta quy ước sup M = +¥ Nếu tập M khơng có cận (hữu hạn), ta quy ước inf M = -¥ Mọi số thực cận cận tập Ỉ ta quy c supặ = -Ơ , inf ặ = +Ơ Với quy ước bổ sung nói trên, tập M Ì  có cận bé nhất, cận lớn (trong  ) 1.1.2 Lực lượng tập hợp Định nghĩa Hai tập A B gọi lực lượng có tương ứng 1-1 A B Ta ký hiệu A = B Định nghĩa Lực lượng A gọi nhỏ lực lượng B (ký hiệu A £ B ) có tương ứng 1-1 A tập B 1.1.3 Tập hữu hạn Định nghĩa Tập S gọi hữu hạn có lực lượng với I n := {i Ỵ  :1 £ i £ n} , n số tự nhiên Ký hiệu S = n Ghi chú: I = Ỉ ; S = Û S = Ỉ 1.1.4 Tập đếm Định nghĩa S gọi đếm S =  S gọi không đếm S £  Định lý Tập vô hạn tập đếm đếm Hệ Tập khơng q đếm hữu hạn đếm Định lý Hợp hai tập đếm đếm 54 x = ( xi ) tiến đến 0, với chuẩn x = max xi Cho {en : n ³ 1} sở i tắc X , tức eni = với i = n en i = với i ¹ n Ta xác định u ( t ) = å / n sin ( nt ) en Nếu u khả vi t Ỵ J u 'n ( t ) = cos ( nt ) với n ³1 n ³ , cos ( nt ) đ n đ Ơ sai với số thực t , cos ( 2k + 1) t = cos ( 2kt ) cos t - sin ( 2kt ) sin t Vì vậy, u khơng thể khả vi đâu, u ( t ) - u ( s ) £ t - s với t , s Ỵ  iii Cho F : J ® X \ Ỉ có giá trị đóng nhánh đơn trị khả tích Ta xét tích phân F J tập sau ì ü ị F ( s ) ds = íỵ ị w ( s ) ds : w (ì) ẻ F ( ì) , w ẻ L ( J ) ýỵ X J J t Nếu cho G ( t ) = ò F ( s ) ds = ò c[0,t ] ( s ) F ( s ) ds với t Ỵ J J G ( t ) tập tất điểm đạt thời gian t theo kết u ' Ỵ F ( t ) hầu khắp nơi J , u ( ) = 5.3 ÁNH XẠ ĐA TRỊ ĐƠN ĐIỆU Ở đây, ta sử dụng ký hiệu Fx thay cho F ( x ) , tức ảnh x qua ánh xạ F Cho X khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng ( ×, ×) Một ánh xạ đa trị F : D è X đ X \ ặ gọi đơn điệu ( Fx - Fy, x - y ) ³ D´D, (4) điều hiểu ( u - v, x - y ) ³ với u Ỵ Fx v Ỵ Fy Trong trường hợp - F đơn điệu ta nói F triệt tiêu Nếu X =  F ánh xạ đơn trị, tính đơn điệu hiểu 55 x £ y f ( x ) £ f ( y ) o Với trường hợp D ¹ Ỉ , xét vài tính chất đặc biệt sau Mệnh đề 5.2 Cho X khơng gian Hilbert thực, D Ì X với o D ặ v F : D đ X \ Ỉ đơn điệu Khi o a F bị chặn địa phương D o o b Tồn tập Gd D0 Ì D , trù mật D , cho F D ánh xạ đơn trị Trong đó, tập Gd tập có dạng giao họ đếm tập mở Trên ¶D , ánh xạ F khơng bị chặn Tuy nhiên, nhiêu tình dẫn đến ánh xạ đơn điệu tập D mà phần rỗng khơng đóng Chúng ta xem xét ví dụ sau, u " = f ( t , u ) J = [ 0,1] , u ( ) = u (1) = (5) X = L2 ( J ) , tức Fx = với Fx = - x "+ f ( ×, x ( ×) ) D = { x Ỵ C ( J ) : x " Ỵ X , x ( ) = x (1) = 0, f ( ×, x ( ì) ) ẻ X } ; lu ý F : D ® X đơn điệu f đồng biến với biến thứ hai, theo tích phân phần ta thu ( Fx - Fy, x - y ) = ò éë x ' ( s ) - y ' ( s ) ùû ds + ò éë f ( s, x ( s ) ) - f ( s, y ( s ) ) ùû ( x ( s ) - y ( s ) ) ds ³ 0 Trong trường hợp vậy, ta