Tính lipschitz của ánh xạ đa trị đa diện

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH ng Th Thóo TNH LIPSCHITZ CA NH X A TR A DIN LUN VN THC S TON HC Thnh ph H Chớ Minh 2014 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH ng Th Thóo TNH LIPSCHITZ CA NH X A TR A DIN Chuyờn ngnh : Toỏn Gii tớch Mó s : 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: TS TRNH CễNG DIU Thnh ph H Chớ Minh - 2014 Li cm n hon thnh lun ny, tụi ó nhn c nhiu giỳp t nhng ngi Thy, ngi thõn v bn bố Tụi xin trõn trng cm n TS Trnh Cụng Diu, ngi hng dn khoa hc, ó dnh nhiu thi gian, cụng sc v nim tin hng dn tụi thc hin lun Tụi xin gi li cm n chõn thnh n quý thy cụ ó ht lũng ging dy tụi sut khúa hc Tụi xin cm n cỏc thy cụ khoa toỏn - tin hc ó tn tỡnh giỳp tụi quỏ trỡnh tỡm v nghiờn cu ti liu Cm n cỏc bn v nhng nm thỏng cựng hc v nghiờn cu, tụi s khụng quờn khong thi gian ú Tụi xin dnh li cm n sau cựng cho nhng ngi luụn tim tụi, dự h bt k õu Mc lc Li núi u .1 Chng Kin thc chun b 1.1 Tp li a din v cỏc tớnh cht 1.2 Phộp chiu lờn mt li, úng 10 1.3 nh x a tr v cỏc tớnh cht liờn tc 16 Chng Cỏc tớnh cht Lipschitz ca ỏnh x a tr a din 23 2.1 nh x a tr a din 23 2.2 Tớnh Lipschitz ca ỏnh x a tr a din 25 Chng Tớnh Lipschitz ca ỏnh x affine tng khỳc v ng dng 32 3.1 Tớnh Lipschitz ca ỏnh x affine tng khỳc .32 3.2 Bi toỏn bt ng thc bin phõn affine .37 Kt lun v kin ngh .47 Ti liu tham kho 48 Li núi u Vai trũ ca gii tớch a tr vi thp niờn gn õy ó c khng nh thụng qua vic cụng nhn cỏc ng dng rng rói nhiu lnh vc nh lý thuyt phng trỡnh vi phõn, phng trỡnh o hm riờng, bt ng thc bin phõn v phng trỡnh suy rng, lý thuyt ti u, lý thuyt iu khin, ti u a mc tiờu, khoa hc qun lý v toỏn kinh t Hin nay, rt nhiu kt qu nghiờn cu v cỏc lnh vc núi trờn c vit bng ngụn ng gii tớch a tr iu ny cho thy sc mnh ca cụng c mi ny Cựng s phỏt trin ca khoa hc k thut m nhu cu nghiờn cu sõu cỏc tớnh cht ca mt lp cỏc ỏnh x a tr c bit c t ra, chng hn nh ỏnh x a tr a din Robinson ó phỏt hin mt tớnh cht c bit ca lp ỏnh x ny, ú l tớnh Lipschitz a phng trờn iu ú ó to nn tng v ng lc cho nhiu nghiờn cu sau ny v tớnh Lipschitz ca ỏnh x a tr a din v ng dng ca nú nhiu bi toỏn, c bit l bi toỏn bt ng thc bin phõn affine Mc tiờu ca lun ny l tỡm hiu v trỡnh by mt cỏch h thng v tớnh Lipschitz ca ỏnh x a tr a din v ng dng ca nú vo bi toỏn bt ng thc bin phõn affine, c th l vic xột tớnh nht nghim ca bi toỏn ny Lun gm cú ba chng Chng trỡnh by cỏc