Lí thuyết chia hết trong tập số tự nhiên và mối liên hệ với một số nội dung môn toán ở tiểu học

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa thực tiễn

Trên cơ sở phân tích làm rõ mối liên hệ giữa cơ sở toán học của lí thuyết chia hết với một số nội dung trong môn Toán ở Tiểu học, khóa luận có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo hữu ích dành cho giáo viên, sinh viên ngành Giáo dục Tiểu học.

Mục tiêu nghiên cứu

Phân tích, khai thác những kiến thức dạng toán liên quan đến lí thuyết chia hết và chỉ ra mối liên hệ của chúng với một số nội dung trong môn Toán ở Tiểu học.

Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở toán học về các vấn đề: Quan hệ chia hết và phép chia có dư; Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất; Số nguyên tố và Định lí cơ bản của số học; Quan hệ đồng dư.

- Khai thác một số bài toán về lí thuyết chia hết trong tập số tự nhiên như: Giải và khai thác một số dạng toán về dấu hiệu chia hết; Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu; Tìm chữ số tận cùng; Vận dụng tính chất chia hết và chia có dư để giải các bài toán có lời văn; Dạng toán về tìm thương, số chia, số dư trong phép chia Euclid.

- Phân tích làm rõ sự thể hiện cơ sở toán học của lí thuyết chia hết với một số nội dung môn toán ở Tiểu học: Liên hệ với dạy học về phép chia; Liên hệ với dạy học các dấu hiệu chia hết; Liên hệ với dạy học một số dạng bài tập.

Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện các nhiệm vụ và mục tiêu đặt ra của khóa luận, chúng tôi sử dụng các kiến thức về một số lĩnh vực của toán học như: lí thuyết chia hết và chia có dư trên tập số tự nhiên, Định lí Euler, Định lí Fermat Đầu tiên chúng tôi nghiên cứu và tìm hiểu về: Lí thuyết chia hết trên tập số tự nhiên, ứng dụng của quan hệ đồng dư trong bài toán chia hết và tìm số dư, ứng dụng của định lí Euler và định lí Fermat, nội dung chương trình môn toán ở tiểu học, một số tài liệu môn toán ở Tiểu học (SGK, sách bài tập,…) Tiếp theo, chúng tôi phân tích, khai thác những vấn đề lí thuyết và bài tập liên quan đến lí thuyết chia hết, trên cơ sở đó chỉ ra mối liên hệ, sự thể hiện của cơ sở toán học này trong nội dung môn Toán ở Tiểu học.

Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, bảng các kí hiệu, chữ viết tắt, danh mục bảng biểu, mục lục, kết luận kiến nghị và tài liệu tham khảo, phần nội dung gồm 3 chương: CHƯƠNG 1 LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN CHƯƠNG 2 KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LÍ

THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN.

CHƯƠNG 3 MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ MỘI DUNG MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC.

LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN

Quan hệ chia hết và phép chia có dư

1.1.1.1 Định nghĩa về chia hết. Định nghĩa: “Cho a và b là hai số tự nhiên, b ≠ 0 Ta nói rằng a chia hết cho b nếu có một số tự nhiên q sao cho a = bq Số tự nhiên q gọi là thương trong phép chia a cho b Nếu a chia hết cho b, ta kí hiệu là a ⋮ b, khi đó ta cũng nói là b chia hết a và kí hiệu là b|a”[12].

Dựa vào cách ghi số của một số tự nhiên trong hệ g – phân, ta tìm thấy dấu hiệu chia hết cho một số tự nhiên a đặc biệt nào đó, dựa vào các chữ số của số bị chia Để đơn giản ta giới hạn việc trình bày trong hệ thập phân

Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b khác số 0, ta luôn tìm được hai số tự nhiên q và r duy nhất sao cho: a = b × q + r (0 ≤ r < b) Nếu r = 0 thì ta có phép chia hết.

Ví dụ: Phép chia 12 cho 3 là phép chia hết: 12 chia cho 3 được 4. Tính chất:

“Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c”[16].

Vì a ⋮ b nên có q ∈ N để a = bq

Vì b ⋮ c nên có p ∈ N để b = cp

Từ đó a = bq = c (pq) Theo định nghĩa ta có a ⋮ c.

Nếu a ⋮ b, a ⋮ b, … , a ⋮ b và x , x , … , x là những số tự nhiên tùy ý thì ta có: a x + a x + ⋯ + a x ⋮ b

Chứng minh Theo giả thiết tồn tại các số q , q , … , q ∈ N sao cho a = bq , … , a = bq

Và điều này lại chứng tỏ a x + a x + a x ⋮ b Hệ quả: Trong một đẳng thức a + a + ⋯ + a = m + m + ⋯ + m Nếu đã biết tất cả các số hạng, trừ một số hạng nào đó, chia hết cho b thì chính số hạng còn lại cũng chia hết cho b.

1.1.1.2 Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5.

Số tự nhiên a chia hết cho 2 ( tương ứng cho 5) khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của nó chia hết cho 2 ( tương ứng cho 5) Cụ thể: a) Số tự nhiên a chia hết cho 2 khi và chỉ khi nó có chữ số hàng đơn vị là 0, 2, 4, 6 hoặc 8. b) Số tự nhiên a chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị cùa nó là 0 hoặc 5.

Chứng minh Giả sử = … Khi đó có thể viết = 10 + ⋯ + 10 +

Vì 10 chia hết cho 2 và 5 nên điều kiện cần và đủ để a chia hết cho 2 (hoặc 5) là: c chia hết cho 2 (hoặc 5).Đpcm.

1.1.1.3 Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9.

Một số chia hết cho 3 (tương ứng chia hết cho 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số đó chia hết cho 3 (tương ứng cho 9).

Chứng minh Trước hết nhận xét rằng một lũy thừa bất kì của 10 chia cho 3 hoặc cho 9 đều có dư bằng 1 Thật vậy, theo công thức nhị Niutơn ta có:

Vì vậy với số tự nhiên a ta có thể viết:

=9 +( + + ⋯ + + ). Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ rằng a chia hết cho 3 (tương ứng cho

9) khi và chỉ khi + + ⋯ + + chia hết cho 3 (tương ứng cho 9).Đpcm. a) Chia hết cho 3.

15 có tổng các chữ số: 1 + 5 = 6 chia hết cho 3 ⇒ 15 chia hết cho 3

138 có tổng các chữ số là: 1 + 3 + 8 = 12 chia hết cho 3 ⇒ 138 chia hết cho 3 b) Chia hết cho 9.

18 có tổng các chữ số: 1 + 8 = 9 chia hết cho 9 ⇒ 18 chia hết cho 9

189 có tổng các chữ số là: 1 + 8 + 9 = 18 chia hết cho 9 ⇒ 189 chia hết cho 9 1.1.1.4 Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25.

Số tự nhiên a chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi số tạo bởi hai chữ số cuối cùng của nó tạo thành số chia hết cho 4 (hoặc 25).

Chứng minh Thật vậy, số tự nhiên a = được viết thành c c … c c

Vì 100 chia hết cho 4 và 25 nên a chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi c 10 chia hết cho 4 (hoặc 25) nghĩa là khi và chỉ khi c c chia hết cho 4 (hoặc 25).Đpcm

Quy tắc cơ bản để xét chia hết cho 4 là nếu số tạo thành bởi hai chữ số tận cùng của một số chia hết cho 4 thì số ban đầu chia hết cho 4; điều này là do 100 chia hết cho 4 và do đó việc thêm vào hàng trăm, hàng nghìn, v.v chỉ đơn giản là thêm một số khác chia hết cho 4 Nếu bất kỳ số nào kết thúc bằng một số có hai chữ số mà ta biết là chia hết cho 4 (ví dụ: 24, 04, 08, v.v.), thì số tự nhiên sẽ chia hết cho 4 bất kể số nào đứng trước hai chữ số cuối cùng. Ngoài ra, người ta có thể chỉ cần chia đôi số đã cho, sau đó kiểm tra kết quả để tìm xem nó có chia hết cho 2 Nếu đúng, số ban đầu chia hết cho 4 Ngoài ra, kết quả của phép chia này cũng giống như lấy số ban đầu chia cho 4 Ví dụ: Quy tắc chung

2092 (Chỉ lấy hai chữ số cuối của số, loại bỏ đi các chữ số khác)

92 ÷ 4 = 23 (Kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 không)

2092 ÷ 4 = 523 (Nếu số thu được chia hết cho 4 thì số ban đầu chia hết cho 4) Cách khác

1720 ÷ 2 = 860 (Chia số ban đầu cho 2)

860 ÷ 2 = 430 (Kiểm tra xem kết quả vẫn còn có chia hết cho 2 không)

1720 ÷ 4 = 430 (Nếu kết quả chia hết cho 2 thì số ban đầu chia hết cho 4)

Với trường hợp phép chia hết cho 4 ta phải xét 2 trường hợp gồm: Nếu số lớn hơn 99:

Một số chia hết cho 4 khi 2 chữ số cuối của số đó là số 0 hoặc tổng 2 số cuối cùng chia hết cho 4.

Ví dụ: 14676 chia hết cho 4 vì 2 chữ số cuối cùng 76 tạo thành một số chia hết cho 4 (76/4 = 19) Số 345 200 cũng chia hết cho 4 vì 2 chữ số cuối là số không

Số chỉ chia hết cho 4 khi ta nhân đôi chữ số hàng chục và cộng thêm chữ số hàng đơn vị, nếu kết quả này chia hết cho 4 thì số ban đầu sẽ chia hết cho 4

Ví dụ: số 64, số hàng chục ở đây là 6, chúng ta cần nhân đôi số này và cộng thêm chữ số cuối: 2 × 6 + 4 = 16, 16 chia hết cho 4 do đó 64 chia hết cho 4. Hoặc số 96 = 9 × 2 + 6 = 24 : 4 = 6 nên 96 chia hết cho 4.

Số 47 = 4 × 2 + 7 = 15 không chia hết cho 4 nên 47 không chia hết cho 4.

1.1.1.5.Dấu hiệu chia hết cho 11.

“Số tự nhiên a chia hết cho 11 khi và chỉ khi tổng các chữ số hàng chẵn trừ các chữ số hàng lẻ (hoặc ngược lại) là bội của 11”[16].

Trước hết ta nhận xét rằng một lũy thừa của 10 sẽ có dạng 11q hoặc 11q−1

Như vậy 10 = 11 q + 1 nếu n chẵn và 10 = 11 q − 1 nếu n lẻ. có thể viết thành

Do đó số tự nhiên a = c c … c c

Lưu ý nếu phép trừ trên không thực hiện được trong N thì ta đổi vai trò của tổng chữ số hàng chẵn và tổng chữ số hàng lẻ. Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ a chia hết cho 11 khi và chỉ khi

Ví dụ: Số 9873215 chia hết cho 11 vì:

1.1.1.6 Một số dấu hiệu chia hết mở rộng

Dấu hiệu chia hết cho 4.

- Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4

- Các số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho 4.

- Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho

- Các số chia hết cho 25 thì chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho

- Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8

- Các chữ số chia hết cho 8 thì ba chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho 8.

- Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.

- Các số chia hết cho 125 thì ba chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho 125.

- Các số có hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11 thì chia hết cho 11.

- Các số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ của nó chia hết cho 11.

Trong các bài toán nâng cao về chia hết, học sinh Tiểu học không chỉ gặp các bài toán về các dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 3; 9; 4; 25; 8; 125; 11 mà các em còn thường gặp các bài toán chia hết cho 6; 12; 15; 18; 24; 36; 45; 99 Đối với các bài toán này, đầu tiên học sinh cần đi tìm điều kiện chia hết cho các số trên Khi tìm điều kiện chia hết cho một số, ta phải phân tích số đó thành tích của các số, sao cho các số này chỉ chia hết cho 1 và chính nó Khi đó, ta có:

Như vậy, ta có điều kiện chia hết cho 6; 12; 15; 18; 24; 36; 45; 99 cụ thể như sau:

- Điều kiện chia hết cho 6

Một số tự nhiên chia hết cho 6 khi số đó chia hết cho cả 2 và 3.

- Điều kiện chia hết cho 12.

Một số tự nhiên chia hết cho 99 khi số đó chia hết cho 9 và 11. 1.1.2 Phép chia với dư. Định lí: Với bất kì hai số tự nhiên a, b, b ≠ 0 Tồn tại duy nhất các số tự nhiên q và r sao cho:

= +,0≤ ≤ Chứng minh a) Tồn tại Xét tập hợp:

Rõ ràng M là tập con của N có các tính chất:

M bị chặn trên vì rõ ràng x ≤ a với mọi x ∈ M.

Vậy M có số lớn nhất chẳng hạn đó là q, điều này có nghĩa là q

∈ M nhưng q + 1 không thuộc M hay: bq ≤ a ≤ b(q + 1)0 = bq + b Đặt r = a − bq thì ta có: a = bq + r và 0 ≤ r ≤ b. b) Duy nhất: Giả sử có hai cặp số q, r và q , r mà: a = bq + r 0 ≤ r ≤ b a = bq + r 0 ≤ r ≤ b

Từ đó suy ra bq + r = bq + r

Nếu q ≠ q thì ta có thể giả sử q > q hay q = q + m

Với m ∈ N, m ≠ 0 Thay vào đẳng thức trên, ta được: bq + bm + r = bq + r hay r = bm + r ≥ b Mâu thuẫn.

