Đánh giá quy hoạch tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ BÀI TIỂU LUẬN MÔN HỌC KHOA HỌC DỊCH VỤ Đánh giá quy hoạch tuyến tính MỤC LỤC PHẦN Danh mục bảng biểu Danh mục hình vẽ Bảng phân cơng cơng việc Bảng thuật ngữ giải thích PHẦN Đánh giá quy hoạch tuyến tính 2.1 Giới thiệu chung 2.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 2.3 Xây dựng tốn đối ngẫu cho vấn đề quy hoạch tuyến tính 2.4 Quan hệ tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 2.5 Giải tốn quy hoạch tuyến tính excel 2.6 Bài toán vận tải BÀI TẬP TÀI LIỆU THAM KHẢO 2 3 10 12 18 23 42 44 Danh mục bảng biểu Bảng 2.1: Quy ước AMPL sử dụng sách Danh mục hình vẽ Hình 2.1: Phương pháp đơn hình tốn quy hoạch tuyến tính Hình 2.2: Phương pháp đơn hình để giải tốn số với ràng buộc 2.48-2.52 Hình 2.3: Ví dụ quy hoạch tuyến tính Excel Hình 2.4: Cài đặt Excel Solver cho tốn quy hoạch tuyến tính đơn giản Hình 2.5: Menu kết Excel Solver Hình 2.6: Đáp án cho tốn quy hoạch tuyến tính đơn giản cách sử dụng Excel Solver Hình 2.7: Kết ban đầu từ phương pháp góc tây bắc Hình 2.8: Kết cho thấy biến đối ngẫu Hinh 2.9: Kết bước Hình 2.10: Đường kết Hình 2.11: Kết sau tăng lưu lượng từ cung đến cầu Hình 2.12: Kết sau tăng lưu lượng từ nút cung đến nút cầu Hình 2.13: Kết tối ưu cho tốn vận tải Hình 2.14: Kết sau tăng nhu cầu nút giảm nhu cầu nút đơn vị Hình 2.15: Kết sau tăng nhu cầu nút tăng cung nút đơn vị Hình 2.16: Bài tốn vận tải Excel Hình 2.17: Bài tốn vận tải đơn giản APML - tệp Ch2Transportation.mod Hình 2.18: Dữ liệu toán vận tải APML - tệp Ch2Transportation.mod Hình 2.19: Cách khác biểu thị liệu cho tốn vận tải AMPL- tệp h2Transportation.mod Hình 2.20: Các câu lệnh APML để thực toán vận tải đơn giản Bảng thuật ngữ giải thích Từ viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt Giải thích AMPL A Ngơn ngữ Mathematical lập trình Programming Tốn học Language ngơn ngữ mơ hình đại số để mơ tả giải tốn có độ phức tạp cao cho tính tốn tốn học quy mơ lớn CPLEX IBM ILOG CPLEX Optimization Studio Phần mềm CPLEX IBM Phần mềm chun xử lý tốn tối ưu hóa, phát triển IBM LP Linear Quy hoạch programming tuyến tính Bài tốn tối ưu hóa hàm mục tiêu ràng buộc hàm tuyến tính CHƯƠNG Đánh giá quy hoạch tuyến tính 2.1 Giới thiệu chung Tất vấn đề đề cập phần 1.3 xác định tốn quy hoạch tuyến tính - quy hoạch ngun Điều với hầu hết vấn đề mà xây dựng thảo luận sau chương Như vậy, cách để giải vấn đề yêu cầu số nguyên biến định, giải tuyến tính kết vấn đề quy hoạch tuyến tính (LP), sau sử dụng chiến lược nhánh ràng buộc để buộc tính tích phân biến phải số nguyên.Nhánh ràng buộc thảo luận Phần 2.9 lần Chương Trong thường làm tốt thế,lý thuyết quy hoạch tuyến tính cung cấp tảng quan trọng cho phần lớn dự định làm Do đó, chương xem xét lý thuyết quy hoạch tuyến tính Cụ thể, chúng tơi tập trung vào mối quan hệ vấn đề gốc đối ngẫu điều kiện độ chùng bổ sung Chúng xem xét hai vấn đề lập trình tuyến tính đặc biệt phát sinh thường xuyên địa điểm phân tích: vấn đề đường ngắn vấn đề vận chuyển Thông tin chi tiết tất chủ đề tìm thấy văn nghiên cứu hoạt