kin thc chun b lm nn tng cho hai chng sau Trong ú gii thiu cỏc khỏi nim, tớnh cht c bn ca li a din, phộp chiu lờn mt li, úng v ỏnh x a tr Chng gii thiu ỏnh x a tr a din cựng cỏc tớnh cht c bn Sau ú i sõu vo trỡnh by tớnh Lipschitz ca lp ỏnh x ny Chng trỡnh by v tớnh Lipschitz ca ỏnh x affine tng khỳc v ng dng vo bi toỏn bt ng thc bin phõn affine 2 Chng Kin thc chun b Chng ny trỡnh by mt s kin thc chun b liờn quan n li a din, phộp chiu lờn li, úng v ỏnh x a tr Ni dung c tham kho v trớch dn ch yu cỏc ti liu [1], [2], [5], [10], [12] Trong ton b chng, nu khụng núi gỡ thờm, ta xột khụng gian Euclide R n c trang b tớch vụ hng cho bi: x = ( x1 , x= , , xn ) , y bi tớch vụ hng x = ( y1, y2 , , yn ) R n , x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn v chun sinh x12 + x22 + + xn2 1.1 Tp li a din v cỏc tớnh cht n nh ngha 1.1.1 Cho S R , ta nh ngha: m = lin S li si : m N , si S , li R , i =1 m m = li , aff S li si : m N , si S , li R, = = i =i m m = li , S li si : m N , si S , li R+ , = conv = i =i m = S li si : m N , si S , li R+ cone i =1 Cỏc lin S , aff S , conv S ln lt gi l bao tuyn tớnh, bao affine, bao li ca hp S v cone S gi l nún sinh bi S Mt S R n c gi l li nu conv S = S c bit, lin S , aff S , conv S l cỏc li vi mi S S chiu ca mt li S l s chiu ca khụng gian affine aff S im x S gi l im tng i ca S nu tn ti s thc > cho vi mi y aff S , y x < thỡ y S Tp tt c cỏc im tng i ca S kớ hiu l relint S 3 nh ngha 1.1.2 Cho b R n \ {0} v R, cỏc H1 = x R | x, b bb {= } , H { x R | x, b } n n gi l cỏc na khụng gian úng cho bi b v Nhn xột 1.1.1 Cỏc na khụng gian úng l cỏc khỏc rng, li v úng nh ngha 1.1.3 Tp P R gi l li a din nu P cú th biu din di dng giao ca hu hn cỏc na khụng gian úng m Nhn xột 1.1.2 Vy P l li a din cú th vit di dng P = H i , H i l cỏc na i =1 khụng gian úng hay { 1, k P =x R n | x, bi bi , i = } 1, k ú bi R n v i R, i = Vớ d 1.1.1 Tp li a din b chn Tp li a din khụng b chn Hỡnh 1.1 nh ngha 1.1.4 Cho N S ( x )= {y R n li, úng, khỏc rng S, vi mi : yT x yT z , z S } c gi l nún phỏp tuyn ca S ti x Nhn xột 1.1.3 (i) N S ( x ) l nún li, úng x S, (ii) S , S l hai li, úng R n v U l mt lõn cn ca x R n cho S U = S U thỡ N S ( x ) = N S ( x ) (iii) Nu S l nún li, úng thỡ N S ( x ) N S ( ) , x S v N S ( ) = S { n i 1, k (iv) Cho li a din P =x R | x, b bi , i = } v x P Khi ú, NP ( x) = cone {bi : i {1, , k } , biT x = bi } nh ngha 1.1.5 Cho li a din P = {x R n : Ax b} vi A