Vậy q = q và do đó cũng có r = r Định nghĩa: Đẳng thức a = bq + r, 0 ≤ r ≤ b gọi là phép chia có dư của a cho b, q gọi là số thương hụt, r gọi là số dư của phép chia a cho b. Chú ý: Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư khi số dư r = 0.

Ví dụ: phép chia 7 cho 2 là phép chia có dư: 7 chia cho 2 được 3 (dư 1) Trong một phép chia có dư thì:

+ Số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia

+ Trong phép chia có số chia là a (a >1) thì số dư lớn nhất là a − 1 + Số dư nhỏ nhất trong phép chia có dư là 1

+ Số bị chia luôn lớn hơn số chia

+ Muốn tìm số bị chia = (Thương x Số chia) + Số dư

+Muốn tìm số chia = (Số bị chia − Số dư) : Thương.

Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

1 Cho hai số tự nhiên a và b, b ≠ 0 Khi a chia hết cho b, ta còn nói a là bội của b, hay b là ước của a.

2 Ước chung và bội chung.

Nếu số tự nhiên b là ước đồng thời của các số a , a , … , a thì b gọi là một ước chung của a , a , … , a

Nếu số tự nhiên a là bội đồng thời của các số b , b , … , b thì a gọi là một bội chung của b , b , … , b

Giả sử a , a , … , a là những số tự nhiên không đồng thời bằng 0 Khi đó tập hợp M các ước chung của a , a , … , a khác rỗng và bị chặn trên Thật vậy, vì ta luôn có 1 ∈ M và tập hợp M bị chặn trên bởi số khác 0 nhỏ nhất trong các số a , a , … , a Do đó tồn tại số lớn nhất trong các ước chung của a , a , … , a

1 Định nghĩa: Số lớn nhất d trong các ước chung của a , a , … , a gọi là ước chung lớn nhất của các số đó và kí hiệu là: d = ƯCLN (a , a , … , a )

Tập hợp các ước chung của a , a gồm: 1,3 Vậy

Tập M các ước chung của a , a là M = {1, 2, 3, 6}

3 Số nguyên tố cùng nhau và số nguyên tố sánh đôi

- Nếu ƯCLN (a , a , … , a ) = 1 thì ta nói rằng các số a , a , … , a nguyên tố cùng nhau.

- Nếu ƯCLN (a , a ) = 1 với mọi chỉ số i, j = 1, 2,…,n ; i ≠ j thì ta nói a , a , … , a là nguyên tố sánh đôi hay đôi một nguyên tố cùng nhau Ví dụ: 3 và 4 là nguyên tố cùng nhau

2,6,5 nguyên tố cùng nhau nhưng không nguyên tố sánh đôi 3,5,7 nguyên tố sánh đôi.

Chú ý: Rõ ràng các nguyên tố sánh đôi thì nguyên tố cùng nhau, nhưng ngược lại có những nguyên tố cùng nhau nhưng không nguyên tố sánh đôi 1.2.1.3 Các tính chất của ƯCLN. a) Tính chất 1: Nếu b\a thì ƯCLN(a, b) = b

Thật vậy theo giả thiết thì b là một ước chung của a và b và rõ ràng mọi ước chung của a và b đều không vượt quá b Vậy b là ƯCLN của a và b.b) Tính chất 2: Nếu a = bq + r thì ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r)

Chứng minh Để chứng minh đẳng thức trên, ta chỉ cần chứng minh hai tập hợp các ước chung của a, b và của b, r trùng nhau Khi đó, hai phần tử lớn nhất của hai tập hợp ấy cũng trùng nhau.

Giả sử d là một ước chung của a và b, khi đó d cũng là ước của r = a – bq và do đó d là một ước chung của b và r Ngược lại, nếu là một ước chung của b và r thì cũng là ước của a = bq + r Do đó là một ước chung của a và b c) Tính chất 3:

Nếu m là một số tự nhiên khác 0 thì ƯCLN(am, bm) = m.ƯCLN(a, b) Nếu là một ước chung của a và b thì a b 1 ƯCLN δ , δ = δ ƯCLN(a, b)

Nhân hai vế của các đẳng thức (1) trong thuật toán Ơclit thực hiện giữa a và b ta được thuật toán Ơclit giữa am và bm và số dư khác 0 cuối cùng của thuật toán này là m r Vậy ƯCLN (am, bm) = m r = m ƯCLN(a, b) (*)

Theo (*) ta có ƯCLN = δa , δb = δƯCLN a ,b (∗ δ δ δ δ ∗)

Từ đó ta suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Hệ quả: giả sử d là một ước chung của a và b, điều kiện cần và đủ để d là ƯCLN của a, b là và nguyên tố cùng nhau.

Nếu d = ƯCLN(a,b) theo (**) ta có Ư (,) Ư ( , ) = = 1

Ngược lại nếu ƯCLN , = 1 theo (∗) ta có: ƯCLN(a, b) = ƯCLN a b a b d , d = d ƯCLN( , ) = d d d d d

- Cho a 1 , a 2 ,…a n là các số tự nhiên khác 0 Khi đó tập hợp các bội chung của a 1 , a 2 ,…a n khác rỗng vì rõ ràng tích a 1 , a 2 ,…a n là một bội chung của các số này Do đó tồn tại số nhỏ nhất trong các bội chung của a 1 , a 2 ,…a n Ta có định nghĩa

- Định nghĩa: “Số nhỏ nhất trong các bội chung của a 1 , a 2 ,…a n gọi là bội chung nhỏ nhất của chúng và kí hiệu là BCNN(a 1 , a 2 ,…a n )”[15].

- Ví dụ: a = 2, a = 4, a = 6 Các bội chung của a 1 , a 2 , a 3 là 12, 24,

36, 48,…Trong đó 12 là số nhỏ nhất, vậy 12 = BCNN(2, 4, 6).

1.2.2.2 Công thức xác định BCNN của hai số.

Công thức: Để tìm BCNN của hai số a và b ta có công thức sau: ab BCNN(a, b) = ƯCLN(a, b)

Kí hiệu d = ƯCLN(a,b), a = da 1 , b = db 1 ta có a 1 , b 1 nguyên tố cùng nhau Giả sử M là một bội chung tùy ý của a, b và M = ak, ta có ⋮

⋮ Nhưng a 1 , b 1 nguyên tố cùng nhau, nên suy ra k

Nghĩa là mọi bội chung của a và b đều có dạng t Mặt khác, rõ ràng số m = là một bội chung của a và b, do đó đẳng thức trên chứng tỏ m là số nhỏ nhất trong các bội chung của a, b Vậy: ab

- Hệ quả: Phép chứng minh trên còn cho phép ta rút ra kết luận: “BCNN của a và b là một bội chung và là ước của mọi bội chung của hai số đã cho”[15]

- Áp dụng: Tìm BCNN(12,18) ƯCLN (12,18) = 6

- Tính chất 1 Tập hợp các bội chung của a và b trùng với tập hợp các bội của BCNN(a, b) (Theo chứng minh trên).

- Tính chất 2 Nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì một số tự nhiên c chia hết đồng thời cho a và b sẽ chia hết cho tích ab.

- Tính chất 3. a) BCNN(am,bm) = m.BCNN(a,b). b) Nếu là một ước chung của a và b thì a b 1 BCNN δ , = BCNN(a, b) δ δ

BCNN(am, bm) = am bm am bm ƯCLN(am, bm) = m ƯCLN(a, b)

= m ab = m BCNN(a, b) ƯCLN(a, b) b) BCNN(a, b) = BCNN δ , δ = δ BCNN( , )

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

- Tính chất 4 Giả sử m là một bội chung của a và b Điều kiện cần và đủ để m là BCNN(a, b) là và nguyên tố cùng nhau.

Chứng minh a) Điều kiện cần: Giả sử m = BCNN(a, b), nếu ƯCLN , = d ≠ 1 thì m = sẽ là một bội chung của a và b và m 1 < m. Mâu thuẫn Vậy và nguyên tố cùng nhau. b) Điều kiện đủ: Giả sử m m = BCNN(a, b) khi đó ta có m ⋮ m ƯCLN , = 1 và m a b chẳng hạn m = m d Từ đó suy ra m m m m m m

Số nguyên tố và định lí cơ bản của số học

- Một số tự nhiên lớn hơn 1 và không có ước tự nhiên nào khác ngoài 1 và chính nó được gọi là số nguyên tố.

Ký hiệu P là tập hợp các số nguyên tố Khi đó:

- Số tự nhiên lớn hơn 1mà không là số nguyên tố gọi là hợp số

- Ước của số tự nhiên khác 1 và khác chính nó được gọi là ước thực sự Khi đó định nghĩa số nguyên tố có thể được phát biểu lại như sau: “Số tự nhiên lớn hơn 1 được gọi là số nguyên tố nếu nó không có ước thực sự”[14]

- Số 1 và số 0 đều không phải là số nguyên tố mà cũng không phải là hợp số (số 1 chỉ có một ước số, số 0 có vô số ước số).

- Mỗi số tự nhiên n ∈ N ∗ có một và chỉ một trong ba khả năng: n

=1; n là số nguyên tố; n là hợp số.

1.3.1.2 Một số định lí cơ bản về số nguyên tố. a) Bổ đề 1: Mọi số nguyên tố lớn hơn 1 đều chia hết cho ít nhất một số nguyên tố.

Ta chứng minh bằng quy nạp

+Với n = 2, do 2 là số nguyên tố nên bổ đề đúng

+ Xét n > 2 và giả sử bổ đề đúng với mọi số nguyên lớn hơn 1 và nhỏ hơn n Ta sẽ chứng minh bổ đề đúng với n.

Nếu n là số nguyên tố thì n ⋮ n và bổ đề đúng.

Nếu n là hợp số thì n có ước dương a với a ≠ 1 và a ≠ n Giả sử n = a.b

Nếu a > n thì từ b ≥ 1 ta có n = a.b > n.1= n, mâu thuẫn Vậy 1< a < n. Theo giả thiết quy nạp, a có ước nguyên tố p Từ p | a, a | n suy ra p | n. Vậy bổ đề đúng với mọi n > 1. b) Định lí Euclid.

Giả sử chỉ có hữu hạn các số nguyên tố là , , … ,

Khi đó đặt N = … + 1, thì theo bổ đề (a), N chia hết cho một số nguyên tố p nào đó (vì N > 1) Số nguyên tố p này bắt buộc phải là một trong các số , do chỉ có n số nguyên tố , , … , mà thôi Tuy nhiên, theo định nghĩa của N, N không thể chia hết cho số nào cả. Mâu thuẫn này cho ta điều phải chứng minh. c) Cho số tự nhiên a và một số nguyên tố p Khi đó p | a hoặc (a, p) = 1.

Chứng minh Gọi d = (a, p) => d | p với p là số nguyên tố Từ đó hoặc d

+Nếu d = p thì p | a. d) Nếu một số nguyên tố p chia hết tích của nhiều số nguyên tố thì nó phải trùng với một trong các số nguyên tố đó.

1.3.2 Định lí cơ bản của số học

“Mọi số tự nhiên a > 1 đều phân tích được thành tích những thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các thừa số”[12]

Chứng minh a) Sự phân tích được.

Giả sử ∈ N, a > 1 Khi đó bổ đề (a) a có ít nhất một ước nguyên tố p 1 nào đó và ta có a = p 1 a 1 , a 1 ∈ N

Nếu a 1 = 1 thì a = p 1 là cách phân tích tầm thường của a

Nếu a 1 > 1 theo lý luận trên, a 1 có ước nguyên tố p 2 nào đó và ta có: a 1 = p 2 a 2 , a 2 ∈ N nên a = p 1 p 2 a 2

Nếu a 2 = 1 thì a = p 1 p 2 là tích phân của a

Nếu a 2 > 1 lại tiếp tục lý luận như trên, có số nguyên tố p 3 ,…

Quá trình này phải kết thúc, nghĩa là ắt có n sao cho a n = 1, a n-1 = p n là một số nguyên tố, bởi vì ta có a, a 1 , a 2 ,…là một dãy những số tự nhiên mà a > a 1 > a 2 >…Như vậy, ta được a = p 1 p 2 …p n là sự phân tích của a thành tích những thừa số nguyên tố. b) Sự duy nhất.

Ta giả sử tồn tại số nguyên lớn hơn 1 mà có 2 cách biểu diễn dưới dạng tích các thừa số nguyên tố Khi đó giả sử a là số nhỏ nhất trong các số như vậy, tức là a = p 1 p 2 …p m = q 1 q 2 …q n với p i, q j là các số nguyên tố Do p 1 chia hết q 1 q 2 …q n suy ra tồn tại q j mà p 1 chia hết q j Từ đó ta có p i = q j, bỏ 2 số nguyên tố ra khỏi đẳng thức ta được 2 vế là 2 triển khai khác nhau của số a chia cho p 1 , mà theo giả thiết a là số nhỏ nhất Như vậy, mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết là sai Vậy mỗi số nguyên tố lớn hơn 1 chỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng tích thừa số nguyên tố (không kể đến thứ tự các thừa số)

1.3.3 Hàm ( n), hàm ( n) và hàm euler ( n)

1.3.3.1 Hàm ( ) và hàm ( ). a) Định nghĩa và ví dụ. Định nghĩa 1 Hàm số học n xác định với mọi số nguyên dương n và biểu thị số các ước nguyên dương của n.