hy vọng F : D đ X \ ặ l F , đơn điệu cực đại tức khơng có thác triển đơn điệu F ( )  đơn điệu graph ( F ) Ü graph F  ” xảy hay nói khác “ F F có tính chất ( Fx - y , x - x ) ³ 0 D bao hàm x0 Ỵ D y0 Ỵ Fx0 (6) 56  = F D Fx  = { y } xác Lưu ý x0 Ỵ D F 0 định thác triển đơn điệu F , x0 Ỵ D y0 Ï Fx0 ,  = Fx È { y } thác triển Ngược lại,  = Fx với x ¹ x Fx Fx 0 0 tốn tử đơn điệu có thác triển đơn điệu cực đại Xem xét tất ánh ( )  với graph ( F ) Ì graph F  , thứ tự phận phép bao xạ đơn điệu F hàm đồ thị, áp dụng Bổ đề Zorn để thấy điều Nếu F đơn trị, thác triển đơn điệu cực đại ánh xạ đa trị Ví dụ f = c  +  = [ 0,1] c + c  , có thác triển cực đại F {0} ( 0,¥ ) Mệnh đề 5.3 Cho X khơng gian thực Hilbert F : D Ì X ® X \ Ỉ đơn điệu, F đơn điệu cực đại ( F + l I )( D ) = X với l dương ( F + l I )( D ) = X với tất l dương Phần điều kiện cần suy cách sau, cho ( Fx - y , x - x ) ³ 0 D , tìm x1 Ỵ D cho l x0 + y0 Ỵ Fx1 + l x1 , nhận l x0 - x1 £ cách thay x = x1 Điều kiện đủ suy cách tồn x0 Ỵ X , ( Fx + x0 , x - x0 ) ³ D (7) Theo (6), có x0 Î D - x0 Î Fx0 , Ỵ ( F + I )( D ) , ( F + I )( D ) = X cho y Ỵ X , F - y đơn điệu cực đại Phần tương đương cuối suy từ Định lý điểm bất động Banach Lưu ý ( Fx + l x - Fy - l y, x - y ) ³ l x - y D ´ D Do ( F + l I ) : X ® D Lipschitz với số / l -1 57 y Ỵ Fx + m x x = ( F + l I ) -1 ( y + (l - m ) x) , vế phải ánh xạ co nghiêm ngặt với m tiến đến l Ví dụ i Cho f = c  l > Khi ( f + l I )(  ) = \ [ 0,1) , f + l I +  + l I với F  = [ 0,1] c + c khơng tồn ánh, F lại tồn ánh {0} ( 0,¥ ) ii Bây giờ, ta quay lại xem xét (5), Fx = - x "+ f ( ×, x ( ×) ) D Ì L2 ( J ) , thấy ( F + l I ) x = với l > không xuất để tìm Fx = Do vậy, cho F tổng hai ánh xạ đơn điệu F1 F2 , F1 x = - x " D1 = { x Ỵ C1 ( J ) : x " Î X , x ( ) = x (1) = 0} , F2 x = f ( ×, x ( ì) ) trờn D2 = { x ẻ X : f ( ì, x ( ì) ) ẻ X } Bây giờ, F1 cực đại viết phép giải tổng quát x "- l x = - y đưa điều kiện biên x ( ) = x (1) = nhận xét {sin ( np ×) : n ³ 1} sở trực giao X , x ( t ) = å a n sin ( np t ) y ( t ) = å b n sin ( np t ) n ³1 thu a n = b n / ( n 2p + l ) , đặc biệt n ³1 ån a n ³1 n < ¥ x Ỵ D1 Xem xét F2 , cho f ( ×, r ) đo được, f ( t , ×) liên tục tăng f ( ×,0 ) Î X Xét y Î X g ( t , r ) = f ( t , r ) + lr với l > Vì g ( t , r ) ³ f ( t ,0 ) + lr với r ³ g ( t , r ) £ f ( t ,0 ) + lr với r £ , nhận g ( t ,  ) , tồn x đo cho g ( t , x ( t ) ) = y ( t ) , x Ỵ X , x ( t ) £ / l y ( t ) - f ( t ,0 ) Nên F2 cực đại; lưu ý D2 nhỏ X , D2 = L6 ( J ) với f ( t , r ) = r 58 Do vậy, F tổng hai ánh xạ đơn điệu cực đại Fi Câu hỏi đặt là: điều kiện F1 + F2 đơn điệu cực đại D = D1 Ç D2 ? Đơn giản D1 Ç D2 ặ s tha nu f ( t , r ) £ c (1 + r ) , kể từ o D2 = X Để thấy F1 + F2 không lúc cực đại Fi cực đại, thay F2 thành F2 x = - x " D2 = { x Ỵ C ( J ) : x ' ( ) = x ' (1) = 0, x " Ỵ X } , ý x "- l x = t khơng có kết thỏa x ( ) = x (1) = x ' ( ) = x ' (1) = Trong mệnh đề tiếp theo, sử dụng ký hiệu sau Rl x = ( I + l F ) x , Fl x = l -1 ( I - Rl ) x Ỵ FRl x với l > x Ỵ X -1 Mệnh đề 5.4 Cho X không gian Hilbert (8) thực F : D Ì X ® X \ Ỉ đơn điệu cực đại Khi a F có giá trị đóng lồi đồ thị đóng D F ( D ) lồi b Rl : X ® D Lipschitz số Fl Lipschitz số l c Rl x đ x trờn convD v Fl x đ Ơ x Ï D l ® 0+ d Fl x £ f ( x ) Fl x ® f ( x ) D l ® 0+ , f ( x ) Ỵ Fx có f ( x ) = r ( 0, Fx ) 5.4 ÁNH XẠ ĐA TRỊ ĐỒNG BIẾN Trong không gian Hilbert đủ để xây dựng vài ví dụ, mơ hình khác gợi ý để phát triển khái niệm tương tự với không gian Banach X , điều có thêm vài mở rộng Lưu ý 59 vừa xác định không gian Hilbert với không gian đối ngẫu nó, điều đủ để sử dụng ánh xạ đồng I Trong tình tổng quát hơn, thay I gọi ánh xạ đối ngẫu Chúng ta đưa khái niệm ánh xạ sau Ánh xạ i ngu F : X đ X \ ặ , xác định { F x = x* Î X * : x* = x , x* ( x ) = x }, (9) F x ặ l mt h qu ca Hahn/Banach, tc l x y X tn ti x* ẻF x cho x* ( x ) ¹ x* ( y ) Lúc đó, F có tính chất sau Mệnh đề 5.5 Cho X không gian Banach thc v F : X đ X \ ặ Khi a F x lồi s ( X * , X ) đóng F ( l x ) = l F x với l Ỵ  b F đơn trị X * lồi nghiêm ngặt c X * lồi F : X ® X * liên tục tập bị chặn Ví dụ i Cho W Ì  m đo X = Lp ( W ) với < p < ¥ Khi X * = Lq ( W ) , với 1/ p + 1/ q = , khơng gian lồi đều, lồi nghiêm ngặt Do vậy, xác minh ánh xạ đơn trị F cho ( F x )(x ) = x p x (x ) 2- p p -2 x (x ) F ( ) = ii Cho X = C ( W ) với W Ì  m compact Định lý biểu diễn Riesz nói x* Ỵ X * cho x* ( x ) = ò x (x ) dv (x ) , x* = v , W với v : B ®  s - cộng tính quy biến phân tồn phần v < ¥ 60 x* = v Theo đó, chứng minh F x = {v Ỵ X * : v ( W ) = x ,supp v Ì W x , v sgn x ³ 0} , W x = {x Ỵ W : x (x ) = x } , supp v tập đóng nhỏ A Ì X cho ò y (x ) dv (x ) = với y Ỵ X W v sgn x ³ nghĩa với supp y = {x ẻ W : y (x ) 0} Ì W \ A , ò y (x ) sgn x (x ) dv (x ) ³ với y Ỵ X W y (x ) ³ W Theo F trên, đưa khái niệm thay cho tích vơ hướng, nửa tích vơ hướng ( ×, ×)± : X ´ X ®  , cho ( x, y ) + = max { y * ( x ) : y * Ỵ F y} ( x, y )- = { y* ( x ) : y * Ỵ F y} (10) ( x, y ) + = y lim t ® 0+ y + tx - y y - y - tx , ( x, y )- = y lim t ®0 t t (11) + Những giới hạn tồn y + x lồi x với y cố định Theo định nghĩa F y , ta có ( x, y ) - £ y* ( x ) £ ( x, y ) + với y * Ỵ F y Chúng ta có vài tính chất sau Mệnh đề 5.6 Cho X khơng gian Banach thực Khi a ( x, z ) ± + ( y, z ) - £ ( x + y, z ) ± £ ( x, z )± + ( y, z )+ ( x + a y, y ) ( x, y ) ± £ x y, = ( x, y ) ± + a y với a Ỵ  , (a x, b y )± = ab ( x, y )± với ab ³ ± b ( ×, ×)+ có tính chất nửa liên tục trên, ( ×, ×)- có tính chất nửa liên tục ( ×, y )± liên tục c Nếu X * lồi ( ×, ×)+ = ( ×, ×) - liên tục tập bị chặn X´X 61 d Nếu x : ( a, b ) ® X khả vi t j ( t ) = x ( t ) thỏa điều sau j ( t ) D -j ( t ) = ( x ' ( t ) , x ( t ) )- j ( t ) D +j ( t ) = ( x ' ( t ) , x ( t ) )+ , D± vi phân Dini Ví dụ i Theo ví dụ trước, ta suy ( x, y ) ( x, y ) + + = ( x, y ) - = y 2- p ò x ( x ) y (x ) y ( x ) p -2 dx với X = Lp ( W ) W = max { x (x ) y (x ) : x Ỵ W y } , ( x, y ) - = { x (x ) y (x ) : x Ỵ W y } với X = C ( W ) ii Nếu Z không gian Banach X = CZ ( W ) ( x, y ) + { } { } = max ( x (x ) y (x ) )+ : x ỴW y , ( x, y )- = ( x (x ) , y (x ) )- : x ỴW y iii Cho X = L1 ( W ) lúc ( x, y ) + ổ = y ỗ ò x (x ) d x + ò x (x ) sgn y (x ) d x ÷ , èN W\ N ø ( x, y ) - = ( x, y ) + - y ò x (x ) dx N với N = {x ỴW : y (x ) = 0} Ta có khái niệm ánh xạ đa trị đồng biến sau F : D è X đ X \ ặ c gi l đồng biến ( Fx - Fy, x - y ) + ³ D ´ D , (12) bị triệt tiêu - F đồng biến, tức ( Fx - Fy, x - y )- £ D ´ D Một ánh xạ đồng biến F gọi đồng biến cực đại khơng có thác triển đồng biến, tức ( Fx - y, x - x ) + ³ D bao hàm ( x0 , y ) Ỵ graph ( F ) , 62 siêu đồng biến (hoặc m - đồng biến) tồn l dương cho ( F + l I )( D ) = X Ở đây, khái niệm siêu đồng biến mạnh đồng biến cực đại, tức F siêu đồng biến đồng biến cực đại điều ngược lại không X X * lồi Mệnh đề 5.7 Cho X không gian Banach thực, F : D è X đ X \ ặ l siêu đồng biến Rl , Fl (8) Khi a graph ( F ) đóng; Fx đóng lồi X * lồi nghiêm ngặt; D lồi X lồi b Rl Lipschitz số 1; Fl đồng biến Lipschitz số / l c Rl x ® x D l ® 0+ , convD X lồi đều; Fl x £ r ( 0, Fx ) D Fl x nghịch biến l ; Fl x ® r ( 0, Fx ) D X * lồi đều, Fl x ® f ( x ) X lồi đều, f ( x ) Ỵ Fx có f ( x ) = r ( 0, Fx ) Chứng minh Vì ( ×, ×)+ nửa liên tục F đồng biến cực đại, ta thấy graph ( F ) đóng Fx0 = { y Ỵ X : ( Fx - y , x - x0 )+ ³ 0, x Ỵ D} , nên Fx0 đóng lồi X * lồi nghiêm ngặt, từ F đơn trị Từ đó, ta xác định Rl Lipschitz số 1; Fl đồng biến Lipschitz số / l Khi £ ( Fx - Fl x, Fl x ) + suy theo (8) Do Fl x £ r ( 0, Fx ) Từ suy Rl x ® x D Cuối cùng, Fl x nghịch biến với l l Fl x - m Fm x £ l - m Fl x 63 Cho X * lồi Vì X * X phản xạ, giả sử Fl x  y ln ® + , vy y ẻ Fx vỡ Rl x đ x F đồng biến cực đại, n n r ( 0, Fx ) £ y £ lim Fl x £ r ( 0, Fx ) , tức Fl x ® r ( 0, Fx ) n đƠ n Vỡ X * l li nghiờm ngặt, Fx đóng lồi, tồn f ( x ) Fl x ® f ( x ) X lồi nghiêm ngặt Cho x, y Ỵ D xt = tx + (1 - t ) y với t Ỵ ( 0,1) Khi l ® 0+ t cố định, giả sử Rl xt  z , Rl xt - x £ xt - x + lr ( 0, Fx ) y , z - x £ (1 - t ) x - y z - y £ t x - y , thêm z - y ³ x - y - z - x ³ t x - y = xt - y tương tự z - x Vì z - x = xt - x z - y = xt - y z = x z Ỵ { xs : s Ỵ  } Trong trường hợp z Ï { xs : s Ỵ  } lồi nghiệm ngặt, ta có f ( x ) < (1 - t ) x - y f ( y ) < t x - y với f ( x ) = t ( z - x ) + (1 - t )( xt - x ) Từ suy x - y = f ( x ) - f ( y ) < x - y , vô lý Nên Rl xt  xt xt - x £ lim Rl xt - x £ lim Rl xt - x £ xt - x , l ®0+ l ® 0+ Rl x ® x conv D , convD Rl Lipschitz 5.5 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN BANACH Trong phần trình bày chương, có sử dụng số vấn đề không gian Banach Do vậy, để tiện theo dõi, trình bày lại số vấn đề 64 i Một không gian metric đầy đủ ( M , d ) thuộc phạm trù thứ hai, tức o M = U M n bao hàm M n ặ vi mt vi n ẻ Nó thường gọi n ³1 Định lý phạm trù Baire Đơi ta sử dụng cách khác tương đương với tập mở sau IO n >1 n = M On mở On = M với n Ỵ  , hay nói cách khác hợp đếm tập mở trù mật M trù mật; o lưu ý rng M n ặ v ch M \ M n = M ii Cho X không gian Banach thực, X khơng gian con, x0* : X ®  liên tục tuyến tính y : X ®  tuyến tính, tức y ( l x ) = ly ( x ) với l không âm y ( x + y ) £ y ( x ) + y ( y ) Định lý Hahn/Banach nói x0* ( x ) £ y ( x ) X tồn x* Î X * cho x* X0 = x0* x* ( x ) £ y ( x ) X iii Cho X không gian Banach thực, x* Ỵ X * r Ỵ  Chúng ta gọi H = { x Ỵ X : x* ( x ) = r} siêu phẳng { x Ỵ X : x ( x ) £ r} , {x Ỵ X : x ( x ) ³ r} mặt Chúng ta nói H tách tập * * A B X A nằm mặt B nằm mặt kia, H gọi siêu phẳng tựa với A Ì X A nằm mặt H H ầ A ặ o nh lý tỏch Mazur cho tập lồi Cho C lồi với C ¹ Æ Khi đó, có o a Nếu ( x0 + X ) ầ C = ặ với khơng gian X o o x0 Ỵ X tồn H É x0 + X cho H Ç C = ặ c bit, vi x0 ẻ C \ C tồn siêu phẳng tựa H cha x0 65 o b Nu C ặ l li vi C1 ầ C = ặ ú tồn H tách C1 C iv Cho X , Y khơng gian Banach thực Ta có hệ Định lý Baire, Định lý ánh xạ mở, T Ỵ L ( X , Y ) với T ( X ) = Y toàn ánh biến tập mở thành tập mở, Định lý đồ thị đóng nói ánh xạ tuyến tính T : X ® Y với đồ thị đóng hồn tồn nằm L ( X , Y ) v Một không gian Banach X gọi lồi với e Ỵ ( 0, 2] tồn d (e ) > cho x = y =1 x- y ³e ( x + y ) / £ - d (e ) Một không gian gọi lồi nghiêm ngặt x = y = x ¹ y l x + (1 - l ) y < ( 0,1) , cách định nghĩa tương đương, x + y = x + y y = x = r y với r ³ Một không gian lồi X không gian phản xạ, tức x Ỵ X , J ( x ) Ỵ X ** , x* , J ( x ) = x, x* J ( X ) = X ** Điều tương đương với tính chất dãy bị chặn ( xn ) có dãy hội tụ yếu (s ( X , X * ) hội tụ), tức tồn (x ) Ì (x ) kn n x Î X cho x* ( xk ) ® x* ( x ) với x* Ỵ X * Chúng ta viết xn  x n (x ) n hội tụ s ( X , X * ) đến x , có x £ lim xn Vì thế, khơng gian lồi n ®¥ X có tính chất xn ® x xn  x bao hàm xn ® x ; lưu ý có điều x = , ngược lại