Thông tin tài liệu
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC NGUYN SÌN H PH×ÌNG TRNH, BT PH×ÌNG TRNH HM CÌ BN TRN TP SÈ TÜ NHIN LUN VN THC Sß TON HÅC THI NGUYN - NM 2014 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC NGUYN SÌN H PH×ÌNG TRNH, BT PH×ÌNG TRNH HM CÌ BN TRN TP SÈ TÜ NHIN LUN VN THC Sò TON HC Chuyản nghnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M số 60.46.01.13 Ngữới hữợng dăn khoa håc GS TSKH NGUYN VN MU THI NGUYN - NM 2014 Mưc lưc Mð ¦u Ch÷ìng Phữỡng trẳnh hm trản têp số tỹ nhiản 1.1 Ph÷ìng trẳnh hm dÔng Cauchy trản têp số tỹ nhiản 1.1.1 CĂc lợp phữỡng trẳnh hm dÔng Cauchy liản töc 1.1.2 CĂc lợp phữỡng trẳnh hm dÔng Cauchy trản têp số tỹ nhiản 1.1.3 CĂc vẵ dö 1.2 Phữỡng trẳnh hm dÔng Jensen trản têp sè tü nhi¶n 13 1.2.1 CĂc dÔng toĂn và phữỡng trẳnh hm Jensen trản têp số tỹ nhiản 13 1.2.2 C¡c v½ dư minh håa 14 1.3 Phữỡng trẳnh hm D'Alembert trản têp số tỹ nhiản 19 1.3.1 CĂc dÔng toĂn và phữỡng trẳnh hm D'Alembert trản têp số tỹ nhi¶n 19 1.3.2 C¡c v½ dư 19 2.1 BĐt phữỡng trẳnh hm Cauchy trản têp số tỹ nhiản 23 2.2 B§t phữỡng trẳnh hm Jensen trản têp số tỹ nhiản 27 2.3 BĐt phữỡng trẳnh hm D'Alembert trản têp sè tü nhi¶n 32 3.1 BĐt ng thực dÂy số 39 3.2 B§t ¯ng thùc h m chuyºn ời cĂc Ôi lữủng trung bẳnh 51 3.3 V½ dư ¡p dưng 56 Chữỡng BĐt phữỡng trẳnh hm trản têp số tỹ nhiản 23 Chữỡng Mởt số dÔng khĂc cừa bĐt phữỡng trẳnh hm trản têp số tỹ nhiản 39 Kát luên 74 T i li»u tham kh£o 75 i M Ưu Phữỡng trẳnh hm v bĐt phữỡng trẳnh hm l mởt nhỳng nởi dung chuyản à quan trồng thuởc chữỡng trẳnh chuyản toĂn cĂc trữớng trung hồc phờ thổng chuyản CĂc bi toĂn liản quan án phữỡng trẳnh hm v bĐt phữỡng trẳnh hm thữớng l nhỳng bi toĂn khõ, thữớng gp cĂc kẳ thi hồc sinh giọi cĐp quốc gia, khu vỹc, Olympic sinh viản v quốc tá Phữỡng trẳnh hm, bĐt phữỡng trẳnh hm chữỡng trẳnh toĂn trung hồc phờ thổng chuyản rĐt phong phú v a dÔng, thữớng khõ phƠn loÔi chi tiát theo dÔng bi v cĂc chuyản à riảng biằt Tuy nhiản, cho án vĐn à và ti liằu tham khÊo chuyản sƠu và phữỡng trẳnh hm v bĐt phữỡng trẳnh hm dũng cho hằ trung hồc phờ thổng chuyản viát bơng tiáng viằt cỏn khĂ ẵt ọi chừ yáu l cĂc cổng trẳnh nghiản cựu khoa hồc cổng bố bơng tiáng anh mực ở toĂn cao cĐp v i sƠu vo lỵ thuyát cừa phữỡng trẳnh hm v bĐt phữỡng trẳnh hm viát bở mổn giÊi tẵch hm dũng cho sinh viản Ôi hồc, cĂc ti liằu viát bơng tiáng nữợc ngoi tẳm trản phữỡng tiằn Internet nản viằc tẳm ti liằu tham khÊo cho toĂn phờ thổng viát bơng tiáng viằt cỏn rĐt khõ khôn CĂc bi têp và phữỡng trẳnh hm v bĐt phữỡng trẳnh hm trản cĂc têp  khõ ối vợi cĂc hồc sinh trung hồc phờ thổng chuyản toĂn nõi chung nản phữỡng trẳnh hm v bĐt phữỡng trẳnh hm trản têp số tỹ nhiản lÔi cng khõ khôn hỡn vẳ chúng ữủc xt trản têp rới rÔc Chẵnh vẳ nhỳng khõ khôn  à cêp trản nản luên vôn ny tĂc giÊ cố gưng ữa cĂc bi têp phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh hm cỡ bÊn trản têp số tỹ nhiản và nhỳng dÔng toĂn cử th v nhên biát hỡn Nhỳng nởi dung chẵnh bi viát