Toán tử đa trị tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ CƯƠNG TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH ĐA TRỊ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Tạ Duy Phượng - người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tìm hiểu tài liệu hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán G iải tích - trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập. Nhân dịp gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè động viên, cổ vũ, tạ o điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Bùi Thị Cương LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn PGS.TS. Tạ Duy Phượng , luận văn thạc sĩ chuyên ngành toán giải tích với đề tài Toán tử tuyến tính đa trị hoàn thành bở i lao động nhận thức thân . Trong trình viết luận văn kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Bùi Thị Cương MỤC LỤC MỞ ĐẦU . 1. Lý chọn đề tài . 2. Mục đích nghiên cứu . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu . 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu . 5. Phương pháp nghiên cứu . 6. Đóng góp luận văn Chương 1. QUAN HỆ TUYẾN TÍNH 1.1 Quan hệ tập hợp . 1.2 Quạn hệ tuyến tính (toán tử đa trị tuyến tính) . 1.3 Các quy tắc toán tử quan hệ tuyến tính đơn trị 12 1.4 Đại số quan hệ tuyến tính . 13 1.5 Lát cắt tuyến tính . 18 1.6 Số chiều miền xác định miền ảnh 21 1.7 Các ví dụ bổ sung 27 1.8 Các nhận xét 28 Chương 2. QUAN HỆ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN . 29 2.1 Chuẩn quan hệ tuyến tính 29 2.2 Modul cực tiểu………………………………………………………34 2.3 Tính liên tục tính mở . 37 2.4 Lát cắt liên tục . 48 2.5 Quan hệ tuyến tính đóng khả đóng . 50 2.6 Modul cực tiểu ánh xạ hạn chế……………………………57 2.7 Thí dụ từ lí thuyết xấp xỉ . 59 2.8 Các nhận xét 63 KẾT LUẬN . 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 MỞ ĐẦU 1. Lý chọn đề tài Giải tích đa trị hướng nghiên cứu tương đối Toán học quan tâm nhiều khoảng 50 năm trở lại , từ năm 30 kỉ XX nhà khoa học thấy cần phải nghiên cứu ánh xạ đa trị, tức ánh xạ nhận giá trị tập hợp tập hợp đó. Vai trò giải tích đa trị Toán học ứng dụng toán học đượ c công nhận rộng rãi. Giải tích đa trị nghiên cứu tính chất giải tích (tính liên tục, khả vi, tích phân, .) ánh xạ đa trị có nhiều ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân phương trình suy rộng, lý thuyết tối ưu nhiều mục tiêu, lý thuyết điều khiển, toán cân bằng, quan hệ biến phân, toán kinh tế, . Tương tự ánh xạ tuyến tính đơn trị, lớp ánh xạ tuyến tính đa trị có tính chất đặc thù. Nghiên u lớp ánh xạ tuyến tính đa trị giúp hiểu sâu ánh xạ đa trị nói chung. Với mong muốn tìm hiểu tính chất ánh xạ đa trị tuyến tính nói riêng, ánh xạ đa trị nói chung ứng dụng giải tích đa trị, chọn Toán tử tuyến tính đa trị làm đề tài luận văn cao học mình. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu ánh xạ tuyến tính đa trị chủ yếu dựa theo Chương Chương sách [ 2], có tham chiếu thêm với [ 1]. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất ánh xạ tuyến tính đa trị. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ tuyến tính đa trị. Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức sở , khái niệm ánh xạ tuyến tính đa trị. 5. Phương pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu, sách báo nh xạ tuyến tính đa trị. - Tổng hợp, phân tích, hệ thống kiến thức ánh xạ tuyến tính đa trị. 6. Đóng góp luận văn Trình bày luận văn tổng quan tính chất ánh xạ tuyến tính đa trị. Chương 1. QUAN HỆ TUYẾN TÍNH Dựa theo Chương [2], Chương trình bày kiến thức quan hệ tuyến tính. 1.1 Quan hệ tập hợp 1.1.1 Mở đầu Kí hiệu U ,V ,W ,… tập hợp . Cho T ánh xạ từ U vào tập hợp gồm toàn tập V (được kí hiệu 2V ). Khi ta nói T ánh xạ đa trị (multivalued mapping) hay quan hệ (relation) từ U vào V . Như vậy, với u U , T  u  tập V . Nếu với u U , tập T  u  gồm phần tử V , ta nói T ánh xạ đơn trị từ U vào V . Kí hiệu D T  miền xác định ánh xạ đa trị T , tức D(T ) : u U : Tu  . (1.1.1) Lớp tất ánh xạ (quan hệ) từ U tới V kí hiệu R U ,V  . Ví dụ quan hệ : hàm thông thường, hàm ngược, tập hợp nghiệm toán có tham số, toán tử tuyến tính liê n hợp, . Nếu T  R (U ,V ) đồ thị T tập G T  U  V xác định G T  :  u , v  U  V : u  D T  , v  T  u . (1.1.2) Một quan hệ R U ,V  xác định đồ thị nó, ngược lại , tập khác rỗng U  V xác định quan hệ. Cho T  R U ,V  . Nghịch đảo T kí hiệu T 1 cho bởi: G T 1  :  v, u  V  U :  u , v   G T . (1.1.3) Cho tập M  U , tập T  M  : T  m  : m  M  D T . (1.1.4) gọi ảnh M . Tập  R T  : T U   T  D T    xác định 1.1.1 1.1.4, gọi miền giá trị T . Nếu R T   V , T gọi toàn ánh (surjective ) hay ánh xạ tràn . Nếu T 1 đơn trị , T gọi nội xạ (injective) hay đơn ánh. Nếu T đơn ánh dễ dàng để thấy điều sau đúng: T  u1   T  u2   u1  u2 u , u  D T   . (1.1.5) Chúng ta kí hiệu T u   T  u  Tu , không phân biệt ánh xạ đơn trị hay ánh xạ đa trị. Cho   N  V từ (1.1.3) ta có T 1  N   u  D T  : N  Tu  . (1.1.6) Trường hợp riêng, cho v  R T  , T 1v  u  D T  : v  Tu. (1.1.7) Rõ ràng D T 1   R T  , R T 1   D T  . Quan hệ đồng xác định tập khác rỗng E U kí hiệu I E hay đơn giản I (khi E ngầm hiểu), quan hệ R U ,U  mà đồ thị G  I E    e, e  : e  E. 1.1.2 Quan hệ hợp Cho T  R U ,V  S  R V ,W  , R T   D  S   . Hợp (composition) hay tích (product) ST R U ,W  định nghĩa sau:  ST  u  : S Tu   u U . (1.1.8) Miền xác định ST tính từ công thức (1.1.1): D  ST   u U : S Tu    = u U : Tu  D  S   . Khi từ (1.1.6) ta có D  ST   T 1  D  S   . (1.1.9) Từ định nghĩa ST dễ dàng thấy rằng: G  ST    u , w  U  W :  u , v   G T   u , w   G  S  (1.1.10) với v V đó. Chúng ta có vài tính chất sau: T  TIU  IV T ,  (1.1.11) G I DT   G T 1T  ,  (1.1.12)  ST   T 1S 1 , (1.1.13) D  ST   T 1S 1  R  S   . (1.1.14) 1 Ánh xạ tích có tính chất kết hợp, nghĩa R  R W , Z  R  ST    RS  T . (1.1.15) T đơn ánh  T 1T  I DT  . (1.1.16) T đơn trị  TT 1  I RT  . (1.1.17) Chúng ta có 1.1.3 Quan hệ hạn chế quan hệ mở rộng Cho M tập U cho M  D T   . Hạn chế T M kí hiệu T M định nghĩa bởi: Do Ax   P   P T x. Vậy A lát cắt liên tục T . 