động giới thiệu liệt kê tài liệu tham khảo (Ecker Kuplikechmid, 1988; Hillier Lieberman, 2010; Wagner, 1969) Quy hoạch tuyến tính quy hoạch nguyên họ hàng gần hai số nhiều hình thức mơ hình tối ưu hóa Chúng ta gặp vài dạng khác, bao gồm công thức quy hoạch nguyên phi tuyến, Chương Tất vấn đề tối ưu hóa u cầu chúng tơi xem xét năm câu hỏi sau đây: a Chúng ta biết gì? Các đầu vào cho mơ hình tối ưu hóa số lượng mà biết Ví dụ, có khả biết vị trí nút nhu cầu số lượng nhu cầu tồn nút Ngoài ra,chúng tơi biết vị trí trang web ứng cử viên chi phí để xây dựng sở trang web ứng cử viên Các đầu vào mà biết trước bắt đầu tối ưu hóa q trình mơ hình hóa số lượng khơng thay đổi q trình thực mơ hình mà phát triển b Chúng ta cần định điều gì? Câu hỏi mà cần phải xác định cần phải định? Trong phân tích đơn giản mơ hình Phần 1.5.2, chúng tơi cần định có sở để xác định vị trí Tổng quát hơn, cần phải định vị trí sở và, có lẽ, làm để phân bổ nút nhu cầu cho sở Các biến định là: biến Giá trị chúng xác định trình tối ưu hóa c Chúng ta muốn đạt gì? Trong vấn đề tối ưu hóa, cố gắng tìm giải pháp tốt Chúng ta đánh giá tốt thông qua chức mục tiêu (hoặc ràng buộc) Ví dụ: mơ hình đơn giản Mục 1.5.2, muốn tìm thứ tốt cân chi phí sở chi phí vận chuyển phát sinh dịch vụ Biến định số lượng sở để xác định vị trí Chi phí sở tăng tuyến tính với số lượng sở nằm chi phí vận chuyển tỉ lệ nghịch với bậc hai số lượng sở nằm Tổng quát muốn tìm vị trí giảm thiểu tổng số tất nút nhu cầu khoảng cách trọng số nút nhu cầu sở chọn gần cách sử dụng số lượng sở định Ngồi ra, muốn tìm tập hợp trang web thu nhỏ khoảng cách tối đa nút nhu cầu trang web gần d Điều ngăn cản đạt mục tiêu? Trong hầu hết vấn đề tối ưu hóa quan tâm khơng đơn giản mơ hình phân tích Phần 1.5.2 Có hạn chế giới hạn giá trị mà biến định đảm nhận đó, đó, ức chế khả để đạt mục tiêu mà đặt ngồi Ví dụ: việc giảm thiểu khoảng cách tối đa nút nhu cầu sở gần nhất, có khả có ràng buộc quy định có sở định vị Các ràng buộc khác mơ hình quan trọng khơng chúng rõ ràng lần xem xét mơ hình Trong trường hợp này, cần ràng buộc nói nút nhu cầu phải gán cho sở chuyển nhượng thực để mở lựa chọn nút sở e Cuối cùng, cố gắng học thêm gì? Nói chung, vấn đề thực tế, không quan tâm đến việc giải mơ hình lần Thay vào đó, chúng tơi giải vấn đề nhiều lần với đầu vào tham số khác để xác định mức độ nhạy cảm giải pháp thay đổi đầu vào Ví dụ, mục tiêu để tối đa hóa số lượng nhu cầu bảo hiểm khoảng cách định số sở cố định Bởi thay đổi khoảng cách bảo hiểm cách thay đổi số lượng Các sở đặt, xác định mức độ nhạy cảm vị trí sở để thay đổi đầu vào quan trọng Nó thường trường hợp tối ưu tìm sở số địa điểm định khu vực định cho dù đầu vào thay đổi Điều cho niềm tin vào định định vị nút Mặc dù có nhiều tài liệu tối ưu hóa nói chung vấn đề vị trí sở nói riêng, bước quan trọng tập mơ hình hóa tối ưu hóa trả lời năm câu hỏi nêu thông suốt Trong thực tế, cấu trúc vấn đề tối ưu hóa Excel ngơn ngữ tối ưu hóa (như AMPL), điều quan trọng có câu trả lời rõ ràng cho bốn câu hỏi Trong việc xây dựng vấn đề tối ưu hóa cách sử