M mìn cú cỏc vect dũng l a1 , , am v vect b R m J ( A, b ) l h cỏc ch s I {1, , m} cho tn ti x R n tha aiT x =bi , i I , aTj x < b j , j {1, , m} \ I Tp hp cú dng FI ={ x R n : aiT x =bi , i I , aTj x b j , j {1, , m} \ I } , I J ( A, b ) , gi l mt khỏc rng ca P Mt mt khỏc rng FI ca P gi l mt tht s ca P nu FI P Nhn xột 1.1.4 (i) Hai mt FI , FJ tng ng vi hai ch s phõn bit I , J J ( A, b ) thỡ phõn bit (ii) Vi I J ( A, b ) , relint FI ={ x R n : aiT x =bi , i I , aTj x < b j , j {1, , m} \ I } (iii) Nún phỏp tuyn ca P ti cỏc im tng i ca mt FI c cho bi cụng = thc N I cone {ai : i I } vi N = {0} nh nh ngha T tớnh cht ca na khụng gian úng, ta cú kt qu sau Mnh 1.1.1 Tp li a din l li, úng Tuy nhiờn, khụng phi li, úng no cng l li a din 5 Vớ d 1.1.2 Qu cu n v R n ( n ) l li, úng nhng khụng l li a din nh lý 1.1.1 (nh lý Minskowki - Weyl v biu din ca li a din) Tp P Rn khỏc rng l li a din Khi ú, tn v1 , v2 , , v p , d1 , d , , d q R n cho = P conv {v1 , , v p } + cone {d1 , , d q } p q p n = i vi + j d j , i , j 0, i = x R : x = =i =j =i Cỏc vi , i = 1, p gi l cỏc im sinh, cỏc d j , j = 1, q gi l cỏc phng sinh ca P Cỏc im sinh v phng sinh ca mt li a din khụng nht x + Vớ d 1.1.3 Cho li a din= P ( x, y ) R : x y + Hỡnh 1.2 x y ti = v1 Chn = P = ) , v2 (= 2,1) ; d1 ( 0,1 = ( 4,= ) , d (1,1) thỡ y) {( x, = 1} ( 4, ) + ( 2,1) + à1 ( 0,1) + (1,1) , , , à1 , 0, += + 2 + , ( x, y ) R : xy == , , à1 , 0, 1+ = 2 + à1 + { } { Ta cú th dựng phộp kh Fourier-Motzkin chng minh nh lý trờn cng nh chuyn i t dng giao hu hn cỏc na khụng gian úng sang dng hu hn sinh nh nh lý 1.1.1 ca bt kỡ li a din no nhng ta khụng cp n phng phỏp ny õy Qua nh lý 1.1.1., ta thy rng ỏnh x affine cú th bo ton tớnh li a din Mnh 1.1.2 nh ca li a din qua ỏnh x affine l li a din Chng minh Cho P = 1} vi B M nì p , C M nìq l li a din v {B + C : , 0, i = f : Rn Rd x Mx + t d vi M M d ìn , t R l ỏnh x affine t T l ma trn cp ( d ì p ) vi mi ct l vect t t B :=MB + T , C :=MC Khi ú f ( P= ) {M ( B + C ) + t : , 0, = 1} = 1} {B + C : , 0, = i i l mt li a din H qu 1.1.1 nh ca li a din qua ỏnh x affine l li, úng Vớ d 1.1.4 Trong R xột X = A : R2 R2 A( X ) = {( x, y ) R : x > 0, xy 1} v ỏnh x tuyn tớnh cho bi cụng thc A ( x, y ) = ( x, ) thỡ X l li, úng nhng {( x, ) R : x > 0} khụng phi l úng 7 Hỡnh 1.3 Mnh 1.1.3 Tng ca hai li a din l mt li a din Chng minh Cho P= conv {v1 , , v p } + cone {d1 , , d q } , P ' = conv {v '1 , , v ' p ' } + cone {d '1 , , d 'q ' } t = Q : conv {vi + v ' j |1 i p,1 j p '} + cone {di , d ' j |1 i q,1 j q '} thỡ Q l li a din Ta s chng minh P + P ' = Q Hin nhiờn Q P + P ' Ta kim tra bao hm thc ngc li p q p' q' Ly= p : i vi + j d j + 'i v 'i + ' j d ' j P + P ' =i =j vi i , j , 'i , ' j 0, =i p =j p' 'i =1 i = =i =i x: Ta cn chng minh= i vi + 'i v 'i conv {vi + v ' j |1 i p,1 j p '} Gi s tt c p p' =i =i cỏc h s tng ny l dng, ta chn h s nh nht gia , , q , '1 , , 'q ' Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s ú l 8 ''1= : '1 , ''i =: 'i , i q ', 11 =: thỡ x 11 ( v1 + v '1=) t q q' i vi + ''i v 'i v =i 2=i q' q i = ''i Tip tc quỏ trỡnh trờn hu hn ln, ta cú biu din mi ca x l =i 2=i = x (v + v ' ) 1i q j q ' ij i j vi 1i q j q ' ij = Vy x conv {vi + v ' j |1 i p,1 j p '} Ta suy iu phi chng minh H qu 1.1.2 Tng ca hai li a din l mt li, úng Tng ca hai li, úng cha chc úng Vớ d sau s lm rừ iu ny Vớ d 1.1.5 Trong = Y {( x, y ) R X += Y R2 xột : x < 0, xy 1} l {( x, y ) R hai X= {( x, y ) R li, : x > 0, xy 1} úng v nhng tng : y > 0} khụng phi l úng Hỡnh 1.4 nh lý sau núi v tớnh tỏch cht hai li a din Mnh 1.1.4 Cho P1 , P2 l cỏc li a din khỏc rng, ri Khi ú, tn ti mt siờu phng tỏch cht chỳng, ngha l, tn ti a R n \ {0} , a > cho ay > a > az, y P1 , z P2 Chng minh: P1 , P2 l cỏc li a din nờn theo mnh P1 P2 cng l li a din, ú úng Hn na P1 P2 khụng cha vỡ P1 , P2 ri Do ú tn ti mt siờu phng { x : ax = à} vi a 0, > cho ax > > 0, x P1 P2 hay ay > + az, y P1 , z P2 Vỡ vy inf {ay : y P1} sup {az + : z P2 } > sup {az : z P2 } t = sup {az : z P2 } , = inf {ay : y P1} v = + thỡ < < Khi ú ay > a > az, y P1 , z P2 Vy P1 , P2 b tỏch cht bi siờu phng { x : ax = a } Vớ d sau cho ta thy tớnh li a din m bo cho tớnh tỏch cht Vớ d 1.1.6 Ta xột hai hp nh sau R2 : A = {( x, { ) ẻ R : x Ê 0} , ùỡ ùỹ B = ớ( x, y ) ẻ R : y , x > 0ý thỡ d thy A, B l cỏc li, úng, nhiờn, khụng cú ùợù ùỵù x ng thng no tỏch cht chỳng Hỡnh 1.5 10 1.2 Phộp chiu lờn mt li, úng Mnh 1.2.1 Cho C R n li, úng, khỏc rng v x R n Khi ú, tn ti nht y C cho y x u x , u C Chng minh: Xột bi toỏn y x : y C (*) Ta chng minh (*) cú nghim nht Tht vy, t f x (= y) : yx 2 thỡ f x liờn tc trờn C Vi c C , t S := { y R n : f x ( y ) fc ( x )} thỡ S vỡ x S Khi ú, ta cú th vit li bi toỏn (*) l inf { f x ( y ) : y C S } S compact nờn C S compact, fx liờn tc, ú, theo nh lý Weierstrass { f x ( y ) : y C S } tn ti Gi s y1, y2 l hai ngim ca (*) Ta cú: y1 