cử th nhữ sau: Chữỡng Phữỡng trẳnh hm dÔng Cauchy trản têp số tỹ nhiản 1.1 Phữỡng trẳnh hm Cauchy trản têp số tỹ nhiản 1.2 Phữỡng trẳnh hm Jensen trản têp số tỹ nhiản 1.3 Phữỡng trẳnh hm D'Alembert trản têp số tỹ nhiản 1.4 Phữỡng trẳnh hm a ân trản têp số tỹ nhiản Chữỡng BĐt phữỡng trẳnh hm Cauchy trản têp số tỹ nhiản 2.1 BĐt phữỡng trẳnh hm Cauchy trản têp số tỹ nhiản 2.2 BĐt phữỡng trẳnh hm Jensen trản têp số tỹ nhiản 2.3 BĐt phữỡng trẳnh hm D'Alembert trản têp số tỹ nhiản Chữỡng Mởt số dÔng khĂc cừa bĐt phữỡng trẳnh hm trản têp số tỹ nhiản 3.1 BĐt ng thực dÂy số 3.2 BĐt ng thực hm chuyn ời cĂc Ôi lữủng trung bẳnh 3.3 Vẵ dử ¡p dưng T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn sƠu sưc ối vợi GS.TSKH Nguyạn Vôn Mêu, ngữới thƯy  trỹc tiáp tên tẳnh ch bÊo v hữợng dăn, cung cĐp ti liằu v truyÃn Ôt nhỳng kinh nghiằm và mt nghiản cựu suốt quĂ trẳnh lm luên vôn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn cĂc thƯy (cổ) giĂo khoa ToĂn - Tin, o tÔo trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi nguyản,Trữớng THPT Hiằp Hỏa số v cĂc bÔn ỗng nghiằp  giúp ù tÔo iÃu kiằn cho tổi hon thnh luên vôn ny Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn ! ThĂi Nguyản, 2014 Nguyạn Sỡn H Chữỡng Phữỡng trẳnh hm trản têp số tỹ nhiản 1.1 Phữỡng trẳnh hm dÔng Cauchy trản têp số tỹ nhiản 1.1.1 CĂc lợp phữỡng trẳnh hm dÔng Cauchy liản tửc nh lẵ 1.1 H m sè f : R → R li¶n tưc tr¶n R v thäa m¢n (Cauchy, [1]) i·u ki»n f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y R, l hm số dÔng f (x) = ax, a R tũy ỵ nh lẵ 1.2 (D'Alembert, [1]) m¢n i·u ki»n H m sè f : R → R li¶n tưc tr¶n R v thäa f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R, l mët c¡c h m f (x) ≡ 0, f (x) ≡ v f (x) = ax , 6= a R+ tũy ỵ nh lẵ 1.3 (DÔng logarit, [1]) thäa m¢n i·u ki»n H m sè f : R+ → R li¶n tưc tr¶n R+ v f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R+ , l h m f (x) = a ln x a R tũy ỵ nh lẵ 1.4 (DÔng lụy thứa, [1]) v thäa m¢n i·u ki»n H m sè f : R+ → R li¶n tưc tr¶n R+ f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R+ , l mët c¡c h m f (x) ≡ 0, f (x) ≡ v h m f (x) = xm 6= m R tũy ỵ 1.1.2 CĂc lợp phữỡng trẳnh hm dÔng Cauchy trản têp số tỹ nhiản l ã Tẳm hm f : X Y thọa m¢n N, N∗ ; Y câ thº l N, N∗ , Z, R) ã Tẳm số hÔng tờng quĂt cừa d¢y i·u ki»n n o â (trong â X câ thº số cho trữợc 1.1.3 CĂc vẵ dử Vẵ dử 1.1 [ · · nghà IMO 1988] X¡c ành h m sè f :N→N thäa m¢n f (f (n) + f (m)) = n + m, ∀m, n ∈ N Líi gi£i Gi£ sỷ tỗn tÔi hm số f (x) thọa mÂn yảu cƯu bi Ta thĐy f (x) l ỡn Ănh Thêt vêy, vợi n, m N v f (n) = f (m), ta câ f (f (n) + f (m)) = n + m = f (f (n) + f (n)) = n + n→ n = m Vỵi måi n ∈ N, n ≥ 1, ta câ f (f (n) + f (n)) = 2n = (n − 1) + (n + 1) = f (f (n − 1) + f (n + 1)) i·u ki»n: f (n) + f (n) = f (n − 1) + f (n + 1) (do f l ìn ¡nh) Theo nhªn xt ban Ưu thẳ f l hm số tuyán tẵnh, tực l f cõ dÔng f (n) = an + b Thỷ lÔi ta phÊi cõ a [(an + b) + (am + b)] + b = n + m vợi mồi n, m N, tứ õ ữủc a = 1, b = Vªy f (n) = n