Bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ THỊ THANH HUYỀN BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ THỊ THANH HUYỀN BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội-2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS TS Nguyễn Năng Tâm Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Hà Nội, ngày 01 tháng 01 năm 2015 Học viên Vũ Thị Thanh Huyền ii LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Nguyễn Năng Tâm Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 01 tháng 01 năm 2015 Học viên Vũ Thị Thanh Huyền iii Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các không gian Lp 1.1.1 Không gian vectơ L1 [a, b] 1.1.2 Tích phân L1 [a, b] 1.1.3 Không gian Lp [a, b] 14 1.1.4 Không gian LN [a, b] 16 1.2 Không gian đối ngẫu, tôpô yếu tôpô yếu* 16 1.2.1 Không gian đối ngẫu 16 1.2.2 Tôpô yếu 17 1.2.3 Hội tụ yếu 18 1.2.4 Bổ đề Mazur 18 1.2.5 Tôpô yếu* 19 Chương Bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục 20 2.1 Phát biểu toán 20 2.2 Tập nghiệm 23 2.3 Định lý đối ngẫu 33 Kết luận iv 41 Tài liệu tham khảo v 41 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết toán quy hoạch tuyến tính liên tục (The theory of continuous-time linear programming problem) nhận quan tâm từ lâu Tyndall [16] nghiên cứu toán quy hoạch tuyến tính với ma trận có nguồn gốc từ “bài toán cổ chai” (the ‘bottleneck problem’) Bellman [7] đưa Levinson [9] khái quát kết Tyndall cách xét ma trận phụ thuộc thời gian hàm số hàm mục tiêu ràng buộc gỉa thiết liên tục đoạn Từ đến có nhiều tác giả nghiên cứu toán quy hoạch tuyến tính liên tục, ví dụ như: Meidan Perold [10], Papageorgiou [11], Anderson cộng [3]-[6], Fleischer Sethuraman [8], Pullan [12]-[13], Zalmai [18]-[19] Sau học kiến thức Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ ứng dụng chúng, chọn đề tài nghiên cứu: "Bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục" Cực đại hàm: T F (z) = a (t)z (t) dt với điều kiện t B (t) z (t) ≤ c (t) + K (t, s)z (s) ds, z (t) ≥ 0 Với t ∈ [0, T ], B (t) ma trận cấp M × N , c (t) vectơ M cột, a (t) vectơ N dòng, ∀s ≤ t, K (t, s) ma trận cấp M × N K (t, s) ma trận s > t Các thành phần B (·), K (·, ·), a (·) c (·) hàm đo bị chặn F hàm tuyến tính LN [0, T ], không gian toán gốc Cực tiểu hàm: T w (t)c (t) dt với điều kiện T w (t) B (t) ≥ a (t) + w (s) K (t, s)ds, w (t) ≥ t Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sâu toàn diện toán quy hoạch tuyến tính liên tục Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu toán quy hoạch tuyến tính liên tục dựa tài liệu có Phân tích toán sau nghiên cứu khía cạnh toán như: Điều kiện tồn nghiệm, đối ngẫu, tính ổn định Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục: Sự tồn nghiệm, đối ngẫu, hàm gía trị tối ưu Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp Giải tích hàm Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức giải tích hàm, tôpô, độ đo: Các không gian Lp , không gian đối ngẫu, tôpô yếu, tôpô yếu*, hội tụ yếu số định lý, bổ đề quan trọng giải tích Những kiến thức sử dụng để trình bày khái niệm tính chất quan trọng toán quy hoạch tuyến tính liên tục Các khái niệm ta tìm thấy [1] [2] 1.1 Các không gian Lp 1.1.1 Không gian vectơ L1 [a, b] Định nghĩa 1.1.1 (Hàm khả tích) Một hàm (đo được) f : [a, b] → R gọi khả tích b |f (x)|dx < ∞ (1.1) a Tập chứa tất hàm khả tích [a, b] ký hiệu L1 [a, b] : b L [a, b] := f : [a, b] → R : |f (x)|dx < ∞ a với điều kiện B (t) z (t) ≤ c (t) , z (t) ≥ Cực tiểu hàm T w (t) c (t) dt với điều kiện w (t) B (t) ≥ a (t) , w (t) ≥ (2.1) Định lý 2.2.4 Nếu c (t) ∈ pos [B (t) , I] a (t) ∈ pos B (t) , −I tồn nghiệm tối ưu (z, w) toán (i) với z (t) ∈ K [B (t) , c (t)], w (t) ∈ J [b (t) , a (t)] hầu khắp nơi Thuật toán: Bước 0: Cho z (t) = w0 (t) = với t Cho n = Bước 1: Tìm z w mà giải Cực đại hàm   T wn−1 (s) K (s, t) ds z (t) dt a (t) + t với điều kiện t K (t, s) z n−1 (s)ds, z (t) ≥ B (t) z (t) ≤ c (t) + Cực tiểu hàm   t K (t, s) z n−1 (s) ds dt w (t) c (t) + 30 với điều kiện T wn−1 (s) K (s, t)ds, w (t) ≥ w (t) B (t) ≥ a (t) + t Bước 2: Đặt z + (n − 1) z n−1 n wn = w + (n − 1) wn−1 n n = n + 1, quay lại bước zn = Định lý 2.2.5 Dưới điều kiện chặn (2:4) điều kiện đại số (I: II), thuật toán tạo chuỗi hàm bị chặn Chứng minh Nếu n = 1, ta giải toán (2.1) Các điều kiện I II bao hàm tính đối ngẫu, tồn nghiệm tối ưu Ta chứng minh rằng: z (t) ≤ ρ c eρKt , với t ∈ [0, T ] w1 (t) ≤ ρ a eρK(T −t) , với t ∈ [0, T ] Giả sử điều với n = 1, 2, , m Với z m wm không âm, với điều kiện I II:   t cm (t) = c (t) + K (t, s) z m (s) ds ∈ pos [B (t) , I] , với t   T am (t) = a (t) + wm (s) K (s, t) ds ∈ pos B (t) , −I , t 31 với t Điều kéo theo toán bước có nghiệm tối ưu z w thỏa mãn z (t) ∈ K [B (t) , cm (t)] , ∀t Với điều kiện tính bị chặn: z (t) ≤ ρ    t K z m (s) ds c +    Phép giả định quy nạp trình bày z m (s) ≤ ρ c eρKt , vậy:   t   ρKs z (t) ≤ ρ c + ρK e ds   z (t) ≤ ρ c + ρK ρKt e −1 ρK z (t) ≤ ρ c eρKs Vì z m+1 tổ hợp lồi z z m , phải có giới hạn Phép chứng minh cho tính đối ngẫu đồng Định lý tồn dãy (yếu) hội tụ nghiệm Ta phải chứng minh hàm giới hạn chấp nhận tối ưu Nếu dãy (không phải dãy con) hội tụ, rõ ràng điểm giới hạn (z, w) chấp nhận được, điểm cần chứng minh wn , Kz n−1 → w, Kz wn−1 K, z n → Kw, z 32 2.3 Định lý đối ngẫu Ký hiệu E k không gian Ơclit k chiều Chú ý tích ma trận vectơ không phân biệt vectơ dòng vectơ cột ký hiệu chuyển vị Một dấu chấm ký