Ánh xạ đa trị và tính liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Ngô Thị Thanh Vân ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Ngô Thị Thanh Vân ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Hoàng Ngọc Tuấn Hà Nội – Năm 2016 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung báo cáo thực tập chuyên ngành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Hoàng Ngọc Tuấn tận tình hướng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài thực tập Hà Nội, ngày 18 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Ngô Thị Thanh Vân i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cảm đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thông tin thu trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 18 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Ngô Thị Thah Vân Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Giới hạn tập hợp 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Định lý tính Compac 1.1.3 Định lý tính đối ngẫu 11 1.1.4 Bao lồi giới hạn 12 Phép tính giới hạn 14 1.2.1 Ảnh trực tiếp 15 1.2.2 Nghịch ảnh 17 Ánh xạ đa trị tính liên tục 22 2.1 Ánh xạ đa trị 22 2.2 Tính liên tục ánh xạ đa trị 27 2.2.1 Định nghĩa 27 2.2.2 Tính liên tục tổng quát 33 2.2.3 Ví dụ: Ánh xạ đa trị tham số hóa 36 Tiêu chuẩn nửa liên tục 37 2.3 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Thanh Vân Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 ii Lời mở đầu Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán có nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian tiến loài người, toán học ngày phát triển Giải tích đa trị hướng nghiên cứu tương đối Toán học Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, bất phương trình biến phân, phương trình suy rộng, lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa học quản lý toán kinh tế Vai trò giải tích đa trị toán học ứng dụng toán học công nhận rộng rãi Với mong muốn hiểu biết sâu giải tích đa trị bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học em chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp: "Ánh xạ đa trị tính liên tục" Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu giải tích đa trị đặc biệt ánh xạ đa trị tính liên tục ánh xạ đa trị Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Thanh Vân Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ánh xạ đa trị, tính liên tục ánh xạ đa trị tiêu chuẩn nửa liên tục Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm chương: • Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị" trình bày kiến thức cần thiết để sử dụng chương • Chương 2: "Ánh xạ đa trị tính liên tục" Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới hạn tập hợp 1.1.1 Định nghĩa Cho X không gian metric với khoảng cách d Khi K tập hợp X, ta kí hiệu dK (x) := d(x, K) := inf d (x, y) y∈K khoảng cách từ x tới K, ta đặt d(x, ∅) := +∞ Hình cầu bán kính r > quanh K X kí hiệu BX (K, r) := {x ∈ X | d(x, K) ≤ r} Khi nhầm lẫn, ta đặt B(K, r) := BX (K, r) với X không gian Banach mà hình cầu đơn vị kí hiệu B (hoặc BX không gian phải đề cập đến), ta thấy BX (K, r) = K + rBX Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Thanh