l hm số cƯn tẳm nản Vẵ dử 1.2 f : N N ỗng f (mn) = f (m) · f (n) , ∀m, n ∈ N [Putnam 1963] X¡c ành t§t c£ c¡c h m sè f (2) = v Lới giÊi GiÊ sỷ tỗn tÔi hm số f (x) thọa mÂn yảu cƯu bi Do f (x) l hm số ỗng bián f (0) < f (1) < f (2) = n¶n f (0) = 0, f (1) = °t f (3) = + k, k ∈ N; f (6) = f (2) · f (3) th¼ f (6) = + 2k Nhữ vêy f (5) + 2k n¶n f (10) = f (2) · f (5) ≤ 10 + 4k Lêp luên tữỡng tỹ ữủc f (9) ≤ + 4k n¶n f (18) ≤ 18 + 8k, suy f (15) ≤ 15 + 8k bián, thọa mÂn iÃu kiằn: Mt khĂc f (3) = + k; f (5) ≥ + k n¶n f (15) = f (3) f (5) ≥ (3 + k)(5 + k) Tõm lÔi ta ữủc: Vêy (3 + k)(5 + k) ≤ 15 + 8k ⇔ k ≤ ⇔ k = f (3) = n N Thêt vêy, hin nhiản, kh¯ng ành óng vỵi n = n n Gi£ sû kh¯ng ành óng tỵi n, tùc l : f (2 + 1) = + 1, â f 2n+1 + = f (2) f (2n + 1) = (2n + 1) = 2n+1 + Do f l hm số ỗng bián v l ỡn Ănh nản têp f (2n + 2); f (2n + 3); ; f (2n+1 + 2) gỗm 2n +1 sè ỉi mët kh¡c nhau, n sp x¸p theo thự tỹ tông dƯn, l Ênh cừa têp gỗm + sè æi mët kh¡c n n n+1 + 2; + 3; ; +2 n n n Nhữ vêy, ta câ f (2 + i) = + i, vỵi måi i ∈ {2; 3; ; + 2} tùc l f (2n + 1) = 2n + Nâi c¡ch kh¡c, kh¯ng ành óng tỵi n + Theo nguyản lỵ quy nÔp, khng nh úng vợi mồi n N Lêp luên ho n to n t÷ìng tü ta cơng ÷đc f (n) = n vỵi måi n ∈ N Ta s³ chùng minh f (2n + 1) = 2n + 1, vỵi måi Dạ thĐy hm số ny thọa mÂn phữỡng trẳnh  cho Vêy f (n) = n Vẵ dử 1.3 l hm số cƯn tẳm Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f :N→R thäa m¢n i·u ki»n f (0) = 1; f (1) = 2; f (n + 1) f (n − 1) = f (n) , ∀n ∈ N Lới giÊi GiÊ sỷ tỗn tÔi hm số f (n) thọa mÂn yảu cƯu bi f (n) > 0, ∀n ∈ N L§y lỉgarit cõa c¡c biºu thực trản ta ữủc: ln f (0) = 0, ln f (1) = ln v ln f (n + 1) + ln f (n − 1) = ln f (n) , ∀n ∈ N °t xn = ln f (n) , (n ∈ N) ta ÷đc ph÷ìng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh: x0 = 0; x1 = ln 2; xn+2 − 3xn+1 + 2xn = 0, (n N) Phữỡng trẳnh c trững: + = ⇔ λ = ho°c λ = n n n Nghi»m têng qu¡t: xn = A · + B · = A + B à Bơng phữỡng phĂp quy nÔp ta chựng minh ữủc Tứ cĂc iÃu kiằn  cho ta ÷đc: A+B =0 A = − ln A + 2B = ln ⇔ B = ln n 2n −1 Suy xn = (2 − 1) · ln = ln f (n) n −1 Tø â ta ÷đc f (n) = Dạ thĐy hm số ny thọa mÂn phữỡng trẳnh  cho f (n) = 22 Vêy hm số cƯn tẳm l Vẵ dử 1.4 XĂc nh hm sè n −1 , f :N→R f (0) = 2, f (n + 1) = 3f (n) + Líi gi£i GiÊ sỷ tỗn tÔi hm số f (n) (n N) thọa mÂn phữỡng trẳnh hm: q 8f (n) + 1, n N thọa mÂn yảu cƯu bi Tø gi£ thi¸t ta câ: q f (n + 1) − 3f (n) = 8f (n) + (≥ > 0, ∀n ∈ N), n¶n (f (n + 1) + 3f (n))2 = 8f (n) + Suy f (n + 1) + f (n) = 6f (n) f (n + 1) + Thay n bði n−1 (1.1) ta ÷đc f (n) + f (n − 1) = 6f (n − 1) · f (n) + (1.2) Trø tøng vá cừa (1.2) cho (1.1), ta ữủc f (n + 1) − f (n − 1) = 6f (n) (f (n + 1) − f (n − 1)) Tø gi£ thi¸t ta cán câ f (n) > vợi mồi n (chựng minh bơng quy nÔp) p Ngo i f (n + 1) > 3f (n) = 9f (n − 1) + 8f (n − 1) + > f (n − 1) n¶n f (n + 1) − f (n − 1) > n¶n f (n + 1) + f (n − 1) = 6f (n) Vêy ta ữủc phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh f (0) = 2, f (1) = + 33, f (n + 2) − 6f (n + 1) + f (n) = 