TÍNH LIÊN TỤC VÀ RỜI RẠC, CHUYỂN ĐỘNG VÀ ĐỨNG YÊN TRONG LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN Mối quan hệ liên tục rời rạc, hữu hạn vô hạn, chuyển động đứng yên vấn đề quan trọng không triết học, mà triết học tốn học Thơng qua phân tích việc giải vấn đề lịch sử phát triển phép tính vi phân tích phân, tác gi ả cho rằng, phân ngành tốn học thành giai đo ạn: Giai đoạn trước Weierstrass, phép tính vi phân tích phân có tính tr ực giác, dựa chủ yếu vào quan điểm chuyển động Giai đoạn từ Weierstrass trở sau, tính “chuyển động” bị tước bỏ khỏi khái niệm giới hạn khái niệm liên tục Nhờ vậy, có m ột ngành giải tích đồ sộ giúp cho việc nghiên cứu ứng dụng thuộc tính “chuyển động” vật chất thuận lợi Trong lịch sử toán học, phép tính tích phân đ ời trước phép tính vi phân Phép tính tích phân có ngu ồn gốc từ Hy Lạp cổ đại Song, cơng trình coi cội nguồn phép tính tích phân, Phương pháp “vét kiệt” (Method of Exhaustion) c Eudoxus (408-355 TCN); “Phương pháp” Archimedes (287-212 TCN), tìm thấy vào năm 1906 Bằng việc sử dụng khái niệm yếu tố (elements) hình (đường thẳng tạo thành điểm, hình phẳng tạo đường thẳng, hình khối tạo mặt phẳng), Archimedes thu đư ợc kết quan trọng thể tích diện tích Trong kỷ thứ XIV, toán cố thể di chuyển với vận tốc thay đổi, quãng đường m ột thời gian cho trước nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Với cách biểu diễn vận tốc hình học, Nicole Oresme (1323 1382) xác định quãng đư ờng cố thể diện tích tạo biểu diễn vận tốc Cịn Niutơn cho r ằng, xét phương diện học, tất tốn mơn phép tính vi phân tích phân qui hai toán: 1) Xác định vận tốc tức thời chuyển động quãng đường biết; 2) Xác định quãng đường khoảng thời gian cho theo vận tốc biết chuyển động Như vậy, phép tính tích phân có liên quan đ ến việc phân chia đại lượng liên tục thành vơ hạn đại lượng vơ bé, cịn việc nghiên cứu chuyển động trở thành nguyên nhân cho s ự đời phép tính vi phân tích phân Tuy nhiên, đ ể đạt chặt chẽ ngày nay, nhà nghiên c ứu phép tính vi phân tích phân phải đối mặt vấn đề mối quan hệ liên tục rời rạc; hữu hạn vơ hạn; chuyển động đứng n Đó vấn đề lớn không triết học, mà triết học toán học (Philosophy of Mathematics) Về mối quan hệ liên tục rời rạc, vô hạn hữu hạn Trong sống, coi th ời gian không gian vừa liên tục, vừa gián đoạn, hữu hạn lẫn vô hạn Thời gian có thuộc tính liên tục, người ta lại phân thành giây, phút, gi - lại rời rạc Đường thẳng trư ờng hợp điển hình cho liên tục Nhưng điểm đường thẳng hay s ố tự nhiên kết hợp với điểm đường thẳng lại rời rạc Từ đó, câu hỏi đặt làm để tính liên tục mơ tả thơng qua tính r ời rạc? Từ khái niệm nguyên tử với tư cách hạt vật chất phân chia nhỏ thêm Đêmơcrít (460 – 370 TCN) đường thẳng quan niệm tạo thành vô số nguyên tử Thế nhưng, luận điểm không th ể đứng vững trước lập luận Dênon (490 – 430 TCN) Theo Dênon, n ếu nguyên tử có độ dài khơng khơng thêm vào khơng v ẫn không vậy, tổng vô hạn đại lượng