dụng ký hiệu cấu trúc mơ hình Excel ngơn ngữ tối ưu hóa, mong muốn (và thường cần thiết) câu trả lời cho câu hỏi quy định ngầm Trong mơ hình tối ưu hóa dựa Excel sử dụng làm ví dụ tài liệu này, phân định rõ ràng phần bảng tính cho đầu vào, biến định, (các) mục tiêu ràng buộc 2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tắc Trong việc hình thành dạng vấn đề lập trình tuyến tính, sử dụng kí hiệu sau: Đặt tên biến số I, J ( Các giá trị dùng để định nghĩa giá trị đầu vào giá trị định cho tốn Biến I dùng mục đích đây, coi tập hợp tiến trình phải thực J tập hợp tài nguyên u cầu tham gia tiến trình đó.) Đầu vào cj, aij, bi ( Những số đưa phần mơ tả tốn Ví dụ, cj giá trị đơn vị tài nguyên j ∈ J, bi yêu cầu tiến trình hoạt động tối thiểu cho tiến trình i ∈ I aij tổng tài nguyên j ∈ J, điều cần thiết để tạo đơn vị tiến trình i ∈ I.) Giá trị định Xj ( biến số lượng giá trị cần thử để tìm, theo ví dụ trên, Xj số lượng tài nguyên j ∈ J cần cho toán.) Giá trị dư Si ( Các biến số sử dụng để chuyển đổi ràng buộc bất phương trình thành phương trình khác, số dạng đề cập sau Trong ví dụ trên, Si đại diện cho mức độ hoạt động dư thừa i ∈ I) Với biến đặt trên, ta định nghĩa tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc sau: Hàm (2.1) gọi hàm mục tiêu, cực đại cực tiểu Hàm (2.2) đảm bảo mức tham gia vào tiến trình cấp độ yêu cầu cần thiết cao hàm (2.3) đảm bảo ta sử dụng phi tiêu chuẩn Đôi cần đề cập tốn đạng tắc Dạng chuẩn tốn quy hoạch tuyến tính lấy từ dạng tắc cách đưa giá trị dư Si vào đẳng thức Giá trị dư tạo điều kiện thuận lợi cho đề cập điều kiện bổ sung Dạng chuẩn: Trước đề cập thuộc tính tốn lập trình tuyến tính, hữu ích tốn lập trình tuyến tính (lttt) biểu diễn dang tắc ( tốn khai triển hàm tối thiểu cho lớn phương trình giá trị định khơng âm) Nếu làm được, cần phát triển lý thuyết riêng biệt lttt cho trường hợp khác ( lý thuyết cho toán tối đa, lý thuyết cho bào toàn tối thiểu) May mắn thay, chúng tơi biến đổi tốn thành dạng (chính tắc) Vì vậy, chúng tơi cần lý thuyết Nhiều tốn tối ưu hóa coi tốn tối đa cách tự nhiên Một toán tối đa hóa chuyển thành tốn tối thiểu cách nhân hàm mục tiêu với -1 giảm thiểu hàm kết Trong nhiều trường hợp, phương trình biểu diễn nhỏ với phương trình khác Một phương trình biến đổi thành phương trình tắc ( lớn phương trình đó) cách nhân hàm mục tiêu với -1 thay đổi ý nghĩa bất đẳng thức trình cách nhân -1 Trong vài trường hợp phương trình biểu diễn thành nhiều phương trình khác Một phương trình chuyển thành dạng tắc cách thay phường trình phương trình khác Một lớn nhỏ phương trình ban đầu Phương trình tương đương với Và Phương trình (2.10) giống với phương trình (2.2) dạng tắc phương trình (2.9) 10 Hình 2.8: Kết cho thấy biến đối ngẫu Bây tính giá trị biến slack ràng buộc đối ngẫu (2.62) Những giá trị thể hình 2.9 khoanh trịn Hình 2.9: Kết bước 31 Các giá trị cần không âm giải pháp tối ưu Các giá trị âm cho biết tính khơng khả thi đối ngẫu cho biết ô tăng lưu lượng làm giảm tổng chi phí Hình 2.10: Đường kết Khi tính toán biến slack ràng buộc (2.62), xác định tăng