hiệu tích có hướng không gian Ơclit thông thường Vec tơ ma trận ký hiệu chữ Latinh, thành phần tích vô hướng ký hiệu chữ Hy Lạp Chúng ta sử dụng độ đo Lebesgue tích phân Cho trước hàm đo được, bị chặn a c ánh xạ đóng đoạn [0, T ] vào E N E M B(t), K(t, s) hàm ma trận cấp M × N xác định [0, T ] [0, T ] × [0, T ] tương ứng Ta giả sử B K liên tục hầu khắp nơi với hàm thành phần bị chặn miền xác định Bài toán I (gốc) Tìm hàm đo được, bị chặn z : [0, T ] → E N có T cực đại hàm z (t) a (t) dt, với điều kiện  t   B (t) z (t) ≤ c (t) + K (t, s) z (s) ds, t ∈ [0, T ]   z (t) ≥ 0, t ∈ [0, T ] Bài toán I’ (đối ngẫu) Tìm hàm đo bị chặn w : [0, T ] → T E M có cực tiểu hàm w (t) c (t) dt, với điều kiện    w (t) B (t) ≥ a (t) + T w (s) K (t, s) ds, t ∈ [0, T ] t   w (t) ≥ 0, t ∈ [0, T ] Hàm z w thỏa mãn điều kiện buộc gọi 33 chấp nhận Hàm z w chấp nhận mà hàm mục tiêu đạt cực trị gọi tối ưu Để chứng minh điều này, Levinson đưa giả thiết sau: (i) c (t) K (t, s) có thành phần không âm với (t, s) ∈ [0, T ]×[0, T ] (ii) Tồn số δ > cho với i = 1, , M, j = 1, , N, t ∈ [0, T ] βij (t) = βij (t) ≥ δ (iii) Với j = 1, , N , t ∈ [0, T ] tồn ij = ij (t) cho βijj (t) ≥ δ Chú ý (ii) B (t) ≥ với t ∈ [0, T ] Bổ đề 2.3.1 ([15], Lemma 1.2) Dưới điều kiện (i), (ii) (iii) tồn số ρ > với số tự nhiên n, tồn nghiệm tối ưu {z0n , , znn } {wn0 , , wnn } toán P n Dn tương ứng, cho n k, ≤ k ≤ n, thành phần zkn wkn bị chặn ρ Chứng minh Các định nghĩa đảm bảo tất thành phần ank cnk bị chặn giá trị tuyệt đối điều kiện (i), (ii), (iii) đặt P n Dn Bổ đề 2.3.2 ([15], Lemma 1.2) Căn vào kết luận bổ đề 2.3.1, tồn hàm đo được, bị chặn z w thỏa mãn điều kiện toán (I) (I ) tương ứng, với hầu hết t ∈ [0, T ] Hơn nữa, T T z (t) a (t) dt = w (t) c (t) dt Chứng minh Lấy ρ, {zkn } , {wnk } bổ đề Ta định nghĩa hàm liên kết, thành phần coi phần tử L∞ [0, T ] 34 Lấy z : [0, T ] → E N cho   z n , t ∈ tn , tn k k k+1 n z (t) = z n , t = tn n−1 với k = 0, , n − n Lấy z : [0, T ] → E N B n : [0, T ] → tập ma trận (M, N ) ma trận đồng dạng, lấy K n : [0, T ] × [0, T ] → tập ma trận (M, N ) n định nghĩa K n (t, s) = Kk,n t ∈ tnk , tnk+1 s ∈ [tnm , tnm+1 ) với k = 0, , n − m = 0, , n − (Nếu t s tnn quy ước tương tự dành cho z n ) Dãy {z nk } {z n } {wnk } {wn } hàm đo được, bị chặn z w với z nk → z wnk → w k → ∞, hội tụ phần tôpô yếu* L∞ [0, T ] Để tránh số đôi, ta nói z n → z wn → w (yếu*) n → ∞ Điều có nghĩa với t1 , t2 , < t1 < t2 < T f ∈ L1 [0, T ], thành phần ξjn z n t2 t2 f ξjn → t1 f ξj , t1 n → ∞ kết tương tự cho thành phần wn Ta thiết lập T T z (t) a (t) dt = w (t) c (t) dt Do điều xảy với hàm z w chấp nhận hầu khắp nơi toán tương ứng Chỉ có phần chứng minh z chấp nhận hầu khắp nơi đưa Chứng