khơng khơng Vậy, đường thẳng có độ dài khơng - điều vơ lý Ngư ợc lại, ngun tử có độ dài tổng vơ hạn ngun tử có độ dài vơ hạn vậy, độ dài đoạn thẳng vơ hạn Đó ều vơ lý Từ đó, Dênon kết luận rằng, đoạn thẳng (hay đường thẳng) phân chia thành vô hạn phần tử hay nguyên tử Phải mâu thuẫn này, mâu thuẫn mà nhà toán h ọc Hy Lạp cổ đại không giải được, nên phép tính tích phân vi phân khơng phát triển thêm m ột thời gian dài lịch sử, kể từ sau toán học Hy Lạp cổ đại Về mối quan hệ chuyển động đứng yên Ngày nay, khái niệm phép tính vi phân tích phân, khái ni ệm giới hạn hay khái niệm liên tục định nghĩa cấp độ hình thức theo ngơn ngữ “e, d” có tính chất tĩnh (static); ngư ời ta thấy yếu tố chuyển động - dấu vết lịch sử - liên quan đến thuật ngữ dùng cho khái niệm đó, hàm s ố f(x) dần tới L x dần tới a, hay hàm số f(x) có giới hạn L x d ần tới a Các khái niệm “dần tới” định nghĩa cách xác Nhưng, l ịch sử toán học, đề cập đến “dần tới” có tính chất chuyển động, người ta gặp phải nghịch lý tiếng Dênon Đó là: - Nghịch lý phân đơi Đ ể qua đoạn đường đó, trư ớc hết phải qua nửa đoạn đường Và, để qua nửa đoạn đường này, ta lại phải qua phân nửa nó…, đến vơ tận Rốt ch ỉ đứng yên vị trí ban đầu Như vậy, chuyển động khơng xảy - Nghịch lý mũi tên N ếu thời gian chia thành khoảnh khắc nhỏ phân chia khoảnh khắc đó, mũi tên không chuy ển động Như vậy, mũi tên đứng im khơng có chuyển động Từ nghịch lý đó, Dênon cho r ằng, khơng có chuyển động xảy có phân chia đại lượng liên tục thành vô hạn đại lượng rời rạc Tìm câu trả lời thoả đáng tốn học cho nghịch lý Dênon vấn đề khó, dù rằng, mặt triết học, Hêgen cho vận động trình th ống biện chứng vận động đứng yên Và, Ph.Ăngghen nh ấn mạnh rằng, vận động học trình chứa đựng giải mâu thuẫn: vật thời điểm vừa vận động, vừa đứng n; vừa vị trí đồng thời lại khơng vị trí Khái niệm vơ bé “Nỗi sợ hãi” khái niệm vô hạn kéo dài từ Dênon đến kỷ thứ XVII Nhưng may, khái niệm vô hạn quan tâm trở lại J.Kêple (1571-1630), ông sử dụng phương pháp vô bé (infinitesimals), b ởi B.Cavalieri (1598 -1647) với cơng trình dựa “cái khơng phân chia đư ợc” (indivisibles) Các cơng trình mở đường cho I.Niutơn (1642-1727) G.W.Lépnít (1646-1716) phát triển mơn phép tính vi phân tích phân sau Lépnít xem vi phân m ột vô bé hiệu hai giá trị gần đại lượng (từ vơ bé kí hiệu d chữ đầu từ La tinh differentia - có nghĩa hiệu, tỉ số ứng với đạo hàm); đường cong xem đường gấp khúc với vô lớn cạnh vơ bé Năm 1688, Lépnít xem tích phân t số vơ hạn vi phân kí hiệu ị (ò chữ đầu từ La tinh summa - có nghĩa tổng) Như vậy, khái niệm giải tích vơ bé Lépnít vi phân -hiệu vơ bé, tích phân – tổng vô hạn vi phân Mặc dù phép tính vi phân tích phân đư ợc phát triển sở khái niệm vô bé, khái ni ệm vào thời cịn mơ h ồ, khơng đủ chặt chẽ: có biến số, có lại số; đại lượng hữu hạn, lại đại lượng vơ nhỏ không Chẳng hạn, coi “dy” “dx” đại lượng vơ bé, Lépnít cho r ằng, dx số gia vô bé khác không x dy, định