lưu lượng làm giảm tổng chi phí Bất kỳ có giá trị âm sử dụng Trong Hình 2.10, chọn (3, 2) — có giá trị âm Sử dụng ô giảm hàm mục tiêu tốc độ nhanh nhất, khơng giảm hàm mục tiêu nhiều sử dụng số khác làm giảm chức hàm mục tiêu Người đọc khuyến khích để xem xét lý điều Đã xác định ô ô mà muốn tăng lưu lượng, phải xác định số lượng mà luồng thay đổi Chúng ta phải ln ln đáp ứng tính khả thi ngun thủy (các ràng buộc cung cầu) Vì vậy, chúng tơi tìm thấy đường tăng thêm luồng Lưu ý thay đổi rịng chi phí xung quanh đường tăng luồng 13, xác giá trị tính ô (3, 2) Hình 2.10 Đây trùng hợp ngẫu nhiên Giá trị khoanh tròn cho biết lượng chi phí thay đổi thêm đơn vị lưu lượng vào ô tương ứng thay đổi tất giá trị khác cách thích hợp để đáp ứng điều kiện cung cầu Để thấy điều này, tổng hợp chi phí xung quanh chu kỳ, bắt đầu ô (3, 2): 32 Cũng lưu ý ba dịng giảm [ơ (3, 4), (2, 3) (1, 2)], (1, 2) có lưu lượng nhỏ Vì vậy, thay đổi luồng xung quanh đường 50 đơn vị Sau làm vậy, luồng ô (1, 2) biến lưu lượng không biến Giải pháp sau thay đổi thể Hình 2.11 Hình 2.11: Kết sau tăng lưu lượng từ cung đến cầu Lưu ý chức mục tiêu giảm 650 đơn vị [bằng 13 ô (3, 2) từ thời báo trước 50 lần tăng lưu lượng cho phép] Ngồi ra, lưu ý dịng chảy từ đến giảm xuống cịn 0; đó, luồng khơng cịn Cuối cùng, lưu ý giải pháp giải pháp khả thi Tiếp theo tăng lưu lượng từ nguồn cung lên cầu Người đọc khuyến khích xác định đường dẫn tăng 33 luồng sử dụng để thực thay đổi luồng Kết gia tăng lưu lượng thể Hình 2.12 Hình 2.12: Kết sau tăng lưu lượng từ nút cung đến nút cầu Sau vài lần lặp bổ sung, có giải pháp cho vấn đề hiển thị Hình 2.13 Các chi tiết bước để lại tập cho người đọc Hình 2.13: Kết tối ưu cho tốn vận tải 34 Chúng ta sử dụng giải pháp tối ưu (và biến đối ngẫu từ toán đối ngẫu tối ưu) để tiến hành phân tích độ nhạy Ví dụ, tăng nhu cầu số nút m đơn vị giảm nhu cầu số nút khác n đơn vị, thay đổi hàm mục tiêu Wm - Wn Để thấy điều này, giả sử tăng nhu cầu nút nhu cầu giảm nhu cầu nút đơn vị Các biến đối ngẫu cho thấy tổng chi phí giảm đơn vị (2-3=-2) Giải pháp tối ưu đưa Hình 2.14 (và tổng chi phí mới, thực tế, 1798 hai đơn vị nhỏ chi phí giải pháp tối ưu thể Hình 2.13) Hình 2.14: Kết sau tăng nhu cầu nút giảm nhu cầu nút đơn vị Tương tự, chúng tơi tăng nguồn cung cấp số nút p đơn vị đồng thời giảm cung cấp số nút q khác đơn vị Giá trị hàm mục tiêu thay đổi theo Vq - Vp (Lưu ý rằng, trường hợp này, biến đối ngẫu với số nút cung cấp mà nguồn cung tăng có dấu âm.) Cuối cùng, đồng thời tăng nguồn cung số nút p nhu cầu số nút m đơn vị mỗi, hàm mục tiêu thay đổi theo đơn vị chi phí Wm - Vp Ví dụ, tăng nhu cầu nút nhu cầu tăng nguồn cung cấp nút cung cấp đơn vị , chi phí tăng đơn vị [6-(-1) = 7] Giải pháp, sau thực thay đổi cho giải pháp Hình 2.13, thể Hình 2.15 35 Hình 2.15: Kết sau tăng nhu cầu nút tăng cung nút đơn vị Lưu ý biến đối ngẫu cung cấp tốc độ thay đổi hàm mục tiêu cho thay đổi nhỏ luồng Đối với thay đổi lớn, sở có khả thay đổi biến đối ngẫu khơng cịn sử dụng để dự đốn thay đổi chi phí Người đọc nhắc đến báo Rubin Wagner (1990) cho thảo