Tính cấp thiết của đề tài
Giáo dục Tiểu học là bậc học quan trọng đối với sự phát triển của trẻ em, là thời gian hình thành nhân cách và năng lực trí tuệ cho trẻ Bậc học tiểu học là bậc đặt ra nền móng cung cấp những tri thức khoa học ban đầu về tự nhiên xã hội, trang bị các phương pháp kĩ năng ban đầu về hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn Chất lƣợng giáo dục phụ thuộc rất nhiều vào kết quả đào tạo ở Tiểu học Mỗi môn ở Tiểu học đều góp phần vào việc hình thành và phát triển những cơ sở ban đầu của nhân cách con người Việt Nam.
Mục tiêu của Giáo dục tiểu học là: “Mục tiêu của giáo dục tiểu học nhằm giúp học sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn và lâu dài về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản để học sinh học tiếp cấp trung học cơ sở.” [Luật Giáo dục] Chương trình giáo dục phổ thông 2018 đề ra mục tiêu “Chương trình giáo dục tiểu học giúp học sinh hình thành và phát triển những yếu tố căn bản đặt nền móng cho sự phát triển hài hòa về thể chất và tinh thần, phẩm chất và năng lực; định hướng chính vào giáo dục về giá trị bản thân, gia đình, cộng đồng và những thói quen, nề nếp cần thiết trong học tập và sinh hoạt” Mỗi môn học, hoạt động trong CTGDPT 2018 đều có mục tiêu rõ ràng nhằm hướng tới mục tiêu toàn cấp học Đối với môn Toán ở tiểu học, thời lƣợng dạy học đứng thứ hai sau môn học Tiếng Việt Môn Toán tiểu học đƣợc xác định ở giai đoạn giáo dục cơ bản với mục tiêu:
Thứ nhất: Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt: thực hiện đƣợc các thao tác tƣ duy ở mức độ đơn giản; nêu và trả lời đƣợc câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề đơn giản; lựa chọn đƣợc các phép toán và công thức số học để trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, cách thức giải quyết vấn đề; sử dụng đƣợc ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường, động tác hình thể để biểu đạt các nội dung toán học ở những tình huống đơn giản; sử dụng được các công cụ, phương tiện học toán đơn giản để thực hiện các nhiệm vụ học tập toán đơn giản.
Thứ hai: Có những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản ban đầu, thiết yếu về: Số và phép tính: Số tự nhiên, phân số, số thập phân và các phép tính trên những tập hợp số đó Hình học và Đo lường: Quan sát, nhận biết, mô tả hình dạng và đặc điểm (ở mức độ trực quan) của một số hình phẳng và hình khối trong thực tiễn; tạo lập một số mô hình hình học đơn giản; tính toán một số đại lượng hình học; phát triển trí tưởng tượng không gian; giải quyết một số vấn đề thực tiễn đơn giản gắn với Hình học và Đo lường (với các đại lượng đo thông dụng) Thống kê và Xác suất: Một số yếu tố thống kê và xác suất đơn giản; giải quyết một số vấn đề thực tiễn đơn giản gắn với một số yếu tố thống kê và xác suất.
Thứ ba: Cùng với các môn học và hoạt động giáo dục khác nhƣ: Đạo đức,
Tự nhiên và xã hội, Hoạt động trải nghiệm,… góp phần giúp học sinh có những hiểu biết ban đầu về một số nghề nghiệp trong xã hội.
Mục tiêu là rất rõ ràng, CTGDPT mới 2018 cũng đã định hướng rất cụ thể về phương pháp dạy học, kiểm tra đánh giá kết quả học tập môn học song Toán là môn học trừu tƣợng, khó khăn với nhận thức của nhiều học sinh tiểu học.
Toán tiểu học xoay quanh các trục nội dung: số và phép tính, hình học và đo lường, xác suất thống kê Trong đó số và phép tính chiếm tỷ trọng dạy lớn nhất trong các trục nội dung đó Phần số, ngoài số tự nhiên đƣợc dạy chủ yếu thì số hữu tỉ cũng là phần kiến thức, kĩ năng quan trọng, tuy chiếm tỷ lệ dạy ít hơn số tự nhiên nhƣng đây là phần gây khó khăn nhiều nhất cho tƣ duy, nhận thức, kĩ năng tính toán của học sinh tiểu học Mặt khác Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển Một trong những loại số quen thuộc trong Toán học đƣợc trang bị cho HS ngay từ bậc Tiểu học là số hữu tỉ.Ngày nay, số hữu tỉ đƣợc sử dụng mọi lúc, mọi nơi trong đời sống xã hội Việc dạy cho học sinh tiểu học nắm đƣợc các kiến thức liên quan đến số hữu tỉ một cách vững vàng là vô cùng cần thiết.
Có khá nhiều nghiên cứu của các nhà khoa học về tập số hữu tỉ, tuy nhiên nghiên cứu mối liên hệ có tập số hữu tỉ với các nội dung dạy học có liên quan ở tiểu học cũng không có nhiều Nhƣng có thể kể đến nghiên cứu rất hay về sự chuyển đổi sư phạm của khái niệm phân số ở bậc tiểu học của Dương Hữu Tòng, đại học Cần Thơ Tại nghiên cứu này, tác giả đã hệ thống hóa những vấn đề có liên quan đến nội dung số hữu tỉ trong chương trình tiểu học Tác giả nêu
“Trong môn Toán ở nhà trường tiểu học, khái niệm phân số được GV truyền thụ từ những gì SGK, sách giáo viên (SGV) ghi chép mà không nhắc đến đối tượng này xuất hiện như thế nào hay có ý nghĩa gì trong lịch sử hình thành của nó. Phân số có vị trí, vai trò quan trọng trong các mạch kiến thức toán ở tiểu học, đồng thời nó là cơ sở để mở rộng các loại số khác: hỗn số, số thập phân, số hữu tỉ,…Do đó, nhiệm vụ đặt ra đối với GV tiểu học là cần làm sao cho HS có những hiểu biết đúng đắn về khái niệm phân số, đặc biệt là hình thành khái niệm ban đầu về phân số Như vậy, nghiên cứu sự chuyển đổi sư phạm trong dạy học khái niệm phân số cho phép làm sáng tỏ khái niệm này ở các cấp độ tri thức khác nhau: tri thức bác học, tri thức cần giảng dạy, tri thức soạn giảng, tri thức được dạy Tuy nhiên, chúng tôi chỉ trình bày ở đây sự chuyển đổi sư phạm khái niệm phân số với hai cấp độ: tri thức bác học và tri thức cần giảng dạy.”[ Tạp chí
Thực tế cho thấy việc dạy học về phân số và số thập phân cũng gặp khó khăn cho cả GV và HS Do vai trò khoa học của số hữu tỉ tỏng toán học và trong dạy học môn Toán, chúng tôi chọn đề tài “ Tập số hữu tỉ và mối liên hệ với một số nội dung môn toán ở Tiểu học” làm khóa luận tốt nghiệp của mình.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Ý nghĩa khoa học
Làm rõ thêm cơ sở toán học của tập số hữu tỉ thông qua việc phân tích, khai thác những vấn đề lí thuyết, bài tập và mối liên hệ với một số nội dung mônToán ở Tiểu học.
Ý nghĩa thực tiễn
Trên cơ sở phân tích, làm rõ mối liên hệ giữa cơ sở toán học của tập số hữu tỉ với một số nội dung môn Toán ở Tiểu học, khóa luận có thể đƣợc sử dụng nhƣ một tài liệu tham khảo hữu ích dành cho giáo viên, sinh viên ngành Giáo dụcTiểu học.
Mục tiêu nghiên cứu
Phân tích, khai thác những kiến thức cơ sở, các dạng toán về số hữu tỉ và liên hệ với việc dạy học phân số trong môn Toán ở Tiểu học.
Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu tập số hữu tỉ qua cách xây dựng tập số từ tập số nguyên, tập số hữu tỉ không âm.
- Nghiên cứu quan hệ thứ tự trên tập số hữu tỉ cùng các phép toán trong tập số hữu tỉ.
- Phân tích, biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng số thập phân.
- Khai thác những bài toán liên quan đến: khái niệm và tính chất của số hữu tỉ, quan hệ thứ tự, biểu diễn số hữu tỉ.
- Phân tích làm rõ sự thể hiện cơ sở toán học của tập số hữu tỉ đối với những nội dung liên quan trong môn Toán ở Tiểu học: phân số.
Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu
Khóa luận giới hạn nghiên cứu các những tính chất cơ bản của quan hệ thứ tự, biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng thập phân, các phép toán trên tập số hữu tỉ mà chúng liên quan trực tiếp đến chương trình môn Toán ở Tiểu học.
Phương pháp nghiên cứu
Phân tích, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến vấn đề nghiên cứu Hệ thống hóa các tài liệu liên quan đến tập số hữu tỉ, chương trình giáo dục tiểu học Làm sáng tỏ các thuật ngữ liên quan đến khóa luận Xây dựng cơ sở khoa học về mặt lí luận cho khóa luận
Tôi tiến hành nghiên cứu và tìm hiểu về: cơ sở toán học của tập số hữu tỉ (khái niệm, quan hệ thứ tự, biểu diễn, các phép toán); nội dung chương trình môn toán ở tiểu học; một số tài liệu môn toán ở tiểu học (sách giáo khoa, sách bài tập,…) Tiếp theo, tôi phân tích, khai thác những vấn đề lí thuyết và bài tâp liên quan đến số hữu tỉ để làm rõ hơn cơ sở toán học, lịch sử toán học của tập số hữu tỉ, trên cơ sở đó chỉ ra mối liên hệ, sự thể hiện của những vấn đề cơ sở toán học này trong nội dung môn Toán ở Tiểu học.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận gồm 3 chương.
Chương 1: Tập số hữu tỉ
Chương 2: Khai thác một số dạng toán về số hữu tỉ
Chương 3: Mối liên hệ với nội dung dạy học phân số trong môn Toán ở Tiểu học
PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: TẬP SỐ HỮU TỈ
1.1 Tổng quan về số hữu tỉ
Một trong những quan điểm xây dựng chương trình và sách giáo khoa Toán tiểu học ở Việt Nam thời gian gần đây là tiếp cận đƣợc xu thế hiện đại của toán học thế giới theo phương thức phù hợp với thực tế giáo dục của đất nước Các kiến thức cơ bản của toán học được trình bày dưới những quan điểm của toán học cao cấp, toán học hiện đại.