nghĩa dy=f(x + dx) - f(x) khác không Ví dụ, y=f(x)=x , dy= (x+dx) -x =2x(dx)+(dx) (I) = 2x+dx (II).Theo Lépnít,n ếu cho dx=0, ta có tiếp tuyến x với hệ số góc 2x Theo cách lập luận đây, dx số khác khơng m ới thực phép chia hai v ế (I) để có (II) vậy, hệ số góc tiếp tuyến không 2x Rõ ràng, lập luận Lépnít có mâu thuẫn, có lúc ơng xem dx m ột đại lượng khác khơng, có lúc ông lại xem dx đại lượng không P.Phécma (1601 - 1665) người có cơng đầu việc xây dựng phép tính vi phân L ập luận mà ơng đưa để tìm cách chia đại lượng cho trước thành hai đại lượng cho tích c hai đại lượng đạt giá trị lớn sau: Gọi B đại lượng cho trước Chia B thành hai ph ần A B - A, E đại lượng vô bé Thay A đại lượng A - E: (A-E) (B - (A - E)) Sau đó, cho A (B-A): A(B - A) = (A - E)(B - (A - E)) hay 2AE - BE - E = Tiếp theo chia hai vế cho E: 2A-B-E=0 Nếu E=0 2A-B=0 hay A= Như vậy, Phécma tìm đư ợc cách giải tốn đặt Tuy nhiên, trình l ập luận trên, có lúc Phécma cho E khác khơng (khi thực phép chia cho E) có lúc ơng l ại cho E = 4 Vô bé, chuyển động liên tục Để làm rõ khái niệm vơ bé nhằm làm cho phép tính vi phân tích phân có s chặt chẽ, người ta phải đối mặt với vấn đề chuyển động Chẳng hạn, định nghĩa khái niệm vô bé biến dần tới số 0, “dần tới” giá trị lại liên quan đến khái niệm chuyển động mà phép tính vi phân tích phân, chuy ển động q trình liên tục với nghĩa biến phải nhận giá trị khoảng diễn chuyển động Vậy, làm để mơ tả tốn học biến di chuyển qua tất điểm khoảng? Ta khơng thể nói “đi từ điểm đến điểm sau”, khơng có điểm (giữa hai điểm ln có điểm khác) B.Bolzano (1781-1848) phủ định tồn số vô bé (infinitesimals) s ố vô lớn, song vào năm 1817, ông l ại đưa định nghĩa xác tính liên tục: hàm số f(x) liên tục khoảng, x khoảng mà hiệu f(x+ - f(x) làm nhỏ tuỳ ý cho đủ nhỏ Khái niệm giới hạn xác hố g ặp khó khăn tương tự Bởi số c gọi giới hạn x ta làm cho x tiến gần đến c cách tuỳ ý (as close as desired) thông qua thay đổi liên tục Khi lại xuất vấn đề làm mô tả khái niệm “gần cách tuỳ ý” tốn học A.L.Cauchy (1789 - 1857) người có cơng lớn việc làm xác hố khái niệm giới hạn liên tục, ông đưa định nghĩa khái niệm giới hạn mà nay, sử dụng: x biến số thực có giới hạn c với số dương cho trước nào, giá trị tuyệt đối hiệu x c làm nhỏ số dương cho trước Nhà tốn học Đức - K.Weierstrass (1815 - 1897) làm rõ cụm từ “một biến dần tới giới hạn”, coi biến chẳng qua chữ thay cho phần tử thuộc tập hợp giá trị mà chữ nhận Biến liên tục biến mà x thuộc tập giá trị biến d số dương bất kỳ, có giá trị khác biến thuộc khoảng (x - d, x + d) Từ đó, ơng định nghĩa khái niệm hàm số liên tục sau: Hàm số liên tục điểm x = x với số dương e cho trư ớc, số dương d tồn để cho với x thoả < d < e Một cách tương tự, ông định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số sau: Hàm số f(x) có giới hạn L x = x với số dương e cho trước, số dương d tồn để cho với x thoả 0< < d < e Như vậy, Bolzano, Cauchy l ẫn Weierstrass