2.4.5 Hệ Giả sử 0  T   bù tôpô G T  X  Y . Khi T có lát cắt liên tục T liên tục. Chứng minh Nếu 0  T   bù topo X  Y bù tôpô G T  . Do theo Mệnh đề 2.4.4, T có lát cắt liên tục. Điều ngược lại hiển nhiên theo (2.4.1).  2.4.6 Hệ Cho H không gian Hilbert, cho T  LR  X , H  cho T   đóng. Khi T có lát cắt liên tục T liên tục . 2.4.7 Mệnh đề Cho T   có chiều hữu hạn. Khi T có lát cắt liên tục T liên tục. 2.4.8 Định nghĩa Nếu miền giá trị quan hệ tuyến tính T có số chiều hữu hạn T gọi có hạng hữu hạn (finite rank). 2.5 Quan hệ tuyến tính đóng khả đóng 2.5.1 Định nghĩa Bao đóng quan hệ tuyến tính T  LR  X , Y  quan hệ T xác định   G T : G T . (2.5.1) Rõ ràng T  LR  X , Y  . Quan hệ T gọi đóng đồ thị G T  đóng X  Y tương đương T  T . Ta có số tính chất n giản sau ánh xạ đóng. T đóng T 1 đóng. (2.5.2) 50 T   T  . 1 1  (2.5.3)    G T J DT   G TJ DT  . (2.5.4) Nếu T đóng T   đóng. (2.5.5) Nếu T liên tục D T  , T   đóng T đóng. (2.5.6)   Chúng ta lưu ý G T   G T , T không thiết mở rộng T , mà ta có Tx  T x với x  D T  . 2.5.2 Mệnh đề QT  QT (ở Q  QT ).   Chứng minh Giả sử  x, Qy   G QT  G  QT . Chọn dãy  xn , QTxn  G  QT  , hội tụ đến  x, Qy  . Khi tồn dãy  kn  T   dãy  yn  với yn  Txn cho yn  kn  y. Do  xn , yn  kn  dãy Như vậy,  x, Qy   G  QT . Do Để chứng minh b ao hàm thức ngược, ta giả sử  x, Qy   G  QT . Khi G T  hội tụ tới    x, y   G  T  .   G QT  G QT .  x, y1   G T . Ở Qy  Qy1. Chọn dãy  xn , yn  G T   x, y1   xn , Qyn    xn , QTxn    x, Qy1    x, Qy . Điều  x, Qy   G  QT  (đpcm).  2.5.3 Mệnh đề Các tính chất sau tương đương: (i) T đóng. (ii) QT đóng T   đóng. 51 hội tụ tới Chứng minh Nếu T đóng từ M ệnh đề 2.5.2, QT đóng theo công thức (2.5.5), T   đóng. Ngược lại, giả sử có (ii) từ Mệnh đề 2.5.2,     D T   D  QT   D QT  D T . Với x  D T  ta có QT x  QTx. Vì vậy, T x  T x  T    Tx  T    Tx. Do đó, T  T nghĩa T đóng.  2.5.4 Định nghĩa Quan hệ tuyến tính T nói khả đóng T mở rộng T , nghĩa Tx  T x với x  D T  . (2.5.7) 2.5.5 Mệnh đề Các tính chất sau tương đương: (i) T đóng. (ii) T    T   . (iii) TJ DT  đóng. Chứng minh Sự tương đương gi ữa (i) (iii) Hệ (2.5.4). Theo Hệ 1.2.11 ta suy tương đương (i) (ii).    2.5.6 Hệ T 1 khả đóng N T   N T . 2.5.7 Mệnh đề Các tính chất sau tương đương: (i) T khả đóng. (ii) QT khả đóng T   đóng. Đặc biệt, T liên tục T   đóng T khả đóng. Chứng minh Nếu T khả đóng T    T   theo Mệnh đề 2.5.5. Do T   đóng. Theo T x  Tx với x  D T  nên ta có QT J DT   QTJ DT  theo Mệnh đề 2.5.2 ta có QT J DT   QTJ DT  . Do QT khả đóng. 52 Ngược lại, cho QT khả đóng T   đóng. Khi ấy, với x  D T  ta có QT x  QTx  QT x theo Mệnh đề 2.5.2. Do Tx  T x T    T   , nghĩa T khả đóng. 2.5.8 Mệnh đề  Ta có T  T . Đẳng thức xảy T    T  . Ví dụ, T khả đóng .   