Bài luận này cho ta thiểu thêm về một tập số đã mở ra một kỉ nguyên mới cho thế giới nói chung cũng nhƣ cho lĩnh vực toán học nói riêng đó là số hữu tỉ. Trong toán học, số hữu tỉ x là các số có thể biểu diễn dưới dạng phân số
Trong đó a và b là các số nguyên với Tập hợp số hữu tỉ ký hiệu là Q
Tập hợp các số hữu tỉ là một tập hợp không đếm đƣợc.
Trong R là tập hợp số thực, nếu số đó không phải là số hữu tỉ đƣợc gọi là số vô tỉ.
Tập hợp các số hữu tỉ không đồng nhất hoàn toàn với tập hợp các phân số
Vì mỗi một số hữu tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng nhiều phân số khác nhau.
Các số trên đều biểu diễn cùng một số hữu tỉ.
Cấu trúc khóa luận
Xây dựng tập số hữu tỉ từ tập số nguyên, quan hệ thứ tự
1.2.1 Xây dựng tập số hữu tỉ từ tập số nguyên
Trong toán học hiện đại, người ta xây dựng tập hợp các số hữu tỉ như trường các thương của Z
Tập A = {1,2}, B = {p, q, r} thì A x B = {(1,p), (1,q), (1,r), (2,p), (2,q), (2,r)} Trên công thức trên, xác định một quan hệ tương đương
Lớp tương đương của cặp được kí hiệu là và gọi là thương của a cho b:
Tập các lớp này (tập thương) được gọi là tập các số hữu tỉ và kí hiệu là Q.
Q ( gọi là phân số với a là tử số, b là mẫu số)
Cho , Q, ta nói: a) nhỏ hơn , kí hiệu nếu là một số hữu tỉ dương b) nhỏ hơn hoặc bằng , kí hiệu nếu hoặc c) lớn hơn , kí hiệu , nếu là một số hữu tỉ âm d) lớn hơn hoặc bằng , kí hiệu nếu hoặc
Các quan hệ ta gọi chung là các bất đẳng thức, trong đó và ta gọi là các bất đẳng thức nghiêm ngặt hay bất đẳng thức chặt.
Chứng minh: Ta dễ dàng kiểm tra đƣợc quan hệ thứ tự không phụ thuộc đại diện.
Ta kiểm tra 3 tính chất
(i) Phản xạ: vì ab ab
(ii) Phản xứng: => ad cb (1)
Từ (1) (2) suy ra: ad = cb
Ví dụ 1.2.2.2 Cho 2 số : = ; Hãy so sánh α và β:
Nhận xét: Các phép toán trên không phụ thuộc đại diện.
Xây dựng tập số hữu tỉ không âm từ tập số tự nhiên, quan hệ thứ tự
1.3.1 Xây dựng tập số hữu tỉ không âm từ tập số tự nhiên
Cũng nhƣ xây dựng tập số hữu tỉ từ tập số nguyên, ta xây dụng tập số hữu tỉ không âm từ tập số tự nhiên N
Tập A = {1,2}, B = {p, q, r} thì A x B = {(1,p), (1,q), (1,r), (2,p), (2,q), (2,r)} Trên công thức trên, xác định một quan hệ tương đương
Vì tập N tập các số tự nhiên lớn hơn 0, nên tập các lớp này (tập thương) được gọi là tập các số hữu tỷ không âm và kí hiệu là Trên tập N x N * định nghĩa các phép toán:
Do đó các phép toán trên có thể đƣợc chuyển sang thành các phép toán trên tập các lớp tương đương nói trên, nghĩa là tập Q.
Cách xây dựng tập số hữu tỉ không âm này mang phong cách kiến thiết của đại số hiện đại Nhưng nếu không biết trước, thậm chí hiểu sâu sắc bản chất của các phân số mà nhân loại đã sáng tạo ra bằng trực giác thì liệu có tạo ra đƣợc cách xƣng dựng hiện đại nhƣ vậy Sau đây cùng tìm hiểu về quá trình nhận ra phân số của nhân loại cũng nhƣ kiến tạo phân số trong toán học phổ thông.
Bắt đầu từ một đoạn thẳng AB có độ dài là 1 đơn vị độ dài Dựa trên tính liên tục của đường thẳng, người ta có thể phân chia đoạn thẳng này ra thành n phần bằng nhau, và bảo rằng mỗi đoạn nhỏ đó có độ dài là đơn vị đo độ dài, đoạn thẳng CD tạo bởi m các đoạn nhỏ đó sẽ có độ dài là m = đơn vị độ dài.
Tiếp tục, chia AB thành nq phần bằng nhau, thì CD lúc này sẽ gồm mq đoạn nhỏ Do đó CD phải có độ dài là mq = Từ đó, người ta nhận ra được
= , khái quát xa hơn là = khi và chỉ khi ad = bc
Cho , Q, ta nói: e) nhỏ hơn , kí hiệu nếu là một số hữu tỉ dương f) nhỏ hơn hoặc bằng , kí hiệu nếu hoặc g) lớn hơn , kí hiệu , nếu là một số hữu tỉ âm h) lớn hơn hoặc bằng , kí hiệu nếu hoặc
Các quan hệ ta gọi chung là các bất đẳng thức, trong đó và ta gọi là các bất đẳng thức nghiêm ngặt hay bất đẳng thức chặt. nếu ad bc
Hoàn toàn tương tự như xác định quan hệ thứ tự trên tập sỗ hữu tỉ xuất phát từ tập số nguyên, ta dễ kiểm tra đƣợc quan hệ thứ tự không phụ thuộc vào đại diện
Ta kiểm tra 3 tính chất
(i) Phản xạ: vì ab ab
(ii) Phản xứng: => ad cb (1)
Từ (1) (2) suy ra: ad = cb
Xây dựng tập số hữu tỉ từ tập số hữu tỉ không âm
Ta xây dụng tập số hữu tỉ từ tập số hữu tỉ không âm :
Q + Q + Trên công thức trên, xác định một quan hệ tương đương:
Trong toán học và đời sống hàng ngày ta thường gặp những câu hỏi như: Tìm thương của phép chia sau đâu: a) 87 : 5; b) 27:8; c) 13:7;
- Biểu diễn các đại lượng vật lý với đơn vị đo lường là mét: 5m, 10dm, 100cm hoặc 75cm.
- Biểu diễn các đại lượng vật lý với đơn vị đo lường là kilôgam: 100kg, 2g hoặc 1234g.
Nếu chỉ có các số tự nhiên, thì các bài toán trên đều không có lời giải Do nhu cầu của cấp thiết đến từ đời sống lao động và sản xuất, chúng ta thường xuyên phải tìm lời giải cho các bài toán trên bằng bất cứ giá nào.
Vì vậy, đặt ra cho chúng ta đã mở rộng tập hợp số tự nhiên bằng những khái niệm về những số mới Sau khi có đƣợc tập hợp số mới này, chúng ta sẽ có đƣợc lời giải của các bài toán trên.
Sử dụng kí hiệu N (hoặc kí hiệu N*) để nói đến tập số tự nhiên (hoặc nói về tập số tự nhiên khác 0).
Từ phổ thông ta biết:
Nhƣ vậy, ta có thể hiểu các phân số bằng phân số chúng sẽ tạo thành một lớp:
- Đối với phân số sau:
Nhƣ vậy, ta có thể hiểu các phân số bằng phân số chúng sẽ tạo thành một lớp
Từ những cách thức và những kết quả trên, ta sắp xếp các phân số có đƣợc thành các lớp mà mỗi lớp gồm tập hợp những phân số bằng nhau.
Từ những ý tưởng trên ta sẽ thể hiện chúng thông qua ngôn ngữ của toán học hiện đại sau đây:
Mỗi cặp số đƣợc sắp thứ tự (a; b), trong đó a ϵ N tập số tự nhiên và b ϵ N* tập số tự nhiên khác 0 ta sẽ gọi chúng là một phân số không âm (có thể gọi ngắn gọn là phân số).
Tập tất cả các phân số ta sẽ kí hiệu là P Nhƣ vậy ta có: P = N × N*. Để cho đơn giản chúng ta sẽ sử dụng kí hiệu
Kí hiệu trên dùng để chỉ phân số mỗi cặp số sắp thứ tự (a; b), trong đó 2 số lần lƣợt là a và b với a là tử số (số bị chia), b là mẫu số (số chia) của phân số đó. Nhƣ vậy:
Trên tập P, ta định nghĩa quan hệ hai ngôi “e” nhƣ sau:
Với ta nói phân số sẽ tương đương với phân số
Ta có thể kí hiệu lại là :
Ta rút ra đƣợc khi và chỉ khi: ad = bc.
Ví dụ 1.4. vì 3 × 12 = 2 × 18 (= 36); vì 5 × 60 = 12 × 25 (= 300); vì 8 × 15 ≠ 13 × 7 (ỗ là không tương đương)
Hai số hữu tỉ có quan hệ hai ngôi e do có tính chất phản xạ (1).
- Nếuthì hiển nhiên ta suy ra đƣợc ad = bc Từ đó cb = da.
Vậy nên ta suy ra mối quan hệ e có tính chất chính là tính chất đối xứng (2).
Từ định nghĩa ta có: ad = bc và cn = dm.
Ta nhân hai vế của đẳng thức thứ nhất với n thu đƣợc kết quả adn = bcn.
Từ đó suy ra: adn = bdm hay an = bm Cuối cùng
Từ kết quả trên cho ta thấy mối quan hệ hai ngôi e có tính chất bắc cầu (3).
Từ (1); (2); (3) ta rút ra kết luận e chính là một mối quan hệ tương đương đƣợc xác định trên tập các phân số ký hiệu P.
Sử dụng định lí về tập thương, trong trường hợp này ta có thể phân chia tập
P theo quan hệ tương đương e và nhận được tập thương P/e.
Vậy tập thương P/e là tập các số hữu tỉ không âm và kí hiệu là Mỗi phần tử của tập ta gọi là một số hữu tỉ không âm (ngắn gọn hơn là số hữu tỉ). Giả sử Như vậy r xác định bởi một lớp các phân số tương đương với phân số nào đó, tức là
Là những phân số thuộc lớp
Ta gọi ký hiệu trên là một đại diện của số hữu tỉ r.
