CHƯƠNG 5 MỘT SỐ TÍNH CHẤT KHÁC CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
5.4. ÁNH XẠ ĐA TRỊ ĐỒNG BIẾN
Trong khi không gian Hilbert đủ để xây dựng một vài ví dụ, một mô hình khác cũng được gợi ý để phát triển khái niệm tương tự với không gian Banach X , điều này có thể sẽ có thêm một vài mở rộng. Lưu ý rằng chúng ta
vừa xác định một không gian Hilbert với không gian đối ngẫu của nó, điều này đủ để sử dụng ánh xạ đồng nhất I. Trong một tình huống tổng quát hơn, chúng ta sẽ thay I bởi cái gọi là ánh xạ đối ngẫu. Chúng ta đưa ra khái niệm về ánh xạ đó như sau.
Ánh xạ đối ngẫu F :X đ2X \ặ, được xỏc định là
{ * *: x* x x x, *( ) 2}
x= x ẻX = = x
F , (9)
trong đú Fxạ ặ là một hệ quả của Hahn/Banach, tức là x yạ trong X tồn tại x*ẻF sao cho x x x*( )ạx*( )y .
Lúc đó, F sẽ có tính chất sau.
Mệnh đề 5.5. Cho X là khụng gian Banach thực và F :X đ2X \ặ. Khi đó
a. Fx lồi và s(X*,X) đúng. F ( )lx =lF với mọi x lẻ . b. F là đơn trị nếu và chỉ nếu X* lồi nghiêm ngặt.
c. X* lồi đều nếu và chỉ nếu F :X ®X* liên tục đều trên tập bị chặn.
Ví dụ.
i. Cho W Ì m đo được và X =Lp( )W với 1< < ¥p . Khi đó
( )
* q
X =L W , với 1/ p+1/q=1, là một không gian lồi đều, do vậy nó lồi nghiêm ngặt. Do vậy, chúng ta có thể xác minh rằng ánh xạ đơn trị F được cho bởi
( )( )Fx x = x2p-p x( )x p-2x( )x và F ( )0 =0.
ii. Cho X =C( )W với W Ì m compact. Định lý biểu diễn Riesz nói rằng x*ẻX* được cho bởi
( ) ( ) ( )
x x* x x dv x
W
=ò , x* =v,
với v:B® là s -cộng tính chính quy của biến phân toàn phần v < ¥ và
x* = v . Theo đó, chúng ta có thể chứng minh được rằng
{ *:v ( ) x0,suppv x, sgn 0}
x = ẻv X W = è W v x³
F ,
trong đú Wx ={xẻW: x( )x = x0}, suppv là tập đúng nhỏ nhất Aè X sao cho
( ) ( ) 0
y x dv x
W
ũ = với mọi y Xẻ với su pp y={x ẻW:y( )x ạ0}è W\ A,
và vsgnx³0 nghĩa là y( )x sgnx( ) ( )x dv x 0
W
ũ ³ với mọi y Xẻ trong đú
( ) 0
y x ³ trên W.
Theo F như trên, chúng ta đưa ra một khái niệm thay thế cho tích vô hướng, đó là nửa tích vô hướng ( )× ×, ±:X X´ ® , được cho bởi
( )x y, + =max{y*( )x y: *ẻFy} và ( )x y, - =min{y*( )x y: *ẻFy} (10) hoặc
( ), lim0 t
y tx y x y y
t
® +
+
+ -
= , ( )
, lim0
t
y y tx x y y
t
® +
-
= - - (11)
Những giới hạn này tồn tại vì y x+ lồi trong x với y cố định. Theo định nghĩa của F , ta sẽ cú được y ( )x y, - Ê y*( ) ( )x Ê x y, + với mọi y*ẻFy.
Chúng ta sẽ có một vài tính chất như sau.
Mệnh đề 5.6. Cho X là không gian Banach thực. Khi đó
a. ( ) ( ) (x,z ± + y,z - £ x y z+ , ) ( ) ( )± £ x,z ± + y,z + và ( )x y, ± £ x y , (x+ay y, ) (± = x y, )± +a y2 với aẻ , (a bx y, )± =ab( )x y, ± với ab ³0.
b. ( )× ×, + có tính chất nửa liên tục trên, ( )× ×, - có tính chất nửa liên tục dưới và ( )×,y ± liên tục.
c. Nếu X* lồi đều thì ( ) ( )× ×, + = × ×, - liên tục đều trên tập con bị chặn của X X´ .
d. Nếu x a b: ,( )® X khả vi tại t thì j( )t = x t( ) thỏa điều sau
( )t D ( )t (x t x t'( ) ( ), )
j -j = - và j( )t D+j( )t =(x t x t'( ) ( ), )+,
trong đó D± là vi phân Dini.