minh tương tự cho w Từ định nghĩa z (t) = tập độ đo Chúng ta giả sử z (t) ≥ với 35 t ∈ [0, T ] Chỉ với t1 , t2 , ≤ t1 ≤ t2 ≤ T ,  t t t t 2 B (t) z (t) dt ≤ t1 c (t) dt + t1 K (t, s) z (s) dsdt  t1  (2.2) Bây giờ, xét n cố định giá trị tùy ý lấy t ∈ [0, T ], tồn t ∈ tnk , tnk+1 Theo định nghĩa, B n (t) = Bkn , cn (t) = cnk , z n (t) = zkn tnk k−1 n n n n Kk,v zv K (t, s) z (s) ds = ∆n v=0 Từ mối quan hệ này, chấp nhận {zkn } với P n tnk B (t) z n (t) ≤ cn (t) + K n (t, s) z n (s) ds, với t ∈ [tnk , tnk+1 ) (2.3) Theo phương pháp Grinold ta định nghĩa: hn (t) = B n (t) z n (t) − B (t) z n (t) với t ∈ [0, T ]  tnk t    K (t, s) z n (s) ds − K n (t, s) z n (s) ds, t ∈ tn , tn k k+1 n g (t) = 0    0, t = tnn Grinold định nghĩa hn g n bị chặn chuẩn với n = 1, 2, , t ∈ [0, T ], hn (t) → g n (t) → với hầu khắp nơi t ∈ [0, T ] n → ∞ Bây giờ, từ (2.3) định nghĩa hn g n , t B (t) z n (t) + hn (t) ≤ cn (t) + K (t, s) z n (s) ds − g n (t) , t ∈ [0, T ] (2.4) 36 Lấy ≤ t1 < t2 ≤ T Tích phân (2.4) từ t1 đến t2 Ta phương trình (2.2) thỏa mãn Đầu tiên t2 t2 cn (t) dt → c (t) dt n → ∞ t1 t1 Thứ hai, từ hội tụ yếu* z n → z, t2 t2 B (t) z n (t) dt → B (t) z (t) dt t1 t1 t2  K (t, s) z n (s) dsdt →  t1 t2  t  K (t, s) z (s) dsdt, n → ∞  t1  t Thứ ba, từ kết Grinold tính chất hn g n , định lý hội tụ trội Lebesgue t2 t2 hn (t) dt → 0và t1 g n (t) dt → 0, n → ∞ t1 Cuối từ đẳng thức bảo toàn giới hạn, phương trình (2.2) thấy z chấp nhận hầu khắp nơi toán I Bổ đề 2.3.3 Hàm z w cho thỏa mãn kết luận Bổ đề 2.3.2, tồn hàm z w chấp nhận đoạn [0, T ] toán I I’, với T T z (t) a (t) dt ≥ 0 z (t) a (t) dt T T w (t) c (t) dt ≤ w (t) c (t) dt 37 Kết Bổ đề 2.3.1, Bổ đề 2.3.2, Bổ đề 2.3.3 ta sử dụng để chứng minh Định lý 2.3.1 Định lý 2.3.1 Dưới điều kiện (i), (ii) (iii), tồn nghiệm tối ưu z w toán (I) (I’) Hơn nữa, hai hàm chấp nhận z w tối ưu nếu: T T z (t) a (t) dt = w (t) c (t) dt Chứng minh Phần chứng minh sử dụng chuỗi xấp xỉ rời rạc toán T lấy tnk = k∆n với k = 0, , n n Với số tự nhiên n lấy ∆n = Định nghĩa ank ∈ E N tnk +1 ank = ∆n a (t) dt tnk với k = 0, , n − 1, lấy ann = ann−1 Lấy cnk ∈ E M cho tnk cnk = ∆n c (t) dt tnk−1 với k = 1, , n, lấy cn0 = cn1 Với số nguyên k m, ≤ k ≤ n ≤ m ≤ n, ta định nghĩa ma n n trận Kk,m cấp M × N : Kk,m = K (tnk , tnm ) Bkn = B (tnk ) Điều quan trọng cần ý với tất số phù hợp n, k n m, Kk,m Bkn tương ứng thuộc phạm vi hàm K B Điều đảm bảo điều kiện (i), (ii), (iii) đặt toán quy hoạch 38 tuyến tính rời rạc sau: n Bài toán P Tìm vectơ z0n , , znn ∈E N n để hàm cực đại zkn ank , k=0 thỏa mãn: k−1 Bkn zkn ≤ cnk n Kk,v zvn , k = 0, , n, + ∆n v=0 zkn ≥ 0, k = 0, , n Bài toán Dn Tìm vectơ wn0 , , wnn ∈ E M để hàm cực tiểu n wnk cnk , k=0 thỏa