Mặt khác, ta lại thấy: Điều đó đúng khi và chỉ khi phân số =
Hiểu chúng theo nghĩa ta vẫn/đã hiểu ở trường phổ thông Kết quả, mỗi số hữu tỉ ( chính là một lớp những gồm những phân số bằng phân số cho trước Chẳng hạn:
Tiếp theo, ta dùng kí hiệu
Kí hiệu này dùng để chỉ tập/lớp số hữu tỉ
Chẳng hạn, ta kí hiệu
Nó dùng để chỉ số hữu tỉ (
Chẳng hạn, ta kí hiệu ( )
Nó dùng để chỉ số hữu tỉ
Giả sử hai phân số tối giản và
Cả 2 số trên đều là đại diện của 2 số hữu tỉ r
Vì p | pq’ nên p | qp’; mà UCLN(p, q) = 1 nên p | p’ Mặt khác, p’ | qp’ nên p’
| pq’, mà UCLN(p’, q’) = 1 nên p’ | p Từ đó, ta suy ra p = p’ và q = q’.
Vậy ta kết luận với mỗi số hữu tỉ không âm ta có duy nhất một và chỉ 1 phân số đại diện là phân số tối giản bằng với phân số trước đó.
Khi nhắc đến phân số đại diện cho một số hữu tỉ, ta thường sẽ hiểu đó là phân số tối giản đƣợc nói trên.
Mỗi số tự nhiên a có thể biểu diễn dưới dạng một phân số
Vì vậy, mỗi số tự nhiên a cũng xác định duy nhất một và chỉ một số hữu tỉ r có phân số đại diện là Thành thử, tập số tự nhiên N có thể coi là bộ phận của tập số hữu tỉ
Ta quy ƣớc: số hữu tỉ xác định bởi ( ) là 0 và xác định ( ) là 1.
- Phương pháp xây dựng tập số hữu tỉ không âm từ tập các số tự nhiên và phương pháp xây dựng tập các số hữu tỉ từ tập các số hữu tỉ không âm cơ bản là giống nhau Và nếu xem xét trên một bình diện tổng quát, thì đó chính là quy trình đối xứng hóa một vị nhóm giao hoán để mở rộng một vị nhóm giao hoán thành một nhóm.
- Nếu xem xét động lực từ phương trình, thì việc mở rộng từ tập số tự nhiên đến tập số hữu tỉ chính là đi tìm tập số sao cho mọi phương trình bậc nhất trên đó đều có nghiệm.
- Khác với việc tìm ra phân số, việc phát hiện các số hữu tỉ âm xuất phát từ nội tại toán học, mà cụ thể là giải phương trình bậc nhất.
Các phép toán trên tập số hữu tỉ
Giả sử và là hai số hữu tỉ, trong đó ̅̅̅̅̅̅̅ và ̅̅̅̅̅̅̅̅ Ta định nghĩa:
Tổng của hai số hữu tỉ và là một số hữu tỉ , kí hiệu là , đƣợc xác định bởi quy tắc: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Hay viết dưới dạng lớp tương đương ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Ta gọi hiệu của hai số hữu tỉ và là một số hữu tỉ , kí hiệu là , đƣợc xác định bởi quy tắc:
, trong đó là số đối của
Hay viết dưới dạng lớp tương đương ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Tích của hai số hữu tỉ và là một số hữu tỉ , kí hiệu , đƣợc xác định bởi quy tắc: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Ta nói là số hữu tỉ nghịch đảo của số hữu tỉ
Với hai số hữu tỉ và , trong đó
Ta định nghĩa: thương của chia cho là số hữu tỉ , kí hiệu hay trong đó:
Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ nói trên ta gọi là phép chia các số hữu tỉ Với
Thương của hai số hữu tỉ và là một số hữu tỉ định bởi quy tắc: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
, với một số hữu tỉ ̅̅̅̅̅̅̅̅
Nhận xét: Các phép toán trên không phụ thuộc đại diện.
Suy ra: Định lí 1 Tính chất của phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ
Giả sử Q Khí đó ta có:
(i) Tính chất giao hoán + = và (ii) Tính chất kết hợp: ( + ) + = + ( ) và () = (
(iii) Phần tử trung lập:
- Tồn tại duy nhất số hữu tỉ 0 sao cho + 0 =0+ - Tồn tại duy nhất số hữu tỉ 1 sao cho = 1 (iv) Phần tử đối xứng:
Với mọi sỗ hữu tỉ tồn tại duy nhất số hữu tỉ - (gọi là số đối của ) sao cho +(- =(- + = 0
Với mọi số hữu tỉ khác 0 tồn taị duy nhất số hữu tỉ -1 (gọi là số nghịch đảo của ) sao cho: -1 = -1 = 1
(vi) Tính ổn định của tập Q + : + Q + và Q + với mọi Q +
(i) Tích của 2 số hữu tỉ bằng 0 khi và chỉ khi một trong 2 số đó bằng 0 hoặc cả 2 số đều bằng 0
(ii) Cộng các số hữu tỉ thỏa mãn luật giảm ƣớc Tức là đẳng thức hay
(iii) Phép nhân các số hữu tỉ thỏa mãn luật giảm ƣớc Tức là đẳng thức với và suy ra
(i) Giả sử = (r ; s) và = (r’; s’) Áp dụng tính chất giao hoán của phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm ta có:
(iii) Đặt 0 = (r; r) Giả sử số hữu tỉ = ta có :
.1 = (r’.1 + 0; s’.1) = ( Giả sử tồn tại số 0’ và 1’ sao cho + 0’ = và 1’= , với mọi Q
(iv) Giả sử = Đặt - = ( s, r), ta có:
- Nếu dương thì = (r’; 0) với r’ ≠ 0 Theo tính chất của tập số hữu tỉ không tâm tồn tại số nghịch đảo r ’-1 Q+ Đặt -1 = (r ’ – 1 ; 0), khi đó:
- Nếu âm thì = (0; r’) với r’ ≠ 0. Đặt -1 = (0; r ’ – 1 ), khi đó:
(v) Giả sử Q + , thế thì = (r; 0) và = (s; 0) ta có:
Ta có điều phải chứng minh
1 tập số hữu tỉ Q cùng với hai phép tính cộng và nhân định nghĩa trên đây là một trường Ta gọi là trường các số hữu tỉ Q
2 Tập sỗ hữu tỉ không âm Q + cùng với phép cộng là vị nhóm con của nhóm cộng các số hữu tỉ Q.
3 Tập số hữu tỉ không âm Q + cùng với phép tính nhân là vị nhóm con của vị nhóm nhân các số hữu tỉ Q. Định lí :
(i) Tích của hai số hữu tỉ bằng 0 khi và chỉ khi một trong hai số đó bằng 0
(ii) Cộng các số hữu tỉ thỏa mãn luật giản ƣớc Tức là đẳng thức = suy ra
(iii) Phép nhân các số hữu tỉ thỏa mãn luật giản ƣớc Tức là đẳng thức với , Q và suy ra
1.5.5 Tại sao khi cộng/trừ 2 số phân số ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số
Số hữu tỉ x và y là các số có thể biểu diễn dưới dạng phân số
Trong đó a, b, c là các số nguyên với
Trong trường hợp này ta quy ước (với tử số là 1 không thay đổi) là 1 đơn vị quy ƣớc Với mọi a và c ta đều có thể hiểu là
Giống nhƣ cộng/trừ các đại lƣợng vật lý có đơn vị ta thực hiện phép cộng/trừ
2 giá trị a và c giữ nguyên đơn vị quy ƣớc là khi đó ta thu đƣợc z với z = a + b
( ) ( ) ( ) Điều này cũng đồng nghĩa với muốn cộng/trừ 2 phân số ta lấy tử số cộng tử số và giữ nguyên mẫu số.
Biểu diễn ở dạng hình học: b b c a a c z b
Biểu diễn phép tính ở dạng hình học trên, ta thu đƣợc kết quả
1.5.6 Tại sao khi cộng/ trừ 2 phân số không cùng mẫu ta phải quy đồng
Cho 2 số hữu tỉ x và y là các số có thể biểu diễn dưới dạng phân số
Trong đó a,b,c,d là các số nguyên với
Giống nhƣ khi cộng/trừ các đại lƣợng vật lý, các phân số đƣợc hiểu nhƣ ở phần trên nếu muốn cộng/trừ giữa các giá trị thì các giá trị của đơn vị quy ƣớc phải cùng 1 đơn vị quy ƣớc Muốn chuyển đổi chúng cùng một giá trị quy ƣớc ta thực hiện bước gọi là quy đồng.
Có nghĩa là làm sao cho chúng biểu diễn giá trị ở cùng 1 đơn vị quy ƣớc Một đơn vị quy ước như phần trước ta đặt là trong đó 1 là số không đổi, tìm một số
K sao cho K là BCNN của b và d.
Gọi I và J là hai số sao cho , cụ thể
Chúng đƣợc lấy ra trong các tập số hữu tỉ bằng nhau của x và y do đó về mặt giá trị thì không thay đổi so với ban đầu.
Tiếp theo ta thực hiện cộng/trừ nhƣ phần trên
Biểu diễn ở dạng hình học b K
Ví dụ 1.5.6 Biểu diễn phép tính ở dạng hình học trên
Ta thu đƣợc kết quả
Bản chất của phép cộng phân số cũng là việc đếm các số có cùng giá trị, nhƣ ở ví dụ trên là đếm các phân số có giá trị.
1.5.7 Tại sao khi nhân phân số ta nhân tử số với tử số và mẫu số với mẫu số
Cho 2 số hữu tỉ x và y là các số có thể biểu diễn dưới dạng phân số
Trong đó a,b,c,d là các số nguyên với
Từ khái niệm ban đầu của 1 phân số “Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử số là số bị chia và mẫu số là số chia” từ đó ta có thể viết các phân số lại thành các phép chia số tự nhiên.
Theo quy tắc thứ tự thực hiện phép tính cho sự ƣu tiên nếu cùng là nhân và chia thì ta thực hiện mà không có sự ƣu tiên, vậy ta có thể đổi thứ tự các số và dấu đứng trước nó ngoại trừ giá trị a Ta được
Ta có thể nói một cách dễ hiểu hơn cho bài toán thể hóa nó thành: bằng cách cụ
Có 3 đĩa bánh mỗi đĩa có 8 cái bánh ta chia bánh cho 2 nhóm mỗi nhóm có 5 người (xem hình bên dưới) Đề bài: Hãy chia đều số bánh cho mỗi người
Muốn biết mỗi người sẽ được bao nhiêu cái bánh, tìm:
(người)Mỗi người sẽ được số bánh là:
Nói cách khác ta có thể xem phân số thứ 2 giải thích rõ hơn đơn vị cho phân số thứ nhất theo từ cặp “tử số giải thích cho tử số mẫu số giải thích cho mẫu sô”
Từ ví dụ trên ta có thể hiểu đƣợc nguyên nhân tại sao khi nhân 2 phân số ta lại lấy tử số nhân tử sô và mẫu số nhân mẫu số, cụ thể. Để nhân 2 phân số và với
Ta lấy tử số nhân tử số và mẫu số nhân mẫu số
1.5.8 Tại sao khi chia phân số ta nhân phân số thứ nhất với phân số thứ hai đảo ngược
Cho 2 số hữu tỉ x và y là các số có thể biểu diễn dưới dạng phân số
Trong đó a, b, c, d là các số nguyên với
{ } Để giải thích câu hỏi của phần này, ta biểu diễn x và y dưới dạn phân số.