x ) + ( y2 x ) = ( t= y0 ( y1 + y2 ) thỡ ( y1 x ) + ( y2 x ) y0 K Khi ú, 1 f x ( y1 ) + f x ( y2 ) ) y2 y1 ( f x ( y0 ) ( f x ( y1 ) + f x ( y2 ) ) f x ( y= 0) 2 ( y x ) ( y2 x ) 2 11 y1, y2 l nghim nờn Mt khỏc, vỡ f x ( y0 ) f x ( y1 ) , f x ( y0 ) f x ( y2 ) hay f x ( y0 ) ( f ( y ) + f x ( y2 ) ) x Suy f x ( y0 ) =1 ( f x ( y1 ) + f x ( y2 ) ) y2 y1 =0 y2 =y1 nh ngha 1.2.1 Cho C R n li, úng, khỏc rng v x R n Vect y C tha y x u x , u C gi l hỡnh chiu ca x lờn C , kớ hiu: PC ( x ) = y Cho C li, úng, khỏc rng, ta xột cỏc mnh sau n Mnh 1.2.2 Cho x R , y C Khi ú PC ( x ) = y x y, u y 0, u C Chng minh: ( ) Gi s PC ( x ) = y, thỡ y l nghim ca bi toỏn ( *) y + ( u y ) C vi mi ( 0,1) f x ( y ) f x ( y + (u y )) y x + (u y ) 1 2 = y x + y x, u y + uy 2 = y x, u y + uy 2 y x, u y + u y 2 Cho 0, suy y x, u y hay x y, u y 0, y C ( ) Ly y C tha x y, u y 0, u C Nu y = x thỡ y = PC ( x ) Ly u C , suy 12 Nu y x, ly bt kỡ u C , ta cú: x y, u y = x y, u x + x y = x y + x y, u x x y x y x u 2 x y x u , u C Vy y = PC ( x ) H qu 1.2.1 PC ( x1 ) PC ( x2 ) PC ( x1 ) PC ( x2 ) , x1 x2 , x1 , x2 R n Chng minh: Theo mnh 1.2.2., ta cú: PC ( x2 ) PC ( x1 ) , x1 PC ( x1 ) v PC ( x1 ) PC ( x2 ) , x2 PC ( x2 ) Cng v theo v hai bt ng thc trờn, ta c: PC ( x1 ) PC ( x2 ) , x2 x1 + PC ( x1 ) PC ( x2 ) PC ( x1 ) PC ( x2 ) PC ( x1 ) PC ( x2 ) , x1 x2 T h qu ny, ta cú kt qu sau H qu 1.2.2 Phộp chiu P lờn li úng C l liờn tc Lipschitz vi h s Lipschitz l 1, ngha l PC ( x1 ) PC ( x2 ) x1 x2 , x1 , x2 R n Tớnh cht trờn c gi l tớnh khụng gión ca phộp chiu Ta trỡnh by cụng thc ca phộp chiu lờn vi li, úng n gin Vớ d 1.2.2 Phộp chiu lờn qu cu n v B R n : P : Rn đ B ỡ x x ẻ B ù ù ù x P ( x) = x x ẽ B ù ù ù ù ợ x 13 Hỡnh 1.6 Tht vy, ta kim tra thụng qua mnh 1.2.2.: n (D thy, P ( x) ẻ B vi mi x ẻ R ) x ẻ B : x - P ( x ) , y - P ( x) = x - x, y - x = 0, y ẻ B x ẽ B : yẻB: x - P ( x), y - P ( x) = x = Vỡ x x , yx x x -1 ( x, y - x ) x xẽ B nờn x > 1, suy x -1 >0 x y Ê 1, suy x, y Ê x y Ê x hay x, y - x Ê Vy x - P ( x) , y - P ( x) Ê 0, "y ẻ B v yẻB nờn 14 Vớ d 1.2.3 Cho a ẻ R n \ {0 Rn } , a ẻ R, phộp chiu lờn na khụng gian úng H = { x ẻ R n : x , a Ê a} : P : Rn đ H ỡù x x ẻ H ùù x, a - a x P ( x) = ùớ a x ẽ H ùù x ùùợ a Hỡnh 1.7 Ta cú x - x, a - a a a , a = x, a - x, a - a a n a = a nờn P ( x ) ẻ H , "x ẻ R Ta kim tra õy l phộp chiu lờn H: x - P ( x ) , y - P ( x) = x - x, y - x = 0, y ẻ H x ẻ H : x ẽ H : y ẻ H : ổ ổ x, a - a ữữử x, a - a ữữử ỗ ỗỗ x - P ( x ) , y - P ( x ) = x - ỗỗ x a , y x aữữ ữ ỗỗ 2 ữữ ỗố ữứ a a ứ ố = = x, a - a a x, a - a a ổ x, a - a ửữữ ỗ a, y - ỗỗ x aữữ ữứ ỗố a a, y - x, a - a a aÊ0 ( a, y Ê a ) 15 Vy x - P ( x) , y - P ( x) Ê 0, "y ẻ H Mnh 1.2.3 Cho S R n l li, úng, khỏc rng v s S Khi ú, ta cú: PS ( = s) {s} + N S ( s ) Chng minh Ta cn chng minh PS ( x ) = s ( x s ) N S ( s ) Theo nh ngha nún phỏp tuyn, vect v thuc N S ( s ) v ch S H ( s, v ) = { y R n : vT y vT s} Tc l ta chng n minh vi mi x R , ng thc PS ( x ) = s ỳng v ch S H ( s, x s ) Ta cú PS ( x ) = s P[ s , s '] ( x ) = s s ' S ( x s ) s ' ( x s ) s s ' S T T S H ( s, x s ) Mnh 1.2.4 Cho S = b} , vi A M mìn vi rank A = m v b R m Khi { x R n : Ax = ( ) ( I AT ( AAT ) A z + AT ( AAT ) ú PS ( z ) = 1 ) b Chng minh Theo = NS ( x) mnh {A T 1.2.3., vi mi z R n= , x PS ( z ) z { x} + N S ( x ) , cú y : y R m } Vỡ vy, phộp chiu PS ( z ) cú th nh bi nghim ca phng trỡnh: z I AT PS ( z ) , = b A y Mt khỏc: ta 16 I A I AT ( AAT )1 A AT = ( AAT ) A ( ) ( I AT ( AAT ) A z + AT ( AAT ) Ta suy PS ( z ) = 1 AT ( AAT ) T ( AA ) ) b Tớnh cht trờn ch rng phộp chiu lờn khụng gian affine l mt hm affine Ta s chng minh phộp chiu lờn li a din l ỏnh x affine tng khỳc chng 1.3 nh x a tr v cỏc tớnh cht liờn tc nh ngha 1.3.1 Cho X , Y l cỏc khỏc rng, ỏnh x F : X 2Y ( 2Y l h tt c cỏc ca Y ) c gi l ỏnh x a tr t X vo Y , kớ hiu l F : X Y Vớ d 1.3.1 Xột phng trỡnh a thc x n + a1 x n + + an x + an= 0, n N , R ( i= 1, , n ) Quy tc cho tng ng mi = vect a ( a1 , , an ) R n vi nghim, kớ hiu F ( a ) , ca phng trỡnh trờn l mt ỏnh x a tr t R n vo C Nhn xột 1.3.1 nh x n tr c xem l ỏnh x a tr c bit vi nh ca mi im l ch cú mt phn t nh ngha 1.3.2 Cho F : X Y , ta nh ngha th gph F , hu hiu dom F v nh rge F ca ỏnh x a tr F nh sau: gph= F {( x, y ) X ì Y : y F ( x )} , dom F= v rge F = { x X : F ( x ) } , { y Y : x X cho y F ( x )} nh ngha 1.3.3 Cho F : X Y , ỏnh x ngc F : Y X ca ỏnh x a tr F c xỏc nh bi cụng thc: F ( y ) = { x X : y F ( x )} ( y Y ) [...]... c: PC ( x1 ) PC ( x2 ) , x2 x1 + PC ( x1 ) PC ( x2 ) 0 PC ( x1 ) PC ( x2 ) PC ( x1 ) PC ( x2 ) , x1 x2 0 2 T h qu ny, ta cú kt qu sau H qu 1.2.2 Phộp chiu P lờn tp li úng C l liờn tc Lipschitz vi h s Lipschitz l 1, ngha l PC ( x1 ) PC ( x2 ) x1 x2 , x1 , x2 R n Tớnh cht trờn c gi l tớnh khụng gión ca phộp chiu Ta trỡnh by cụng thc ca phộp chiu lờn vi tp li, úng n gin Vớ d 1.2.2 Phộp chiu