0, ∀n ∈ N GiÊi phữỡng trẳnh ny ta ữủc: f (n) = Dạ th§y h m sè (8 + √ f (n) 66)(3 + √ n 8) + (8 − √ tr¶n l hm số cƯn tẳm 66)(3 n 8) Vẵ dử 1.5 Tẳm hm số f :NN thäa m¢n i·u ki»n f (1) > 0; f (m2 + n2 ) = f (m) + f (n), m, n N f (n) thọa mÂn yảu c¦u b i Ta câ f (1) = f (12 + 02 ) = f (1) + f (0) n¶n f (0) = 0; f (1) = 2 ∗ Theo b i ra, cho m = ÷đc f (n ) = f (n), ∀n ∈ N 2 Ta câ f (2) = f (1 + 1) = 2f (1) = 2, f (4) = f (22 ) = f (2) = 22 = 4, f (5) = f (22 + 12 ) = f (2) + f (1) = + = 5, f (25) = f (52 ) = 25 = f (32 + 42 ) = f (3) + f (4) = f (3) + 4, n¶n f (3) = 3, 2 2 2 = f (3) + f (1) = 32 + 12 = 100, f (100) = f (102 ) = f 32 + 12 f (100) = f (62 + 82 ) = f (6) + f (8) = f (6) + f (22 + 22 ) 2 = f (6) + f (2) + f (2) = f (6) + (4 + 4)2 = f (6) + 64 ⇒ f (6) = Lới giÊi GiÊ sỷ tỗn tÔi hm sè Ta s³ chùng minh f (n) = n, ∀n ∈ N∗ (1.3) n = Gi£ sû (1.3) óng vỵi måi m < n, (n ≥ 6) Khi â, n¸u n = 2k + v 2 2 (2k + 1) + (k − 2) = (2k − 1) + (k + 2) n¶n ta câ f ((2k + 1)2 + (k − 2)2 ) = f (2k + 1) + f (k − 2) f ((2k − 1)2 + (k + 2)2 ) = f (2k − 1) + f (k + 2) 2 2 Suy f (2k + 1) + f (k − 2) = f (2k − 1) + f (k + 2) M < k − < k + < 2k − < 2k + = n n¶n theo gi£ thi¸t quy 2 f (k 2) = (k 2) nÔp, ta cõ: f (2k − 1) = (2k − 1)2 f (k + 2) = (k + 2)2 2 2 Suy f (2k + 1) = (2k − 1) + (k + 2) − (k − 2) = (2k + 1) Vªy ta câ f (n) = f (2k + 1) = 2k + = n T÷ìng tü, n = 2k + sỷ dửng ng thực Thêt vêy, theo trản  úng ¸n (2k + 2)2 + (k − 4)2 = (2k − 2)2 + (k + 4)2 , f (2k ) − f (2i ) ≤ (k − i) = i=1 i=1 X¡c ành t§t c£ c¡c h m sè f : N∗ → N∗ thäa m¢n i·u ki»n: f (2n5 + n3 + 2013) ≤ n ≤ 2[f (n)]5 + [f (n)]3 + 2013, ∀n ∈ N g : N → N l mët to n ¡nh f : N → N thäa m¢n: Líi gi£i Ta x²t b i to¡n têng qu¡t hìn: Cho v l h m t«ng thüc sỹ Tẳm tĐt cÊ cĂc hm f (g(n)) n ≤ g(f (n)), ∀n ∈ N Do g l mët ton Ănh v l hm tông thỹc sỹ nản tỗn tÔi hm ngữủc g Ta cõ M g m1 < n1 , t tông thỹc sỹ nản vợi g −1 (n1 ) = n2, g −1 (m1 ) = m2 m2 < n2 , suy g −1 t«ng thüc Tø â do(2.15) f (m) = f (g(g −1 (m))) ≤ g −1 g −1 l h m tông thỹc sỹ Thêt vêy, vợi Do (2.15) tông thỹc sỹ nản vợi m g(f (m)), g (m) (2.16) ta câ: g −1 (n) ≤ g −1 (g(f (n))) = f (n) Tø (2.16) v (2.17) suy sü f (m) = g −1 (m), ∀n ∈ N (2.17) Dạ thĐy hm ny thọa mÂn Vêy f (m) = g −1 (m), ∀n ∈ N l h m nhĐt thọa mÂn yảu cƯu bi toĂn 31 Vẵ dử 2.16 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số iÃu kiằn: Lới giÊi f : N N thọa mÂn ỗng thới c¡c x+1 ≤ f (x) ≤ 2(x + 1), xf (x + 1) = f (x) − 1, ∀x ∈ N∗ Trong (2.18) thay x bði x+1 (2.18) (2.19) ta ÷đc: x+2 ≤ f (x + 1) ≤ 2(x + 2) f (x) = xf (x + 1) + 1, ∀x ∈ N∗ Tø (2.19) cõ (2.20) Kát hủp vợi (2.20) ữủc : f (x) ≤ 2x(x + 2) + = 2x2 + 4x + < 2(x + 1)2 , (2.21) x(x + 2) (x + 1)2 +1> f (x) ≥ 2 (2.22) Tø (2.21) v (2.22) suy ra: √ x+1 (x + 1)2 < f (x) < 2(x + 1)2 ⇒ √ < f (x) < 2(x + 1), 2 n¶n: √ x+1 √ < f (x) < 2(x + 1) (2.23) Tø (2.23) v (2.19), sỷ dửng cĂch lêp luên trản liản tiáp k lƯn ta thu ữủc: 1k x+1 < f (x) < 2 (x + 1) √ 1k 22 Do lim k→+∞ Vªy √ (2.24) 2k = nản tứ (2.24) cho