Tiếp theo ta nhân phân số vừa tìm đƣợc với 1 rồi thế 1 đó thành phân số có cả từ và mẫu là phân số thứ 2 đảo ngƣợc
Ta nhân cả tử và mẫu của chúng lại theo quy tắc đã đƣợc giải thích bên trên Suy ra được điều cần chứng minh Cụ thể các bước bên trên được mô tả như sau
Từ cách giải thích ở trên ta có thể hiểu đƣợc nguyên nhân tại sao khi chia 2 phân số ta lại lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ 2 đảo ngƣợc.
Biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng thập phân
Cho các phân số sau
Các phân số trên đều có mẫu số là luỹ thừa của 10 với số mũ tự nhiên Các phân số dạng này ta thường gặp trong các phép đo đại lượng Chẳng hạn:
+ Chiều dài cạnh bàn là 1m25cm hay 1m m
+ Gói hàng nặng 560g hay kg Để tiện lợi trong tính toán và sử dụng, người ta đưa ra một cách biểu diễn riêng cho các phân số loại này. Định nghĩa 5.1: Phân số gọi là phân số thập phân, nếu mẫu số b là luỹ thừa của 10 với số mũ tự nhiên
Các phân số là phân số thập phân.
Phân số không phải là phân số thập phân nhƣng = là phân số thập phân.
Ta gọi là phân số biểu diễn được dưới dạng thập phân.
Vậy phân số gọi là biểu diễn được dưới dạng thập phân nếu nó bằng một phân số thập phân nào đấy.
Chẳng hạn, là những phân số biểu diễn được dưới dạng thập phân. Các phân số không biểu diễn được dưới dạng thập phân.
1.6.2 Số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn
Trong các mục trước, chúng ta đã biết rằng với mỗi số hữu tỉ ( tối giản) có hai khả năng:
- Nếu mẫu số b không chứa ƣớc nguyên tố khác 2 và 5 thì r là một số thập phân.
- Nếu mẫu số b chứa ƣớc nguyên tố khác 2 và 5 thì r không phải là số thập phân Trong trường hợp này, ta có thể xấp xỉ r bởi một số thập phân với sai số nhỏ tuỳ ý.
Trong mục này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng số hữu tỉ nhƣ vậy có thể biểu diễn bởi một số thập phân theo nghĩa rộng.
Trước hết ta bắt đầu bằng bài toán cụ thể Tìm các số thập phân là xấp xỉ của số hữu tỉ
- Nếu sai số không vƣợt quá thì ta đƣợc số 1,18
- Nếu sai số không vƣợt quá thì ta đƣợc số 1,181
- Nếu sai số không vƣợt quá thì ta đƣợc số 1,181818
Cứ tiếp tục quá trình trên đây ta đi đến kết quả sau:
-Không bao giờ đƣợc một số thập phân “xấp xỉ” mà lại bằng
Thành thử, cứ tiếp tục mãi ta nhận đƣợc số thập phân có vô số chữ số ở phần thập phân.
- Các chữ số ở phần thập phân lặp lại một cách tuần hoàn, trong đó mỗi chu kì gồm hai chữ số “18” Trong trường hợp này ta viết: = 1,181818 hay 1,(18) và gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn với chu kì bằng 18 (số viết trong dấu ngoặc để chỉ chu kì của số thập phân đó).
- Tiếp theo ta xét bài toán tương tự đối với số hữu tỉ Ta nhận được kết quả sau:
- Nếu sai số không vƣợt quá thì ta đƣợc số 12,954
- Nếu sai số không vƣợt quá thì ta đƣợc số 12,95454
Ta nhận đƣợc số thập phân vô hạn tuần hoàn, nhƣng chu kì (là 54) không bắt đầu ngay từ chữ số thập phân thứ nhất (bằng 9) mà bắt đầu từ chữ số thập phân thứ hai Những số nhƣ thế ta gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp Trong trường hợp này ta viết: = 12,9(54)
Một cách tổng quát, giả sử số hữu tỉ nó không phải là số thập phân.
Ta thực hiện liên tiếp phép chia a cho b (bằng cách thêm chữ số 0 vào bên phải số dư sau mỗi phép chia và lại tiếp tục chia) Ta sẽ thấy rằng sau một số bước (tối đa là b bước) ta sẽ gặp lại số dư r nào đó mà ta đã gặp ở bước trước đó Khi đó quá trình sẽ lặp lại Các thương bộ phận sẽ lặp lại một cách tuần hoàn Số thập phân nhận đƣợc có vô số chữ số ở phần thập phân, trong đó có một nhóm chữ số ở phần thập phân lặp đi lặp lại một cách tuần hoàn Nhóm chữ số lặp lại đó đƣợc gọi là chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Trong chương 1, trước hết chúng tôi đã tổng hợp được các kiến thức cơ bản liên quan đến cách xây dựng tập số hữu tỉ, các phép toán trên tấp số hữu tỉ,quan hệ thứ tự trên tập số hữu tỉ và biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng thập phân.Tiếp theo, chúng tôi đã phân tích, làm rõ thông qua các ví dụ minh họa, mở rộng tính chất và đƣa ra một số mô hình về biểu diễn số hữu tỉ.
CHƯƠNG : KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ HỮU
2.1 Khai thác dạng toán về khái niệm và tính chất của số hữu tỉ
2.1.1 Dạng toán về khái niệm số hữu tỉ
Ví dụ 2.1.1 Hãy liệt kê lớp các phân số xác định: r Giải: r = ứng với tập phân số sau:
Nhận xét: Cho r Q+, r có nhiều biểu diễn dạng phân số Trong các phân số xác định r có một phân số đặc biệt mà tử và mẫu nguyên tố cùng nhau (ƢCLN 1) Phân số này đƣợc gọi là phân số tối giản Nếu kí hiệu nó là thì các phân số xác định r có dạng: ( n )
Khái quát hóa: Tìm các phân số biểu diễn số hữu tỉ r - Tìm ƢCLN (a, b) = d
-r xác định bởi các phân số sau:
Bài 1: r = xác định bởi các phân số nào?
Ta có: chƣa tối giản vì = =
Vì là phân số tối giản nên r xác định bởi các phân số: ( n )
Bài 2: r = xác định bởi các phân số nào?
Ta có: chƣa tối giản vì = =
Vì là phân số tối giản nên r xác định bởi các phân số: ( n )
Bài 3: Tìm các phân số biểu diễn số hữu tỉ r = ?
Ta có: ƢCLN ( n + 1; n + 2) = 1 nên là tối giản
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ có dạng ( k )
Bài 4: Tìm các phân số biểu diễn số hữu tỉ r = ?
Ta có: ƢCLN ( 8; 2n + 1) = 1 nên là tối giản
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ có dạng ( k )
Bài 5: Tìm các phân số biểu diễn số hữu tỉ r = ?
Ta có: ƢCLN ( 9; 3n + 1) = 1 nên là tối giản
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ có dạng ( k )
2.1.2 Khai thác các dạng toán về tính chất số hữu tỉ Ví dụ 2.1.2.1.
Nếu ta nhân hay chia tử số và mẫu số của 1 phân số với cùng 1 số tự nhiên khác 0 thì ta đƣợc 1 phân số bằng phân số đó.
Liên hệ với phép chia: Khi nhân (hay chia) số bị chia và số chia với cùng 1 số tự nhiên khác 0 thì giá trị của thương vẫn không thay đổi.
Trên cơ sở này xây dựng một quy ắc tổng quát gọi là tính chất cơ bản của phân số: (Tr.111)
- Nếu ta nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng mộ số tự nhiên khác
0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
-Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
Ví dụ 2.1.2.2 Rút gọn phân số sau:
Ta chia cả tử số và mẫu số của phân số đó với cùng 1 số tự nhiên lớn hơn 1 mà tử số và mẫu số của phân số đó cùng chia hết cho số đó.
Phân số tối giản là phân số mà tử số và mẫu số không cùng chia hết cho một số nào khác 1.
Cách rút gọn phân số: ta phân tích các số thành tích những số nguyên tố sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, rồi lấy những số nguyên tố cả tử và mẫu đều có để chia ta thu đƣợc 1 phân số tối giản
Khai thác dạng toán về quan hệ thứ tự
2.2.1 So sánh hai phân số cùng mẫu số
Ví dụ 2.2.1 So sánh hai phân số và ?
Phân số và có cùng mẫu số, nên ta xét tử số
Hai phân số cùng mẫu có dạng:
-Để so sánh hai phân số cùng mẫu, ta so sánh tử số
Bài 1: So sánh hai số a) = ; y Vì 1 < 3 nên < hay x < y b) = ; y Vì 7 < 9 nên < hay x < y a) = ; y Vì 9 > 8 nên < hay x > y
2.2.2 So sánh hai phân số có cùng tử số
Ví dụ 2.2.2 So sánh hai phân số và ?
Phân số và có cùng mẫu số, nên ta xét mẫu số
Hai phân số cùng mẫu có dạng:
-Để so sánh hai phân số cùng mẫu, ta so sánh tử số
Bài 1: So sánh hai số a) ; y Vì 2 < 3 nên > hay x > y
2.2.3 So sánh hai phân số có tử và mẫu bất kì
Ta quy đồng 2 phân số thành 2 phân số cùng mẫu rồi so sánh Ví dụ 2.2.3 So sánh 2 phân số
2.2.4 Viết số hữu tỉ xen giữa
Ví dụ 2.2.4 Viết 5 số hữu tỉ nằm giữa phân số và ?