Hàm số học n xác định với mọi số nguyên dương n và biểu thị tổng các ước nguyên dương của n.

(trong tổng n 1 các số hạng đều bằng 1, số các số hạng bằng số các ước d \ n nguyên dương của n ). n còn được gọi là hàm đếm số các ước nguyên dương của n Một vài giá trị đầu tiên của n là :

Một vài giá trị đầu tiên của n là:

Nhận xét : a Số tự nhiên n là một số nguyên tố khi và chỉ khi n 2 b Số tự nhiên n là một số nguyên tố khi và chỉ khi nn 1 b) Công thức tính của n và n

Nếu n > 1 và n = … là dạng phân tích tiêu chuẩn của n thì

Chứng minh Với n > 1 và k = 1 thì n = có và chỉ có ước là 1; , , … nên ta được ( ) = + 1.

Giả sử mệnh đề đúng với k – 1 ≥ 1 Khi ấy vì ƯCLN( … ) =

1 và có có tính chất nhân nên

Tức là mệnh đề đúng với k Từ đó suy ra mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n > 1.

Chú ý: Ta có thể tìm công thức cho ( ) Từ đó suy ra tính chất nhân của ( ) Thật vậy ta biết rằng f(n) = là hàm số có tính chất nhân, nên với n có phân tích tiêu chuẩn … , ta có:

Với s = 0 ta sẽ được kết quả

Từ công thức tính (n) dễ dàng suy ra tính chất nhân của nó. Công thức tính của σ(n).

Nếu n > 1 và n = … là dạng phân tích tiêu chuẩn của nó thì σ(n) = …

Với n > 1 và k = 1 thì n = có và chỉ có các ước là , , …nên σ(n) = 1 + + +⋯+ =

Giả sử mệnh đề đúng với k −1 ≥ 1 Khi ấy ta có σ(n) = σ( … ) σ( )

(Vì ƯCLN( … , ) = 1 và σ(n) có tính chất nhân), nghĩa là mệnh đề đúng với k Từ đó suy ra mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n > 1 Ví dụ: n = 360 = 2 3 5 ta có σ(360) = = 1170 c) Tính chất của hàm (n) và n

Hàm n và n là những hàm nhân

- Hàm (n) τ(n) là một hàm số có tính chất nhân

Ta có (1) = 1 nên khác 0 Giả sử a, b N*, ƯCLN(a, b) = 1, ta phải chứng minh (a.b) = (a) (b) Trước hết ta chứng minh d | ab d = xy trong đó x | a, y | b và ƯCLN(x, y) = 1 (1)

Thật vậy nếu a =1 hoặc b = 1 thì (1) là hiển nhiên Giả sử a > 1, b > 1 và a = … và b = … là dạng phân tích tiêu chuẩn của a và b Từ ƯCLN(a, b) = 1 suy ra, , … , , , , … , là những số nguyên tố đôi một khác nhau và ab = … … là dạng phân tích tiêu chuẩn của ab.

Hay a | ab d = xy với x = … và y = …

Tức là a | ab d = xy với x | a, y | b Thêm nữa rõ ràng ƯCLN(x, y) = 1

Từ kết quả trên ta suy ra được rằng (ab) = (a) (b).

Hàm số σ(n) là một hàm số có tính chất nhân Chứng minh

Ta có σ(1) = 1 nên σ khác 0 Ta còn phải chứng minh ∀

Thật vậy, giả sử x , x , … , x ( ) là các ước tự nhiên của y , y , … , y ( ) là các ước tự nhiên của b Ta có d | ab d = x y (i = 1, 2, …, ( ); j = 1, 2,… ( )) Nên ta được σ(ab) = ∑ | = ∑ , ,… ( ) x y = ∑ ( ) x ∑ ( ) y = ( ) ( ).(đpcm)

1.3.3.2 Hàm Euler ( ). a) Định nghĩa và ví dụ. Định nghĩa Hàm số học n xác định với mọi số nguyên dương n và biểu thị số các số nguyên dương không vượt quá n mà nguyên tố cùng nhau với n gọi là hàm Euler n 1 m n m , n 1 n còn gọi là hàm đếm các số nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố với n

Ví dụ: Một vài giá trị đầu tiên của n là:

Chú ý Nếu p là số nguyên tố thì p p 1 Điều ngược lại cũng đúng. Mọi số tự nhiên p > 1 mà p p 1 đều là số nguyên tố b) Công thức tính hàm n

Bổ đề 1 Giả sử d là một ước nguyên dương của số tự nhiên n Khi đó số các số nguyên dương không vượt quá n mà có ước chung lớn nhất với n bằng d là n d

Bổ đề 2 Với mọi số nguyên dương n ta có d n d \ n

- Với m p , trong đó p là một số nguyên tố và là một số tự nhiên khác 0, ta có p p p 1 p 1

- Với n > 1; Giả sử n p n 1 p n 2 p n k là sự phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên

1 2 k n thành tích các thừa số nguyên tố Khi đó ta có:

( )là hàm số có tính chất nhân

Ta có (1) = 1 nên khác không Bây giờ giả sử a, b là hai số tự nhiên khác 0 nguyên tố cùng nhau Ta sẽ chứng minh rằng ( ) = ( ) ( )

Thật vậy nếu a = 1 hoặc b = 1 thì đẳng thức là hiển nhiên Giả sử a >

1, b > 1 Ta lập bảng M gồm ab số tự nhiên từ 0 đến ab − 1 như sau

Bảng M có a cột và b hàng Các số trong bảng nằm có cột thứ y, hàng thứ x là ax + y trong đó x = 0, 1, , b − 1, y = 0, 1, a − 1.

Ta nhận xét rằng một số trong bảng M là nguyên tố với tích ab khi và chỉ khi số đó nguyên tố với cả a và b Do đó để tìm các số trong bảng nguyên tố với tích ab ta hãy tìm các số nguyên tố với a rồi trong các số đó tìm các số nguyên tố với b.

Bởi vì ƯCLN(ax + y, a) = ƯCLN(y, a) nên các số trong M nguyên tố với a khi và chỉ khi nó ở cột thứ y mà ƯCLN(y, a) = 1 Ta thấy có (a) cột như thế Trong mỗi cột y có chứa b số dạng ax + y (x = 0, 1, b − 1) nên theo mệnh đề 1, trong b số đó có đúng cp(b) số nguyên tố với b Bởi vậy trong bảng M ở trên có tất cả ( ) số nguyên tố với ab Nhưng theo định nghĩa, số các số trong bảng M nguyên tố với ab là (ab) Do đó (ab) = (a) (b).

Quan hệ đồng dư

1.4.1 Định lí Euler và định lí Fermat.

Giả sử m là một số tự nhiên lớn hơn 1 và a là một số nguyên nguyên tố với m Khi ấy ta có

Ta cho x chạy qua hệ TDTG mod m không âm nhỏ nhất , , … , ( ) Khi ấy tập hợp , , … , ( ) cũng là một hệ TDTG mod m Gọi , , … , ( ) là các thặng dư không âm nhỏ nhất tương ứng cùng lớp với , , … , ( ) thì ta có

( ) ≡ ( ) ( ), ta sẽ được , , … , ( ) cũng là hệ TDTG mod m không âm nhỏ nhất Bằng cách nhân vế với vế của ( ) đồng dư trên thức ta được

Bởi vì , , … , ( ) và , , … , ( ) cùng là hệ TDTG mod m không âm nhỏ nhất nên ta có

Nhưng tích… ( ) nguyên tố với m (vì từng thừa số của nó nguyên tố với m), nên có thể chia hai vế của đồng dư thức trên đây cho … ( ) ta được

1.4.1.2 Định lí Fermat Định lí 1 (Định lí Fermat)

Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p Khi ấy ta có

Chứng minhTheo giả thiết ta có ( ) = − 1 và a là nguyên tố với p nên theo định lí Ơ-le ta được

≡ 1 ( ). Định lí 2 (Dạng khác của định lí Fermat)

Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên tùy ý Khi ấy ta có

Chứng minh Nếu a chia hết cho p thì hiển nhiên ≡ ( ) Nếu a không chia hết cho p thì theo định lí 1 ta có ≡ 1 ( ), bởi vậy sau khi nhân hai vế của đồng dư thức này với a ta được ≡( ).

Ngược lại từ định lí 2 ta có thể suy ra định lí 1 Thật vậy từ

≡ ( ) và a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p thế thì a nguyên tố với p nên bằng cách chia hai vế của đồng dư thức trên cho a ta được ≡ 1 ( ) Chính vì vậy người ta nói định lí

2 là dạng khác của định lí Fermat.

1.4.2 Ứng dụng quan hệ đồng dư trong bài toán chia hết.

1.4.2.1 Ứng dụng tính chất của đồng dư thức.

Ví dụ 1 Chứng minh rằng: a, 2222 + 5555 chia hết cho 7 b, 5 + 5 chia hết cho 6

Giải a, Ta có 2222 ≡ 3(mod 7) và 5555 ≡ 4(mod 7)

Do 3 2 = 9 ≡ 2(mod 7) nên 3 3 ≡ −1 (mod 7) và 5555 ≡ 3.1851

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2 Chứng minh rằng 5 + 5 chia hết cho 6, với mọi n ≥ 1

Mặt khác 5 ≡ 5(mod 6) suy ra 5 ≡ 0(mod 6) Do đó 5 + 5⋮

Trường hợp đặc biệt n = 2009 ta được 5 ⋮ 6.

Ví dụ 3 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có a, 12 2n+1 + 11 n+2 133 b, 2 2n + 15n − 1 9.

Mặt khác 11 n+2 = 121.11 n , mà 121 ≡ −12 (mod 133) nên

Cộng hai vế của phép đồng dư (1) và (2) ta được 12 2n+1 + 11 n+2 ≡ 0(mod 133) b, Ta có

Do đó để chứng minh 2 2n + 15n − 1 ≡ 0(mod 9) ta chứng minh 4 + … + 4 + 1 ≡ n(mod 3). ố

Thật vậy vì 4 ≡ 1(mod 3) nên 4 k ≡ 1(mod 3) Vậy 2 2n + 15n − 1 ⋮ 9

1.4.2.2 Sử dụng định lí Euler và Fermat chứng minh tính chia hết.

Ví dụ 1 Chứng minh rằng:

= 1 Áp dụng định lí Fermat ta có a 2 ≡ l(mod 3) suy ra a 4 ≡ l (mod 3) và a 4 ≡ l (mod 5) suy ra a 4 − 1≡ 0(mod5) (1)

Vì tích của 3 số chẵn trong đó có 2 số chẵn liên tiếp nên một trong 3 số phải chia hết cho 3 nên a 4 − 1 chia hết cho 2 4 hay a 4 ≡ 1 (mod 2 4 ) (2)

Do a 2 , (a 2 − 1), (a 2 + 1) là 3 số nguyên liên tiếp nên một trong 3 số phải chia hết cho 3.

Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2. a, Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 7 thì:

3 − 2 − 1 ⋮ 42p b, Chứng minh rằng 2 là hợp số với mọi n > 0

Giải a, Ta có 42p = 2.3.7 p Mặt khác

Vì p là số tự nhiên lẻ nên 2 +1 ⋮ (2+1) = 3 và 3 − 1 là số chẵn. Theo định lí Fermat ta có 3 ≡ 3(mod p) và 2 ≡ 2(mod p)

Do một số nguyên tố chia cho 6 có thể dư 1 hoặc 5 nên

3 − 2 −1 =3 3 −2 (2 −1≡3 −2 −1≡0( 7) Theo định lí Fermat 3 6 ≡ l (mod 7) và 2 6 ≡ 1 (mod 7)

Ta có điều phải chứng minh b, Ta chứng minh 2 + 19 ⋮ 3, với mọi n ≥ 1

Thật vậy, theo định lí Fermat 2 10 ≡ l(mod 11) suy ra 2 ≡ 2(mod 22) suy ra 2 = 22k+ 2 k ∈ N.

Theo định lí Fermat ta có: 2 ≡ l(mod 23)

Suy ra 2 ≡ 2 ≡ 4(mod 23) suy ra 2 + 19 ⋮ 23 và 2 + 19 >23 Với mọi n ≥ 1.

Vậy 2 + 19 là hợp số tự nhiên n > 0.

Ta có 11 là số nguyên tố (2, 11) = 1 Theo định lí Fermat ta có 2 10 ≡ l(mod

11) Ta tìm dư trong phép chia 2 cho 10.

Ví dụ 4 Chứng minh 2 + 3 ⋮11 với n là số tự nhiên.

