Ứng dụng tính đơn điệu, tính liên tục của hàm số trong dãy số và phương trình hàm

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– HỒNG VĂN HOAN ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRONG DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2019 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990085640861000000 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– HỒNG VĂN HOAN ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRONG DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hồng Trí ĐÀ NẴNG - NĂM 2019 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ 1.2 Hàm số 1.3 Dãy số 1.4 Phương trình hàm CHƯƠNG ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DÃY SỐ 11 2.1 Một số định lý phương pháp 11 2.1.1 Một số định lý 11 2.1.2 Phương pháp 20 2.2 Bài tập 21 MỤC LỤC CHƯƠNG ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM 34 3.1 Phương pháp 3.2 Bài tập 34 34 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 43 Vì tồn c ∈ R cho f (c) = Từ (3.16) ta cho y = c ta f (0) = c Từ (3.16) cho x = y = ta f ([1 + c]c) = ⇒ f ([1 + c]c) = f (c) Mà f đơn ánh nên (1 + c)c = c ⇒ c = ⇒ f (0) = Từ (3.16) cho x = ta được: f (f (y)) = y, ∀y ∈ R (3.17) Từ (3.16) thay x f (x), thay y f (y) sử dụng (3.17) ta được: f (y(1 + x)) = f (y) + yf (x), ∀x, y ∈ R (3.18) Từ (3.16) thay x = −1, sử dụng f (0) = đặt a = −f (−1) ta được: f (y) = ay, ∀y ∈ R (3.19) Thay (3.17) vào (3.16) ta được: a(1 + ax)ay = y + axy (3.20) Từ (3.20) cho x = y = ta a2 (1 + a) = (1 + a) ⇒ a ∈ {1; −1} Do f (x) = x f (x) = −x Thử lại thấy thỏa mãn Vậy f (x) = x f (x) = −x Bài toán 3.2.7 (Sáng tác.) Cho hàm số f : N∗ −→ N∗ thỏa mãn: f (m + f (n)) = n + f (m + 30), ∀m, n ∈ N∗ (3.21) 44 Tìm số tự nhiên x cho x X f (k) = 2020 n=1 Lời giải Giả sử tồn hàm số thỏa mãn yêu cầu tốn Giả sử f (m) = f (n) ta có f (f (m) + f (1)) = f (f (n) + f (1)) ⇒ m + f (f (1) + 30) = n + f (f (1) + 30) ⇒ m = n Suy f đơn ánh Với n ∈ N∗ ta có f (f (n)+f (1)) = n+f (f (1)+30) = n+1+f (30+30) = f (30+f (n+1)) Suy f (n)+f (1) = 30+f (n+1) ⇒ f (n+1)−f (n) = f (1)−30, ∀n ∈ N∗ ⇒ f (n) − f (n − 1) = f (1) − 30 f (n − 1) − f (n − 2) = f (1) − 30 f (n − 2) − f (n − 3) = f (1) − 30 f (2) − f (1) = f (1) − 30 Suy f (n) = an với a = f (1) − 30, ∀n ∈ N∗ Thay vào (3.21) ta có na2 + (m + 30)a + 30 = n + (m + 30)a + 30 45 ⇒ a2 = ⇒ a = (Vì a = −1 f (n) 6∈ N∗ n ≥ 30) Do f (n) = n + 30 Thử lại thấy thỏa mãn Vậy f (n) = n + 30, ∀n ∈ N∗ Khi đó: x X ⇔ f (k) = 2020 n=1 x X (k + 30) = 2020 n=1 ⇔ x = 40 Vậy x = 40 Bài tốn 3.2.8 Tìm tất hàm số f liên tục R thỏa mãn hai điều kiện sau: i)f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R ii)f (f (x)) = x, ∀x ∈ R Lời giải Giả sử f (x) = f (y) Khi ta có x = f (f (x)) = f (f (y)) = y ⇒ x = y Suy f hàm đơn ánh Vì f đơn ánh liên tục nên f đơn điệu R Trường hợp f hàm số đồng biến R Giả sử tồn x0 ∈ R cho f (x0 ) 6= x0 46 