mãn: n wnk Bkn ≥ ank n wnv Kv,k , k = 0, , n + ∆n v=k+1 wnk ≥ 0, k = 0, , n n k−1 (Ta hiểu tổng rỗng v=0 không), v=k+1 Bây giờ, ta xét hàm lõm giá trị thực ϕ có đạo hàm cấp liên tục tập tất N vectơ z(t), z chấp nhận toán (I) Giả sử gradient ϕ ∇ϕ Đối ngẫu toán lồi xét là: Bài toán II (gốc) Tìm hàm đo được, bị chặn z : [0, T ] → E N T ϕ (z (t)) dt đạt cực đại, với điều kiện cho    B (t) z (t) ≤ c (t) + t K (t, s) ds, t ∈ [0, T ]   z (t) ≥ 0, t ∈ [0, T ] Bài toán II’ (đối ngẫu) Tìm hàm đo bị chặn w : [0, T ] → 39 E M u : [0, T ] → E N cho hàm T [ϕ (u (t)) − u (t) ∇ϕ (u (t)) + w (t) c (t)]dt, đạt cực tiểu với điều kiện    w (t) B (t) ≥ ∇ϕ (u (t)) + T w (s) K (s, t) ds, t ∈ [0, T ] t   w (t) ≥ 0, t ∈ [0, T ] Định lý 2.3.2 (Định lý Hanson and Mond) ([15], Theorem 2.2) Dưới điều kiện (i), (ii) (iii) tồn nghiệm tối ưu z toán (II) nghiệm tối ưu (u, w) toán (II ) cho u = z giá trị cực trị hàm mục tiêu hai toán Ta thấy định lý 2.3.2 từ định lý 2.3.1 ϕ (z (t)) ≡ z (t) a (t) Dựa vào định lý 2.3.1 ta dễ dàng chứng minh định lý 2.3.2 40 Kết luận Nội dung luận văn nghiên cứu Bài toán quy hoạch tuyến tính liên lục Các kết trình bày luận văn bao gồm: Bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục Tập nghiệm toán quy hoạch tuyến tính liên tục Đối ngẫu toán quy hoạch tuyến tính liên tục Mặc dù tác giả cố gắng, song kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn 41 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2002), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục [2] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Tô pô đại cương, độ đo tích phân, Nhà xuất Giáo dục [B] Tài liệu tiếng Anh [3] E J Anderson and P Nash (1987), Linear programming in infinitedimensional spaces, John Wiley and Sons, Chichester, England [4] E J Anderson, P Nash, and A.F Perold (1983), Some properties of a class of continuous linear programs, SIAM J Contr Optim 21, pp 758–765 [5] E J Anderson and A.B Philpott (1994), On the solutions of a class of continuous linear programs, SIAM J Contr Optim 32, pp 1289–1296 [6] E J Anderson and M.C Pullan (1996), Purification for separated continuous linear programs, Math Methods Oper Res 43, pp 9–33 42 [7] R E Bellman (1957), Dynamic Programming, Princeton University Press, Princeton [8] L Fleischer and J Sethuraman (2005), Efficient algorithms for separated continuous linear programs: the multicommodity flow problem with holding costs and extensions, Math Oper Res 30, pp 916–938 [9] N Levinson (1996), A class of continuous linear programming problems, J Math Anal Appl 16, pp 73–83 [10] R Meidan and A.F Perold (1983), Optimality conditions and strong duality in abstract and continuous-time linear programming, J