Ta có (11) = 10, (10) 10 = (1 − ).(1− ) = 4 Áp dụng định lí Euler ta có (3, 10) = 1 nên 3 ( ) ≡ 1 (mod 10) ≡ 1 (mod 10)

3 ≡ 1(mod 10) suy ra 3 ≡ 3 (mod 10) Đặt 3 = 10k +3 với k ∈ Khi đó ta có : 2 +3=2 + 3. Áp dụng định lí Euler ta có (2, 11) = 1 suy ra

1.4.3 Ứng dụng quan hệ đồng dư trong bài toán tìm số dư.

Cho a, m ∈ Z, m > 0 Giả sử a = mq + r(*), 0 ≤ r < m Theo điều kiện tương đương của đồng dư thức ta có (*) tương đương với a ≡ r(mod m) Do đó bài toán tìm số dư trong phép chia cho m chuyển về bài toán tìm số r, 0 ≤ r < m thỏa mãn a ≡ r(mod m).

1.4.3.1 Sử dụng tính chất của đồng dư thức.

Ví dụ 1 Tìm số dư trong phép chia 2945 − 3 cho 9

Ta có 2945 ≡ 2(mod 9) suy ra 2945 − 3 ≡ 2 − 3 (mod 9).

Mà 2 − 3 ≡ 2(mod 9) Vậy số dư trong phép chia 2945 − 3 cho 9 là 2.

Ví dụ 2 Tìm số dư trong phép chia A = 776 + 777 + 778 cho 3 và cho 5.

Mà3 2 ≡ −1(mod5) suy ra (3 2 ) 338 3 ≡ 3(mod 5).

1.4.3.2 Sử dụng các định lí Euler và định lí Fermat.

Ví dụ 1 Tìm số dư trong phép chia 3 2005 cho 100.

Ví dụ 2 Tìm số dư trong phép chia 109 345 cho 14.

Ta có 109 ≡ − 3(mod 14) nên 109 345 ≡ −3 (mod 14)

Theo định lý Euler ta có

Mà (−3) 345 = (−3) (−3) suy ra (−3) 345 ≡ (−3) (mod 14) ≡ 1(mod 14).

Vậy số dư trong phép chia 109 345 cho 14 là 1.

Ví dụ 3 Tìm dư trong phép chia 1997 1997 cho 13.

Theo định lý Fermat ta có 8 12 ≡ 1(mod 13) và 1997 = 12.166 + 5 Suy ra 8 1997 = 8 ≡ 8 5 (mod 13) ≡ 8(mod 13)

Vậy dư trong phép chia 1997 1997 cho 13 là 8.

1.4.4 Ứng dụng quan hệ đồng dư trong nhận biết các dấu hiệu chia hết.

Cho số tự nhiên N khác 0 được viết trong hệ thập phân là

Dựa vào tính chất của đồng dư thức ta sẽ đi tìm điều kiện ràng buộc giữa các chữ số , ,…, , để số tự nhiên N chia hết cho một số tự nhiên nào đó. a) Dấu hiệu chia hết cho 2:

Ta có N = = 10 a + 10 a + ⋯ + 10 a + a a a … a a Vì10≡0 (mod 2) nên N = ≡ 0 (mod 2) khi và chỉ khi

≡ 0 (mod 2) tương đương a ϵ {0, 2, 4, 6, 8}. b) Dấu hiệu chia hết cho 5.

N = ≡ 0 (mod 5) khi và chỉ khi ≡ 0 (mod 5) tương đương

… a ϵ {0, 5 } c) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25).

Vì 100 ≡ 0 (mod 4) và 100≡ 0 (mod 25) nên

N ≡ 0 (mod 4) khi và chỉ khi ≡ 0 (mod 4)

Và N ≡ 0 (mod 25) khi và chỉ khi ≡ 0 (mod 25) d) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125).

Vì 1000 ≡ 0 (mod 8) và 1000 ≡ 0 (mod 125) nên

N ≡ 0 (mod 8) khi và chỉ khi ≡ 0 (mod 8) và

N ≡ 0 (mod 125) khi và chỉ khi ≡ 0 (mod 125). e) Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9.

Trong chương 1, trước hết chúng tôi đã tổng hợp được các kiến thức cơ bản liên quan đến lí thuyết chia hết bao gồm: Quan hệ chia hết và phép chia có dư; Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất; Số nguyên tố và Định lí cơ bản của số học; Quan hệ đồng dư Ngoài ra, chương này còn phân tích, làm rõ một số định lí và tính chất thông qua việc chứng minh, đưa ra các ví dụ minh họa.

KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN

Giải và khai thác một số dạng toán về dấu hiệu chia hết

2.1.1 Dạng 1: tìm số các số có k chữ số phân biệt được thành lập từ những chữ số cho trước thỏa mãn điều kiện chia hết.

Ví dụ 2.1.1.1 Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lập từ bốn chữ số 0; 4; 5; 9 và thỏa mãn a) Chia hết cho 2 và 5 b) Chia hết cho 9 c) Chia hết cho 36. a) Phân tích: Để giải được bài toán này cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và

+Các số chia hết cho 2 thì có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.

+Các số chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

Mà số cần lập chia hết cho cả 2 và 5 nên ta tìm được chữ số tận cùng chỉ có thể là số 0 Như vậy, chữ số tận cùng có một cách chọn từ các chữ số đã cho Tiếp theo, dựa vào điều kiện các chữ số phải khác nhau, ta có thể tìm được số cách chọn cho chữ số hàng chục và hàng trăm Từ đây, ta có thể dễ dàng kể tên và tìm được các số cần lập. Lời giải: Gọi số lập được có dạng abc; a ≠ 0, a, b, c là các chữ số khác nhau) Để chia hết cho 2 và 5 thì c chỉ có thể là 0 Từ đó, ta suy ra c = 0

Vì số phải tìm có ba chữ số khác nhau nên a có ba cách chọn từ các chữ số a = 5; a = 5 hoặc a = 9

Khi đó, b chỉ còn hai cách chọn trong ba chữ số còn lại Như thế, số các số chia hết cho 2 và 5 là

Vậy 6 số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho cả 2 và 5 được lập từ bốn chữ số 0; 4; 5 và 9. b) Phân tích: Để giải bài toán cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 Như vậy, tổng các chữ số của số cần lập là số chia hết cho 9 Từ bốn chữ số 0; 4; 5 và 9 mà đề bài cho, ta sẽ chia thành hai nhóm có tổng các chữ số chia hết cho 9 để lập thành các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 9.

+Nhóm các chữ số 4; 5; 9. Đối với mỗi nhóm, ta lập luận để tìm được số cách chọn cho từng chữ số của số cần lập Sau đó, dễ dàng kể tên và tìm được các số cần lập. Lời giải: Gọi số cần lập có dạng (a ≠ 0; a,b,c là các chữ số khác nhau) Để chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó (a + b + c ) phải chia hết cho 9

Mà 9; 18 là những số chia hết cho 9 và (0; 4; 5) hay (4; 5; 9) là những cặp số có các chữ số khác nhau nên các cặp số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 9 được lập từ hai nhóm chữ số trên Cụ thể như sau:

+ Nhóm các chữ số 0; 4; 5 Vì a ≠ 0 nên khi chọn a thì a có hai cách chọn Mặt khác, các số đều có ba chữ số khác nhau nên khi đã chọn a thì b chỉ còn hai cách chọn và c chỉ còn lại một cách chọn.

Do đó, số các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 9 là

2 × 2 × 1 = 4 (số) Đó là các số 405; 450; 504; 540.

+ Nhóm gồm các chữ số 4; 5; 9 Lập luận tương tự nhóm trước ta được số các chữ số chia hết cho 9 là

3 × 2 × 1 = 6 (số) Đó là các số 459; 495; 549; 594; 945; 954.

Vậy 10 số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 9 được lập từ bốn chữ số 0; 4; 5 và 9. c) Phân tích: Bởi vì 36 = 4 × 9 nên số cần lập chia hết cho cả 4 và 9. Dựa và dấu hiệu chia hết cho 4 “ Các số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của số đó tạo thành số chia hết cho 4”[10], ta tìm được chữ số hàng chục và hàng đơn vị Tiếp theo, dựa vào yêu cầu của đề bài số đó là số có ba chữ số khác nhau, ta tìm được chữ số hàng trăm dựa vào chữ số hàng chục và hàng đơn vị vừa tìm được Cuối cùng, dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 ta đi loại các trường hợp không thỏa mãn. Lời giải: Gọi số cần lập có dạng (a ≠ 0; a, b, c là các chữ số khác nhau)

Bởi vì 36 = 4 × 9 nên số cần lập chia hết cho cả 4 và 9. Để lập được số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của số đó phải tạo thành số chia hết cho 4 Do đó, chỉ có thể là 04 hoặc 40.

Do số phải tìm chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó là ( a +

4 + 0) phải chia hết cho 9 Khi đó a chỉ có thể là 5.

Vậy có hai số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 36 được lập từ bốn chữ số đã cho.

Chúng ta có thể giải bài toán bằng cách liệt kê tất cả các khả năng có thể Số khả năng chính là đáp số bài toán. a) Số chia hết cho 2 và 5 chính là số chia hết cho 10 (số tròn chục) Đó là các số: 450; 490; 540; 590; 940; 950. b)Số chia hết cho 9 chính là số có tổng các chữ số chia hết cho 9 Đó là các số: 405; 450; 504; 540; 459; 495; 549; 594; 945; 954. c) Số chia hết cho 36 chính là các số chia hết cho cả 4 và 9 Đó là các số: 540; 504.

Bài toán 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lập từ bốn chữ số 0; 4; 5; 7 và thỏa mãn a) Chia hết cho 2 và 5 b)Chia hết cho 9 c) Chia hết cho 36

Bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lập từ bốn chữ số a; b; c; d và thỏa mãn a) Chia hết cho 2 b)Chia hết cho 5 c) Chia hết cho 2 và 5 d)Chia hết cho 3 e) Chia hết cho 9 f) Chia hết cho 4 g)Chia hết cho 36

Ví dụ 2.1.1.2 Cho bốn chữ số 0; 1; 5; 8 Hãy thiết lập các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 6.

Hướng dẫn tìm lời giải

Phân tích: Bởi vì 6 = 2 × 3 nên để làm được bài toán này cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và 3.

Từ dấu hiệu chia hết cho 2, ta tìm được chữ số tận cùng là 0 hoặc 8. Sau đó, dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 và các chữ số cần lập phải khác nhau mà ta tìm được hai chữ số còn lại.

Lời giải: Bởi vì 6 = 2 × 3 nên các số chia hết cho 6 sẽ chia hết cho cả 2 và 3 Dựa vào 4 chữ số đã cho là 0; 1; 5; 8 ta có thể lập được

+Các số chia hết cho 2 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 8.

+Các số chia hết cho 3 có tổng các chữ số chia hết cho 3 Ta có

Mà 6 ⋮ 3; 9 ⋮ 3 và (0; 1; 5) và (0; 1; 8) là những cặp số có các chữ số khác nhau nên các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 6 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 8 sẽ được lập từ hai nhóm chữ số trên. Vậy các số đó là: 150; 510; 108; 180; 810.

Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu

Ví dụ 2.2.1 Không làm phép tính, hãy cho biết các tổng và hiệu sau đây có chia hết cho 3 hay không? Vì sao?

Phân tích: Để biết được kết quả của phép tính có chia hết cho 3 hay không, ta xét từng số hạng, số bị trừ, số trừ trong phép tính đó xem chúng có chia hết cho 3 hay không Sau đó, dựa vào tính chất chia hết của một tổng hoặc một hiệu mà ta đi đến kết luận.

+ Vì 240 và 123 đều chia hết cho 3 nên:

+ Các số 459, 690, 1236 đều chia hết cho

+ Số 2454 chia hết cho 3 và 374 không chia hết cho 3 nên :

2454 + 3742454 − 374 Đều không chia hết cho 3.

+ 541 không chia hết cho 3; 690 và 1236 chia hết cho 3 nên: f) 541 + 690 + 1236 không chia hết cho 3

Một số kiến thức cần lưu ý :

Cho n là một số tự nhiên khác 0, ta có các khẳng định sau:

+ Nếu mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho n thì tổng của chúng cũng chia hết cho n;

+Nếu số trừ và số bị trừ đều chia hết cho n thì hiệu chia hết cho n.

+ Nếu một số hạng không chia hết cho n và các số hạng còn lại đều chia hết cho n thì tổng không chia hết cho n.

+ Hiệu giữa một số chia hết cho n và một số không chia hết cho n là một số không chia hết cho n.

Bài toán 1: Không làm phép tính, hãy cho biết các tổng và hiệu sau đây có chia hết cho 9 hay không? Vì sao? a) 240 + 123; b) 240 − 123; c) 459 + 690 + 1236; 2454 + 374; e) 2454 − 374; f) 541 + 690 + 1236;

Bài toán 2: Không làm phép tính, hãy cho biết các tổng và hiệu sau đây có chia hết cho 12 hay không? Vì sao? a)340 + 234; b) 340 – 123; c) 459 + 690; d) 2454 + 374 + 524 e) 2454 − 374; f) 541 + 690;

Không làm phép tính hãy chứng tỏ một biểu thức chia hết hay không chia hết cho một số tự nhiên.