k + ta ữủc x+1 ≤ f (x) ≤ x+1 f (x) = x + 1, x N Thỷ lÔi thĐy thọa mÂn 2.3 BĐt phữỡng trẳnh hm D'Alembert trản têp số tỹ nhiản Vẵ dử 2.17 Cho k l số thỹc dữỡng Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số thọa mÂn cĂc iÃu kiằn: Vợi mội số tỹ nhiản m, n, p f :N→N th¼ f (mn) + f (np) + f (mp) − k [f (m)f (np) + f (n)f (mp) + f (p)f (mn)] ≥ 4k (2.25) 32 Líi gi£i Trong (2.25) cho m=n=p=0 ta ÷đc: 4k [f (0)]2 − 4kf (0) + f (0) − k[f (0)] ≥ ⇔ ≤0 4k 4k ⇔ [2kf (0) − 1]2 ≤ ⇔ 2kf (0) − = ⇔ f (0) = 2k f (1) = 2k m = p = ta T÷ìng tü ta ÷đc Trong (2.25) cho ÷đc: 3 f (n) 3f (0) − k f (n)f (0) + 2f (0) ≥ ⇒ − + ≥ 4k 2k 2k 2k 4k f (n) 3 − − ≥ ⇒ 2k 2k 4k f (n) ⇒ ≤ 4k Suy , ∀n ∈ N 2k Trong (2.25) cho m = n v p = ta ÷đc: f (n2 ) + 2f (n) − k 2f (n) + f (1)f (n2 ) ≥ , ∀n ∈ N 4k f (n ) ⇒ f (n2 ) + 2f (n) − 2kf (n) − ≥ , ∀n ∈ N, 4k f (n) ≤ (2.26) n¶n 4kf (n2 ) + 8kf (n) − 8k f (n) − 2kf (n2 ) ≥ 3, ∀n ∈ N ⇒ 2kf (n2 ) + 8kf (n) ≥ + 8k f (n), ∀n ∈ N 2kf (n2 ) ≤ 1, vªy tø (2.27) ta câ + 8k f (n) ≤ + 8kf (n), ∀n ∈ N ⇔ 8k f (n) − 8kf (n) + ≤ 0, ∀n ∈ N ⇔ [2kf (n) − 1]2 ≤ 0, ∀n ∈ N ⇔ 2kf (n) − = 0, ∀n ∈ N ⇔ f (n) = , n N 2k Thỷ lÔi th§y h m sè f (n) = , ∀n ∈ N thäa m¢n 2k (2.27) Tø (2.26) suy 33 c¡c yảu cƯu à bi Vẵ dử 2.18 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f :NN thọa mÂn ỗng thới c¡c i·u ki»n sau: f (m + n) ≤ f (m) + f (n), ∀m, n ∈ N (2) f (n) ≤ 0, ∀n ∈ N Líi gi£i Trong (1) lĐy x = y = ữủc f (0) 2f (0) f (0) Theo (2) lÔi câ f (0) ≤ Vªy f (0) = (1) Do â do(2) = f (0) = f (n + (−n)) ≤ f (n) + f (−n) ≤ Vêy f (n) Thỷ lÔi thĐy thọa mÂn Vẵ dử 2.19 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f : N∗ → R n¶n f (n) = 0, ∀n ∈ N thäa m¢n: f (km) + f (kn) − f (k)f (mn) ≥ 1, ∀m, n, k ∈ N∗ (2.28) m = n = k = 1, ta ÷đc f (1) + f (1) − [f (1)] ≥ ⇔ [f (1) − 1]2 ≤ ⇔ f (1) = ∗ Trong (2.28) cho m = n = 1, ta ÷đc f (k) ≥ 1, ∀k ∈ N Trong (2.28), ti¸p tưc cho m = n = k , ta ÷đc 2f (k ) − f (k)f (k ) ≥ 1, ∀k ∈ N∗ ⇔ f (k ) [2 − f (k)] ≥ 1, ∗ n¶n f (k) < 2, ∀k ∈ N Trong (2.28) cho m = 1, n = k , ta ÷đc: f (k) + f (k ) − [f (k)]2 ≥ ⇔ f (k ) − f (k) ≥ [f (k)]2 − 2f (k) + Líi gi£i Trong (2.28) cho Trong (2.29), thay ⇔ f (k ) − f (k) ≥ [f (k) − 1]2 (2.29) ⇔ f (k ) ≥ f (k) (2.30) k bði k2, ta ÷đc: 2 f (k ) ≥ f (k ) − + f (k ) (2.31) Tø (2.31), sû döng (2.30), suy ra: f (k ) ≥ [f (k) − 1]2 + f (k ) Tữỡng tỹ ta thu ữủc dÂy bĐt phữỡng trẳnh sau: f (k ) ≥ [f (k) − 1]2 + f (k) 34 (2.32) f (k ) ≥ [f (k) − 1]2 + f (k ) f (k ) ≥ [f (k) − 1]2 + f (k ) t t1 Cởng lÔi, ta thu ữủc: t f (k ) ≥ [f (k) − 1]2 + f (k) N¸u tỗn tÔi k N cho f (k) > (2.33) th¼: h i lim t(f (k) − 1) = + t+ t ừ lợn thẳ t[f (k) − 1]2 + f (k) > f (k ), tr¡i vỵi (2.33) ∗ Do â f (k) = 1, k N Thỷ lÔi thĐy hm số f (k) = 1, ∀k ∈ N thäa m¢n c¡c yảu cƯu à bi t Nhữ vêy, Vẵ dử 2.20 Cho h m sè f (1) = v thäa m¢n f (n) = max {f (j) + f (n − j) + j} , ∀n ≥ Chùng minh r¬ng: Líi gi£i f : N∗ → N j f (n) ≥ (n − 1)n , ∀n ≥ 2 Tø gi£ thi¸t, ta câ: f (n) = max {f (k) + f (n − k) + k} , ∀n ≥ k∈[1,n−1] ⇒ f (n) ≥ f (n − 1) + f (1) + n − 1, ∀n ≥ (do l§y ⇒ f (n) ≥ f (n − 1) + n Sỷ dửng (2.34) liản tiáp, ta thu ÷đc: f (2) ≥ f (1) + f (3) ≥ f (2) + f (4) ≥ f (3) + f (n) ≥ f (n 1) + n Cởng lÔi, ta ÷đc: f (n) ≥ + + + (n − 1) = (n − 1)n , ∀n ≥ 2 Ta câ i·u ph£i chùng minh 35 k = n − 1) (2.34) V½ dư 2.21 f : N → N, thäa m¢n: f (x) = max x2 y + xy − f (y) , x N Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số (2.35) y∈N Líi gi£i Tø (2.35), ta câ: f (x) ≥ x2 y + xy − f (y), ∀x, y N Tứ (2.36), lĐy y=x (2.36) ta ữủc: f (x) ≥ x3 , ∀x ∈ N (2.37) x2 y + xy − f (y) ≤ x2 y + xy − y = x3 + x2 y + xy − x3 + y = x3 + xy(x + y) − (x + y)3 + 3xy (x + y) = x3 + 4xy(x +h y) − (x + y)3 i = x3 + (x + y) 4xy − (x + y)2 Tø (2.37), suy = x3 − (x + y) (x − y)2 ≤ x3 , ∀x, y ∈ N (2.38) M : 2 max x y + xy − y y∈N n o = max x − (x + y) (x − y) = x3 , ∀x ∈ N y∈N N¶n tø (2.38), suy ra: x2 y + xy − f (y) ≤ max x2 y + xy − y = x3 , ∀x ∈ N y∈N Tø (2.39), suy ra: (2.39) max x2 y + xy − y ≤ x3 , ∀x ∈ N y∈N Tø ¥y sû dưng (2.35) ta ÷đc: f (x) ≤ x3 , ∀x ∈ N (2.40) Tø (2.37) v (2.40) suy f (x) = x3 , x N Thỷ lÔi, vợi hm số xĂc nh bi (2.41), thẳ vợi 2 max x y + xy − y y∈N n (2.41) ∀x ∈ N ta câ: = max x − (x + y) (x − y) y∈N o = x3 Vªy h m sè x¡c ành bði (2.41) thọa mÂn cĂc yảu cƯu à bi 36 Vẵ dử 2.22 Cho > HÂy tẳm cĂc h m sè f : N∗ → R thäa m¢n i·u ki»n: f (x) = max xα y β − f (y) : y ≥ x , ∀x ∈ N∗ Lới giÊi Tứ (2.42) suy Tứ Ơy lĐy y = x, f (x) ≥ xα y β − f (y), ∀x ∈ N∗ , y ≥ x ta ÷đc: f (x) ≥ xα+β , ∀x ∈ N∗ y ≥ x > 0, Do (2.43) n¶n vỵi y α+β x y − f (y) ≤ x y − y≥x>0 v α ≥ β > 0, α β y α+β xα+β ≤ 2 xα+β y α+β ⇔x y ≤ + ⇔2≤ 2 α β y≥x>0 (2.44) ta câ sü t÷ìng ÷ìng sau: xα y β − Vỵi (2.43) ta câ: α β Vỵi (2.42) β x y α + y x (2.45) (2.46) α ≥ β > 0, ta câ: s s β β y α x y α x x + = ≥2 =2 y x y x y v Do â (2.46) óng, hay (2.45) óng, â kát hủp vợi (2.44), ta ữủc: x+ x y f (y) ≤ , ∀x ∈ N∗ , y ≥ x α β xα+β ⇒ max x y − f (y) : y ≥ x ≤ , ∀x ∈ N∗ α β xα+β ⇒ f (x) ≤ , ∀x ∈ N∗ (2.47) Tø (2.43) v (2.47), suy ra: xα+β f (x) = , ∀x N 37 (2.48) Thỷ lÔi, vợi hm số f xĂc nh bi (2.48), thẳ vợi mồi x > 0, ta câ: y α+β α β max x y − f (y) : y ≥ x = max x y − :y≥x α β Ta s³ chùng minh: xα+β , ∀x ∈ N∗ max x y − f (y) : y ≥ x = α β (2.49) Do (2.45) n¶n xα+β max x y − f (y) : y ≥ x ≤ , ∀x ∈ N∗ M°t kh¡c, α β y α+β xα+β vỵi y = x th¼ x y − = , â 2 α+β y xα+β ≤ max xα y β − : y ≥ x , ∀x ∈ N∗ 2 (2.50) α β (2.51) Tø (2.50) v (2.51), suy (2.49) óng Do â h m sè x¡c ành bi (2.48) thọa mÂn yảu cƯu à bi 38 Chữỡng Mởt số dÔng khĂc cừa bĐt phữỡng trẳnh hm trản têp số tỹ nhiản 3.1 BĐt ng thực dÂy số * Phữỡng phĂp: - quy nÔp toĂn hồc - sỷ dửng cĂc bĐt ng thực  biát - bián ời Ôi số, Ănh giĂ Vẵ dư 3.1 â: Líi gi£i x1 , x2 , , xn Chùng n X Snk (1 + xk ) ≤ , k! k=1 k=1 Cho dÂy số dữỡng minh rơng: n Y Sn = x1 + x2 + · · · + xn Sû dửng bĐt ng thực AG ối vợi vá trĂi cừa bĐt ng thực cƯn chựng minh, ta cõ: n Y (1 + x1 ) + (1 + x2 ) + · · · + (1 + xn ) (1 + xk ) ≤ n k=1 hay n , Sn n (1 + xk ) ≤ (1 + ) Sû dưng