Vân Hình cầu B(K, r) lân cận K Khi K compac, lân cận K chứa hình cầu bao quanh K Định nghĩa 1.1 Cho (Kn )n∈N dãy tập hợp không gian metric X Ta nói tập Lim supn→∞ Kn := {x ∈ X | lim inf d(x, Kn ) = 0} n→∞ giới hạn dãy (Kn ) tập hợp Liminf n→∞ Kn := {x ∈ X | limn→∞ d(x, Kn ) = 0} giới hạn Một tập hợp K gọi giới hạn giới hạn tập dãy Kn K = Liminf n→∞ Kn = Limsupn→∞ Kn =: Limn→∞ Kn Giới hạn giới hạn hiển nhiên đóng Chúng ta thấy Liminf n→∞ Kn ⊂ Limsupn→∞ Kn giới hạn giới hạn tập Kn bao đóng chúng Kn trùng nhau, d(x, Kn ) = d(x, Kn ) Bất kì dãy giảm tập hợp Kn có giới hạn, giao bao đóng chúng: Kn ⊂ Km n ≥ m, Limn→∞ Kn = Kn n≥0 Một giới hạn rỗng (không dãy phần tử xn ∈ Kn có điểm tụ) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Thanh Vân Mệnh đề 2.4 Cho F G ánh xạ đa trị từ X tới Y Giả thiết F đóng, G(x) compac G nửa liên tục x ∈ Dom(F ∩G) Khi đó, F ∩ G nửa liên tục x Hệ 2.1 Cho F : X Y ánh xạ đa trị đóng r:X R+ hàm nửa liên tục Nếu số chiều Y hữu hạn, ánh xạ đa trị cắt Fr : X Y định nghĩa Fr (x) := F (x) ∩ r(x)B nửa liên tục Ta mở rộng khái niệm ánh xạ thường cho ánh xạ đa trị theo cách sau: Định nghĩa 2.8 (Ánh xạ đa trị thường) Xét ánh xạ đa trị đóng F : X Y Hai tính chất sau tương đương: − Phép chiếu πY : Graph(F ) −→ Y thường − Nếu dãy yn ∈ F (xn ) hội tụ Y , dãy (xn )n∈N có điểm tụ Nếu chúng thỏa mãn, ta nói ánh xạ đa trị F : X thường 31 Y Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Thanh Vân Khi F thường, ảnh F (K) tập đóng K ⊂ X nghịch ảnh F −1 (M ) tập hợp compac M ⊂ Y compac Thật vậy, ta viết i) F (K) = πY (Graph(F ) ∩ (K × Y )); ii) F −1 (M ) = πX (Graph(F ) ∩ πY−1 (M )) Đặc biệt, ảnh ánh xạ đa trị thường đóng Mệnh đề 2.5 Giả sử X compac địa phương với tập compac K ⊂ X, đồ thị hạn chế F |K F : X Y K compac Khi − F nửa liên tục trên; − F −1 thường (và vậy, tập xác định đóng) Chứng minh − Vì với x ∈ Dom(F ), tồn lân cận compac K x, hạn chế F |K nửa liên tục trên K, có đồ thị compac Khi F nửa liên tục x Cho dãy xn ∈ F −1 (yn ) ⊂ Dom(F ) hội tụ tới x Ta phải kiểm tra dãy yn có điểm tụ Vì dãy hội tụ (xn )n∈N chứa tập hợp compac K , cặp (xn , yn ) thuộc vào đồ thị F |K , compac, dãy (xn , yn ) có điểm tụ (x, y) thuộc vào đồ thị F Khi y ∈ F −1 (x) điểm tụ (yn )n∈N 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.2 Ngô Thị Thanh Vân Tính liên tục tổng quát Nhớ lại phần dư không gian metric X giao hữu hạn tập trù mật mở An ⊂ X Giao hữu hạn phần dư phần dư Định lý Baire khẳng định phần dư không gian metric đầy đủ trù mật Tính chất mà với phân tử phấn dư gọi đặc điểm chung Định lý 2.1 (Tính liên tục tổng quát) Cho F ánh xạ đa trị từ không gian metric đầy đủ X tới không gian metric tách Y − Nếu F nửa liên tục trên, liên tục phần dư X − Nếu F nửa liên tục với giá trị compac, liên tục phần dư X − Nếu F nửa liên tục với giá trị khép kín , tồn phần dư R X cho ∀ x ∈ R, Limsupx →x F (x ) = F (x) Chứng minh − Vì Y không gian metric tách được, tồn họ đếm tập hợp mở Vn ⊂ Y , ổn định hợp hữu hạn thỏa mãn tính chất sau: ∀ tập hợp mở V ⊂ Y , ∀ y ∈ V, ∃ Vn cho y ∈ Vn ⊂ V − Đầu tiên giả sử F nửa liên tục Ta kết hợp với tập hợp mở Vn tập hợp Ln := F −1 (Vn ) = x ∈ X | F (x) ∩ Vn = ∅ 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Thanh Vân đóng Mệnh đề 2.1 Vn đóng Khi ta ý x ∈ X cho ∀ n ∈ N, x ∈ Ln =⇒ x ∈ Int(Ln ) F nửa liên tục x Thật vậy, cho V ⊂ Y tập hợp mở cho F (x) ∩ V = ∅ Khi tồn n ∈ N y ∈ F (x) ∩ Vn ⊂ F (x) ∩ V Như x ∈ Ln thuộc vào Int(Ln ) Vì Ln = F −1 (Vn ) ⊂ F −1 (V) ta suy F nửa liên tục tai x Do tập hợp D điểm F không nửa liên tục chứa hợp đếm tập hợp ∂Ln , tập đóng với phần rỗng Bằng lấy phần bù, ta suy phần bù D , tập hợp phần tử mà F lên tục, chứa phần dư − Nếu F nửa liên tục dưới, tập hợp Kn := F +1 (Vn ) = {x ∈ X | F (x) ⊂ Vn } đóng Mệnh đề 2.1 Nếu x ∈ X cho ∀ n ∈ N, x ∈ Kn =⇒ x ∈ Int(Kn ) F nửa liên tục x Thật vậy, cho tập hợp mở V ⊂ Y cho F (x) ⊂ V Với y ∈ F (x), cho Vny cho y ∈ Vny ⊂ V Vì F có ảnh compac, F (x) phủ số hữu hạn tập hợp Vnj := Vnyj , j = 1, , m Như 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Thanh Vân m F (x) ⊂ m Vnj := j=1 Vnj ⊂ V j=1 Họ Vn ổn định hợp hữu hạn, ta suy với n đó, x ∈ F m +1 = Kn ⊂ F +1 (V) Vnj j=1 Như vậy, x ∈ Int(F +1 (V)) ta chứng minh F nửa liên tục x Do tập hợp D điểm F không nửa liên tục chứa hợp đếm tập hợp ∂Kn := Kn \Int(Kn ) Các phần tập hợp rỗng chúng đóng Bằng lấy phần bù, ta suy phần bù D , tập hợp phần tử mà F liên tục, chứa phần dư − Nó dựa vào kiện không gian metric tách đầy đủ Y đồng phôi với tập Z0 không gian metric compac Z Kí hiệu ϕ phép đồng phôi từ Y vào Z0 , đặt G0 := ϕ ◦ F : X Z0 G(x) := G0 (x) bao đóng G0 (x) Z Vì F nửa liên tục dưới, nên G0 G nửa liên tục Do khẳng định trước, tồn phần dư R X cho G nửa liên tuc từ R tới Z Do đó, với ε > 0, tồn η cho, với x ∈ B(x, η), G0 (x ) ⊂ G(x ) ⊂ B(G(x), ε) = B(G0 (x), ε) 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Thanh Vân Mặt khác, G0 (x) = G(x) ∩ Z0 ảnh G0 (x) đóng Z0 với topo cảm sinh Do dó ∀ x ∈ R, Limsupx →x G0 (x ) = G0 (x) Vì ϕ phép đồng phôi, F có tính chất Chú ý − Dễ dàng xây dựng ánh xạ đa trị nửa liên tục F (giá trị đóng không compac) mà không nửa liên tục điểm nào: Lấy X = R, Y = R2 F (t) := {(x, y) | y = tx} 2.2.3 Ví dụ: Ánh xạ đa trị tham số hóa Xét ba không gian metric X, Y Z, ánh xạ đa trị U : X Z ánh xạ đơn trị f : Graph(U ) −→ Y Ta kết hợp với kiện ánh xạ đa trị F : X Y định nghĩa ∀ x ∈ X, F (x) := (f (x, u))u∈U (x) Mệnh đề 2.6 Giả sử f liên tục từ Graph(U ) tới Y − Nếu U nửa liên tục dưới, F − Nếu U nửa liên tục với giá trị compac, F 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Thanh Vân Chứng minh − Xét dãy xn ∈ Dom(F ) hội tụ tới x ∈ Dom(F ) lấy y := f (x, u) thuộc vào F (x), u ∈ U (x) Vì U nửa liên tục dưới, tồn dãy un ∈ U (xn ) hội tụ tới u Khi dãy yn = f (xn , un ), yn thuộc vào F (xn ), hội tụ tới y f liên tục Do đó, F nửa liên tục Ta cố định x ∈ Dom(U ), ε > xét lân cận B(F (x), ε) F (x) Vì lân cận f (x, u) u ∈ U (x), tính liên tục f dẫn đến tồn ηu > δu > cho ∀(x , υ) ∈ Graph(U ) ∩ (B(x, ηu ) × (B(u, δu )), f (x , υ) ∈ B(F (x), ε) Tập hợp U (x) compac, phủ p hình cầu B(ui , δui ) Vì U nửa liên tục trên, tồn η0 > cho p ∀ x ∈ B(x, η0 ), U (x ) ⊂ B(ui , δui ) i=1 Ta lấy η := min(η0 , mini=1, ,p ηui ) > Khi ta suy ∀ x ∈ B(x, η), F (x ) ⊂ B(F (x), ε) tức