Ví dụ 2.2.2 Tổng kết năm học 2005 – 2006, một trường tiểu học có 462 học sinh tiên tiến và 195 học sinh giỏi Ban Giám hiệu dự định thưởng cho mỗi học sinh giỏi nhiều hơn một học sinh tiên tiến 2 quyển vở Cô văn phòng nhẩm tính phải mua 2006 quyển thì vừa đủ phát thưởng Hỏi cô văn phòng tính đúng hay sai? Giải thích tại sao?

Phân tích: Đối với dạng toán này, ta cần xem xét số học sinh giỏi và học sinh tiên tiến là những số chia hết cho bao nhiêu Khi đó, số vở thưởng cho mỗi loại học sinh là số chia hết cho số đó Nếu tổng số vở cần mua chia hết cho số đó thì cô văn phòng tính đúng, còn nếu không thì cô văn phòng tính sai

Lời giải: Ta thấy 462 và 195 đều là những số chia hết cho 3 Vì vậy số vở thưởng cho mỗi loại học sinh phải là số chia hết cho 3. Suy ra tổng số vở phát thưởng cũng là số chia hết cho 3 mà số 2006 không chia hết cho 3.

Vậy cô văn phòng đã tính sai.

Bài toán 1: Tổng kết năm học 2005 – 2006, một trường tiểu học có 460 học sinh tiên tiến và 195 học sinh giỏi Ban Giám hiệu dự định thưởng cho mỗi học sinh giỏi nhiều hơn một học sinh tiên tiến 2 quyển vở Cô văn phòng nhẩm tính phải mua 2006 quyển thì vừa đủ phát thưởng Hỏi cô văn phòng tính đúng hay sai? Giải thích tại sao?

Bài toán 2: Một công ty a có 1790 công nhân và có 100 cán bộ. Cuối năm, công ty thưởng cho mỗi cán bộ nhiều hơn mỗi công nhân là 500 000 đồng Kế toán nhẩm tính cần chuẩn bị 100 000 000 đồng thì vừa đủ Hỏi cô kế toán tính đúng hay sai? Tại sao?

Bài toán 3: Một gia đình nuôi 120 con gà và 80 con vịt Mỗi ngày cần cho mỗi con vịt ăn nhiều hơn mỗi con gà là 5 gam ngô Chủ nhà tính mỗi ngày cần 20 kg ngô là vừa đủ Hỏi cô chủ nhà tính đúng hay sai? Giải thích tại sao?

Không làm phép tính hãy chứng tỏ một biểu thức chia hết hay không chia hết cho một số tự nhiên.

Bài 1 Không làm phép tính, hãy xem các tổng và hiệu dưới đây có chia hết cho 3 hay không?

Bài 2 Có 5 tờ giấy Xé mỗi tờ giấy thành 6 mảnh Sau đó, lại lấy một số mảnh xé thành 6 mảnh nhỏ…Khi ngừng xé theo quy luật trên, người ta đếm được 2011 mảnh lớn, nhỏ cả thảy Hỏi người này đếm đúng hay sai? Bài 3 Hai bạn Nhung và Minh đi mua 9 gói kẹo và 6 gói bánh để lớp liên hoan Nhung đưa cho cô bán hàng hai tờ giấy 50 000 đồng và cô trả lại 36 000 đồng Minh nói ngay “Cô tính sai rồi” Hãy cho biết Minh nói đúng hay sai? Tại sao? Biết rằng giá một gói kẹo và bánh là một số nguyên đồng

Bài 4 Công ty X có một số công nhân hưởng mức lương 360 000 đồng, một số khác hưởng mức 495 000 đồng và số còn lại hưởng mức 672 000 đồng một tháng Sau khi phát lương cho công nhân, cô kế toán cộng sổ hết

273 815 000 đồng cả tháng Hỏi cô kế toán tính đúng hay sai? Tại sao?

Tìm chữ số tận cùng

2.3.1 Dạng 1: xác định số chẵn, số lẻ

Các kiến thức cần ghi nhớ:

- Tổng các số chẵn là một số chẵn.

- Tổng chẵn số lẻ là một số chẵn, tổng lẻ số lẻ là một số lẻ.

- Hiệu hai số chẵn là 1 số chẵn, hiệu hai số lẻ là 1 số chẵn.

- Hiệu giữa số chẵn và số lẻ (hoặc số lẻ và số chẵn) là 1 số lẻ.

- Tích các thừa số lẻ là 1 số lẻ, tích các thừa số trong đó có 1 thừa số chẵn sẽ là số chẵn.

Ví dụ 2.3.1.1 Tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số chẵn hay lẻ? (không cần tính tổng).

Hướng dẫn tìm lời giải:

Lời giải: Từ 1 đến 1997 có 1997 số tự nhiên liên tiếp, trong đó các số lẻ gồm: 1; 3; 5; 7; …; 1997 và các số chẵn gồm có 2; 4; 6; 8; …; 1996.

Số lượng số lẻ là: (1997 − 1) : 2 + 1 = 999 ( số).

Số lượng số chẵn là: (1996 – 2) : 2 + 1 = 998 ( số).

Ta có: Tổng của 999 số lẻ là số lẻ Tổng của 998 số chẵn là số chẵn. Tổng của một số chẵn với một số lẻ là một số lẻ Vậy tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số lẻ.

Từ 1 đến 1997 có 1997 số Ta có (1+1997) + (2+1996) + (3+1995) + …

Có tất cả là 998 cặp và dư 1 số Số đó là 999.

Ta có 1998 là số chẵn nên nhân với bất kì số nào cũng sẽ là số chẵn và số 999 là số lẻ Tổng của một số chẵn và một số lẻ sẽ là một số lẻ. Vậy tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số lẻ.

Bài toán 1: Tổng của 1986 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số chẵn hay lẻ? (không cần tính tổng).

Tính tổng của n số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ k là một số chẵn hay lẻ? (Không cần tính tổng).

Ví dụ 2.3.1.2 Không cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích: a) 672×41×3719423 b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 =

9161 Hướng dẫn tìm lời giải:

Phân tích: a) Dựa vào tính chất “Tích các thừa số lẻ là 1 số lẻ, tích các thừa số trong đó có

1 thừa số chẵn sẽ là số chẵn”[9] ta xét hai vế để biết phép tính là đúng hay sai b) Ta có các số: 1 472; 6 210; 532; 946 đều là số chẵn Sau đó, dựa vào tính chất “Tổng các số chẵn là một số chẵn”[9] ta xét hai vế để xác định tính đúng sai của phép tính.

Lời giải: a) Kết quả là sai Vì có một thừa số chẵn (672) nên tích phải là số chẵn mà 1 019 423 là số lẻ. b) Kết quả sai Vì có tổng các số chẵn là số chẵn mà 9 161 là số lẻ.

Bài toán 1: Không cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích: a) 672×41×3719427 b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9164.

Bài toán 2: Không cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích: a) 672×41×371857×32. b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9164 + 123.

Bài toán 3: Không cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích: a) 41×37= 56×27 b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9164 + 123 + 128

2.3.2 Dạng 2: xác định một chữ số tận cùng.

1- Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.

2- Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.

3- Tích một số chẵn với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 0.

- Tích một số lẻ với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 5.

- Tích các số tận cùng là 1 thì tận cùng là 1, tận cùng là 6 thì là 6.

- Tích a x a không thể tận cùng bằng 2; 3; 7; hoặc 8.

Ví dụ 2.3.2.1 Tính 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × × 48 × 49 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?

Trong tích đó có các thừa số chia hết cho 5 là :

Mỗi thừa số 5 nhân với 1 số chẵn cho ta 1 số tròn chục mà tích trên có 10 thừa số 5 nên tích tận cùng bằng 10 chữ số 0.

Khai thác bài toán (1)Bài toán tương tự.

Bài toán 1 Tính xem 1 × 2 ×…× 2021 có bao nhiêu chữ số 0.

Bài toán 2 Tính xem 1 × 2 ×…× 1999 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0.Bài toán 3 Tính xem 1 × 2 ×…× 1994 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0.

Tính xem 1 × 2 ×…× n = n! có bao nhiêu chữ số 0.

1) Phần nguyên: [ ] là số nguyên [ ] ≤ x < [ ] + 1

[3,2] = 3, [−2,5] = −3 (chú ý: phần nguyên số âm)

1) Số các bội số của số a ∈ N, a ≥ 1 (không tính số 0) Không vượt quá n: a, 2a, 3a, …, ka,… Đó là số k lớn nhất để ka ≤ n => Suy ra ka ≤ n ≤ (k + 1)a

Có tất cả bội số dương của a không vượt quá n.

3) Tìm số mũ của số nguyên tố p trong phân tích tiêu chuẩn của n!, n! =1 × 2 ×…× n.

• Số bội của p: (Vì các số cuất hiện trong n! là 1, 2, 3,…, n nên chỉ xét các bội ≤ n)

Nhìn hình thức tưởng rằng tổng là vô hạn, tuy nhiên nó chỉ kéo dài đến k mà p ≤ , còn với k sao cho > => = 0. k > log nVậy thực chất, số mũ của p là:

Số chữ số 0 xuất hiện trong A là số thừa số 10 trong phân tích A thành tích các thừa số (số mũ của 10).

• Số thừa số 2 (số mũ của 2) trong phân tích A:

Do đó A có 10 chữ số 0 ở tận cùng.

Ví dụ 2.3.2.2 Tìm chữ số tận cùng của:

Lời giải: Ở bài này, chúng ta thấy chữ số tận cùng của các số có quy luật lặp lại, 1, 2, 3

Nhìn vào cách tách trên ta thấy, mỗi nhóm là tổng của 5 tích, và mỗi nhóm này sẽ có chữ số tận cùng giống nhau (đều là 0).

Nếu chữ số tận cùng là 0, thực ra ta không cần tìm số nhóm nữa, (vì 0 nhân bao nhiêu cũng tận cùng là 0) Tuy nhiên ta cứ đi tìm số nhóm xem được bao nhiêu nhóm

Hãy chú ý số cuối cùng của mỗi nhóm (phần bôi đậm) Ta có khoảng cách là 10:

Lẻ ra 1 thừa số, 2011× 2012 tận cùng là 2, tổng của 201 nhóm tận cùng là 0 => S tận cùng là 2.

+ 2020 × 2021 (tận cùng 0) + 2021 × 2022 (tận cùng 2) Đáp số: 2.

A=1 ×2+3×4+5×6+⋯+( ×10−1)× ×10) Ở đây × 10) là số lớn nhất chia hết cho 10 (bội của 10) và không vượt quá n ( ≤ )

Chính là số tận cùng là 0 nên ≤

(trong ví dụ 2.4.2.2 là số 2010)

Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng: A = 1 × 2 + 3 × 4 + 5 × 6 + ⋯ + 145 ×

Số tận cùng 0 (Số chia hết cho 10) lớn nhất mà ≤ 145 là ×10)= ×14 = 140.

Do đó ta ghép đôi ( ×10−1)( × 10) = 139 × 140. a) 13×14×15×…×22 b) 1×2×3×…×50.

Hỏi M có tận cùng là bao nhiê chữ số 0 ?

Bài 3 Không cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích.

Bài 4 Tìm chữ số tận cùng của tích sau:

Vận dụng tính chất chia hết và chia có dư để giải bài toán có lời văn

Ví dụ 2.4.1 Số học sinh của một trường tiểu học là một số có tính chất khi chia cho 3, cho 4 hoặc cho 5 đều có số dư là 1, và số học sinh vào khoảng từ 450 đến

500.Bạn hãy tính số học sinh của trường đó Hướng dẫn tìm lời giải:

Ta gọi số học sinh của trường đó là x.

Theo đề bài, suy ra x – 1 chia hết cho 3, 4 và 5 Do đó, ta có thể biểu diễn x – 1 ở dạng x – 1 = 3 × 4 × 5 × k, với k ∈ N; hay x = 60k + 1.

Do số học sinh vào khoảng từ 450 đến 500, nên ta có 450 ≤ x ≤ 500 hay 449 ≤ 60k ≤ 499 (*)

Thử chọn với k ∈ N, ta có k = 8 thỏa mãn (*) Thay giá trị k = 8 vào x = 60k + 1 ta được x = 481 Vậy số học sinh của trường đó là 481.

Giả sử số học sinh của trường đó là x Thì x là số có 3 chữ số, x =

Theo đề bài, chúng ta chỉ xét với a = 4 hoặc a = 5.

Khi a = 4 thì 5 ≤ b ≤ 9, hoặc khi a = 5 thì b = 0 (*).

Theo giả thiết, suy ra x – 1 = − 1 chia hết cho 3, 4 và 5

Trường hợp c = 6 Khi đó phải có − 1 = 5 ⋮ 4, suy ra 5 ⋮ 2 Điều này không xảy ra vì 5 có chữ số đơn vị là 5, nó là một số lẻ Vậy c ≠ 6 do đó c = 1.