Chứng minh Giả sử T  T . Chọn    x0 , y0   G T cho x0    d y0 , T    T  2 . Tiếp theo , chọn  x, y   G  T  cho (2.5.8) x  x0  y  y0   Khi d  y , T     d  y , T     y  y0   , theo (2.5.8) ta có   T  2  d y0 , T    d  y0 , T     d  y ,T       T   Vô lí. Do T  T . Bây giả sử T    T   . Với x  D T  , y  Tx  T x , ta có     Tx  d Tx, T    d T x,T    T x . Suy T  T . Vậy T  T . 2.5.9 Hệ Ta có    T   T  . 53 x  1.   Đẳng thức xảy N T   N T . 2.5.10 Ví dụ Cho M không gian không đóng X cho T  LR  X  quan hệ mà đồ thị Khi X  M.   G T  G T   X  M . Vì T không mở rộng T nên T không khả đóng. Ở ta có T    M T    M . 2.5.11 Ví dụ Cho M quan hệ tuyến tính với T    T  . Giả sử F không gian hữu hạn chiều D T  . Khi T theo (2.3.2(c)). Tuy nhiên, T F  0  T  0  T  0 . Do T F F liên tục không khả đóng (xem (2.5.5)). Do (1) T liên tục không suy T   đóng (2) T liên tục không suy T khả đóng. 2.5.12 Mệnh đề Cho T đóng cho F  Y có chiều hữu hạn QF T đóng. Chứng minh Đầu tiên giả sử T ánh xạ đơn trị. Để đơn giản , ta viết Q : QFY . Cho  xn , Qyn  (ở yn  Txn ) dãy G  QT  hội tụ tới  x, Qy   X  QY . Khi tồn dãy  f n   F Trường hợp 1: Giả sử  f n , ta có  fn cho yn  y  f n  0. không bị chặn . Khi với dãy f n   yn  f n / f n  0. Từ f n / f n bị chặn không gian hữu hạn chiều F , tồn dãy  f n   f n f F cho f n / f n  f . Nhưng sau yn / f n   f xn / f n  0. Vì T đóng nên ta suy  0,  f   G T  . Do f  0. Điều mâu thuẫn với f  1. Do  f n  bị chặn. 54 Trường hợp 2:  f n  bị chặn. Khi  f n  có dãy hội tụ không gian hữu hạn chiều F . Nếu cần chọn dãy con, ta giả sử  f n  hội tụ. Cho f  lim f n yn  y  f . Do T đóng, ta có  x, y  f   G T  , n f  F . Do  x, Qy   G  QT  . Còn lại ta phải T giả thiết đơn trị . Lưu ý từ QF T    T    F đóng tính hữu hạn F . Rõ ràng theo Mệnh đề 2.5.3 ta cần QQF T QF T đóng. Nhưng QQF T  QF T   QQT F  QT T  , QT T đóng đơn trị QT F không gian hữu hạn chiều Y T   . Tính chất đòi hỏi suy từ chứng minh Mục 1.  2.5.13 Mệnh đề Cho S  LR  Z , X  đóng cho quan hệ T có miền giá trị đóng thỏa mãn  T     T   0. Khi TS đóng. Chứng minh Trước tiên, giả thiết S đơn trị. Cho  z n , yn    z , y  , yn  TSzn . Khi y  Tx với x  D T  R T  đóng. Do tính liên tục T 1 ta có T 1T  Szn  x   d  Szn  x, N T    0. Chọn dãy wn  N T  cho Szn  wn  x  0. Ta chứng minh wn  bị chặn. Giả sử wn  không bị chặn chọn dãy wn cho wn  . Khi Szn wn  wn wn  . Vì N T  hữu hạn chiều, dãy bị chặn w n wn  có dãy hội tụ wn wn . Do S  zn wn  hội tụ , zn wn  . Từ S đóng, ta có S zn wn  0. Do  wn 55 wn  (mâu   thuẫn). Chứng tỏ  wn  bị chặn có dãy wkn hội tụ đến phần tử w  N T  đó. Do Sznk  x  w . Vì S đóng, ta