Vậy 5 số hữu tỉ nằm giữa phân số và là : ; ; ;
Vậy 5 số hữu tỉ nằm giữa phân số và là
Viết m số hữu tỉ nằm giữa hai số hữu tỉ r,s (r < s)
Hai số đã đƣợc quy đồng cùng mẫu
M số hữu tỉ cần tìm là
Khoảng cách giữa r và s là s – r
Ta đƣợc các số sau:
Ta đƣợc m số hữu tỉ:
Dãy này có đặt điểm
Nhận xét: cả 2 các làm cho thấy với m tùy ý luôn có m số hữu tỉ năm giữa r và s
(i) Trong các 1 các số hữu tỉ cách nhau theo thứ tự liên tiếp 1 khoảng cách
(ii) Trong cách 2 nằm giữa r và s nằm giữa r và nằm giữa r và nằm giữa r và
… nằm giữa r và ở đây chính giữa là trung điểm của trung bình cộng Bài tập bổ sung: Tìm m số hữu tỉ giữa
2.3 Khái thác dạng toán về biểu diễn số hữu tỉ
Mỗi số hữu tỉ bất kì đều có thể biểu diễn bởi một điểm trên trục số
Ví dụ 2.3 Biểu diễn số hữu tỉ
Số hữu tỉ đƣợc biểu diễn bởi điểm M trên trục số sau:
Nếu số hữu tỉ là dương ta chia độ dài 1 đơn vị thành b phần bằng nhau sau đó lấy a phần theo hướng bên phải của điểm 0 trên trục số, vậy là ta có được 1 điểm có giá trị bằng chính phân số trên trục số
Ngƣợc lại, nếu số hữu tỉ là âm ta chia độ dài 1 đơn vị thành b phần bằng nhau sau đó lấy a phần theo hướng bên trái của điểm 0 trên trục số, vậy là ta có đƣợc 1 điểm có giá trị bằng chính phân số trên trục số
Khai thác nội dung định lý:
“Phân số tối giản là phân số biểu diễn được dưới dạng thập phân khi và chỉ khi b không có ước với nguyên tố nào ngoài 2 và 5 (nghĩa là b chỉ có nhiều nhất 2 ước nguyên tố là 2 hoặc 5).” Ý nghĩa: định lý này và cách chứng minh của nó cho ta quy trình kiểm tra 1 phân số có là phải phân số thập phân hay không?
2.4 Khai thác dạng toán về số thập phân
Bài toán 1: Kiểm tra xem phân số có là phân số số thập phân hay không? Bước 1: Tìm d = UCLN (a,b).
Bước 3: Phân tích thành tích các thừa số nguyên tố.
N ếu = ( chỉ có ƣớc nguyên tố 2 hoặc 5, không có ƣớc nguyên tố nào 2, 5)
Thì ta có biểu diễn được dưới dạng phân số thập phân
Vậy biểu diễn được dưới dạng phân số thập phân nên là số thập phân.
N ếu có 1 ước nguyên tố 2, 5 thì không biểu diễn được dưới dạng phân số thập phân nên cũng vậy khi đó không là số thập phân.
(i) Nếu không tối giản, tuy nhiên b = (b không có ƣớc nguyên tố 2,5) thì không cần tìm d = UCLN (a,b) mà kết luận luôn biểu diễn đƣợc dưới dạng số thập phân Vậy là số thập phân
Ví dụ: = là phân số không tối giản nhƣng mẫu là chỉ có một ƣớc nguyên tố là 2 nên biểu diễn dược dưới dạng phân số thập phân vì là số thập phân
(ii) mà b có ƣớc nguyên tố 2, 5 có thể vẫn là phân số biểu diễn đƣợc dưới dạng phân số thập phân.
Ví dụ : có mẫu , 3 là ƣớc nguyên tố 2, 5.
Là phân số biểu diễn được dưới dạng phân số thập phân
Vấn đề ở đây là chƣa tối giản
Bài toán : Tìm số hữu tỉ dạng phân số ứng với số thập phân
Trường hợp 1: số thập phân hữu hạn
Ví dụ: tìm phân số bằng số thập phân 1.25
Ta có: Trường hợp 2: số thập phân vô hạn tuần hoàn
Ví dụ: tìm phân số ứng với
Từ quan sát kết quả ta rút ra đƣợc
Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Thì phân số tương ứng là ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
2.5 Khai thác dạng toán về phân số ở Tiểu học
2.5.1 Khai thác dạng toán về khái niệm phân số
Mỗi phân số có tử số và mẫu số Tử số là số tự nhiên viết trên dấu gạch ngang Mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới dấu gạch ngang.
Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử số là số bị chia và mẫu số là số chia.
- Số bị chia là 8 chia cho số bị chia là 7 có thể viết thành
- Số bị chia là 123 chia cho số bị chia là 55 có thể viết thành
- Số bị chia là -10 chia cho số bị chia là 18 có thể viết thành
- Số bị chia là 2 chia cho số bị chia là -5 có thể viết thành
2.5.2 Khai thác dạng toán về so sánh phân số
Ví dụ 2.5.2.1 Cho số hữu tỉ = y
Với giá trị nào của a thì: a) y là số dương; b) y là số âm; c) y không là số dương và cũng không là số âm
Giải a) y là số dương thì y > 0 có nghĩa là > 0
⇔ ⇔ b) y là số âm thì y < 0 có nghĩa là < 0
⇔ ⇔ d) y không là số dương và cũng không là số âm thì y = 0 có nghĩa là
So sánh các số hữu tỉ với a, b thuộc Z, b ≠ 0 Với số 0 khi a, b cùng dấu và khi a, b khác dấu.
Nếu a và b cùng dấu thì: > 0
Nếu a và b khác dấu thì: < 0
Giả sử: ; = và x < y Hãy chứng tỏ rằng nếu chọn một số z bất kì sao cho thì ta có x < z < y.
So sánh x, y, z ta chuyển chúng cùng mẫu: 2m
2.5.3 Các bài toán về cấu tạo phân số
Ví dụ 2.5.3.1 Tổng của tử số và mẫu số của một phân số bằng 156 Sau khi rút gọn đƣợc phân số Tìm phân số đó.
Tử số của phân số cần tìm là:
156 : (5 + 7) x 5 = 65 Mẫu số của phân số cần tìm là:
156–65 Vậy phân số đó là:
Ví dụ 2.5.3.3: Tìm phân số bằng phân số biết rằng hiệu của mẫu số với tử số của phân số đó là 15?
Gọi phân số cần tìm là :
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta có
Vậy phân số cần tìm là:
Ví dụ 2.5.3.4: Tìm phân số bằng phân số Biết rằng tổng của tử và mẫu phân số đó bằng 75
Gọi phân số cần tìm là:
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta có
Vậy phân số cần tìm là:
Ví dụ 2.5.3.5 Cho phân số Hỏi phải trừ đi mẫu số và tử số của phân số này cho cùng một số bao nhiêu để đƣợc kết quả là bằng phân số
Gọi phân số cần tìm là
Vậy số cần tìm là 9
Ví dụ 2.5.3.6 Cho phân số Tìm 1 số x sao cho cộng cả tử và mẫu của phân đã cho với x ta đƣợc 1 phân số bằng phân số
Gọi phân số cần tìm là
Ví dụ 2.5.3.7: Tìm phân số Biết rằng hiệu của x và y là 8 và khi rút gọn phân số thì =
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta có
Vậy phân số cần tìm là
2.5.4 Các bài toán có lời văn
2.5.4.1 Khai thác dạng toán tìm 2 số khi biết tổng/ hiệu và tỉ số của hai số.
Gọi a,b là 2 số phải tìm Giả sử
Ta sẽ lý giải đƣợc tại sao a ứng với m đoạn thằng còn b ứng với n
(i) Nếulà phân số tối giản
(ii) Vì UCLN (m,n)=1 do tối giản nên {
Vậy { Đây là cơ sở để khi dùng biểu đồ ta biểu thị a,b nhƣ hình vẽ m k a ứng với m đoạn bằng nhau (mỗi đoạn chính là k đơn vị) b ứng với n đoạn bằng nhau
(iii) Nếuchƣa tối giản Đặt d là UCLN (m,n)
Ta có: , là tối giản
Giải thích : Thì phần (m đoạn bằng nhau khi vẽ sơ đồ) phần (n đoạn bằng nhau khi vẽ sơ đồ)
Trước đây ta chỉ làm mà không lý giải tại sao?
Khi tối giản (ví dụ : là )
Thực tế khi làm ta không quan tâm chi tiết việc tối giản hay không tối giản, nghĩa là không quan tâm 1 phần là k hay
Chương 2 đã tổng hợp, khai thác một số dạng toán cơ bản về số hữu tỉ: dạng toán về khái niệm và tính chất số hữu tỉ, dạng toán về quan hệ thứ tự, biểu diễn số hữu tỉ và các dạng toán về phân số ở Tiểu học Ngoài việc trình bày những kiến thức đã biết kèm theo một số phân tích, chương này đưa ra khái quát về các dạng toán, lời giải và khai thác mở rộng thêm một số dạng toán.
Khai thác dạng toán về số thập phân
Bài toán 1: Kiểm tra xem phân số có là phân số số thập phân hay không? Bước 1: Tìm d = UCLN (a,b).
Bước 3: Phân tích thành tích các thừa số nguyên tố.
N ếu = ( chỉ có ƣớc nguyên tố 2 hoặc 5, không có ƣớc nguyên tố nào 2, 5)
Thì ta có biểu diễn được dưới dạng phân số thập phân
Vậy biểu diễn được dưới dạng phân số thập phân nên là số thập phân.
N ếu có 1 ước nguyên tố 2, 5 thì không biểu diễn được dưới dạng phân số thập phân nên cũng vậy khi đó không là số thập phân.
(i) Nếu không tối giản, tuy nhiên b = (b không có ƣớc nguyên tố 2,5) thì không cần tìm d = UCLN (a,b) mà kết luận luôn biểu diễn đƣợc dưới dạng số thập phân Vậy là số thập phân
Ví dụ: = là phân số không tối giản nhƣng mẫu là chỉ có một ƣớc nguyên tố là 2 nên biểu diễn dược dưới dạng phân số thập phân vì là số thập phân
(ii) mà b có ƣớc nguyên tố 2, 5 có thể vẫn là phân số biểu diễn đƣợc dưới dạng phân số thập phân.
Ví dụ : có mẫu , 3 là ƣớc nguyên tố 2, 5.
Là phân số biểu diễn được dưới dạng phân số thập phân
Vấn đề ở đây là chƣa tối giản
Bài toán : Tìm số hữu tỉ dạng phân số ứng với số thập phân
Trường hợp 1: số thập phân hữu hạn
Ví dụ: tìm phân số bằng số thập phân 1.25
Ta có: Trường hợp 2: số thập phân vô hạn tuần hoàn
Ví dụ: tìm phân số ứng với
Từ quan sát kết quả ta rút ra đƣợc
Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Thì phân số tương ứng là ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Khai thác dạng toán về phân số ở Tiểu học
2.5.1 Khai thác dạng toán về khái niệm phân số
Mỗi phân số có tử số và mẫu số Tử số là số tự nhiên viết trên dấu gạch ngang Mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới dấu gạch ngang.
Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử số là số bị chia và mẫu số là số chia.
- Số bị chia là 8 chia cho số bị chia là 7 có thể viết thành
- Số bị chia là 123 chia cho số bị chia là 55 có thể viết thành
- Số bị chia là -10 chia cho số bị chia là 18 có thể viết thành
- Số bị chia là 2 chia cho số bị chia là -5 có thể viết thành
2.5.2 Khai thác dạng toán về so sánh phân số
Ví dụ 2.5.2.1 Cho số hữu tỉ = y
Với giá trị nào của a thì: a) y là số dương; b) y là số âm; c) y không là số dương và cũng không là số âm
Giải a) y là số dương thì y > 0 có nghĩa là > 0
⇔ ⇔ b) y là số âm thì y < 0 có nghĩa là < 0
⇔ ⇔ d) y không là số dương và cũng không là số âm thì y = 0 có nghĩa là
So sánh các số hữu tỉ với a, b thuộc Z, b ≠ 0 Với số 0 khi a, b cùng dấu và khi a, b khác dấu.
Nếu a và b cùng dấu thì: > 0
Nếu a và b khác dấu thì: < 0
Giả sử: ; = và x < y Hãy chứng tỏ rằng nếu chọn một số z bất kì sao cho thì ta có x < z < y.
So sánh x, y, z ta chuyển chúng cùng mẫu: 2m
2.5.3 Các bài toán về cấu tạo phân số
Ví dụ 2.5.3.1 Tổng của tử số và mẫu số của một phân số bằng 156 Sau khi rút gọn đƣợc phân số Tìm phân số đó.
Tử số của phân số cần tìm là:
156 : (5 + 7) x 5 = 65 Mẫu số của phân số cần tìm là:
156–65 Vậy phân số đó là:
Ví dụ 2.5.3.3: Tìm phân số bằng phân số biết rằng hiệu của mẫu số với tử số của phân số đó là 15?
Gọi phân số cần tìm là :
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta có
Vậy phân số cần tìm là:
Ví dụ 2.5.3.4: Tìm phân số bằng phân số Biết rằng tổng của tử và mẫu phân số đó bằng 75
Gọi phân số cần tìm là:
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta có
Vậy phân số cần tìm là:
Ví dụ 2.5.3.5 Cho phân số Hỏi phải trừ đi mẫu số và tử số của phân số này cho cùng một số bao nhiêu để đƣợc kết quả là bằng phân số
Gọi phân số cần tìm là
Vậy số cần tìm là 9
Ví dụ 2.5.3.6 Cho phân số Tìm 1 số x sao cho cộng cả tử và mẫu của phân đã cho với x ta đƣợc 1 phân số bằng phân số
Gọi phân số cần tìm là
Ví dụ 2.5.3.7: Tìm phân số Biết rằng hiệu của x và y là 8 và khi rút gọn phân số thì =
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta có
Vậy phân số cần tìm là
2.5.4 Các bài toán có lời văn
2.5.4.1 Khai thác dạng toán tìm 2 số khi biết tổng/ hiệu và tỉ số của hai số.
Gọi a,b là 2 số phải tìm Giả sử
Ta sẽ lý giải đƣợc tại sao a ứng với m đoạn thằng còn b ứng với n
(i) Nếulà phân số tối giản
(ii) Vì UCLN (m,n)=1 do tối giản nên {
Vậy { Đây là cơ sở để khi dùng biểu đồ ta biểu thị a,b nhƣ hình vẽ m k a ứng với m đoạn bằng nhau (mỗi đoạn chính là k đơn vị) b ứng với n đoạn bằng nhau
(iii) Nếuchƣa tối giản Đặt d là UCLN (m,n)
Ta có: , là tối giản
Giải thích : Thì phần (m đoạn bằng nhau khi vẽ sơ đồ) phần (n đoạn bằng nhau khi vẽ sơ đồ)
Trước đây ta chỉ làm mà không lý giải tại sao?
Khi tối giản (ví dụ : là )
Thực tế khi làm ta không quan tâm chi tiết việc tối giản hay không tối giản, nghĩa là không quan tâm 1 phần là k hay
Chương 2 đã tổng hợp, khai thác một số dạng toán cơ bản về số hữu tỉ: dạng toán về khái niệm và tính chất số hữu tỉ, dạng toán về quan hệ thứ tự, biểu diễn số hữu tỉ và các dạng toán về phân số ở Tiểu học Ngoài việc trình bày những kiến thức đã biết kèm theo một số phân tích, chương này đưa ra khái quát về các dạng toán, lời giải và khai thác mở rộng thêm một số dạng toán.
MỐI LIÊN HỆ VỚI NỘI DUNG DẠY HỌC PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC 3.1 Mục tiêu dạy học phân số ở Tiểu học
Nội dung dạy học phân số ở Tiểu học
Nội dung phân số đƣợc chính thức giảng dạy ở lớp 4, nhƣng ngay từ lướp 2, 3 hoc sinh đã bước đầu làm quen với phân số.
Có thể khái quát nội dung dạy học phân số nhƣ sau:
- Lớp 2 và lớp 3: Học sinh bước đầu làm quen với phân số thông qua hình ảnh trực quan Giai đoạn này, học sinh chƣa gọi đích danh phân số mà biểu đạt bằng các phần bằng nhau của một đơn vị Từng bước khái quát để hình thành sự tương ứng giữa phân số với các phần đơn vị trên hình vẽ.
2 - Giới thiệu các phần bằng nhau của đơn vị (có dạng , với n là số tự nhiên khác 0 và không vƣợt quá 5)
3 - Giới thiệu các phần bằng nhau của đơn vị (có dạng , với n là số tự nhiên từ 2 đến 10 và n = 100, n = 1000)
- Lớp 4: Ở học kì II học sinh chính thức đƣợc học về phân số Đến đây phân số đƣợc chính xác hóa bằng ngôn ngữ toán học: kí hiệu, cách đọc, viết Cụ thể nhƣ sau:
4 - Giới thiệu khái niệm ban đầu về phân số: đọc, viết, quy đồng mẫu số các phân số, so sánh các phân số, phân số bằng nhau.
- Phép cộng, phép trừ hai phân số có cùng mẫu số (trường hợp đơn giản, mẫu số của tổng hoặc hiệu không vƣợt quá 100)
- Phép cộng, phép trừ hai phân số khác mẫu
- Giới thiệu về tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng các phân số
- Giới thiệu quy tắc nhân phân số với phân số, nhân phân số với số tự nhiên trường hợp đơn giản
- Giới thiệu tính chất giao hoán và kết hợp của phép nahan các phân số Giới thiệu nhân một tổng hai phân số với một phân số
- Giới thiệu quy tắc chia phân số cho phân số, chia phân số cho só tự nhiên khác 0.
Mối liên hệ với nội dung dạy học phân số
Tóm lại, học sinh đã bắt đầu làm quen với phân số từ lướp 2, hifnht hành khái niệm phân số dần qua lớp 3 Dành chủ yếu thời gian ở lớp 4 để chính thức hóa kiến thức, đồng thời day hoàn chỉnh cả 4 phép tính, vừa học lý thuyết đi đôi với luyện tập – thực hành Lớp 5 sẽ tiến hành ôn tập lại và mở ra rộng thêm một số kiến thức liên quan.
Sự sắp xếp hợp lí các nội dung dạy học trong chủ đề phân số qua từng khối lớp giúp học sinh dễ dàng nắm bắt kiến thức Kiến thức đã học ở lớp dưới sẽ là tiền đề giúp học sinh học tiếp ở những lớp cao hơn.
3.3 Mối liên hệ với nội dung dạy học khái niệm phân số
3.3.1 Các nội dung cơ bản
Trong nội dung chương trình Toán tiểu học được biên soạn theo hướng đồng tâm, số học đƣợc coi là mảng kiến thức cốt lõi Mảng kiến thức số học đƣợc sắp xếp bắt đầu từ số tự nhiên, phân số, số thập phân Trong đó phân số đƣợc coi là mảng kiến thức mới và khó đối với nhận thức của học sinh tiểu học.
Trong sách giáo khoa Toán ở chương trình Tiểu học Phân số được chính thức đưa vào giảng dạy một cách đầy đủ ở chương trình toán lớn 4 Dạy học phân số trong Toán 4 là sự tiếp nối mạch kiến thức về phân số ở lớp 2 và lớp 3,đồng thời làm cơ sở vững chắc để dạy học về phân số thập phân, hỗn số ở lớp5.
Sau mỗi lần học bảng chia 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 học sinh đƣợc giới thiệu các phân số Tuy biết cách đọc là “một phần hai”, “một phần ba”…nhƣng học sinh chƣa đƣợc giới thiệu tên gọi chung của chúng là phân số, cũng nhƣ các thành phần tử số, mẫu số.
Trong khi đó SGK Toán 3 cho học sinh làm quen với các phân số đơn vị với n 10.
Các nội dung cơ bản:
Lớp 2: Làm quen yếu tố phân số
Lớp 3: Làm quen yếu tố phân số
Lớp 4: Phân số ở lớp 4 gồm hai nhóm bài
-Giới thiệu khái niệm ban đầu về phân số
-Phân số bằng nhau, tính chất cơ bản về phân số
-So sánh hai phân số cùng mẫu số và so sánh hai phân số khác mẫu số
-Phép cộng và phép trừ phân số (cùng mẫu số và khác mẫu số)
-Phép nhân và phép chia phân số
-Tính chất kết hợp của phép cộng, phép nhân
-Tính chất phân phối giữa phép nhân với phép cộng
-Khái niệm phân số thập phân, hỗn số, chuyển đổi hỗn số ra phân số và ngƣợc lại, giải toán ứng dụng.
3.3.2 Các cách tiếp cận khái niệm phân số
Cách 1: Tiếp cận kiểu tập hợp
Dựa vào việc so sánh số luộng của một bộ phận so với toàn thể bộ phận tập hợp đó:
Ví dụ: Số hình tam giác là?
Theo cách này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu các ví dụ khác nhau thường gặp trong thực tế đời sống, như: một phần ba cái bánh, một phần năm quãng đường, một phần hai quả cam…Giải thích nội dung và minh họa nội dung đó bằng hình học (hình tròn, hình chữ nhật, đoạn thẳng) sau đó viết kí hiệu toán học tương ứng.