khai triºn Newton, ta thu ÷đc: n k=1 n n sn n X n sn k X n(n − 1) (n − k + 1) sn k (1 + ) = (k )( ) = ( ) n n k! n k=0 k=0 n Q n(n − 1) (n − k + 1) ≤ nk n¶n n n X n(n − 1) (n − k + 1) sn k X Snk ( ) ≤ k! n k! k=0 k=0 M 39 ( iÃu cƯn chựng minh) Vẵ dử 3.2 x1 , x2 , , xn ( · dü tuyºn IMO 2001) Cho l d¢y c¡c số thỹc bĐt kẳ Chựng minh rơng: x1 x2 xn + + · · · + < n + x21 + x21 + x22 + x21 + · · · + x2n Líi gi£i °t v¸ trĂi cừa bĐt ng thực trản l S Theo bĐt ¯ng thùc Cauchy, ta câ: " S2 ≤ n x21 (1 + x21 ) + (1 + x22 x21 + x22 ) + ··· + # x2n (1 + x21 + · · · + x2n ) chựng minh bĐt ng thực  cho, ta ch¿ c¦n chùng minh: x21 (1 + x21 ) + x22 (1 + x21 + x22 ) + ··· + x2n (1 + x21 + · · · + x2n ) < i·u n y hiºn nhi¶n v¼ x2k (1 + x21 + · · · + x2k ) V½ dư 3.3 Cho a, c > Chùng minh r¬ng: ≤ 1 − + x21 + · · · + x2k−1 + x21 + · · · + x2k X²t d¢y sè {an } ÷đc x¡c ành theo cỉng thùc: a1 = a ∗ , ∀n ∈ N an+1 = c.a2n + an n P an > n na1 − , ∀n ∈ N∗ c k=1 Lới giÊi Nhên xt rơng, tứ giÊ thiát  cho ta câ thº vi¸t: 1 − = an an+1 Vêy nản n P 1 = a1 an+1 k=1 1 ak + c an + c , ∀n ∈ N∗ Suy ra, theo bĐt ng thực giỳa trung bẳnh cởng v trung bẳnh nhƠn 1 n2 n2 thẳ: = P Do â > P n n n n a1 an+1 a ak + ak + c c k=1 k=1 n P Hay an > n na1 − , ∀n ∈ N∗ ( i·u c¦n chùng c k=1 40 minh) V½ dư 3.4 a0 , a1 , , an , an+1 thäa m¢n a0 = an+1 = v |ak−1 − 2ak + ak+1 | ≤ 1, (k = 1, , n) k(n + − k) Chùng minh r¬ng: |ak | ≤ , (k = 0, 1, , n + 1) k(n + − k) Líi gi£i °t: bk = , (k = 0, 1, , n + 1) Cho dÂy số thỹc Nhên xt rơng: b0 = bn+1 = 0, b − 2b + b = −1, (k = 1, , n) i cho > bi Gåi − bi l mët a0 − b0 , a1 − b1 , , an − bn , an+1 − bn+1 Khi õ: GiÊ sỷ tỗn tÔi ch số lợn nhĐt cừa dÂy (aj1 bj1 ) + (aj+1 − bj+1 ) ≤ 2(aj − bj ) M°t kh¡c, tø gi£ thi¸t ta câ: (3.1) c¡c sè (3.2) ak−1 − 2ak + ak+1 ≥ −1, (k = 1, , n) Kát hủp vợi (3.1), ta thu ÷đc: (ak−1 − bk−1 ) − 2(ak − bk ) + (ak+1 − bk+1 ) ≥ 0, (k = 1, , n) Nhữ vêy vợi k=j ta nhên ữủc: (aj1 bj1 ) + (aj+1 bj+1 ) 2(aj bj ) Kát hủp vợi (3.2), ta suy ra: aj − bj = aj−1 − bj−1 = aj+1 bj+1 Nhữ vêy aj1 bj1 v aj+1 − bj+1 công l mët c¡c sè lợn nhĐt cừa dÂy trản Thỹc hiằn quĂ trẳnh trản liản tiáp, ta thu ữủc: bi = a0 − b0 = Tr¡i vỵi i·u gi£ sû > bi Tữỡng tỹ, ta cụng thu ữủc kát qu£ |ak | ≤ bk = V½ dư 3.5 ak ≤ bk −ak ≤ bk Tø â, Vªy, ta ln câ ta thu ÷đc: k(n + − k) , (k = 0, 1, , n + 1) Cho dÂy số thỹc dữỡng {an } 2n P thäa m¢n c¡c i·u ki»n: n 1P ≤ , ∀n = 1, 2, n i=1 i=n+1 41 n P Chùng minh r¬ng: ≤ 5a1 , ∀n = 2, 3, i=2 n−1 2P = 2n P + ≤ (1 + n−1 2P ) 2n−1 i=1 1 ≤ (1 + n−1 )(1 + n−2 ) (1 + )2a1 2 i=1 Líi gi£i Ta câ: Tø â suy 2n P i=2n−1 +1 i=1 i=1 n P Theo bĐt ng thực giỳa trung bẳnh cởng v trung bẳnh nhƠn, thẳ: n1 1 n − + + + · · · + n−1 1 (1 + n−1 )(1 + n−2 ) (1 + ) ≤ 2 n−1 Suy ra, 2n X i=1 n−1 n−1 n−1+ ×2 n = 2a1 ≤ 2a1 n1 n1 ỵ rơng n n−1 n−1 Tø â, ta thu ÷đc < e < 3, 2n P vỵi måi n ∈ N∗ ≤ 6a1 i=1 Vỵi måi n ≥ 2, ∃k ∈ N n P Suy ∗ º k n≤2 v â n P i=1 ≤ 2k P ≤ 6a1 i=1 ≤ 5a1 , ∀n = 2, 3, i=2 V½ dư 3.6 (an ) [ · nghà thi Olympic 30/4/1999] Cho d¢y cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn bĐt ng thực: 2000 an1999 ≥ an−1 + an−2 + · · · + a1 , ∀n ≥ C , ∀n ≥ Chựng minh rơng tỗn tÔi mởt số Lới giÊi Suy Do â Ta câ 1999 2000 an ≥ a1 cho an ≥ nC, ∀n ≥ 2000 1999 an1999 ≥ (n − 2) a12000 + 1, ∀n ≥ 2000 2000 lim an1999 = +∞ Suy ∃n0 : an1999 ≥ 1, ∀n ≥ n0 n→+∞ ⇒ ∃n0 : an ≥ 1, ∀n ≥ n0 42 (3.3) a2 an ; a1 ; ; ; °t = C , â an ≥ nC, ∀n = 1, 2, , n0 n0 Gi£ sû an ≥ nC , vỵi måi gi¡ trà cõa n ≤ n1 (n1 ≥ n0 ) Khi â theo (3.3) ta câ: 2000 Do 1999 a2n+1 ≥ an+1 ≥ an + an−1 + · · · + a1 ≥ [n + (n − 1) + · · · + 1] C n(n + 1) = C ≥ (n + 1)2 C n ≥ ≥ C ⇒ an+1 (n + 1)C Theo nguyản lẵ quy nÔp ta 2(n + 1) suy i·u ph£i chùng minh Vẵ dử 3.7 [Olympic toĂn quốc tá nôm 1970] Cho d¢y sè D¢y sè (an ) (bn )+∞ n=1 thäa m¢n i·u ki»n: = a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ n P ak−1 1− ÷đc x¡c ành nh÷ sau bn = √ ak ak k=1 (3.4) Chùng minh r¬ng: ≤ bn < 2, ∀n = 1, 2, +∞ b)Vỵi måi C cho trữợc, C < 2, Ãu tỗn tÔi mët d¢y sè (an )n=0 tho£ m¢n i·u ki»n (3.4) cho bn > C vỵi vỉ sè ch¿ sè n n P ak−1 ak−1 Líi gi£i a) Tø gi£ thi¸t ta câ − ≥ 0, bn = (1 − ) √ ≥ ak a a k k=1 √ √ √ √k ( ak − ak−1 )( ak + ak−1 ) ak−1 ak − ak−1 )√ = = M°t kh¡c: (1− √ √ a a a a a a k k k k k √ √ √ √ √ √ √k ( ak − ak−1 )(2 ak ) 2( ak − ak−1 ) 2( ak − ak−1 ) ≤ ≤ ≤ √ √ √ ak ak ak ak ak−1 1 = 2( √ − √ ) ak−1 ak a) Do â, n P 1 1 −√ ) = 2( √ − √ ) < √ = 2, ∀n ∈ N∗ ak−1 ak−1 a0 an a0 k=1 b) N¸u sè C thäa mÂn C < 2, thẳ ta cõ th chån ÷đc mët sè q cho: C < q < Phữỡng trẳnh x(x + 1) = q ⇔ x + x − q = câ hai nghiằm trĂi dĐu Nghiằm dữỡng p cừa phữỡng trẳnh Đy phÊi b hỡn 1, vẳ náu khổng thẳ p(p + 1) ≥ > q , ¥y l i·u m¥u thuăn bn ( 43 , n=0,1,2, thäa m¢n i·u ki»n p2n = a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ n n n P P P ak−1 k ỗng thới, (1 ) = (1 − p )p = (1 − p ) pk = (1 − ak ak k=1 k=1 k=1 n − p p2 ) p 1−p = p(1 + p)(1 − pn ) = q(1 − pn ) = q − q.pn n V¼ < p < n¶n lim p = 0, â lim bn = q , m q > C nản vợi n DÂy số an = n+ ừ lợn ta cõ n+ bn > C V½ dư 3.8 [ Olympic to¡n quốc tá nôm 1982]Cho dÂy số vổ hÔn cĂc số dữỡng (xn ) thọa mÂn iÃu kiằn: = x0 ≥ x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn ≥ xn+1 ≥ (3.5) a) Chùng minh rơng vợi mồi dÂy cõ tẵnh chĐt (3.5) nhữ thá Ãu tỗn tÔi mởt số n1 cho x2n1 x20 x21 x22 + + + ··· + ≥ 3, 999 x1 x2 x3 xn b) Tẳm mởt dÂy số cõ tẵnh chĐt (3.5) nhữ trản cho: x2n1 x20 x21 x22 + + + ··· + < 4, ∀n = 1, 2, x1 x2 x3 xn Líi gi£i x2n−1 ≥ 4(xn−1 − xn ) ⇔ x2n−1 − 4xn−1 xn + 4x2n ≥ a) V¼ xn ⇔ (xn−1 − 2xn )2 ≥ 0, x2n−1 n¶n ta câ b§t ¯ng thùc sau ≥ 4(xn−1 − xn ), ∀n = 1, 2, xn Cëng tøng v¸ cĂc bĐt ng thực trản ta ữủc: x2n1 x20 x21 x22 + + + ··· + ≥ 4(x0 − xn ) x1 x2 x3 xn {xn }+∞ n=0 gi£m v b chn dữợi bi số nản hởi tử Trữớng hđp 1: lim xn = Khi â bao gií cụng tỗn tÔi n n+ 0, 001 xn ⇒ 4(1 − xn ) = − 4xn ≥ 3, 999 x2 x20 x21 x22 Vợi n Đy v theo (3.6) ta câ + + + · · · + n−1 ≥ 3, 999 x1 x2 x3 xn Vẳ dÂy số Suy iÃu phÊi chựng minh 44 (3.6)
Ngày đăng: 18/10/2023, 11:27
Xem thêm:
