6. Đóng góp của luận văn
2.5 Quan hệ tuyến tính đóng và khả đóng
2.5.1 Định nghĩa Bao đóng của một quan hệ tuyến tính T LR X Y , là một quan hệ T được xác định bởi
: .
G T G T (2.5.1)
Rõ ràng là T LR X Y , .
Quan hệ T được gọi là đóng nếu đồ thị của nó G T là đóng trong X Y hoặc tương đương nếu T T .
Ta có một số tính chất đơn giản sau của ánh xạ đóng.
1 1 . T T (2.5.3) D T D T . G TJ G TJ (2.5.4) Nếu T đóng thì T 0 đóng. (2.5.5) Nếu T liên tục và D T , T 0 đóng thì T đóng. (2.5.6) Chúng ta lưu ý rằng mặc dù G T G T , T không nhất thiết là một mở rộng của ,T mà ta chỉ có Tx Tx với x D T .
2.5.2 Mệnh đề QT QT (ở đây Q Q T).
Chứng minh Giả sử x Qy G QT, G QT . Chọn một dãy x QTxn, n trong G QT , hội tụ đến x Qy, . Khi đó tồn tại một dãy kn trong T 0 và một dãy yn với y Txn n sao cho yn kn y. Do đó x yn, n kn là một dãy trong G T hội tụ tới x y G T, . Như vậy, x Qy G QT, . Do đó
.
G QT G QT
Để chứng minh bao hàm thức ngược, ta giả sử x Qy G QT, . Khi ấy x y, 1G T . Ở đây Qy Qy 1. Chọn một dãy x yn, n trong G T hội tụ tới x y, 1 thì
x Qyn, n x QTxn, n x Qy, 1 x Qy, . Điều này chỉ ra rằng x Qy G QT, (đpcm).
2.5.3 Mệnh đề Các tính chất sau đây là tương đương: (i) T đóng.
Chứng minh Nếu T đóng thì từ Mệnh đề 2.5.2, QT đóng và theo công thức (2.5.5), T 0 đóng. Ngược lại, giả sử rằng có (ii) thì từ Mệnh đề 2.5.2,
.
D T D QT D QT D T Với x D T ta có QTx QTx . Vì vậy, 0 0 .
Tx Tx T Tx T Tx Do đó, T T nghĩa là T đóng.
2.5.4 Định nghĩa Quan hệ tuyến tính T được nói là khả đóng nếu T là một mở rộng của ,T nghĩa là nếu
Tx Tx với mọi x D T . (2.5.7)
2.5.5 Mệnh đề Các tính chất sau là tương đương: (i) T đóng.
(ii) T 0 T 0 . (iii) TJD T đóng.
Chứng minh Sự tương đương giữa (i) và (iii) là Hệ quả của (2.5.4). Theo Hệ quả 1.2.11 ta suy ra sự tương đương giữa (i) và (ii).
2.5.6 Hệ quả T1 là khả đóng khi và chỉ khi N T N T .
2.5.7 Mệnh đề Các tính chất sau đây là tương đương: (i) T khả đóng.
(ii) QT khả đóng và T 0 đóng.
Đặc biệt, nếu T liên tục và T 0 đóng thì T khả đóng.
Chứng minh Nếu T khả đóng thì T 0 T 0 theo Mệnh đề 2.5.5. Do đó 0
T đóng. Theo Tx Tx với x D T nên ta có QTJD T QTJD T và do đó theo Mệnh đề 2.5.2 ta có QTJD T QTJD T . Do đó QT khả đóng.
Ngược lại, cho QT là khả đóng và T 0 đóng. Khi ấy, với x D T ta có QTx QTx QTx theo Mệnh đề 2.5.2. Do đó Tx Tx vì T 0 T 0 , nghĩa là T khả đóng. 2.5.8 Mệnh đề Ta có . T T
Đẳng thức xảy ra nếu T 0 T 0 . Ví dụ, nếu T khả đóng.
Chứng minh Giả sử rằng T T . Chọn 0 và x y0, 0G T sao cho
0 1
x và
0, 0 2 .
d y T T (2.5.8)
Tiếp theo, chọn x y G T, sao cho x x 0 y y 0 và x 1. Khi ấy vì 0, 0 , 0 0 , d y T d y T y y theo (2.5.8) ta có 0 0 2 , 0 , 0 , 0 T d y T d y T d y T T Vô lí. Do đó T T .
Bây giờ giả sử T 0 T 0 . Với x D T , y Tx Tx , ta có , 0 , 0 . Tx d Tx T d Tx T Tx Suy ra T T . Vậy T T . 2.5.9 Hệ quả Ta có T T .