Giáo viên gợi ý cho học sinh hiểu về cụm từ “phần bằng nhau” của đơn vị.
Trong bài “Phép chia” các tác giả SGK Toán 2 (tr.107) trình bày khái niệm “phần bằng nhau” của một đơn vị “6 ô chia thành 2 phần bằng nhau, mỗi phần có 3 ô” Ở đây người ta ngầm ẩn giới thiệu về khái niệm “phần bằng nhau”.
Cách 2: Tiếp cận kiểu diện tích
Lớp 3 mang lại cho học sinh cách tiếp cận phân số theo diện tích của một số hình cơ bản nhƣ hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn Các hình này đƣợc chia thành các phần bằng nhau, người ta tác động đến một số phần nào đó làm nảy sinh khái niệm phân số Chẳng hạn một bài tập đƣợc đƣa ra trong SGK Toán 3 (tr.25) nhƣ sau:
Bài 4: Đã tô vào hình nào?
Trong SGK Toán 4 (tr.106) hình thành khái niệm phân số nhƣ sau:
Chia hình tròn thành 6 phần bằng nhau, tô màu vào 5 phần.
Khi dạy bài này, giáo viên đƣa ra một hình tròn đã chia thành 6 phần bằng nhau, tô màu 5 phần Học sinh quan sát hình tròn trên, nêu hình tròn đƣợc chia làm mấy phần bằng nhau? Tô màu mấy phần? (Hình tròn đƣợc chia thành 6 phần bằng nhau, tô màu 5 phần của hình tròn).
Sau đó, giáo viên nêu chia hình tròn thành 6 phần bằng nhau, tô màu 5 phần, ta nói đã tô màu vào năm phần sáu hình tròn.
Ta gọi là phân số, phân số có tử số là 5, mẫu số là 6
Mẫu số là số tự nhiên viết dưới dấu gạch ngang Mẫu số cho biết hình tròn đƣợc chia thành 6 phần bằng nhau Tử số là số tự nhiên viết trên dấu gạch ngang Tử số cho biết 5 phần bằng nhau đã đƣợc tô màu
Tiếp theo, giáo viên đƣa ra vài phân số cho học sinh đọc
Nhƣ vậy, khái niệm phân số đƣợc giới thiệu qua việc chia cái toàn thể thành ba phần bằng nhau Sau đó lấy a phần trong b phần đó Có đƣợc phân số
Cách trình bày này tương ứng với bước đầu tiên để hình thành khái niệm phân số trong lịch sử Tuy không đƣa ra định nghĩa chính thức nhƣng ta có thể phát biểu nhƣ sau: Phân số là cặp số tự nhiên (a, b) với a, b là các số tự nhiên và b khác 0 Trong đó, b chỉ số phần bằng nhau của một đơn vị đƣợc chia ra và a chỉ số phần bằng nhau đã lấy đi.
Với cách tiếp cận này, học sinh có điều kiện vận dụng những kiến thức đã chiếm lĩnh, tìm ra những kiến thức mới, tìm ra nội dung tiềm ẩn trong bài học Cách tiếp cận này còn rèn luyện cho học sinh, giúp các em dễ dàng áp dụng kiến thức vừa học vào bài tập ứng dụng.
Cách 3: Tiếp cận bằng phéo đo đại lƣợng
Ví dụ: Đo chiều dài cái bàn học trong lớp bằng cách sử dụng các thước mét và đề - xi – mét.
Giáo viên gợi ý cho học sinh, vì cái bàn dài nên trước hết dùng thước mét để do Chẳng hạn, học sinh đo đƣợc 1m nhƣng còn thừa một khoảng khá lớn không đủ 1m, ta dùng thước đề - xi – mét.
Chẳng hạn, học sinh đo đƣợc 9dm Với kiến thức đã biết, 9dm = m.giáo viên hướng dẫn học sinh ghi theo cùng một đơn vị đo là mét, ta viết dưới dạng phân số
Cách 4: Tiếp cận kiểu phép chia
So sánh phân số
3.5.1 So sánh hai phân số cùng mẫu số
Bài toán (Tr.119): So sánh hai phân số và
Giáo viên hướng dẫn học sinh thao tác, quan sát hình vẽ và nhận xét:
Từ đó, rút ra kết luận: Trong hai phân số cùng mẫu số
-Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn
-Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn
-Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1
-Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn 1
3.5.2 So sánh hai phân số khác mẫu số
Bài toán (Tr.121): So sánh hau phân số và
-Thao tác trên băng giấy để học sinh thấy đƣợc và rút ra kết quả so sánh:
- Hướng dẫn học sinh tiến hành so sánh thông qua bước tính: Bước 1: Quy đồng mẫu số hai phân số
Bước 2: So sánh hai phân số cùng cùng mẫu số, kết luận hai phân số cần so sánh.
- Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi so sánh các tử số của hai phân số đó Phân số nào có tử số bé hơn thì phân số đó bé hơn và ngược lại.
(1) Phân tích từ cơ sở toán học và biến đổi
(2) So sánh 2 phân số cùng mẫu
(3) Chỉ so sánh tử số
Trên cơ sở này khi dạy học ở tiểu học ta làm theo các bước:
(1) So sánh 2 phân số cùng mẫu
(2) So sánh 2 phân số khác mẫu bằng quy đồng
Nhƣ vậy cách thức hình thành hoàn toàn thống nhất nhƣ nội dung toán cáo cấp đã khai thác và phân tích nhƣ trên
3.5.3 Đề xuất một số phương pháp so sánh phân số
Khi so sánh phân số, học sinh thường quen với cách quy đồng mẫu số ( SGK giới thiệu) Trong thực tế có nhiều cách so sánh phân số mà ta cần hướng dẫn học sinh tìm ra những thủ thuật riêng và áp dụng một cách linh hoạt sáng tạo vào quá trình giải toán.
Sau đây là một số phương pháp so sánh phân số:
(i) Phương pháp so sánh phân số bằng cách quy đồng tử số
Các phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn và ngƣợc lại.
Ví dụ: so sánh phân số và Ở ví dụ này, quy đồng mẫu số sẽ khó hơn quy đồng tử số
Bước 1: Quy đồng tử số các phân số
Bước 2 : So sánh hai phân số cùng tử số, kết luận hai phân số cần so sánh
(ii) Phương pháp so sánh phân số bằng cách so sánh phần bù (với những phân số nhỏ hơn 1)
Trong các phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó bé hơn và ngƣợc lại.
Ví dụ 1: So sánh phân số và
Phần bù của phân số là 1 - =
Phần bù của phân số là 1 - Bước 2: So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh
Ví dụ 2: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:
Ta nhận xét dãy các phần bù với 1 của mỗi phân số này lần lƣợt là
Cách so sánh phần bù được dùng khi A = B Nếu trong trường hợp A ≠ B ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đƣa về hai phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số đó bằng nhau.
(iii) Phương pháp so sánh phân số bằng cách so sánh phần thừa (với những phân số lớn hơn 1và hiệu giữa tỉ số và mẫu số bằng nhau)
Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn
Ví dụ: So sánh phân số và
Phần thừa của phân số : – 1 =
Phần thừa của phân số : – 1 =
Bước 2: So sánh phần hơn, kết luận hai phân số cần so sánh
Cách so sánh phần thừa được dùng khi A = B Nếu trong trường hợp A ≠
B ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đƣa về hai phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số đó bằng nhau.
(iv) Phương pháp so sánh phân số với 1
Ví dụ: So sánh phân số và
(v) So sánh phân số với phân số trung gian
Ví dụ: So sánh phân số và
Chọn phân số trung gian: hoặc
(vi) So sánh phân số bằng cách so sánh phần nguyên
Khi các phân số đƣợc viết theo hỗn số có cùng phần nguyên thì phân số nào có phần phân số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn
Ví dụ: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé:
Khi phân tích các phân số trên thành hỗn số ta thấy ngoài phần nguyên bằng 1 thì phần phân số lần lƣợt là:
Mối liên hệ với nội dung dạy học các phép toán phân số
Khi dạy bốn phép toán về phân số, SGK Toán đều sử dụng cách lựa chọn thống nhất: từ một bài toán thực tế, hình thành cho học sinh ý nghĩa phép toán. Qua phân tích trên các thao tác đối với bài toán nêu trên, rút ra cho học sinh quy tắc thực hiện phép tính Có thể khái quát các bước như sau:
Bước 1: Nêu tình huống thực tiễn có nhu cầu sử dụng phép tính
Bước 2: Thao tác trên phương diện trực quan để tìm kết quả bằng trực giác
Bước 3: Nhận xét kết quả, rút ra cách làm (trên cơ sở so sánh thành phần các phép tính) và trực quan
Bước 4: Chính xác hóa cách làm, quy tắc.
3.6.1.1 Phép cộng hai phân số cùng mẫu số
Bài toán (Tr.126): Có một băng giấy, bạn Nam tô màu băng giấy, sau đó Nam tô màu tiếp băng giấy Hỏi bạn Anm đã tô màu bao nhiêu phần của băng giấy.
Dựa trên phương tiện trực quan ta thấy Nam đã tô màu băng giấy.
Giáo viên gợi ý để HS nhận xét về tử số của phân số chỉ kết quả với tử số của hai phân số ban đầu ( 5 = 3 + 2); nhận xét về mẫu số của phân số chỉ kết quả với hai phân số ban đầu (mẫu số giữ nguyên)
Từ đó, giúp học sinh rút ra quy tắc:
Muốn cộng hai phân số cùng mẫu số ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.
3.6.1.2 Phép cộng hai phân số khác mẫu số
Bài toán (Tr.127): Có một băng giấy màu, bạn Hà lấy băng giấy, bạn
An lấy băng giấy Hỏi cả hai bạn đã lấy bao nhiều phần của băng giấy?
Giáo viên hướng dẫn học sinh cộng hai phân số khác mẫu số bằng cách đƣa về hai phân số cùng mẫu số
-Quy đồng mẫu số hai phân số:
-Hướng dẫn HS rút ra quy tắc:
Muốn cộng hai phân số khác mẫu số ta quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi cộng hai phân số đó
3.6.2.1 Trừ hai phân số cùng mẫu số
Bài toán (Tr.129): Từ băng giấy màu, lấy băng giấy để cắt chữ Hỏi còn lại bao nhiêu phần của băng giấy? Để tìm số phần băng giấy còn lại ta phải thực hiện phép tính: -
Giáo viên mô tả bài toán bằng hình vẽ, sau đó hướng dẫn HS quan sát đếm số phần băng giấy còn lại là: băng giấy
Giáo viên gợi ý để HS nhận xét về tử số của phân số chỉ kết quả với tử số của hai phân số ban đầu ( 2 = 5 - 3); nhận xét về mẫu số của phân số chỉ kết quả với hai phân số ban đầu (mẫu số giữ nguyên)
Từ đó, giúp học sinh rút ra kết luận:
Muốn trừ hai phân số cùng mẫu số, ta trừ tử số của phân số thứ nhất cho tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số.