có z  D  S  Sz  x  w. Khi Sz  D T  TSz  Tx. Do đó, TS đóng. Trường hợp tổng quát, lưu ý S   đóng TS  TQS1QS S . (2.5.9) Do lại thử TQS1 thỏa mãn điều kiện thích hợp. Ta có R TQS1   T  QS1QS X   T  X  . (2.5.10) Theo Định lý 2.3.11:  TQS1    T    QS1   0. Cuối cùng, dim TQS1  1 (2.5.11)    dim QS  N T    dim N T   TQS1   . Do suy điều cần chứng minh. (2.5.12)  2.6 Modul cực tiểu ánh xạ hạn chế 2.6.1 Mệnh đề Cho M không gian tuyến tính D T  . Khi   T M  N T  Chứng minh Do quan hệ T T đẳng thức hiển nhiên .    T  . M  N T  có hạt nhân trùng nên bất  2.6.2 Hệ   T 1 T M     T 1   M  D T   . Chứng minh Thay T T 1 Mệnh đề 2.6.1, lưu ý T  M   N T 1   T  M  .  56 2.6.3 Mệnh đề Cho N T  bù tôpô D T  (hoặc X ). Khi 0 P 1   T    T R P     T  . P phép chiếu liên tục xác định D T  (hoặc X ) với hạt nhân N T  . Chứng minh Chú ý N T  đóng tương đối D T  . Giả sử P xác định D T  với N  P   N T  . Cho   bất kỳ. Giả sử z  D T  chọn n  N T  cho Pz  n  1    d  Pz , N T   . Ta có d  Pz , N T    T  Pz  n TPz TPz   Pz d  Pz , N T   Pz 1  Pz 1 x Px   T   T    T  1  inf  sup  P .     xDT  Px    xDT  x  1  Vì T R P  đơn ánh nên suy   T R P     T  / P . Cho bất đẳng thức thứ hai, chọn x  D T  cho Tx    T     d  x, N T   . Do   T R P    d  x, N  T   TPx Tx  Px d  x, N  T   Px    T     d  Px, N T   Px 57   T    . Đối với trường hợp thứ hai, N T  bù tôpô X , ta ý N T  bù tôpô D T  . Do đó, phép chiếu P cho xác định X . Vì  R  P   D T   R P D T   nên ta có bất đẳng thức thứ hai phải chứng minh  2.6.4 Hệ Cho M không gian đóng D T  có đối chiều hữu hạn cho M  N T   D T  M  N T   0. Khi tồn số c  cho c T    T M    T  . 2.6.5 Ví dụ Cho M không gian thường X đóng có đối chiều hữu hạn (proper closed finite codimensional subspace of X ) cho P phép chiếu tuyến tính xác định X với hạt nhân M . Khi   P   (xem Ví dụ 2.1.9 Định lý 2.2.5) ,   P M   . Do đòi hỏi hạn chế M  N T   0 Hệ 2.6.4 cần thiết. 2.7 Thí dụ từ lí thuyết xấp xỉ Ánh xạ đa trị, ánh xạ đa trị tuyến tính, xuất tự nhiên lý thuyết xấp xỉ. Mục trình bày sơ lược toán xấp xỉ tốt nhất. 2.7.1 Định nghĩa Cho M không gian n - chiều X cho 1,2 , .,k  tập  k  n  phiếm hàm tuyến tính xác định  X cho tập hạn chế 1 M ,2 M , .,k M  độc lập tuyến tính. Định nghĩa quan hệ T  R  X , X  Tx : m  M : i  m  i  x  ,1  i  k  , 58  x  X . (2.7.1) Các phần tử Tx gọi nội suy tương ứng với tập 1 ,2 , .,k . Cho m1 , m2 , ., mn  vectơ sở M trực giao với i :1  i  k . Nghĩa i  m j    ij 1  i  k ,1  j  n . (2.7.2) Định nghĩa toán tử tuyến tính L : X  X k Lx :  i  x  mi ,  x  X . i 1 (2.7.3) 2.7.2 Mệnh đề Ta có: (a) T quan hệ tuyến tính xác định khắp nơi . k (b) T     N i i 1 M  T    0 n  k. (c) L phép chiếu tuyến tính bị chặn với miền giá trị sp mi :1  i  k  hạt nhân k  N  . i 1 i (d) L lát cắt liên tục. Như T  L  T  T . Hơn L  LT . Chứng minh (a) Cho x  X xét m  M xác định k m :  i  x  mi . i 1 Khi i  x   i  m  với i  1, k x  D T  . Suy D T   X . Để kiểm tra T tuyến tính, ta giả sử   x0 , m0  ,  x, m   G T .  