Ví dụ.
i. Theo ví dụ trước, ta suy ra được
( ) ( )x y, + x y, - y2-p x( ) ( ) ( )x y x y x p-2dx
W
= = ò với X =Lp( )W
(x y, )+ = max{x( ) ( )x y x x: ẻ Wy}, (x y, )- = min{x( ) ( )x y x x: ẻ Wy} với X =C( )W .
ii. Nếu Z là một không gian Banach và X C= Z( )W khi đó
( )x y, + =max{ (x( ) ( )x y x )+:xẻWy}, ( )x y, - =min{ (x( ) ( )x ,y x )-:xẻWy}. iii. Cho X =L1( )W lúc đó
( ) ( ) ( ) ( )
\
s
, gn
N N
x y
x y + y x x dx x x xd
W
ổ ử
= ỗốũ + ũ ữứ,
( ) ( ), , 2 ( )
N
x y - = x y + - y xò x dx với N ={xẻW:y( )x =0}.
Ta có khái niệm ánh xạ đa trị đồng biến như sau.
:D X 2X \
F è đ ặ được gọi là đồng biến nếu
(Fx Fy x y- , - )+ ³0 trên D D´ , (12)
và nó bị triệt tiêu nếu -F đồng biến, tức là (Fx Fy x y- , - )- £0 trên D D´ .
Một ánh xạ đồng biến F được gọi là đồng biến cực đại nếu không có một thác triển nào của nó đồng biến, tức là
(Fx y x x- , - 0)+ ³0 trờn D bao hàm (x0,y)ẻgraph( )F ,
và siêu đồng biến (hoặc m-đồng biến) nếu tồn tại l dương sao cho
(F +lI)( )D = X .
Ở đây, khái niệm siêu đồng biến mạnh hơn đồng biến cực đại, tức là F siêu đồng biến thì nó sẽ đồng biến cực đại nhưng điều ngược lại không đúng dù cho X và X* lồi đều.
Mệnh đề 5.7. Cho X là một không gian Banach thực, :D X 2X \
F è đ ặ là siờu đồng biến và Rl, Fl như trong (8). Khi đú a. graph( )F đóng; Fx đóng lồi nếu X* lồi nghiêm ngặt; D lồi nếu X lồi đều.
b. Rl là Lipschitz của hằng số 1; Fl đồng biến và Lipschitz của hằng số 2 /l .
c. Rlx®x trên D khi l®0+, và trên convD nếu X lồi đều;
(0,F )
x x
Fl £r trên D và F xl nghịch biến trong l ; Flx ®r(0,Fx) trên D nếu X* lồi đều, do vậy Flx® f ( )x nếu X cũng lồi đều, trong đó
( )
f x ẻFx cú f x( ) =r(0,Fx).
Chứng minh.
1. Vì ( )× ×, + là nửa liên tục dưới và F đồng biến cực đại, do vậy ta có thể thấy được graph( )F đúng và Fx0 ={yẻX :(Fx y x- , -x0)+ ³0,x Dẻ }, nờn Fx0 đóng lồi nếu X* lồi nghiêm ngặt, từ đó F là đơn trị. Từ đó, ta có thể xác định được rằng Rl là Lipschitz của hằng số 1; Fl đồng biến và Lipschitz của hằng số 2 /l. Khi đó 0£(Fx-F xl ,Flx)+ được suy ra theo (8). Do vậy
(0,F )
x x
Fl £r . Từ đó suy ra Rlx®x trên D. Cuối cùng, F xl nghịch biến với l vì
x x
Fl Fm F xl l -m £ -l m .
2. Cho X* lồi đều. Vì X* và X là phản xạ, chúng ta có thể giả sử rằng F xln y nếu ln đ0+, do vậy y Fxẻ vỡ
Rlnx®x và F đồng biến cực đại, và do đó
(0, ) lim n (0, )
n
Fx y Fl x Fx
r r
£ £ ®¥ £ , tức là Flx ®r(0,Fx).
Vì X* là lồi nghiêm ngặt, Fx đóng lồi, do vậy tồn tại f x( ) và ( )
Flx® f x nếu X lồi nghiêm ngặt.
3. Cho ,x y Dẻ và xt = + -tx (1 t y) với tẻ( )0,1 . Khi đú vỡ lđ0+ và t cố định, chúng ta có thể giả sử R xl t z, R xl t -x £ xt -x +lr(0,Fx) và cũng như vậy đối với y, do vậy z-x £ -(1 t) x y- và z- £y t x- y ,
thêm nữa
x y z x t x xt
y y
z- ³ - - - ³ -y = -
và tương tự như vậy đối với z x- . Vì thế z x- = xt -x và z y- = xt - y và do đú z x= nếu zẻ{xs :sẻ}. Trong trường hợp zẽ{xs:sẻ} lồi nghiệm ngặt, ta có được
( ) (1 )
f x < -t x y- và f y( ) <t x y-
với f x( ) (=t z x- ) (+ 1-t x)( t -x).
Từ đó suy ra x y- = f x( )- f y( ) < -x y , vô lý. Nên R xl t xt và
0 0
lim lim
t t t t
x x Rlx x Rlx x x x
l® + l® +
£ £ - £
- - - ,
cho nên Rlx®x trên convD, và do vậy cũng trên convD vì Rl là Lipschitz.