giả sử xn = x = , tồn dãy xm , = x £ lim ( xm + x ) / £ - d ( e ) , vô lý m đƠ xm - x e iu ny bao hàm 66 vi Định lý hội tụ bị Cho ( f n ) dãy hàm thực đo không gian độ đo ( S , S, m ) , giả sử dãy hội tụ điểm đến hàm f bị chặn hàm khả tích g cho fn ( x ) £ g ( x ) với n tập số dãy tất điểm x Ỵ S Khi f khả tích lim fn - f d m = , n đƠ ũ S điều bao hàm lim f d m = ũ fd m n đƠ ũ n S S vii Bổ đề Zorn Cho tập hợp S thứ tự phận, tức tập toàn phần (hai phần tử kỳ so sánh với nhau) Nếu tập có cận S có phần tử cực đại viii Cho ( X , d ) khơng gian metric Khi đó, ánh xạ T : X ® X gọi ánh xạ co X tồn q Ỵ [ 0,1) cho d (Tx, Ty ) £ qd ( x, y ) với x, y thuộc X Trong trường hợp q Î ( 0,1) , ánh xạ T gọi ánh xạ co nghiêm ngặt Định lý điểm bất động Banach Cho ( X , d ) không gian metric đầy đủ không rỗng với ánh xạ co T : X ® X Khi T có điểm bất động x* thuộc X Hơn nữa, x* tìm cách sau: bắt đầu phần tử x0 thuộc X xác định dãy ( xn ) xn = T ( xn -1 ) , xn ® x * 67 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết sau Trình bày khái niệm ánh xạ đa trị, nửa liên tục (dưới), e - d - nửa liên tục (dưới) Đồng thời, luận văn trình bày thêm mối liên quan nửa liên tục (dưới) e - d - nửa liên tục (dưới), số tính chất khác Ngồi ra, luận văn cịn trình bày tính đo ánh xạ đa trị số tính chất có liên quan Cuối cùng, luận văn nói thêm số vấn đề điều kiện tiếp xúc, tích phân Bochner, ánh xạ đa trị đơn điệu ánh xạ đa trị đồng biến 68 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đại cương – Độ đo tích phân, NXB Giáo dục, 1994 [2] Hồng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2005 [3] Lê Ngọc Thức, Lý thuyết ANR ứng dụng, Luận văn thạc sĩ, Đại học Đà Nẵng, 2011 [4] Nguyễn Đơng n, Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên cơng nghệ, 2007 Tiếng Anh [5] Klaus Deimling, Multivalued Differential Equations, Walter de Gruyter, 1992 [6] Klaus Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer, 1985 [7] Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1921 [8] Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1987 ... II: Ánh xạ đa trị nửa liên tục Chương trình bày khái niệm Ánh xạ đa trị, tính nửa liên tục số tính chất có liên quan Chương III: Ánh xạ đa trị nửa liên tục Chương trình bày khái niệm tính liên tục. .. "y Ỵ U x 16 CHƯƠNG ÁNH XẠ ĐA TRỊ NỬA LIÊN TỤC TRÊN Trong chương này, bắt đầu với khái niệm ánh xạ đa trị, bao gồm: ánh xạ đa trị? giá trị ánh xạ đa trị? đồ thị ánh xạ đa trị? … Các kiến thức... khái niệm tính liên tục Ánh xạ đa trị số tính chất Chương IV: Ánh xạ đa trị đo Chương trình bày khái niệm tính chất Ánh xạ đa trị đo Chương V: Một số tính chất Ánh xạ đa trị Nội dung chủ yếu chương