luận số cạm bẫy khác liên quan đến việc giải thích biến đối ngẫu bối cảnh tốn vận tải Trước đóng phần này, chúng tơi trình bày ngắn gọn tốn vận tải Excel Hình 2.16 cho thấy thiết lập vấn đề Các ô C7: F9 cho chi phí đơn vị gọi chung Chi phí.Các ô H7: H9 cung cấp nguồn cung sẵn có tế ô C11: F11 cung cấp cho nhu cầu Các ô C17: F19 biến định đặt tên luồng Hàm mục tiêu ô D23 đưa công thức UMPRODUCT (luồng, Chi phí) giảm thiểu tổng chi phí Các ràng buộc cung cấp đưa ô C28: E30 ràng buộc nhu cầu xác định C34: F36 Bảng tính bao gồm phụ lục trực tuyến gọi ví dụ tốn vận tải Excel.xls Nó thiết lập để chạy cách sử dụng Excel Solver What’s Best Cuối cùng, nhiều vấn đề tối ưu hóa lớn để giải cách hiệu hiệu Excel Đối với vấn đề vậy, tốt sử dụng ngơn ngữ mơ hình hóa tối ưu hóa AMPL (Fourer, Gay Kernighan, 1993) 36 với công cụ tối ưu hóa giải CPLEX (IBM, 2012) Trong phần lại phần phần lớn văn bản, chúng tơi trình bày ví dụ sử dụng ngơn ngữ mơ hình hóa AMPL Hình 2.16: Bài tốn vận tải Excel 37 AMPL phân biệt liệu cho vấn đề mơ hình Mơ hình cấu trúc tệp mod liệu định tệp dat Lợi cấu trúc mơ hình tương tự sử dụng với tập liệu Có sáu loại đầu vào mà người dùng AMPL xác định Do đó, hữu ích tập mơ hình hóa AMPL để áp dụng quy ước định, đặc biệt AMPL ngơn ngữ nhạy cảm với chữ hoa chữ thường Nói cách khác, từ FLOWS xử lý khác với Flows AMPL Bảng 2.1 phác thảo quy ước sử dụng văn tất ví dụ AMPL bao gồm phụ lục trực tuyến cho văn Hình 2.17 hiển thị tệp mod cho vấn đề vận chuyển Sự kết hợp / * bắt đầu nhận xét * / kết thúc nhận xét Do đó, mơ hình thực tế bắt đầu dịng 5, định nghĩa hai bộ: Nhu cầu Cung Phần tệp mơ hình định nghĩa ba tham số Chi phí lập mục Cung Nhu cầu Ma trận tham số rõ ràng cung cấp chi phí vận chuyển đơn vị Tập tiếp theo, có sẵn, mục cung cấp cung cấp số lượng tối đa có sẵn nút cung cấp Cuối cùng, tham số cần thiết cho nhu cầu nút nhu cầu lập mục rõ ràng yêu cầu thiết lập Bảng 2.1: Quy ước AMPL sử dụng sách Loại đầu vào Set Parameter Decision variable Objective name Constraint name Index of a set Từ khóa APML set param var subject to n/a Quy ước LowerAndUpperCase lowercase UPPERCASE LowerAndUpperCase LowerAndUpperCase single letter lower case 38 Hình 2.17: Bài tốn vận tải đơn giản APML, tệp Ch2Transportation.mod Phần tệp mod định nghĩa biến định, FLOWS Các biến định nghĩa không âm theo ký hiệu>=0 Tiếp theo chức hàm mục tiêu Chúng ta có tùy ý đặt tên hàm TotalCost để tham khảo sau ngơn ngữ dịng lệnh AMPL Hàm mục tiêu đưa sản phẩm chi phí [i, j] FLOWS [i, j] tổng kết qua tất nút cung cấp i cung cấp tất nút nhu cầu j yêu cầu thiết lập Cuối cùng, xác định ràng buộc Ràng buộc mà chúng tơi có có tên WhatWeHave ràng buộc cung cấp Áp dụng cho tất nút cung cấp i cung cấp định nghĩa tổng FLOWS [i, j] tất nút nhu cầu j yêu cầu thiết lập Tổng số phải nhỏ nguồn cung sẵn có nút đó, Có sẵn [i] Tương tự, chúng tơi có ràng buộc nhu cầu mà đặt tên WhatWeNeed Điều áp dụng cho tất nút nhu cầu j yêu cầu thiết lập Nó nói tổng FLOWS [i, j] tất nút cung cấp i 39 cung cấp phải lớn yêu cầu nút nhu cầu cho cần thiết [j] Ngoài tệp xác