loại bỏ tính chất “chuyển động” định nghĩa khái ni ệm sở phép tính vi tích phân Các thu ật ngữ “hàm số f(x) dần tới L x dần tới a”, hay “hàm số f(x) có giới hạn L x dần tới a” mà ông đưa chứa đầy mâu thuẫn (bản thân x dần tới a phải định nghĩa trư ớc đã) sử dụng, chúng hồn tồn khơng tương h ợp với định nghĩa khái ni ệm giới hạn hàm số theo ngôn ngữ “e, d” Mặc dù vậy, ông thừa nhận người có công lớn việc hình thức hố phép tính vi phân tích phân, xây d ựng nên phép tính vi phân tích phân “tĩnh t ại” khơng mâu thuẫn, có sở lơgíc chặt chẽ, đó, khái niệm “liên tục”, “dần tới”, “giới hạn”,… mô tả cách xác tốn học, định nghĩa đối tượng (object) q trình (process) đ ể từ đó, có đủ sở giải nghịch lý Dênon, lý giải vướng mắc khác có liên quan đ ến khái niệm mà phép tính vi phân tích phân d ựa vào trực giác (chẳng hạn, tính “chuyển động” hay “q trình”) khơng lý giải được; (chẳng hạn, dãy ( n dần tới ) có giới hạn , giới hạn liệu đạt hay khơng >0 với n) Tóm lại, dựa vào thuộc tính vận động vật chất, có th ể phân ngành tốn h ọc phép tính vi phân tích phân thành hai giai đoạn: - Giai đoạn trước Weierstrass: phép tính vi phân tích phân có tính trực giác, dựa chủ yếu vào quan điểm chuyển động - Giai đoạn từ Weierstrass trở sau: phép tính vi phân tích phân hình thức hố, có sơ sở chặt chẽ Tính “chuyển động” bị tước bỏ khỏi khái niệm giới hạn khái niệm liên tục – hai khái niệm sở phép tính vi phân tích phân Chính v ậy mà có ngành giải tích đồ sộ chặt chẽ ngày nhờ đó, việc nghiên cứu thuộc tính “chuyển động” vật chất để ứng dụng vào hầu hết ngành khoa h ọc khác trở nên thuận lợi hơn.r TÀI LIỆU THAM KHẢO CHÍNH Eves H (1982), An introduction to the history of mathematics , New York: Saunders College Publishing Kline M (1990), Mathematics thought from ancient to modern times, Oxford: Oxford University Press Nguyễn Phú Lộc (2004), Nguồn gốc phát sinh phép tính vi phân tích phân, Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ, số 327(9/2004), Hà Nội Luchins A.S & Luchins E.H (1965) , Logical foundations of mathematics for behavioral scientists, NewYork: Holt, Rinehart and Winston, Inc Priestley W M (1979), Calculus: An Historical Approach , NewYork: Springer -Verlag Nguyễn Hữu Vui (chủ biên)(2002): Lịch sử Triết học, Nxb Chính trị Quốc gia, Hà Nội (*) Bộ mơn Tốn, Khoa Sư ph ạm, Trường Đại học Cần Thơ ... tính tích phân có liên quan đ ến vi? ??c phân chia đại lượng liên tục thành vô hạn đại lượng vơ bé, cịn vi? ??c nghiên cứu chuyển động trở thành nguyên nhân cho s ự đời phép tính vi phân tích phân. .. lại, dựa vào thuộc tính vận động vật chất, có th ể phân ngành tốn h ọc phép tính vi phân tích phân thành hai giai đoạn: - Giai đoạn trước Weierstrass: phép tính vi phân tích phân có tính trực... thời gian dài lịch sử, kể từ sau toán học Hy Lạp cổ đại Về mối quan hệ chuyển động đứng yên Ngày nay, khái niệm phép tính vi phân tích phân, khái ni ệm giới hạn hay khái niệm liên tục định nghĩa