Khi suy f (x0 ) < x0 f (x0 ) > x0 Nếu f (x0 ) > x0 f (f (x0 )) > f (x0 ) ⇒ x0 > f (x0 ) (mâu thuẫn) Nếu f (x0 ) < x0 f (f (x0 )) < f (x0 ) ⇒ x0 < f (x0 ) (mâu thuẫn) Do f (x) = x, ∀x ∈ R Trường hợp f hàm số nghịch biến R Đặt g(x) = −f (x), ∀x ∈ R Khi hàm số g(x) đồng biến R Ta có g(g(x)) = −f (g(x)) = −f (−f (x)) = f (f (x)) = x, ∀x ∈ R Nên theo trường hợp ta suy g(x) = x ⇒ f (x) = −x, ∀x ∈ R Thử lại thấy thỏa mãn Vậy có hai hàm số thỏa mãn toán f (x) = x f (x) = −x, ∀x ∈ R Bài toán 3.2.9 Chứng minh không tồn hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn: f (x + 2019)[f (x) + √ 2020] = −2021, ∀x ∈ R (3.22) Lời giải Giả sử tồn hàm số f (x) thỏa mãn yêu cầu Khi √ f (x) 6= f (x) 6= − 2020, ∀x ∈ R Gọi T tập giá trị hàm số f (x) Do hàm số f (x) liên tục R nên xảy ba trường hợp sau: 47 √ Trường hợp T ⊂ (−∞; − 2020) Khi đó: f (x + 2019)[f (x) + √ 2020] > 0, ∀x ∈ R Điều mâu thuẫn với (3.22) Trường hợp T ⊂ (0; +∞) Khi đó: f (x + 2019)[f (x) + √ 2020] > 0, ∀x ∈ R Điều mâu thuẫn với (3.22) √ Trường hợp T ⊂ (− 2020; 0) Khi đó: √ √ √ − 2020 < f (x + 2019) < 0, < f (x) + 2020 < 2020 Suy ra: f (x + 2019)[f (x) + √ 2020] > −2020 > −2021, ∀x ∈ R Điều mâu thuẫn với (3.22) Vậy không tồn hàm số f (x) Bài tốn 3.2.10 Tìm tất hàm số f : [0; 1] −→ R thỏa mãn: |x − y|2 ≤ |f (x) − f (y)| ≤ |x − y|, ∀x, y ∈ [0; 1] Lời giải Từ (3.23) ta lấy giới hạn hai vế y → x ta được: lim |x − y|2 ≤ lim |f (x) − f (y)| ≤ lim |x − y| y→x y→x ⇒ ≤ lim |f (x) − f (y)| ≤ y→x y→x (3.23) 48 Theo định lý kẹp ta suy ra: lim |f (x) − f (y)| = ⇒ lim f (y) = f (x) y→x y→x Do hàm số f (x) liên tục đoạn [0; 1] Giả sử a, b ∈ [0; 1] cho f (a) = f (b) Trong (3.23) thay x a thay y b ta (a − b)2 ≤ ⇒ a = b Suy f đơn ánh Kết hợp với f hàm số liên tục, suy f hàm đơn điệu thực Ta thấy hàm số f (x) + c −f (x) + c thỏa mãn (3.23), giả sử f (0) = f làm hàm số tăng Trong (3.23) thay x = 0, y = ta ≤ |f (1)| ≤ ⇒ |f (1)| = ⇒ f (1) = (Do f tăng < 1) Cũng trên, ta suy f (x) ∈ [0; 1], ∀x ∈ [0; 1] Trong (3.23) thay y = ta |f (x)| ≤ |x| ⇒ f (x) ≤ x, ∀x ∈ [0; 1] Trong (3.23) thay y = ta đượcf (x) ≥ x, ∀x ∈ [0; 1] Do ta suy f (x) = x, ∀x ∈ [0; 1] Do f (x) = x + b f (x) = −x + b, b số tùy ý Thử lại thấy thỏa mãn Bài toán 3.2.11 (Vietnam MO 2017) Tìm tất hàm số f : R −→ R 49 thỏa mãn: f (xf (y) − f (x)) = 2f (x) + xy (3.24) với số thực x, y Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho x = vào (3.24) ta được: f (f (y) − f (1)) = 2f (1) + y (3.25) với số thực y Giả sử f (x) = f (y) Từ (3.25) ta có 2f (1) + y = f (f (y) − f (1)) = f (f (x) − f (1)) = 2f (1) + x ⇒ x = y Do f hàm đơn ánh Với y ∈ R, tồn x = f (y − 2f (1)) − f (1) ∈ R cho y = f (x) Suy f toàn ánh Vậy f song ánh Do tồn số thực a cho f (a) = Bây giờ, ta cho x = y = a vào (3.24) ta f (0) = a2 Mặt khác cho x = a; y = vào (3.24) ta f (a3 ) = Suy f (a3 ) = f (a) ⇒ a3 = a ⇒ a ∈ {−1; 0; 1} Khi f (0) = f (0) = 50 Nếu f (0) = ta cho y = vào (3.24) sử dụng tính tồn ánh hàm số f , ta rút f (−x) = 2x với số thực x Khi f (x) = −2x, với số thực x Nếu f (0) = ta cho x = y = vào (3.24) ta f (−1) = Tiếp tục cho x = y = vào (3.24) ta f (1) = Ta cho x = vào (3.24) ta được: f (f (y)) = y (3.26) với số thực y Ta thay y f (y) (3.24) sử dụng (3.26) ta được: f (xy − f (x)) = 2f (x) + xf (y) với số thực x, y Trong (3.27), ta thay y (3.27) f (x) được: x f (x) − 2f (x) )= (3.28) x x f (x) vào (3.24) sử dụng (3.28) với số thực x khác Ta thay y x f( được: f (1 − 3f (x)) = 3f (x) (3.29) với số thực x khác Từ (3.29) tính tồn ánh hàm số f ta thu được: f (1 − 3x) = 3x (3.30) 51 với số thực x Dẫn đến f (x) = − x với số thực x Thử lại ta thấy f (x) = − x thỏa mãn toán Vậy f (x) = − x, ∀x ∈ R Bài tốn 3.2.12 (IMO 2017) Tìm tất hàm số f : R −→ R thỏa mãn: f (f (y)f (x)) + f (x + y) = f (xy) (3.31) với số thực x, y Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn yêu cầu toán Nếu f (0) = ta cho y = vào (3.31) f (x) = với số thực x Nếu f (0) 6= ta khẳng định: "Với số thực x, f (x) = x = 1" Thật vậy, giả sử tồn x0 ∈ R cho f (x0 ) = mà x0 6= Khi ta cho x = x0 y = x0 vào (3.31) f (0) = Điều mâu thuẫn x0 − Do đó, khẳng định mệnh đề Ta cho x = y = vào (3.31) f (f (0)2 ) = Suy f (0) = f (0) = −1 Nếu f (0) = −1 ta cho y = vào (3.31) được: f (x + 1) = f (x) + (3.32) 52 với số thực x Bằng phương pháp quy nạp ta thu được: f (x + n) = f (x) + n (3.33) với số thực x, với số nguyên n Tiếp theo ta chứng minh f đơn ánh Thật vậy, với hai số thực a, b nhỏ thỏa mãn f (a) = f (b), tồn hai số thực r, s cho a = rs + b = r + s, ta cho x = r y = s vào (3.31) được: f (f (r)f (s)) + f (b) = f (a − 1) (3.34) Từ (3.33), ta suy f (a − 1) = f (x) − Thay vào (3.33) ta f (f (r)f (s)) = −1 Dẫn đến f (f (r)f (s) + 1) = Vì thế, f (r)f (s) = tức r = s = Và đó, a = b Bây ta xét hai số thực a, b thỏa mãn f (a) = f (b), tồn số nguyên dương m cho a − m b − m nhỏ Từ (3.31) ta f (a − m) = f (b − m) Suy a − m = b − m ⇒ a = b Vậy f đơn ánh Trong (3.31), ta thay y −x được: f (f (x)f (−x)) − = f (−x2 ) với số thực x Dẫn đến, f (f (x)f (−x)) = f (1 − x2 ) (3.35) 53 với số thực x Do f đơn ánh nên ta suy ra: f (x)f (−x) = − x2 (3.36) với số thực x Mặt khác (3.31), ta thay y − x được: f (f (x)f (1 − x)) = f (x(1 − x)) với số thực x Từ tính đơn ánh f (3.31) ta suy ra: f (x)(1 + f (−x)) = x − x2 (3.37) với số thực x Từ (3.36) (3.37) ta thu f (x) = x − 1, ∀x ∈ R Nếu f (0) = cách đặt g(x) = −f (x) theo trường hợp ta thu g(x) = x − với số thực x Do f (x) = − x, ∀x ∈ R Thử lại ta thấy ba hàm số thỏa mãn toán Vậy f (x) = 0; f (x) = x − f (x) = − x, ∀x ∈ R Bài tốn 3.2.13 (Japan MO 2019) Tìm tất hàm số f : R+ −→ R+ thỏa mãn:  f (x)  y f + = f x + + − f (x) f (y) x   (3.38) với số thực x, y Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta chứng minh f đơn ánh Không tính tổng quát, giả sử tồn hai số thực