i  x0   i  m0  i  x   i  m  i  1, k . Do i  x0   x0   i  m0   m  59  ,     Khi   x0 , m0     x, y   G T  . Cho nên T  LR  X  . (b) Suy trực tiếp từ (2.7.1) Định nghĩa 2.7.1. (c) Hiển nhiên L bị chặn, ta có Lx   k  k i  x  mi    i mi  x  x  X  .  i 1 i 1  Với x  X ta có  k  k  k  L2 x  L   i  x  mi     j   i  x  mi  mi  i 1  j 1  i 1  k   j  x  m j  Lx (theo 2.7.2). j 1 Do L2  L. Như L phép chiếu tuyến tính xác định X . Từ k Lm j   i  m j  mi  m j 1  j  k  , i 1 ta có L  X   sp mi : i  j  k . Cuối Lx  i  x   với i  1, k . k Do N  L    N i . i 1 (d) Giả sử x  X , Tính toán trực tiếp cho Lx  T    Tx. Với m  T   ta có   k  j  Lx  m    j  i  x  mi  m    j  x    j     j  x  .  i 1  Cho nên Lx  m  Tx Lx  T    Tx. Từ L bị chặn (bởi (c) trên) suy L lát cắt liên tục T . Cuối cùng, với x  X ta có LTx  L  Lx  T     Lx  LT    Lx. 60  2.7.3 Định nghĩa Cho K tập lồi X . Với x  X cho trước , tập PK  x  xấp xỉ tốt (best approximation) từ x với K xác định PK  x  :  z  K : x  z  d  x, K . (2.7.4) Tập K gọi gần kề (proximinal) PK  x  khác rỗng với x  X tập Chebyshev PK  x  với x  X . Một phần tử x0  Tx xấp xỉ tốt đến x từ Tx x  x0  d  x, Tx  . tập x ấp xỉ tốt đến x từ Tx tập PTx  x  . Ánh xạ x  PTx  x  gọi ánh xạ tham số quan hệ T . Rõ ràng PT x  x    x  với x  Tx, trường hợp x xấp xỉ tốt nó. 2.7.4 Mệnh đề Ta có PTx  x   PT  0  x  Lx   Lx. (2.7.5) Đặc biệt, x  N  L  , PTx  x   PT  0 x. (2.7.6) Nếu T đơn trị nghĩa dim M  k PTx  x   Lx. (2.7.7) Chứng minh Cho z  PT  0  x  Lx  . Khi x  Lx  z  d  x  Lx,T    , nghĩa x   z  Lx   d  x, Lx  T     d  x,Tx  . (theo 2.2.7(d)) Cho nên z  Lx  PTx  x  . Do PT  0  x  Lx   Lx  PTx  x  . 61 Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, giả sử z  PTx  x  . Khi z  x  d  x, Tx   d  x  Lx,Tx  Lx   d  x  Lx, T     z  Lx   x  Lx  . Như z  Lx  PT  0  x  Lx  cần tìm. Bây giả sử x  N  L  Lx  suy (2.7.6). Cuối cùng, T đơn trị PT  0  x  Lx   0 suy (2.7.7).  2.7.5 Chú ý Mệnh đề 2.7.4 toán xấp xỉ tham số với hạn chế nội suy (interpolatory constraint) quy phép cấp xỉ tốt thông thường từ không gian T   với n  k chiều cố định đến M . 2.8 Các nhận xét S. M. Robinson [2] xác định chuẩn trình lồi T   T : sup d Tx,0  : x  BDT  . (2.8.1) Định nghĩa áp dụng cho quan hệ tuyến tính không gian định chuẩn S. J. Lee M. Z. Nashed [2]. Mệnh đề 2.1.4 2.1.6 rằng, định nghĩa (2.8.1) tương đương với Định nghĩa 2.1.3 chúng. Chuẩn T chuẩn thực (ngoại trừ trường hợ p T đơn trị), quan hệ khác chuẩn không, lí bất đẳng thức ngược lại sai. Định nghĩa trình lồi T từ  vào  0,     x : xz  y , z  0, y  T  y, z  :  0,   , z  0, y  ,khác.  