là, F nửa liên tục x 2.3 Tiêu chuẩn nửa liên tục Mệnh đề 2.7 Xét không gian metric X, hai không gian định chuẩn Y Z, hai ánh xạ đa trị G F từ X tới Y tương ứng tới Z, ánh xạ (đơn trị) f từ X × Z tới Y thỏa mãn giả thiết sau:    i) G F nửa liên tục với giá trị lồi   ii) f liên tục     ii) ∀ x ∈ X, u → f (x, u) afin 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Thanh Vân Ta thừa nhận điều kiện sau: ∀ x ∈ X, ∃ γ > 0, δ > 0, c > 0, r > cho ∀ x ∈ B(x, δ) Ta có γBY ⊂ f (x , F (x ) ∩ rBZ ) − G(x ) Khi ánh xạ đa trị R : X Z định nghĩa R(x) := {u ∈ F (x) | f (x, u) ∈ G(x)} (2.2) nửa liên tục với giá trị lồi khác rỗng Chúng minh dựa chứng minh Mệnh đề 1.6 Mệnh đề 2.8 Xét không gian metric X, hai không gian định chuẩn Y Z, hai ánh xạ đa trị G F từ X tới Y tương ứng tới Z ánh xạ (đơn trị) f từ X × Z tới Y cho i) F nửa liên tục với giá trị lồi; ii) f liên tục; iii) ∀ x ∈ X, u → f (x, u) affin; iv) ∀ x ∈ X, G(x) lồi phần không rỗng; v) đồ thị ánh xạ X x Int(G(x)) mở Ta thừa nhận điều kiện sau: ∀ x ∈ X, ∃ u ∈ F (x) cho f (x, u) ∈ Int(G(x)) 38 (2.3) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Thanh Vân Khi ánh xạ đa trị R định nghĩa (2.2) nửa liên tục với giá trị lồi Chứng minh − Ta đưa ánh xạ đa trị S := X Z định nghĩa S(x) = { u ∈ F (x) | f (x, u) ∈ Int(G(x))} ⊂ R(x) Giả thiết (2.3) suy S(x) không rỗng Ta khẳng định S nửa liên tục Thật vậy, xn −→ x u thuộc S(x) ⊂ F (x), có dãy phần tử un ∈ F (xn ) hội tụ tới u F nửa liên tục Vì (xn , f (xn , un )) hội tụ tới (x, f (x, u)) ∈ Graph(Int(G(·))) tính liên tục f đồ thị Int(G(·)) mở, phần tử f (xn , un ) thuộc vào Int(G(xn )) với n đủ lớn đó, phần tử un thuộc vào S(xn ) hội tụ tới u − Tính lồi F (x) G(x) suy S(x) = R Thật vậy, ta cố định u ∈ R(x) u0 ∈ S(x) Khi υθ := θu0 + (1 − θ)u thuộc vào S(x) θ ∈ [0, 1], G(x) lồi f (x, u0 ) thuộc vào phần G(x), cho với θ ∈ [0, 1], f (x, u) + θ(f (x, u0 )) − f (x, u)) = f (x, y + θy0 − θy) = f (x, υθ ) thuộc vào phần G(x) Khi u giới hạn υθ θ > hội tụ đến 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Thanh Vân − Định lý suy từ việc bao đóng ánh xạ đa trị nửa liên tục nửa liên tục Bây ta mở rộng tiêu chuẩn tính nửa liên tục cho giao vô hạn ánh xạ đa trị Định lý 2.2 Xét không gian metric X, không gian vectơ định chuẩn Y Z ánh xạ đa trị F : X × Y Z H : X Y Ta giả thiết   i) F nửa liên tục với giá trị lồi;  ii) H nửa liên tục với giá trị compac giả thiết tồn số dương γ, δ, c cho ánh xạ đơn trị e : Y → γB ta có ∀ x ∈ B(x, δ), cB ∩ (F (x , y) − e(y)) = ∅ (2.4) y∈H(x ) Khi ánh xạ đa trị G : X Z định nghĩa ∀ x ∈ X, G(x) := F (x, y) y∈H(x) nửa liên tục (với ảnh lồi khác rỗng.) Chú ý − Khi ánh xạ đa trị F bị chặn địa phương (nghĩa ánh xạ lân cận điểm thành tập hợp bị chặn), ta không cần số c ta thay (2.4) ∀ x ∈ B(x, δ), (F (x , y) − e(y)) = ∅ y∈H(x ) 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Thanh Vân Chứng minh − Ta chọn dãy phần tử xn ∈ Dom(F ) hội tụ tới x z ∈ G(x) Ta phải xấp xỉ z phần tử zn ∈ G(xn ) Ta giới thiệu số sau: en := sup d(z, F (xn , y))/2 (2.5) y∈H(xn ) Bây giờ, ta chọn với y ∈ H(xn ) phần tử un (y) ∈ F (xn , y) thỏa mãn z − un (y) ≤ 2d(z, F (xn , y)) ≤ en đặt