dương a, b cho 54 f (a) = f (b) a < b Khi đó, tồn số thực c cho < c < b − a Ta cho x = c cho y = a, y = b vào (3.38) thu được:    b a f c+ +1 =f c+ +1 c c a b Đặt x0 = c+ +1 y0 = c+ +1, ta có f (x0 ) = f (y0 ) y0 −x0 −1 > c c  Ta lại cho x = x0 y = x0 (y0 − x0 − 1) vào (3.38) được: f   f (x (y − x − 1)) 0 + = f (y0 ) − f (x0 ) f (x0 ) Dẫn đến f (x0 ) < f (y0 ) Điều mâu thuẫn với f (x0 ) = f (y0 ) Vậy f đơn ánh Ta cho x = vào (3.38) được: f y  +3 =f  f (y) f (2)  + + f (2) (3.39) với số thực dương y Ta thay y x vào (3.38) ta được: f (x + 2) = f (x) + f (2) (3.40) f (y) + vào (3.40) f (2)  f (y)   f (y)  f +3 =f + + f (2) (3.41) f (2) f (2) với số thực dương x Ta lại thay x với số thực dương y Từ (3.39) (3.41) đồng thời kết hợp với tính đơn ánh f , ta thu f (y) = cy với số thực dương y (c số thực dương) Thử lại thấy thỏa mãn toán 55 Vậy f (x) = cx, ∀x ∈ R+ (c số thực dương) Bài tốn 3.2.14 Tìm tất hàm số liên tục f : R −→ R thỏa mãn: f (x) = f x (3.42) với số thực x Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Bằng phương pháp quy nạp, ta có f (x) = f x 2n (3.43) với số thực x, với số nguyên dương n Trong (3.43), ta cho n → +∞ sử dụng tính liên tục hàm số f ta f (x) = f (0) với số thực x Suy f hàm Thử lại thấy thỏa mãn tốn Vậy f (x) = c, c số Bài tốn 3.2.15 Tìm tất hàm số liên tục f : R −→ R thỏa mãn f (1) = −1 f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy với số thực x Lời giải (3.44) 56 Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho y = vào (3.44) f (0) = Nếu đặt g(x) = f (x) − x2 − 2x với số thực x (3.44) trở thành g(x + y) = g(x) + g(y) với số thực x, y Do g(x) = ax với số thực x Lại có g(1) = f (1) − = −4 Do g(x) = −4x với số thực x Suy f (x) = x2 − 2x với số thực x Thử lại hàm số vừa tìm thỏa mãn (3.44) Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = x2 − 2x với số thực x Bài tốn 3.2.16 Tìm tất hàm liên tục f : R+ −→ R+ thỏa mãn:  = f (x)f (y) f f (xy)  (3.45) với số thực dương x Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho y = vào (3.45) được:   f = f (x)f (1) f (x) Với số thực dương x Dẫn đến,  f = f (xy)f (1) f (xy)  57 với số thực dương x, y Do đó, f (1)f (xy) = f (x)f (y) (3.46) với số thực dương x, y Nếu ta đặt g(x) = f (x) (3.46) trở thành g(xy) = g(x)g(y) với số f (1) thực dương x, y Vì thế, g(x) = xa với số thực dương x (a số) Tức f (x) = kxa với số thực dương x ( k a số) Thử lại, có f (x) = f (x) = k với số thực dương x (k x số dương) thỏa mãn (3.45) Vậy, tốn có nghiệm hàm f (x) = với số dương x f (x) = k với số thực dương x (k số dương) x Bài tốn 3.2.17 Tìm tất hàm liên tục f : [0; 1] −→ R thỏa mãn:  + x i h x +f f (x) = f f 2 (3.47) với số thực dương x ∈ [0; 1] Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Vì hàm số f liên tục [0; 1] nên hàm số đạt giá trị lớn M số thực a thuộc [0; 1] giá trị nhỏ m số thực b thuộc [0; 1] Do đó,  + a i h a f f +f ≤ M 2