Từ T 1,1 n    x : x  n , ta có T   D T  có chiều hữu hạn. 62 Định nghĩa 2.2.1 modul cực tiểu tương tự với “modul cực tiểu rú t gọn” toán tử tuyến tính T. Kato. Modul cực tiểu quan hệ tuyến tính không gian lồi địa phương sử dụng báo R. Mennicken B. Sagraloff. Công thức Định lý 2.2.5 liên quan T  T  có [2]. Lát cắt tuyến tính nghiên cứu Lee Nashed [5,6] tìm thấy ứng dụng. Định nghĩa quan hệ tuyến tính khả đóng tổng quát hóa khái niệm toán tử tuyến tính khả đóng. 63 KẾT LUẬN Luậ n văn trình bày khái niệm, tính chất toán tử đa trị tuyến tính. Các tính chất quan trọng chúng giúp ta hiểu phần cấu trúc tính chất ánh xạ đa trị. Lý thuyết ánh xạ đa trị trình bày chuẩn mực tài liệu [1], [2]. Đặc biệt, [2] trình bày chi tiết ánh xạ đa trị tuyến tính. Dựa theo hai Chương [2], Luận văn trình bày nội dung ánh xạ đa trị tuyến tính. Hy vọng thời gian tới, tác giả luận văn có điều kiện tìm hiểu sâu ánh xạ tuyến tính đa trị. 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO CHÍNH [1] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị , Nhà xuất Khoa học Tự nhiên Công nghệ. [2] Ronald Cross (1998), Multivalued Linear Operators, Marcel Dekker, New York, Chapters 1- 2. [3] R. T. Rockafellar, Convex Analysis, Vol. 28 of Princeton Math. Series, Princeton Univ. Press, 1970. 65 [...]... QUAN HỆ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN Chương này trình bày theo Chương 2 của [2] các khái niệm cơ bản của quan hệ tuyến tính trong không gian tuyến tính định chuẩn 2.1 Chuẩn của quan hệ tuyến tính Trong suốt chươn g này ta kí hiệu X , Y , Z là các không gian tuyến tính định chuẩn, còn T là một quan hệ tuyến tính trong LR  X , Y  X 2.1.1 Kí hiệu Toán tử QE Cho một không gian con tuyến tính. .. trường    hoặc    Một quan hệ T  R X , Y  được gọi là một quan hệ tuyến tính (toán tử tuyến tính đa trị ) nếu với mọi x, z  D T  và mọi số   0 chúng ta có Tx  Tz  T  x  z  ; 6 (1.2.1)  Tx  T  x  (1.2.2) Nói một cách khác, miền của một quan hệ tuyến tính là một không gian con tuyến tính Lớp của các quan hệ tuyến tính trong R  X , Y  được kí hiệu là LR  X , Y  Nếu Y  X thì ta... là nghịch đảo của ánh xạ đơn trị   0 0 (c) Cho R, S , T  LR  X  Nếu RT  TR, ST  TS thì G   R  S  T   G T  R  S   (1.4.13) (d) Đẳng thức (1.4.13) sai thậm chí khi R, S , T đều là đơn trị Có thể thấy điều này qua ví dụ sau: S   R  I và T là một toán tử tuyến tính bất kì với D T   X 17 1.5 Lát cắt tuyến tính 1.5.1 Định nghĩa Một toán tử tuyến tính A được gọi là một lát cắt... là tập hợp tất cả * các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên Y, kí hiệu là Y , tập hợp Y * là một không gian tuyến tính Không gian liên hợp hay còn gọi là không gian đối ngẫu) Khi ấy tích phân yếu         x, y   X  Y : f  y    f  x, f  Y  là một quan hệ tuyến tính      từ X vào Y 4 Nếu T là một toán tử tuyến tính không phải là toán tử đồng nhất được xác định khắp nơi... ST  x1   x2  Do đó ST là tuyến tính, suy ra từ Hệ quả 1.2.5  1.4 Đại số của các quan hệ tuyến tính Trong mục này chúng ta định nghĩa các phép toán cộng và nhân vô hướng trong LR  X , Y  và mô tả các quy tắc cho phép kết hợp các toán tử này với toán tử tích và toán tử ngược 1.4.1 Phép cộng và nhân vô hướng trong LR  X , Y  Cho S , T là các quan hệ tuyến tính trong LR  X , Y  và cho  là...  