θn := γ/(γ + en ) Do đó, θn (z − un (y)) ∈ θn en B = (1 − θn )γB tồn an (y) ∈ γB cho θn (z − un (y)) = (1 − θn )an (y) Do đó, giả thiết (2.4) suy tồn cho n đủ lớn phần tử wn ∈ cB phần tử υn (y) ∈ F (xn , y) cho an (y) = υn (y) − wn vói y ∈ H(xn ) Do ta viết θn (z − un (y)) = (1 − θn )(υn (y) − wn ) Để cho giá trị chung: zn := θn z + (1 − θn )wn = θn un (y) + (1 − θn )υn (y) 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Thanh Vân không phụ thuộc vào y, thuộc vào tất F (xn , y) (bởi tính lồi) hội tụ tới z z − zn = (1 − θn ) z − wn ≤ (1 − θn )( z + c) và, − θn = en /(γ + en ), hội tụ tới với en hội tụ tới nhờ bổ đề sau Bổ đề 2.1 Ta giả sử F nửa liên tục H nửa liên tục với ảnh compac Khi số en định nghĩa (2.5) hội tụ Chứng minh − Vì F nửa liên tục nên hàm (x, y, z) → d(z, F (x, y)) nửa liên tục Do đó, với ε > y ∈ H(x), tồn số nguyên Ny lân cận Vy y cho ∀ y ∈ Vy , ∀ n ≥ Ny , d(z, F (xn , y )) ≤ ε (2.6) d(z, F (x, y)) = Do tập compac H(x) phủ p lân cận Vyi Hơn nữa, H nửa liên tục trên, tồn số nguyên N0 cho, ∀ n ≥ N0 , H(xn ) ⊂ Vyi i=1, ,p Đặt N := maxi=0, ,p Nyi Khi đó, với n ≥ N y ∈ H(xn ), y thuộc vào Vyi đó, để cho, (2.6), d(z, F (xn , y)) ≤ ε/2 Vì vậy, ∀ n ≥ N, en := sup d(z, F (xn , y))/2 ≤ ε/2 y∈H(xn ) 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Thanh Vân tức là, bổ đề ta chứng minh Đối với ánh xạ đa trị với ảnh không lồi, ta suy từ Định lý 1.6 phiên liên tục nó: Định lý 2.3 Cho G : X Z ánh xạ đa trị nửa liên tục đóng từ không gian metric X tới không gian Banach Z f : X×Y → Z ánh xạ liên tục, Y không gian Banach khác Ta giả sử f khả vi y tồn c > η > cho   ∀ x ∈ B(x0 , η), y ∈ B(y0 , η), z ∈ B(f (x0 , y0 ), η) ∩ G(x);  B ⊂ cf (x, y)(B ) − T (z) Z y Y G(x) Khi ánh xạ đa trị R định nghĩa R(x) := {y ∈ Y | f (x, y) ∈ G(x)} nửa liên tục x0 43 (2.7) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Thanh Vân KẾT LUẬN Trong luận văn em nghiên cứu số vấn đề sau đây: định nghĩa ánh xạ đa trị, tính liên tục ánh xạ đa trị, tiêu chuẩn nửa liên tục Luận văn mang tính tổng quan em chứng minh số định lí, mệnh đề kết luận đưa ví dụ cụ thể để làm rõ tính chất, để hiểu rõ vấn đề luận văn đề cập Mong tài liệu bổ ích cho bạn quan tâm đến vắn đề Do thời gian có hạn, lần đầu nghiên cứu khoa học, khả vốn kiến thức thân hạn chế nên luận văn em tránh khỏi thiết sót Em hi vọng nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn 44 Tài liệu tham khảo [1] J.P.Aubin, H.Frankowska, Set-Valued Analysis, Springer Boston, 1990 [2] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2005 [3] Nguyễn Phụ Hy, Giáo trình giải tích hàm, Nhà xuất khoa học kỹ thuật Hà Nội, Hà Nội, 2005 45 ... 17 Ánh xạ đa trị tính liên tục 22 2.1 Ánh xạ đa trị 22 2.2 Tính liên tục ánh xạ đa trị 27 2.2.1 Định nghĩa 27 2.2.2 Tính liên tục tổng... nghiệp: "Ánh xạ đa trị tính liên tục" Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu giải tích đa trị đặc biệt ánh xạ đa trị tính liên tục ánh xạ đa trị Khóa... Chương Ánh xạ đa trị tính liên tục 2.1 Ánh xạ đa trị Các dãy tập hợp xem ánh xạ đa trị định nghĩa tập số nguyên N Một cách tự nhiên ta thay N không gian metric X (hoặc chí, topo), dãy tập hợp n trị