0 ⋮ 4 thì b = 0; 2; 4; 6; 8 Kết hợp với điều kiện (*), nên chúng ta chỉ xét với b = 0; 6 hoặc 8. b = 0, khi đó 00 ⋮ 3 nên a = 3; 6 hoặc 9 Các giá trị này của a không thuộc các trường hợp mà chúng ta xét, vậy b ≠ 0. b = 6, khi đó 60 ⋮ 3 nên a = 3; 6 hoặc 9 Tương tự trên, b ≠ 6 Vậy phải có b = 8 Lúc này 80 ⋮ 3 nên có a = 1; 4 hoặc 7; mà theo trên, ta chỉ nhận a = 4 Như vậy số cần tìm x = = 481, nghĩa là số học sinh của trường đó là 481

Bài toán 1 Số học sinh của một trường tiểu học là một số có tính chất khi chia cho 3, cho 4 hoặc cho 5 đều có số dư là 1, và số học sinh vào khoảng từ 600 đến 650 Bạn hãy tính số học sinh của trường đó. chất khi chia cho 5, cho 6 hoặc cho 7 đều có số dư là 1, và số học sinh vào khoảng từ 550 đến 600 Bạn hãy tính số học sinh của trường đó.

Qua cách giải bài toán trên, chúng ta thấy rằng:

1 Phương pháp chủ yếu để giải chúng là vận dụng tiêu chuẩn chia hết cho các số.

2 Với bài toán liên quan đến chia có dư, chúng ta cần tìm cách thích hợp chuyển về chia hết để sử dụng tiêu chuẩn chia hết.

3 Phương pháp vận dụng tiêu chuẩn chia hết để giải các bài toán ở dạng trên chỉ là một trong nhiều cách giải.

Ví dụ 2.4.2 Một số tự nhiên chia hết cho 4 và 9 Tìm số đó, biết thương khi chia cho 4 lớn hơn thương khi chia cho 9 là 340.

Phân tích: Bài toán cho biết hiệu của hai thương là 340 Mặt khác, số đó chia hết cho 4 và 9 nên suy ra được tỉ số giữa hai thương Khi đó, bài toán đưa về dạng quen thuộc “ Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” Lời giải: Gọi thương của phép chia số phải tìm cho 4 là thương thứ nhất, thương của phép chia số phải tìm cho 9 là thương thứ hai.

Vì số phải tìm chia hết cho 4 và 9 nên thương thứ nhất bằng thương thứ hai và hiệu hai thương đó bằng 340 Do đó, nếu coi thương thứ nhất là 9 phần bằng nhau thì thì thương thứ hai là 4 phần như thế Thương thứ nhất là

Bài toán 1 Một số tự nhiên chia hết cho 5 và 9 Tìm số đó, biết thương khi chia cho 5 lớn hơn thương khi chia cho 9 là 520.

Bài 1 Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh ( trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả) Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104, 115, 132, 136 và 148 quả Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy số chanh còn lại gấp 4 lần số cam Hỏi lúc ban đầu cửa hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại? Bài 2 Ba xe lam xuất phát từ lúc 7 giờ ở cùng một bến xe chở khách đi ba nơi khác nhau Xe thứ nhất quay về sau 25 phút, nghỉ lại 5 phút rồi tiếp tục đi

Xe thứ hai quay về sau 35 phút, nghỉ lại 10 phút rồi tiếp tục đi Xe thứ ba quay về sau 45 phút, nghỉ lại 15 phút rồi tiếp tục đi Hỏi trong buổi sáng cùng ngày vào lúc mấy giờ ba xe lại cùng xuất phát cùng một lúc ở bến xe?

Bài 3 Hoàng mua 6 quyển vở, Hùng mua 3 quyển vở Hai bạn góp số vở của mình với số vở của bạn Sơn rồi chia đều cho nhau. Sơn tính rằng mình phải trả các bạn đúng 800 đồng Tính giá tiền một quyển vở, biết rằng cả ba bạn cùng mua một loại vở.

Bài 4 Lớp 4A có ít hơn 35 học sinh và nhiều hơn 20 học sinh. Nếu học sinh lớp 4A xếp thành 3 hàng hoặc 5 hàng thì không thừa, không thiếu bạn nào Tìm số học sinh của lớp 4A.

Bài 5 Một cửa hàng thực phẩm có 7 rổ đựng trứng gà và trứng vịt ( mỗi rổ chỉ đựng một loại trứng) Số trứng trong mỗi rổ lần lượt là: 47,

54, 60, 66, 75, 85, 92 quả Sau khi bán hết 6 rổ, chỉ còn lại một rổ trứng gà, người bán hàng thấy rằng trong số trứng đã bán: Số trứng vịt gấp 3 lần số trứng gà Hỏi lúc đầu cửa hàng có bao nhiêu số trứng mỗi loại? Bài 6 Một của hàng có 6 thùng bột giặt lần lượt là: 15 kg, 16 kg, 18 kg, 19 kg, 20 kg và 31 kg Cửa hàng bán một ngày hết 5 thùng Tính ra khối lượng bột giặt bán buổi sáng gấp đôi buổi chiều Hỏi cửa hàng còn thùng bột giặt loại nào? Bài 7

Một người hỏi anh chàng chăn cừu: “Anh có bao nhiêu con cừu” Anh chăn cừu trả lời: “ Số cừu của tôi nhiều hơn 4 000 con nhưng không quá 5 000 con Nếu chia số cừu cho 9 thì dư 3, chia cho 6 cũng dư 3, còn chia cho 25 thì dư 19” Hỏi anh đó có bao nhiêu con cừu?

Bài 8 Tổng số học sinh khối 1 của một trường Tiểu học là số có ba chữ số có chữ số hàng trăm bằng 3 Nếu các em xếp hàng 10 hoặc hàng 12 đều dư 8, mà xếp hàng 8 thì không dư Tính số học sinh khối 1 của trường đó.

Dạng toán về tìm thương, số chia, số dư trong phép chia euclid

Ví dụ 2.5.1 Khi chia 100 cho một số tự nhiên, ta tìm được số dư bằng 16 Tìm số chia và thương gần đúng trong phép chia đó.

Phân tích: Khi chia 100 cho một số tự nhiên thì ta được số dư là

16 Do đó, Số chia phải lớn hơn 16 Ta có 100 = × + 16 Từ đó rút a ta tìm được điều kiện của b.

Gọi số chia là a, thương là b. a, b ≠ 0, a > 16.

Vậy số chia và thương gần đúng trong phép chia 100 cho một số tự nhiên được số dư bằng 16 là: a = 21, b = 4; a = 28, b = 3; a = 42, b = 2; a = 84, b = 1

Bài toán 1: Khi chia 120 cho một số tự nhiên, ta được số dư bằng

20 Tìm số chia và thương gần đúng trong phép chia đó.

16 Tìm số chia và thương gần đúng của phép chia đó.

18 Tìm số chia và thương gần đúng của phép chia đó.

Khi chia n cho x, ta được số dư r Tìm số chia x và thương q. n = × +

Ví dụ 2.5.2 Khi chia một số tự nhiên cho 38, ta được thương gần đúng bằng

15 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của số bị chia và số dư trong phép chia đó.

Phân tích: Số dư của một số luôn nhỏ hơn số chia (38), gọi số dư là r Ta có: số bị chia = 38 × 15 + r Giá trị nhỏ nhất của số bị chia tồn tại khi r nhỏ nhất Giá trị lớn nhất của số bị chia tồn tại khi r lớn nhất. Lời giải:

Số dư của một số luôn nhỏ hơn số chia (38), gọi số dư là r, số bị chia là n Ta có: n : 38 = 15 dư r (0 ≤ ≤ 37)

Ta có 0 ≤ ≤ 37 nên n – 570 ≤ 37 Suy ra 570 ≤ n ≤ 602.

Vậy n nhỏ nhất khi r nhỏ nhất và n lớn nhất khi r lớn nhất.

Bài toán 1 Khi chia một số tự nhiên cho 38, ta được thương gần đúng bằng

Khi chia một số tự nhiên cho b, ta được thương gần đúng bằng q Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của số bị chia và số dư trong phép chia. Nhận xét: n = bq + r (b là số chia; b, q đã biết) r = n – bq n, r biến thiên cùng nhau

+ Nếu n giảm thì r giảm n lớn nhất thì r lớn nhất và ngược lại n bé nhất thì r bé nhất.

TIỂU KẾT CHƯƠNG 2Trong chương 2, tôi đã nêu ra một số dạng toán về lí thuyết chia hết trong tập số tự nhiên Mỗi dạng, tôi đã làm rõ bằng các ví dụ, hướng dẫn tìm lời giải và lời giải cụ thể Đồng thời để làm rõ hơn về dạng toán, tôi đã khai thác dạng toán bằng cách tìm lời giải khác cho bài toán; đưa ra bài toán tương tự như thay số liệu, thay đổi văn cảnh và đưa ra bài toán khái quát Bên cạnh đó, tôi cũng đưa ra các bài tập tham khảo cho từng dạng.

MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC

Liên hệ với dạy học về phép chia

3.1.1 Phân tích cơ sở toán học. a) Hình thành phép chia.

Trong tập số tự nhiên, với hai số tự nhiên bất kì a và b (b≠ 0, a ≥ b); ta luôn tìm được hai số tự nhiên q và r sao cho a = bq + r(0 ≤ r ≤ b) Ta nói: a chia cho b được q, dư r Trong tập số tự nhiên, phép chia còn dư bao giờ cũng thực hiện được và cặp số q, r tìm được là duy nhất.

Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia còn dư (khi số dư bằng 0) Khi r = 0, Ta có a = b × q Khi đó ta nói rằng a chia hết cho b và ta có phép chia a : b = q Trong đó, a gọi là số bị chia, b là số chia, q là thương Trong trường hợp này, ta nói a chia hết cho b Ở Tiểu học, để hình thành khái niệm ban đầu về phép chia có thể bắt đầu từ một phép nhân Chẳng hạn, Từ

2 × 5 = 10 có thể hình thành được hai phép chia: 10 : 2 = 5 và 10 : 5 = 2

Phép chia dạy cho học sinh tuân thủ trình tự từ chia hết đến chia có dư Ngay cả khi chia một số có hai chữ số cho số có một chữ số cũng vậy Đầu tiên là cả hai chữ số cùng chia hết ví dụ: 69 : 3; Tiếp theo là có chữ số không chia hết ví dụ 72 : 3; Cuối cùng là chia có dư ví dụ: 78: 3 Tuy nhiên, sang số có ba chữ số trình tự các bước lại khác Khi đó chúng ta không cần bước cả ba chữ số đều chia hết vì đã làm với chia số có hai chữ số cho số có một chữ số, mà chỉ còn hai bước: chia hết ví dụ 144 : 3 và chia có dư ví dụ 236 : 3 Để giúp học sinh Tiểu học hiểu hơn ý nghĩa của phép chia, có thể mô tả bằng việc “chia đều” và “ chia theo nhóm” trong thực tế.

Ví dụ: “ Bà có 6 cái kẹo chia đều cho 3 cháu Hỏi mỗi cháu được mấy cái kẹo?” và “Bà có 6 cái kẹo, chia đều mỗi cháu 2 cái kẹo Hỏi có mấy cháu được bà chia kẹo?” b) Kĩ thuật tính chia. Để xây dựng kĩ thuật chia số có hai chữ số cho số có một chữ số ta có thể dựa vào quy tắc một tổng chia cho một số như sau: Ví dụ:

Do sự tích dần số dư trong phép chia bộ phận nên cần bắt đầu chia từ hàng cao đến hàng thấp Chú ý hướng dẫn học sinh khi thực hiện phép tính trên, lấy 7 chia cho 3 thì được hiểu là lấy 7 chục chia cho 3 chục Khi bộ phận nào đó không thực hiện được (số bị chia nhỏ hơn số chia) phải biểu thị hàng đó bằng chữ số 0 ở thương. Chẳng hạn: 1824 : 6 = 304.

Trên đây là cơ sở của việc xây dựng nội dung dạy học thực hiện kĩ thuật chia trong dạy toán ở Tiểu học.

) Nội dung dạy phép toán chia. Ở Tiểu học ngay từ lớp 2, học sinh đã được học bảng nhân, bảng chia Trước tiên, HS được học giới thiệu về phép nhân và được học các bảng nhân 2, 3, 4, 5 Sau khi học bảng nhân 2, 3, 4, 5 thì học sinh được giới thiệu về phép chia và được học bảng chia 2, 3, 4, 5 HS được tiếp nhận những khái niệm ban đầu về phép chia Phép chia chính là phép toán ngược của phép nhân

Khái niệm ban đầu về phép chia được xây dựng từ phương pháp pháp trực quan từ tấm bìa có 6 ô vuông.

- Có 6 ô vuông chia thành hai nhóm Hỏi mỗi nhóm có bao nhiêu ô vuông ?

- Hướng dẫn cắt tấm bìa 6 ô thành hai nhóm, mỗi nhóm có 3 ô.

- Hình thành phép chia biểu thị số ô trong mỗi nhóm: 6 : 2 = 3. Đọc là “ Sáu chia hai bằng ba” Dấu “:” gọi là dấu chia. Đến đầu kì I của lớp 3, HS được học bài “phép chia hết và phép chia có dư” Trên cơ sở những kiến thức về phép chia hết và phép chia có dư Các phép chia được mở rộng qua các lớp.

Trong chương trình Tiểu học, phép chia được trình bày trong môn Toán lớp 2 đến kì I lớp 4 theo bốn giai đoạn:

- Dùng các biểu tượng kết hợp với phép nhân dẫn đến ý nghĩa của phép chia

- Xây dựng các bảng chia làm cơ sở để mở rộng phép chia trong các vòng số lớn hơn.