Optim Theory Appl 40, pp 61–77 [11] N.S Papageorgiou (1982), A class of infinite dimensional linear programming problems, J Math Anal Appl 87, pp 228–245 [12] M.C Pullan (1993), An algorithm for a class of continuous linear programs, SIAM J Contr Optim 3, pp 1558–1577 [13] M.C Pullan (2000), Convergence of a general class of algorithms for separated continuous linear programs, SIAM J Optim 10, pp 722–731 [14] R.C Grinold (1969), Continuons Programming Part One: Linear Objectives, Journal of mathematical analysis and applications 28, 32-51 43 [15] W.F Tyndall, F William (1970) On two duality theorems for continuons programming problems, Journal of mathematical analysis and applications 31, 6-14 [16] W.F Tyndall (1965), A duality theorem for a class of continuous linear programming problems, SIAM J Appl Math 15, pp 644–666 [17] W.F Tyndall (1967), An extended duality theorem for continuous linear programming problems, SIAM J Appl Math 15, pp 1294–1298 [18] G.J Zalmai (1985), Optimality conditions and Lagrangian duality in continuous-time nonlinear programming, J Math Anal Appl 109, pp 426–452 [19] G.J Zalmai (1985), Sufficient optimality conditions in continuoustime nonlinear programming, J Math Anal Appl 111, pp 130–147 44 [...]... phiếm hàm x ∈ E ≡ ϕ(E) ⊂ E ∗∗ liên tục được gọi là tôpô yếu* trên E ∗ 19 Chương 2 Bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục Trong chương này, tôi trình bày một số kiến thức về bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục như: Tập nghiệm, bài toán đối ngẫu, Kết quả của chương này chủ yếu dựa trên hai bài báo [14], [15] 2.1 Phát biểu bài toán Cho bài toán "quy hoạch tuyến tính liên tục" có dạng: (1) Cực đại hàm... cứu bài toán tuyến tính là tập nghiệm của nó là tổng trực tiếp của tập compact và nón Kết quả có 23 thể mở rộng cho các tập nghiệm P (c) và D (a) của bài toán quy hoạch tuyến tính liên tục Điều này đòi hỏi hai giả thiết: điều kiện bị chặn của B (·) và quan trọng hơn là điều kiện đại số trên dữ liệu của bài toán Lấy kết quả mà Tyndall đã chứng minh rằng tính khả vi hầu khắp nơi tương đương với tính. .. thức sau: T t w(t) 0 T T K(t, s)z(s)dsdt = 0 w(s)K(s, t)ds.z(t)dt 0 t được thiết lập từ định lý Fubini Bài toán tuyến tính liên tục được viết tắt dưới dạng: Bài toán P (c) max a, z   Az ≤ c với điều kiện  z≥0 22 Bài toán D(a) min w, c   Aw ≤ a với điều kiện  w≥0 Tập nghiệm của bài toán P (c) và D(a) được định nghĩa tương ứng là: P (c) = z : z ∈ LN 1 [0, T ], z ≥ 0, Az ≤ c , D(a) = w : w ∈ LM 1 [0,... và chỉ nếu hầu hết với mọi t: z (t) và w (t) là nghiệm của bài toán (i) Cực đại hàm   T a (t) + w (s) K (s, t) ds x t với điều kiện T B (t) x ≤ c (t) + K (t, s) z (s)ds; x ≥ 