6. Đóng góp của luận văn
2.4 Lát cắt liên tục
Mục này trình bày các kết quả về sự tồn tại lát cắt liên tục của ánh xạ đa trị tuyến tính.
2.4.1 Mệnh đề Nếu T có một lát cắt liên tục A thì T là liên tục. Hơn nữa,
.
T A (2.4.1)
Chứng minh Cho A là một lát cắt liên tục của .T Với mỗi x D T , ta có
inf : .
Tx y y Tx Ax A x (2.4.2)
Do đó T là liên tục.
2.4.2 Mệnh đề Nếu T là liên tục và nếu T 0 là hạt nhân của một phép chiếu liên tục P xác định trên R T thì PT là một lát cắt liên tục của T.
Chứng minh Ta có P và T là liên tục và P được xác định khắp nơi trên .
R T Theo Hệ quả 2.3.13 suy ra PT liên tục.
2.4.3 Thuật ngữ Cho M là một không gian con tuyến tính của X. Không gian con N thỏa mãn
0
M N và M N X (2.4.3)
Tất cả những cặp không gian con M N, thỏa mãn (2.4.3) xác định một phép chiếu tuyến tính P theo nghĩa
, .
M R P N N P (2.4.4)
Nếu phép chiếu P bị chặn thì M được gọi là được bù tôpô trong X
(topologically complemented in X ) và N N P được gọi là bù tôpô
(topological complement) của M.
Trên không gian tích X Y xác định một chuẩn
x y, x y . (2.4.5) Kết hợp với T chúng ta xác định quan hệ tuyến tính TG bởi
, , : . G G G T LR X X Y D T D T T x x y X Y y Tx (2.4.6)
2.4.4 Mệnh đề Giả sử T là liên tục và 0 T 0 là bù được tôpô trong
.
G T Khi ấy T có một lát cắt liên tục, cụ thể, lát cắt này là quan hệ mà đồ thị của nó là PG T , ở đây P là một phép chiếu bị chặn bất kỳ xác định trên
G T với hạt nhân 0 T 0 .
Chứng minh T liên tục do đó TG là liên tục. Thực vậy
inf : 1 .
G
T x x y y Tx x Tx x T x T x
Khi đó PTG là đơn trị và liên tục (vì D P R T G ). Do đó ,
G
PT x x Ax x D T , ở đây A là tuyến tính và đơn trị. Ta có
Do đó Ax P 1 P T x . Vậy A là lát cắt liên tục của T.
2.4.5 Hệ quả Giả sử 0 T 0 là bù được tôpô trong G T hoặc trong
.
X Y Khi ấy T có một lát cắt liên tục khi và chỉ khi T là liên tục.
Chứng minh Nếu 0 T 0 là bù được topo trong X Y thì nó cũng là bù được tôpô trong G T . Do đó theo Mệnh đề 2.4.4, T có một lát cắt liên tục. Điều ngược lại là hiển nhiên theo (2.4.1).
2.4.6 Hệ quả Cho H là một không gian Hilbert, cho T LR X H , và cho
0
T đóng. Khi đó T có một lát cắt liên tục khi và chỉ khi T là liên tục.
2.4.7 Mệnh đề Cho T 0 có chiều hữu hạn. Khi ấy T có lát cắt liên tục khi và chỉ khi T liên tục.
2.4.8 Định nghĩa Nếu miền giá trị của quan hệ tuyến tính T có số chiều hữu hạn thì T được gọi là cóhạng hữu hạn (finite rank).