- Xây dựng các quy tắc hình thành phép chia.

- Mở rộng khái niệm phép chia để được khái niệm dãy tính, biểu thức. Trong SGK Toán 2: Từ biểu tượng 6 ô vuông chia thành hai phần bằng nhau ta dẫn đến phép chia:

6 : 3 = 2 để tìm số phần khi biết mỗi phần có 3 ô.

Bảng chia được hình thành dựa trên các biểu tượng kết hợp với phép nhân

- Trong SGK Toán 2: Từ biểu tượng các tấm bìa có hai chấm tròn và phép nhân ta xây dựng bảng chia;

- Trong SGK Toán 3: Từ biểu tượng các tấm bìa có các chấm tròn và phép nhân ta xây dựng các bảng chia 6, 7, 8, 9;

Trong SGK Toán 3 và Toán 4 dần hình thành cho HS quy tắc thực hành phép chia cho số có hai, ba chữ số dựa trên các bảng nhân và bảng chia đã có Lần lượt từ phép chia cho số có một chữ số đến phép chia cho số có hai, ba và nhiều chữ số.

• Nội dung dạy học phép chia trong chương trình toán lớp 2.

- Giới thiệu khái niệm ban đầu về phép chia, lập phép chia từ phép nhân có một thừa số chưa biết khi biết tích và thừa số kia. Giới thiệu số bị chia, số chia, thương.

- Lập bảng chia cho 2, 3, 4, 5 có tích không quá 50.

- Nhân và chia một số cho 1.

- Nhân và chia một số cho 0.

- Thực hành chia nhẩm trong phạm vi bảng tính Chia số có hai chữ số cho số có một chữ số, các bước trong phạm vi các bảng tính.

- Tính giá trị của biểu thức số có đến hai dấu phép tính nhân, chia Tìm số còn thiếu trong phép tính chia

- Giới thiệu các phần bằng nhau của đơn vị (có dạng với n là các số tự nhiên khác 0 và không vượt quá 5).

•Nội dung dạy học phép chia trong chương trình lớp 3 - Lập bảng chia cho 6, 7, 8, 9.

- Phép chia trong phạm vi 1000

- Tìm một trong các phần bằng nhau của một số

- Chia số có hai, ba, bốn, năm chữ số cho số có một chữ số - Phép chia hết và phép chia có dư

- Giảm đi một số lần - Tìm số chia

- So sánh số lớn gấp mấy lần số bé

- Tính giá trị của biểu thức có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và dấu ngoặc.

- Giải các bài toán có lời văn và bài toán rút về đơn vị.

•Nội dung dạy học phép chia trong chương trình lớp 4.

- Phép chia các số có nhiều chữ số cho số có không quá ba chữ số, thương có không quá bốn chữ số (chia hết hoặc chia có dư).

- Dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 9, 3.

- Chia một tổng cho một số.

- Chia một số cho một tích

- Chia một tích cho một số.

- Phép chia có thành phần 0, có số chia là 1.

- Tìm số trung bình cộng.

- Phân số và phép chia số tự nhiên.

- Một số bài toán liên quan đến tỉ số.

) Cơ sở của việc thực hành phép chia mà học sinh đang học. Để phù hợp với đặc điểm tâm lí của học sinh Tiểu học, khi dạy học sinh thực hiện công việc tính toán người ta luôn đi theo chiều hướng: Đưa lạ về quen, đưa lớn về nhỏ.

Ta có bài toán: Chia am cho b. Để giải bài toán trên ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chia a cho b a = bq + r ( r là số dư, q là thương).

Bước 3: Chia rm cho b rm = bq + r*.

Chú ý: (i) Trong thực hành tính toán số m chính là các số: 10

Bước 1: Thực hiện chia cho b nếu > a = bq + r, r < b.

Bước 2: Sau chia 10 cho b còn thừa r 10 (thương lần đầu q × 10 ).

Như vậy ta đã đưa A => A (chữ số đầu tiên của A là > là chữ số đầu tiên của A ).

) Trường hợp số chia B có 2 chữ số, 3 chữ số thực hiện tương tự.

3.1.2 Liên hệ với dạy học phép chia hết.

Việc giải các bài toán chia hết ở Tiểu học thực chất là áp dụng một phần tính chất chia hết của một tổng Trên thực tế có nhiều phép chia hết mà số bị chia có các chữ số không chia hết cho số chia Khi đó, ta thực hiện chia như sau: Chia từ trái sang phải, lấy lần lượt từng chữ số của số bị chia từ trái sang phải chia cho số chia (chia từ hàng cao đến hàng thấp), nếu phép chia có dư thì đổi số dư sang hàng thấp liền kề để chia tiếp Làm tính chia là thực hiện lần lượt các bước chia ( gọi là bước chia thay cho phép chia) từng chữ số của số bị chia theo thứ tự từ trái sang phải Mỗi bước chia thực hiện đồng thời thao tác chia, nhân nhẩm và trừ nhẩm, trong đó khó khăn nhất là tìm thương của mỗi bước chia

78 bằng 7 chục và 8 đơn vị Chia lần lượt số chục, số đơn vị cho 3.

- Lấy 7 chục chia 3 được 2 chục, 2 chục nhân 3 bằng 6 chục; 7 chục trừ

6 chục bằng 1chục Như vậy 7 chục chia 3 được 2 chục và dư 1chục.

- 1 chục cộng 8 bằng 18, 18 chia 3 bằng 6, 6 nhân 3 bằng 18, 18 trừ

18 bằng 0 Vậy 78 : 3 = 26 Từ cơ sở trên hình thành kĩ thuật chia.

- Thực hiện chia theo quy tắc: Lấy lần lượt từng chữ số của số bị chia theo thứ tự, từ trái sang phải làm số bị chia đem chia cho số chia để tìm thương; lấy số bị chia trừ tích của thương và số chia; hạ chữ số ở hàng thấp hơn tiếp theo (của số bị chia) bên phải hiệu để chia tiếp và cho đến kết quả cuối cùng

+ Lấy 7 chia 3 được 2, viết 2; 2 nhân 3 bằng 6, 7 trừ 6 bằng 1.

+ Hạ 8 (bên phải 1) được 18; 18 chia 3 bằng 6, viết 6 (bên phải

- Bước chia thứ nhất: 7 chia cho 3 được 2 Như vậy 7 là “số bị chia riêng”, 2 là “thương riêng”, 1 là “số dư riêng” của bước chia thứ nhất;

- Bước chia thứ hai: Hạ 8 bên phải 1, được 18 Lấy 18 chia cho 3 được 6, viết 6 (bên phải 2); 6 nhân 3 bằng 18, 18 trừ 18 bằng 0 Như vậy 18 là “số bị chia riêng”, 6 là “thương riêng”, 0 là “số dư riêng” của bước chia thứ hai Thương của phép chia bằng 2 chục và 6 đơn vị hay 26.

7 : 3 = 26 (2 chục là thương của bước chia thứ nhất, 6 đơn vị là thương của bước chia thứ hai)

Trong SGK Toán có đưa ra một số bài toán về phép chia hết nhưng ở mức độ đơn giản Dựa vào kĩ thuật chia đã học, học sinh có thể tìm ra kết quả của bài toán.

Dạng 1 Đặt tính rồi tính

2 nhân 6 bằng 12; 12 trừ 12 bằng 0, viết 0

Hạ 4, được 24; 24 chia 6 được 4, viết 4

Dạng 2 Chia hai số có tận cùng là chữ số 0.

liên hệ với dạy học các dấu hiệu chia hết

Dấu hiệu chia hết dựa vào lí thuyết đồng dư. m > 1, m ∈ , a , b , a , b , a, b, k ∈ , n ∈

1 a ≡ b (mod m) thì a + a ≡ b + b (mod m) a ≡ b (mod m) a − a ≡ b − b (mod m)

2 a ≡ b (mod m) thì ka ≡ kb (mod m)

Dấu hiệu chia hết cho 3, 9

Tư duy của trẻ em mới đến trường là tư duy cụ thể dựa vào những đặc điểm trực quan của đối tượng và hiện tượng cụ thể Theo J.Piaget (nhà tâm lí học Thụy Sĩ) thì tư duy của trẻ em từ 7 đến 10 tuổi còn ở giai đoạn những thao tác cụ thể, điều này được thể hiện rất rõ quan những tiết học đầu tiên khi trẻ mới tới trường đầu năm lớp một Trong tư duy của học sinh tiểu học tính trực quan thể hiện rất rõ.

- Quá trình học tập theo phương pháp nhà trường tạo cho học sinh tiểu học có sự phát triển về tư duy, từng bước chuyển từ cấp độ nhận thức các sự vật và hiện tượng chỉ vẻ bề ngoài, các biểu hiện để nhận thức bằng cảm tính đến nhận thức được những biểu hiện bản chất của chúng Điều này có tác dụng hình thành ở học sinh khả năng tiến hành thao tác khái quát hóa đầu tiên, thao tác so sánh đầu tiên tiến tới khả năng suy luận sơ đẳng lớp 4 người ta giới thiệu các dấu hiệu chia hết cho học sinh theo con đường quy nạp không hoàn toàn Tức là từ những ví dụ cụ thể ta hình thành các dấu hiệu chia hết cho học sinh Sau đó ứng dụng kiến thức đã học để giải các bài toán về chia hết trong sách giáo khoa.

3.2.1 Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết cho 2.

3.2.1.1 Các ví dụ cụ thể để hình thành dấu hiệu chia hết cho 2.

3.2.1.2 Dấu hiệu chia hết cho 2 trong chương trình môn toán lớp 4 hiện hành.

Dấu hiệu chia hết cho 2 trong chương trình môn toán lớp 4 hiện hành được trình bày như sau:

“Các số có tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 thì chia hết cho 2”.

Chú ý: Các số có chữ số tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9 thì không chia hết cho 2 Số chẵn, số lẻ

- Số chia hết cho 2 là số chẵn.

Chẳng hạn: 0; 2; 4; 6; 8;…; 156; 158; 160; …là các số chẵn.

- Số không chia hết cho 2 là số lẻ.

Chẳng hạn: 1; 3; 5; 7; …; 567; 569; 571; …là các số lẻ.

3.2.1.3 Bài tập về dấu hiệu chia hết cho 2 trong sách giáo khoa. Các bài tập về dấu hiệu chia hết cho 2 trong chương trình môn toán lớp

4 hiện hành được chia làm 2 dạng đó là: Dựa vào dấu hiệu chia hết xét các số có chia hết cho 2 hay không và viết các số tự nhiên chia hết cho 2. Dạng 1: Dựa vào dấu hiệu chia hết xét các số có chia hết cho 2 hay không Bài tập 1 Trong các số 35; 89; 1000; 744; 867; 7536; 84 683; 5782; 8401: a) Số nào chia hết cho 2 ? b) Số nào không chia hết cho 2.

Dạng 2: Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 để viết các số tự nhiên.

Bài tập 2. a) Viết bốn số có hai chữ số, mỗi số đều chia hết cho 2. b) Viết hai số có ba chữ số, mỗi số đều không chia hết cho 2 Bài tập 3. a) Với ba chữ số 3; 4; 6 hãy viết các số chẵn có ba chữ số, mỗi số có cả ba chữ số đó. b) Với ba chữ số 3; 5; 6 hãy viết các số lẻ có ba chữ số, mỗi số có cả ba chữ số đó.

Bài tập 4. a) Viết số chẵn thích hợp vào chỗ chấm: 340; 342; 344; …; …; 350. b) Viết số lẻ thích hợp vào chỗ chấm:

“ Các số có tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5”.

Chú ý: Các số không có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì không chia hết cho 5

3.2.2.3 Bài tập về dấu hiệu chia hết cho 5 trong sách giáo khoa.

Các bài tập về dấu hiệu chia hết cho 5 trong chương trình môn toán lớp 4 hiện hành được chia làm 2 dạng đó là: Dựa vào dấu hiệu chia hết xét các số có chia hết cho 5 hay không và viết các số tự nhiên dựa vào dấu hiệu chia hết cho 5 Tuy nhiên đến dấu hiệu chia hết cho 5 người ta đã liên kết một số bài tập với kiến thức dấu hiệu chia hết cho 2 ở bài trước đó là: Dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm các số vừa chia hết cho 2 và 5 hoặc chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 Dạng 1: Dựa vào dấu hiệu chia hết xét các số có chia hết cho 5 hay không Bài tập 1 Trong các số 35; 8; 57; 660; 4674; 3000; 945; 5553: a) Số nào chia hết cho 5 ? b) Số nào không cia hết cho 5 ?

Dạng 2: Viết các số tự nhiên dựa vào dấu hiệu chia hết cho

5 Bài tập 2 Viết số chia hết cho 5 thích hợp vào chỗ chấm a) 150 < ⋯ < 160; b) 3575 < ⋯ < 3585; c) 335; 340; 345;…;…; 360.

Bài tập 3 Với ba số 0; 5; 7 hãy viết các số có ba chữ số, mỗi số có cả ba chữ số đó và đều chia hết cho 5.

Bài tập 4 Trong các số 35; 8; 57; 660; 945; 5553; 3000; a) Số nào vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 2 ? b) Số nào chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 ?

“ Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3”

Chú ý: Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 3 thì không chia hết cho

4 hiện hành được chia làm 3 dạng đó là: Dựa vào dấu hiệu chia hết xét các số có chia hết cho 3 hay không, viết các số tự nhiên dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 và dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 để tìm chữ số chưa biết. Dạng 1: Dựa vào dấu hiệu chia hết xét các số có chia hết cho 3 hay không Bài tập 1 Trong các số sau, số nào chia hết cho 3 ?

Bài tập 2 Trong các số sau, số nào không chia hết cho 3 ?

Dạng 2: Viết các số tự nhiên dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3

Bài tập 3 Viết ba số có ba chữ số và chia hết cho 3.

Dạng 3: Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 để tìm chữ số chưa biết. Bài tập 4 Tìm chữ số thích hợp viết vào ô trống để được các số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9:

“ Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9”

Chú ý: Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 9 thì không chia hết cho

4 hiện hành được chia làm 2 dạng đó là: Dựa vào dấu hiệu chia hết xét các số có chia hết cho 9 hay không, viết các số tự nhiên dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 và dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 để tìm chữ số chưa biết. Dạng 1: Dựa vào dấu hiệu chia hết xét các số có chia hết cho 3 hay không Bài tập 1 Trong các số sau, số nào chia hết cho 9 ?

Bài tập 2 Trong các số sau, số nào không chia hết cho 9 ?

Dạng 2: Viết các số tự nhiên dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9.

Bài tập 3 Viết hai số có ba chữ số và chia hết cho 9.

Dạng 3: Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 để tìm chữ số chưa biết. Bài tập 4 Tìm chữ số thích hợp viết vào ô trống để được số chia hết cho 9:

Liên hệ với dạy học một số dạng bài tập

Ta thấy "Các dấu hiệu chia hết" và "Phép chia có dư" trong chương trình môn Toán lớp 4 là phần rất quan trọng, không thể thiếu nó vì nó là cơ sở để giải một số dạng toán ở Tiểu học Dựa vào kiến thức đã học về dấu hiệu chia hết, các em có thể vận dụng để tính, điền và tìm ra kết quả của bài toán một cách nhanh nhất Dưới đây là một số hướng giải các bài toán Tiểu học dựa vào dấu hiệu chia hết.

Hướng 1 Xét dấu hiệu chia hết của một tổng hoặc hiệu các số Các tính chất thường sử dụng:

- Nếu mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia hết cho 2.

- Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2.

- Nếu một số hạng của tổng chia cho 2 dư n và các số hạng còn lại đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia cho 2 dư n.

- Hiệu của 2 số là một số chia hết cho 2 và một số chia cho 2 dư n thì số còn lại cũng chia cho 2 dư n.

- Trong một tổng, nếu tổng số dư của các phép chia khi chia từng số hạng của tổng cho một số mà chia hết cho số đó thì tổng của chúng cũng chia hết cho số đó.

-Trong một hiệu, nếu số bị trừ và số trừ khi chia cho một số có cùng số dư thì hiệu của chúng sẽ chia hết cho số đó.

Cũng có tính chất tương tự đối với trường hợp chia hết cho 3, 4, 5, 9 Bài toán 1 Không làm phép tính, hãy xét xem các tổng và hiệu dưới đây có chia hết cho 3 hay không? a 240 + 123 240 − 123 b 2454 + 374 + 135 2454 − 374 - 135

Gợi ý: Ta nhận xét: a 240 và 123 đều chia hết cho 3 nên:

(240 + 123) chia hết cho 3 (240 − 123) chia hết cho 3 b 2454 và 135 chia hết cho 3 còn 374 không chia hết cho 3 nên:

Bài toán 2 Tìm số n sao cho n + 6 chia hết cho n + 1.

Gợi ý: n + 6 = n + 1 + 5 nên n + 6 chia hết cho n + 1 khi và chỉ khi 5 chia hết cho n + 1 Nhưng 5 chỉ chia hết cho 5 và 1 nên n + 1 = 1 hoặc n + 1 = 5 Từ đó n = 0 hoặc n = 4.

Hướng 2 Xác định số đồng thời chia hết cho 2 số hoặc 3 số.

Số đồng thời chia hết cho 2 và 5 thì sẽ chia hết cho 10 Từ dấu hiệu chia hết cho 2 và cho 5 ta có dấu hiệu chia hết cho 10, đó là số có chữ số tận cùng bằng 0.

Số đồng thời chia hết cho 3 và 2 thì sẽ chia hết cho 6 nên số chia hết cho 6 có chữ số tận cùng chẵn và tổng các chữ số chia hết cho

3 Tương tự như thế với số chia hết cho 15, 18, 45.

Bài toán 3 Viết thêm sau số 1 hai chữ số sao cho được một số có

3 chữ số và số này chia hết cho 6.

Giáo viên hướng dẫn nên xác định chữ số tận cùng trước và từ đó suy ra chữ số hàng chục.

Bài toán 4 Không thực hiện phép chia hãy cho biết các số sau đây: 2015, 1975, 55555 có chia hết cho 15 không? Tại sao?

Bài toán 5 Viết thêm vào số 2017 hai chữ số tận cùng để được số mới (gồm 6 chữ số) chia hết cho 45.

Gợi ý: Số mới chia hết cho 45 nên phải chia hết cho 5, vậy chữ số hàng đơn vị là

0 hoặc 5 Nếu chữ số hàng đơn vị là 0 thì tổng của 5 chữ số đã biết của số mới là

2 + 0 + 1 + 7 + 0 = 10 Do đó chữ số hàng chục còn lại cộng với 10 phải chia hết cho 9 nên đó là 8 Ta được số 201780 thoả mãn Tương tự khi chữ số hàng đơn vị là 5 thì tổng 5 chữ số đã biết của số mới là 2 + 0 + 1 + 7 + 5 = 15 Do đó chữ số hàng chục chỉ có thể là 3, ta có thêm số thoả mãn là 201735

Bài toán 6 Viết thêm vào số 1996 hai chữ số tận cùng để được một số chia hết cho các số 2, 5, 9.

Gợi ý: Số chia hết cho 2 và 5 thì có chữ số tận cùng là 0 Xét tổng các chữ số chia hết cho 9 để suy ra chữ số hàng chục là 2.

Bài toán 7 Viết thêm số 459 vào giữa hai chữ số thì được một số(gồm 5 chữ số) mà khi chia cho 2, 5, 9 đều dư 1 Tìm số có 5 chữ số đó.

Gợi ý: Số đó có chữ số tận cùng là 1 Xét tổng các chữ số chia cho 9 dư 1 để tìm ra chữ số còn lại là 9.

Bài toán 8 Có thể thay các chữ khác nhau trong biểu thức trên bởi các chữ số khác nhau để được đẳng thức :

CAM + QUYT + NHO = 1989 + 1990 + 1991 là đẳng thức đúng không? Gợi ý: Vế trái có 10 chữ cái khác nhau phải thay bởi 10 chữ số khác nhau mà tổng của 10 chữ số này là 45 chia hết cho 9 Mặt khác tổng các số vế phải không chia hết cho 9 nên đẳng thức trên không thể là đẳng thức đúng

Hướng 3 Các bài toán tính nhanh các tổng hoặc rút gọn phân số. Bài toán 9 Thực hiện các phép tính sau bằng cách nhanh nhất. a) 1996 + 3992 + 5988 + 7984 b) 16×3×4×50×25×125 c)(45× 46 × 47 × 49) × (50 × 51 − 49 × 48) × (45 × 128 − 90 × 64) ×

Gợi ý: Dựa vào dấu hiệu chia hết phân tích các số hạng, các thừa số thành tích có thừa số giống nhau, sau đó vận dụng tính chất của các phép toán để tìm nhanh kết quả của dãy tính. a) 1996 + 3992 + 5988 + 7984

Trong 1 tích có 1 thừa số bằng 0 Vậy tích đó bằng 0, tức là:

Gợi ý: Dựa vào dấu hiệu chia hết phân tích các thừa số ở tử số và mẫu số thành tích các số mà các số đó giống nhau ở tử số và mẫu số. a) ×××× = ×××××××× = 7 ×××× ××××××× b) × × × × × × ×× ×× ×

Hướng 4 Các bài toán có lời văn đưa về bài toán xét dấu hiệu chia hết Đây là hướng gắn kiến thức toán với thực tế, tránh để học sinh chỉ biết xét dấu hiệu chia hết của các con số mà thôi.

Bài toán 11 Lớp 4A có hơn 30 học sinh nhưng sĩ số không quá 40 mà xếp hàng đôi vào lớp thì hai hàng bằng nhau và chia làm 3 tổ thì có số học sinh bằng nhau.

Gợi ý: Số kẹo chia hết cho 6 và sĩ số là 36.

Bài toán 12 Mẹ mua kẹo về chia cho 2 anh em mỗi người được chia số kẹo như nhau thì vừa hết Nhưng có 1 bạn đến chơi nên mẹ chia đều số kẹo cho hai anh em và cả bạn đến chơi cũng vừa khéo Biết rằng mẹ mua không quá 15 chiếc và không ít hơn 10 chiếc Hỏi mẹ mua bao nhiêu chiếc kẹo? Gợi ý: Số kẹo chia hết cho 6 và số kẹo là 12.

Bài toán 13 Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả) Số quả trong mỗi rổ lần lượt là

104 quả, 115 quả, 132quả, 136 quả và 148 quả Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy rằng số chanh gấp 4 lần số cam còn lại Hỏi cửa hàng đó còn bao nhiêu quả mỗi loại?

Gợi ý: - Dựa vào dấu hiệu chia hết tìm rổ cam đã bán Đưa về dạng toán tổng tỉ

Tổng số cam và chanh của cửa hàng là:

104 + 115 + 132 + 136 + 148 = 635 (quả) Theo bài ra: Số chanh gấp 4 lần số cam còn lại nên nếu ta coi số cam còn lại là một phần bằng nhau thì số chanh chiếm 4 phần như thế Vậy tổng số chanh và số cam còn lại chiếm:

1 + 4 = 5 ( phần ) Như vậy số quả chanh và cam còn lại phải là một số chia hết cho 5.

Mà tổng số 635 quả cam và chanh của cửa hàng là số chia hết cho 5 suy ra số cam đã bán phải chia hết 5 Trong số 5 rổ cam và chanh của cửa hàng chỉ có rổ đựng 115 quả là chia hết cho 5 Vậy cửa hàng đã bán rổ đựng 115 quả cam Tổng số quả chanh và cam còn lại là:

Số cam còn lại là:

Số cam của cửa hàng có là:

Số chanh của cửa hàng có là:

635 − 219 = 416 (quả) Đáp số: Cam: 219 quả

Tiêu đề	Lí Thuyết Chia Hết Trong Tập Số Tự Nhiên Và Mối Liên Hệ Với Một Số Nội Dung Môn Toán Ở Tiểu Học
Tác giả	Trần Thanh Loan
Người hướng dẫn	TS. Nguyễn Tiến Mạnh
Trường học	Trường Đại Học Hùng Vương
Chuyên ngành	Giáo Dục Tiểu Học
Thể loại	khóa luận tốt nghiệp
Năm xuất bản	2021
Thành phố	Phú Thọ

Định dạng
Số trang	113
Dung lượng	2,86 MB

Tài liệu tham khảo	Loại	Chi tiết
[1] Nguyễn Áng – Dương Quốc Ấn – Hoàng Thị Phước Hảo (2010), bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 4, nhà xuất bản Giáo dục	Khác
[2] Nguyễn Áng – Đỗ Trung Hiệu (2010), 123 bài toán số và chữ số lớp 4, 5, nhà xuất bản Giáo dục	Khác
[7] Hà Sĩ Hồ – Đỗ Đình Hoan – Đỗ Trung Hiệu (1999), Phương pháp dạy học toán – tập 1, nhà xuất bản Giáo dục	Khác
[8] Đỗ Trung Hiệu – Nguyễn Hùng Quang – Kiều Đức Thành (2006), Phương pháp dạy học toán – tập 2, nhà xuất bản Giáo dục	Khác
[9] Trần Diên Hiển (2012), 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 4, 5 – tập 1, nhà xuất bản Giáo dục	Khác
[10] Trần Diên Hiển, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở Tiểu học, nhà xuất bản đại học Sư phạm	Khác
[11] Trần Diên Hiển (chủ biên) – Nguyễn Thủy Chung (2018), cơ sở toán học của môn toán Tiểu học, nhà xuất bản Đại học Sư phạm	Khác
[12] Nguyễn Hữu Hoan (2010), Lí thuyết số, nhà xuất bản Đại học Sư phạm	Khác
[13] Nguyễn Tiến Quang (2009), Bài tập số học, nhà xuất bản Giáo dục. [14] Nguyễn Tiến Tài (2007), Số học, nhà xuất bản Giáo dục	Khác
[15] Lại Đức Thịnh (1997), Giáo trình số học, nhà xuất bản Giáo dục	Khác
[16] Dương Thế Việt ( chủ biên) – Đàm Văn Nhỉ, Cơ sở lí thuyết số và đa thức, nhà xuất bản Đại học Sư phạm	Khác