0 0 (ii) Cực tiểu hàm   t K (t, s) z (s) ds π c (t) + 0 với điều kiện T πB (t) ≥ a (t) + w (s) K (s, t)ds; π ≥ 0 t Xét một phương trình quy hoạch tuyến tính liên tục đơn giản Cực đại hàm T a (t) z (t) dt 0 29 với điều kiện... xạ chính tắc ϕ : E → E ∗ là tuyến tính và thỏa mãn ϕ(x) = x với mọi x ∈ E Do đó ϕ là phép nhúng đẳng cự E vào E ∗∗ Định nghĩa 1.2.2 Không gian E được gọi là phản xạ nếu phép nhúng chính tắc nói trên là toàn ánh nghĩa là đẳng cấu 1.2.2 Tôpô yếu Định nghĩa 1.2.3 Tôpô yếu nhất trên E để các ánh xạ f ∈ E ∗ liên tục được gọi là tôpô yếu trên E Lấy điểm x ∈ E Để ánh xạ f liên tục tại x cần và đủ là các tập... của toán tử sau đây được sử dụng: T (i) w, c = w(t)c(t)dt 0 T (ii) a, z = a(t)z(t)dt 0 t (iii) Az(t) = B(t)z(t) − K(t, s)z(s)ds 0 T (iv) A w(t) = w(t)B(t) − w(s)K(t, s)ds t Mệnh đề 2.1.1 ([14]) w, Az = A w, z Chứng minh Rõ ràng w (t) B (t) z (t) = w (t) B (t) z (t) với mọi t và ta có công thức sau: T t w(t) 0 T T K(t, s)z(s)dsdt = 0 w(s)K(s, t)ds.z(t)dt 0 t được thiết lập từ định lý Fubini Bài toán tuyến. .. thế, quan trọng là tất cả các hàm trong Lp [a, b] có thể xấp xỉ tùy ý bằng các hàm liên tục có giá compact Định lý 1.1.8 Với mỗi p ∈ [1, ∞], không gian vectơ Cc [a, b] là không gian con trù mật của Lp [a, b] Kết luận của Định lý 1.1.8 nghĩa là nếu g ∈ Lp [a, b] với mỗi p ∈ [1, ∞], tồn tại một dãy {gk }∞ k=1 các hàm liên tục với giá compact mà 1/p b p ||g − gk | |p = |g(x) − gk (x)| dx → 0 khi k → ∞ (1.16)... này ta thấy rằng nếu xn → x thì xn x Điều ngược lại chỉ đúng trong trường hợp E hữu hạn chiều Nhờ phép nhúng ϕ : E → E ∗∗ , mỗi x ∈ X được đồng nhất với một phần tử của E ∗∗ , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E ∗ 1.2.4 Bổ đề Mazur Bổ đề 1.2.2 Giả sử X là không gian định chuẩn và (xn ) là một dãy trong X hội tụ yếu đến x Lúc đó tồn tại một dãy yn hội tụ mạnh đến x sao cho yn ∈ co {xk : k ∈... E ∗ = L(E, R) là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của E và gọi (E ∗ )∗ = E ∗∗ = L(E ∗ , R) là không gian liên hợp thứ hai của E Bây giờ xét ánh xạ ϕ : E → E ∗∗ xác định bởi ϕ(x)(f ) = f (x) với mọi x ∈ E, f ∈ E ∗ Giả sử x, y ∈ E, α, β ∈ R ta có ϕ(αx + βy)(f ) = f (α + βy) = αf (x) + βf (y) = (αϕ(x))(f ) + (βϕ(y))(f ) với mọi f ∈ E ∗ , vậy ϕ là ánh xạ tuyến tính Mặt khác |ϕ(x)(f )| = |f... với điều kiện w (t) B (t) ≥ a (t) , w (t) ≥ 0 (2.1) Định lý 2.2.4 Nếu c (t) ∈ pos [B (t) , I] và a (t) ∈ pos B (t) , −I thì tồn tại nghiệm tối ưu (z, w) của bài toán (i) với z (t) ∈ K [B (t) , c (t)], w (t) ∈ J [b (t) , a (t)] hầu khắp nơi Thuật toán: Bước 0: Cho z 0 (t) = w0 (t) = 0 với mọi t Cho n = 1 Bước 1: Tìm z và w mà giải Cực đại hàm   T wn−1 (s) K (s, t) ds z (t) dt a (t) + t với điều kiện