JJ 1S 1 A Tuy nhiên, A  S 1 1.2.3 Mệnh đề Cho T  R  X , Y  Các tính chất sau đây là tương đương: (i) T là một quan hệ tuyến tính (ii) G T  là một không gian con tuyến tính của X  Y (iii) T 1 là một quan hệ tuyến tính (iv) G T 1  là một không gian con tuyến tính của Y  X Chứng minh Cho T là một quan hệ tuyến tính và cho  x1, y1  ,  x2 , y2   G T  ,0    K Khi ấy y1  Tx1... sai, xem hệ quả 1.2.11(b) U 1.1.4 Ví dụ Toán tử đơn ánh J E U Cho E là một tập con của U và J E kí kiệu là đơn ánh sinh bởi E vào U , kí hiệu J E  R  E ,U  , DJ E   E và J E e   e với mọi e  E Khi đó chúng ta có: T Chú ý rằng I E  I U E E   TJ E J E1 (1.1.20) từ (1 1.20) ta có:  I E  J E J E 1 (1.1.21) 1.2 Quan hệ tuyến tính (toán tử đa trị tuyến tính) 1.2.1 Định nghĩa và khái niệm Cho... 1 là một quan hệ tuyến tính không phản xạ trên X 5 Cho D T   X Khi ấy T 1T là phản xạ Hơn nữa, nếu A là một lát cắt bất kỳ của T thì T 1T  T 1 A  A1T 6 Cho  X , X *  và Y , Y *  là các cặp đối ngẫu (nghĩa là X và Y là các không gian con tuyến tính của không gian vectơ của tất cả các hàm tuyến tính được xác định trên X và Y ) Cho A : X   Y  là môt toán tử tuyến tính được xác định... có  y1   y2   Tx1   Tx2  T ( x1   x2 ) Điều này chỉ ra rằng  ( x1 , y1 )   ( x2 , y2 )  G (T ) Do đó G (T ) là một không gian con tuyến tính của X  Y Vậy T là một quan hệ tuyến tính 11 1.3 Một số quy tắc toán tử trên các quan hệ tuyến tính đa trị 1.3.1 Mệnh đề (a) T ( M )   T ( M ) ( M  X ,  K ,  0) (b) T ( M  N )  T ( M )  T ( N ) (M , N  X ) (c) T ( M  N )  T ( M ) ... Tx Như vậy T  x    Tx  Do đó  Tx   T  x  Vậy T là một quan hệ tuyến tính Những tính chất tương đương còn lạ i chứng minh tương tự 1.2.4 Hệ quả Cho T là một quan hệ tuyến tính Khi đó T  0  và T 1  0  là những không gian con tuyến tính 1.2.5 Hệ quả Cho T  R  X , Y  , khi đó T là một quan hệ tuyến tính khi và chỉ khi đẳng thức  Tx1   Tx2  T  x1   x2  đúng với mọi x1 . TÍNH 3 1.1 Quan h ệ trên các tập hợp 3 1.2 Qu ạn hệ tuyến tính (toán tử đa trị tuyến tính) 6 1.3 Các quy t ắc toán tử trên các quan hệ tuyến tính đơn trị 12 1.4 Đ ại s ố của các quan hệ tuyến. cứ u l ớp ánh xạ tuy ến tính đa tr ị giúp hi ểu sâu hơn các ánh xạ đa trị nói chung. Với mong muốn tìm hiểu các tính ch ất của ánh xạ đa trị tuyến tính nói riêng, ánh xạ đa trị nói chung và nh ững. lý thuyết đi ều khi ển, bài toán cân b ằng, quan hệ biến phân, toán kinh tế , Tương t ự như ánh xạ tuyến tính đơn trị, lớp các ánh xạ tuyến tính đa tr ị có nh ững tính chất cơ bản và đặc thù.