Đẳng thức xảy ra nếu N T N T .
2.5.10 Ví dụ Cho M là một không gian con không đóng của X và cho
T LR X là quan hệ mà đồ thị của nó là X M . Khi ấy
G T G T X M .
Vì T không là một mở rộng của T nên T không khả đóng. Ở đây ta có 0
T M và T 0 M.
2.5.11 Ví dụ Cho M là một quan hệ tuyến tính bất kỳ với T 0 T 0 . Giả sử F là một không gian con hữu hạn chiều của D T . Khi ấy T F liên tục theo (2.3.2(c)). Tuy nhiên, T F 0 T 0 T 0 . Do đó T F không khả đóng (xem (2.5.5)). Do đó
(1) T liên tục không suy ra được T 0 đóng (2) T liên tục không suy ra được T khả đóng.
2.5.12 Mệnh đề Cho T đóng và cho F Y có chiều hữu hạn thì Q TF đóng.
Chứng minh Đầu tiên là giả sử T là ánh xạ đơn trị. Để đơn giản, ta viết : Y
F
Q Q . Cho x Qyn, n (ở đó y Txn n) là một dãy trong G QT hội tụ tới x Qy, X QY. Khi đó tồn tại một dãy fn F sao cho yn y fn 0.
Trường hợp 1: Giả sử rằng fn không bị chặn. Khi đó với một dãy con fn , ta có fn và yn fn / fn 0. Từ fn / fn bị chặn trong không gian con hữu hạn chiều ,F tồn tại một dãy con fn fn và f F sao cho fn / fn f. Nhưng sau đó yn / fn f và xn / fn 0. Vì
T đóng nên ta suy ra 0, f G T . Do đó f 0. Điều này mâu thuẫn với
1.
Trường hợp 2: fn bị chặn. Khi ấy fn có một dãy con hội tụ trong không gian hữu hạn chiều .F Nếu cần thì chọn dãy con, ta có thể giả sử fn hội tụ. Cho lim n
n
f f thì yn y f. Do T đóng, ta có x y f, G T , ở đây .
f F Do đó x Qy G QT, .
Còn lại ta phải chỉ ra rằng T có thể được giả thiết là đơn trị . Lưu ý rằng từ 0 0
F
Q T T F là đóng bởi tính hữu hạn của .F Rõ ràng theo Mệnh đề 2.5.3 ta cần chỉ ra rằng Q Q TQ TF F đóng. Nhưng QQ TF Q TF QQ FT Q TT , ở đây Q TT đóng và đơn trị và Q FT là một không gian con hữu hạn chiều của
0 .
Y T Tính chất đòi hỏi do đó suy ra từ chứng minh ở Mục 1.
2.5.13 Mệnh đề Cho S LR Z X , là đóng và cho quan hệ T có miền giá trị đóng và thỏa mãn T và T 0. Khi ấy TS đóng.
Chứng minh Trước tiên, chúng ta giả thiết S là đơn trị.
Cho z yn, n z y, , ở đó y TSzn n. Khi ấy vì y Tx với x D T vì
R T đóng. Do tính liên tục của T1 ta có
1 n n , 0.
T T Sz x d Sz x N T
Chọn một dãy wn trong N T sao cho Szn w xn 0. Ta sẽ chứng minh rằng wn bị chặn.
Giả sử wn không bị chặn và chọn một dãy con wn sao cho wn . Khi ấy Sz wn n w wn n 0. Vì N T là hữu hạn chiều, dãy bị chặn w wn n có một dãy con hội tụ w wn n . Do đó S z w n n hội tụ , ở đó
0
n n
thuẫn). Chứng tỏ wn bị chặn và do đó có một dãy con wkn hội tụ đến phần tử w N T nào đó. Do Sznk x w. Vì S đóng, ta có z D S và
.
Sz x w Khi ấy Sz D T và TSz Tx . Do đó, TS đóng. Trường hợp tổng quát, chúng ta lưu ý rằng khi S 0 đóng thì
1 .
S S
TS TQ Q S (2.5.9)
Do đó còn lại chỉ thử 1
S
TQ thỏa mãn những điều kiện thích hợp. Ta có
S1 S1 S . R TQ T Q Q X T X (2.5.10) Theo Định lý 2.3.11: TQS1 T QS1 0. (2.5.11) Cuối cùng, 1 1
dim TQS 0 dimQ N TS dimN T và do đó
TQS1 .
(2.5.12)
Do đó suy ra điều cần chứng minh.