định mơ hình — tệp mod — cần định liệu cho cố tầm tay Điều thực tập tin dat Hình 2.18 cung cấp dạng tệp dat cho vấn đề mô tả Hình 2.18: Dữ liệu tốn vận tải APML, tệp Ch2Transportation.mod 40 Các tập tin bắt đầu cách xác định yếu tố Cung Nhu cầu Sau đó, cung cấp giá trị nguồn cung cấp sẵn có nút cung cấp số lượng yêu cầu nút nhu cầu định mảng cần thiết Tiếp theo cung cấp cho chi phí đơn vị, yếu tố theo yếu tố Một lần cần lưu ý tệp mod hiển thị Hình 2.17 sử dụng với tệp dat Nói cách khác, sử dụng cho tập liệu đại diện cho toán vận tải Tệp dat Hình 2.18 xác định phần tử tập hợp khóa liệu liên quan đến vấn đề cách riêng biệt Ngoài ra, phương pháp xác định hệ số chi phí rõ ràng cồng kềnh Một cách khác để định số liệu hiển thị Hình 2.19 Trong biểu mẫu này, đặc tả param đồng thời xác định số cung cấp cung cấp giá trị mảng có sẵn Tương tự vậy, câu lệnh param định mục nhóm nhu cầu cung cấp giá trị mảng cần thiết Cuối cùng, cách sử dụng số định nghĩa trước đó, câu lệnh param cuối cho phép chi phí đơn vị định dạng ma trận Hình 2.19: Cách khác biểu thị liệu cho toán vận tải AMPL- tệp h2Transportation.mod 41 Hình 2.20: Các câu lệnh APML để thực toán vận tải đơn giản Khi tệp mod dat định nghĩa, sử dụng trình soạn thảo dịng lệnh AMPL để tải thực mơ hình Các lệnh để thực điều lệnh đầu sau hiển thị Hình 2.20 Hai lệnh cho biết AMPL tên tệp mod dat tương ứng Tiếp theo, yêu cầu AMPL giải vấn đề Trong trường hợp này, gọi giải MINOS Sau chúng tơi u cầu mơ hình hiển thị FLOWS biến định Cuối cùng, yêu cầu AMPL hiển thị TotalCost Lưu ý giá trị hàm mục tiêu hiển thị chấm dứt mã MINOS trước yêu cầu AMPL hiển thị FLOWS 42 Bài tập : (trang 97) 2.1 : Bài toán đối ngẫu : Minimize : A + 2B Subject to : A + 2B >= 100 3A + B >= 70 0.5A + B >= -10 0.5A - B >= A = b Bài toán đối ngẫu : Minimize 200Y1 + 450Y2 + 650Y3 Subject to : Y1 + 5Y2 +Y3 = 20 Y1 + 10Y2 - 2Y3 = 18 Y1 + 7Y3 = -13 Y1 + 2Y3 = -5 Y1 tùy ý, Y2 tùy ý, Y3 tùy ý 44 c Giải toán Ở ta sử dụng cơng cụ Solver excel để giải Ta tính kết toán Max = 1250 Với X1 = 90, X2 = 0, X3 ~ , X4 = 110 d Bài toán đối ngẫu : Minimize 200Y1 + 450Y2 + 650Y3 Subject to : Y1 + 5Y2 +Y3 >= 20 Y1 + 10Y2 - 2Y3 >= 18 Y1 + 7Y3 >= -13 Y1 + 2Y3 >= -5 Y1 = Tài liệu tham khảo [1] Daskin, M.S (2013) Network and Discrete Location: Models, Algorithms, and Applications Wiley [2] Daskin, M.S (2011) Service Science Wiley [3] Current, John, Daskin, Mark & Schilling, David (2001) Discrete Network Location Problems 45 ... PHẦN Đánh giá quy hoạch tuyến tính 2.1 Giới thiệu chung 2.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 2.3 Xây dựng tốn đối ngẫu cho vấn đề quy hoạch tuyến tính 2.4 Quan hệ tốn quy hoạch tuyến tính. .. hàm mục tiêu ràng buộc hàm tuyến tính CHƯƠNG Đánh giá quy hoạch tuyến tính 2.1 Giới thiệu chung Tất vấn đề đề cập phần 1.3 xác định tốn quy hoạch tuyến tính - quy hoạch nguyên Điều với hầu hết... tốn quy hoạch tuyến tính Hình 2.2: Phương pháp đơn hình để giải tốn số với ràng buộc 2.48-2.52 Hình 2.3: Ví dụ quy hoạch tuyến tính Excel Hình 2.4: Cài đặt Excel Solver cho tốn quy hoạch tuyến tính