3.6.2.2 Trừ hai phân số khác mẫu số
Bài toán (Tr.130): Một cửa hàng có tấn đường, cửa hàng đã bán tấn đường Hỏi cửa hàng còn lại bao nhiêu tấn đường? Để tính được số đường còn lại ta thực hiện phép trừ: -
GV hướng dẫn HS quy đồng mẫu số hai phân số để đưa về phép trừ hai phân số cùng mẫu số.
-Quy đồng mẫu số hai phân số:
GV hướng dẫn HS rút ra kết luận:
Muốn trừ hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi trừ hai phân số đó.
Bài toán (Tr.132): Tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài m và chiều rộng m? Để tính diện tích hình chữ nhật ta thực hiện phép nhân:
GV thực hiện trên hình vẽ trực quan để HS thấy
Hướng dẫn HS nhận xét tử số của phân số chỉ kết quả với hai phân số ban đầu (8 = 4 x 2), nhận xét mẫu số của phân số chỉ kết quả với hai phân số ban đầu
Từ đó giúp HS rút ra kết luận:
Muốn nhân hai phân số ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.
Trong tập số tự nhiên, học sinh đã đƣợc học các tính chất và quy tắc thực hành bốn phép tính (giao hoán, cộng một tổng với một số, nhân một số với một tổng) một cách hệ thống, cho nên trong tập phân số, SGK dành cho HS tự rút ra những tính chất này thông qua những ví dụ cụ thể Chẳng hạn:
-Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các phân số trong một tích thì tích của chúng không thay đổi
-Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân phân số thứ nhất với tích của phân số thứ hai và phân số thứ ba.
-Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng: Khi nhân một tổng hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân từng phân số của tổng với phân số thứ ba, rồi cộng các kết quả với nhau.
Các tính chất này giúp HS vận dụng để giải các bài toán tính nhanh, tính nhẩm với phân số.
-Trước khi tính, có thể rút gọn phân số (nếu cần)
-Kết quả cần rút gọn đến phân số tối giản.
Bài toán (Tr.135): Hình chữ nhật ABCD có diện tích m 2 , chiều rộng là m Tính chiều dài hình đó?
-Muốn tính chiêu dài hình chữ nhật, ta lấy diện tích chia cho chiểu rộng:
- GV giới thiệu phân số đảo ngƣợc, phân số đảo của của là Đƣa ra quy tắc: Để thực hiện phép chia hai phân số ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.
- Ta thực hiện phép chia nhƣ sau: : = x =
- Mở rộng trường hợp chia phân số cho số tự nhiên thông qua bài Luyện tập(Tr.137) và chia một số tự nhiên cho phân số thông qua bài Luyện tập chung(Tr.137).
Mối liên hệ với nội dung dạy học giải toán phân số
Các bài toán về phân số có thể chia ra thành một số dạng cơ bản sau:
- Các bài toán về cấu tạo phân số (tìm một phân số khi biết mối quan hệ giữa tử số và mẫu số của phân số đó)
- Các bài toán về so sánh phân số (bao gồm rút gọn phân số và sắp xếp phân số theo thứ tự cho trước
- Các bài toán về rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính về phân số (tính giá trị biểu thức bằng cách hợp lí nhất, tìm thành phần chƣa biết của phép tính)
- Giải toán có lời văn về phân số (bao gồm các bài toán có lời văn với số liệu cho trong đề bài là phân số)
3.7 1 Các bài toán về cấu tạo phân số
Khi giải các bài toán có dạng này thường đưa về dạng toán có lời văn điển hình (tìm hai số khi biết tổng và tỉ số, hiệu và tỉ số, tổng và hiệu) hoặc dùng phương pháp thử chọn Ngoài ra, có thể bổ sung thêm một số tính chất:
Tính chất 1: Khi cộng thêm vào cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tie số và mẫu số của phân số đó không thay đổi
Tính chất 2: Khi bớt đi ở tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu của phân số đó không thay đổi
Tính chất 3: Khi thêm vào (hoặc bớt đi) ở tử số, đồng thời bớt đi (hoặc thêm vào) ở mẫu số của một phân số cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi.
Ví dụ 1: Tổng của tử số và mẫu số của một phân số nhỏ hơn 1 bằng 10 Nếu chia cả tử và mẫu cho 2 ta đƣợc phân số tối giản Tìm phân số đó?
Giải: Ta có bảng phân tích 10 thành tổng của các cặp số sau:
Các phân số nhỏ hơn 1 có tử và mẫu bằng 10 là: ; ; ; ;
Bằng phương pháp thử chọn ta nhận được hai phân số cần tìm là: và
Ví dụ 2: Tổng của tử số và mẫu số của một phân số bằng 156 Sau khi rút gọn đƣợc phân số Tìm phân số đó.
Tử số của phân số cần tìm là:
Mẫu số của phân số cần tìm là:
Vậy phân số đó là:
Ví dụ 3: Khi bớt đi ở tử đồng thời thêm vào ở mẫu số của phân số cùng một số tự nhiên ta đƣợc một phân số bằng Tìm số tự nhiên đó?
Tổng của tử và mẫu của phân số là:
Theo đề bài ta có sơ đồ:
3.7.2 Các bài toán về so sánh phân số
Khi giải các bài toán dạng này, ta thường vận dụng quy tắc rút gọn phân số, quy tắc so sánh phân số và một số phương pháp khác đã trình bày ở phần trên.
Một số vướng mắc của học sinh trong quá trình học, làm bài liên quan đến phân số
3.8.1 Rút gọn phân số a Khó khăn
-Do chủ quan, nên khi gặp các yêu cầu rút gọn phân số thì các em chỉ cần rút gọn đƣợc phân số đó là đƣợc, không quan tâm xem phân số đó đã đƣợc rút gọn tối giản hay chƣa.
- Chƣa nắm vững bảng nhân, chia, các dấu hiệu chia hết nên khi rút gọn còn gặp nhiều lúng túng.
- Chƣa nắm vững cấu tạo phân số để áp dụng có hiệu quả vào việc làm toán. b Biện pháp khắc phục
- Yêu cầu HS học thuộc và ứng dụng tốt bảng nhân chia trong quá trình học tập, kiểm tra thường xuyên có chấn chỉnh kịp thời.
- Trong quá trình dạy học cần nhấn mạnh cho các em thấy và nắm đƣợc quy tắc, nội dung cần ghi nhớ về cấu tạo phân số nhát là kiến thức rút gọn phân số
3.8.2 So sánh phân số a Khó khăn
- Do HS chủ quan, cứ thấy phân số nào có các chữ số lớn hơn là các em cho rằng phân số đó lớn hơn
- HS thường quy đồng rồi mới so sánh rất lâu và dẫn đến được một phân số mới rất lớn, thậm chí còn quy đồng sai do chưa nắm được các trường hợp đặc biệt và phương pháp so sánh áp dụng chưa hợp lí
- Đối với số tự nhiên (đại diện là số 1) các em máy móc không chú ý đến tử số và mẫu số của phân số đó b Biện pháp
-Trong khi dạy học GV cần nhấn mạnh cho HS thấy đƣợc tất cả các số tự nhiên đều có thể viết dưới dạng phân số Đặc biêt số 1 thì ta đưa về phân số có tử số và mẫu số bằng nhau và khác 0.
- Nắm chắc các dạng so sánh phân số: quy đồng tử số, so sánh phần bù, phần thừa, so sánh với 1…để áp dụng linh hoạt
3.8.3.Các phép toán về phân số a Nguyên nhân
- Do các em chƣa nắm chắc đƣợc quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu số và khác mẫu số Các em nhầm lẫn với phép nhân hai phân số.
- Do HS không nắm vững chú ý (Mọi số tự nhiên đều có thể viết dưới dạng phân số có mẫu số khác 0) Vì vậy, HS không chuyển đổi số tự nhiên về phân số để tính. b Biện pháp khắc phục
-Trong khi dạy bài học mới, cần khắc sâu kiến thức, yêu cầu HS hiểu bản chất các phép tính phân số
-Rèn kỹ năng giải bài tập qua việc chú ý đƣa ra những bẫy sai lầm mà
-Rèn kỹ năng nhớ quy tắc qua ví dụ, tránh tình trạng ghi nhớ máy móc.
Chương 3 chỉ ra mối liên hện giữa cơ sở toán học về số hữu tỉ với việc hình thành cho học sinh tiểu học về khái niệm phân số, các phép toán và tính chất các phép toán trên tập số hữu tỉ.
Khóa luận đã hình thành đƣợc những kiến thức cơ bản liên quan đến kháu niệm số hữu tỉ và các phép toán trên tập số hữu tỉ: hình thành tập số hữu tỉ, các phép toán trên tập số hữu tỉ, tính chất các phép toán, các dạng toán về số hữu tỉ. Trong quá trình nghiên cứu, khóa luận đã có những đóng góp mới thể hiện qua sự phân tích và làm rõ đƣợc một số vấn đề thông qua hệ thống các ví dụ và bài tập Khóa luận đã đƣa ra một số dạng toán cơ bản và đƣa ra lời giải kèm theo những khai thác đối với một số bài toán về khái niệm và tính chất số hữu tỉ, về quan hệ thứ tự, biểu diễn số hữu tỉ và các dạng toán về phân số Cuối cùng, khóa luận làm rõ thêm mối liên hệ giữa tập số hữu tỉ và nội dung phân số ở Tiểu học.
[1] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Chương trình Giáo dục phổ thông cấp Tiểu học, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[2] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình Giáo dục phổ thông cấp Tiểu học, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội…….
[3] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán (Ban hành kèm theo thông tƣ số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng
12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo.
[4] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Toán 1, 2, 3, 4, 5, NXB Giáo dục Việt Nam.
[5] Trần Diên Hiển (chủ biên), Nguyễn Tiến Tài, Nguyễn Văn Ngọc (2014),
[6] Trần Diên Hiển (chủ biên), Nguyễn Thủy Chung, (2014), Cơ sở toán học của môn toán ở tiểu học, Đại học Sƣ phạm Hà Nội.