Lí thuyết chia hết trong tập số tự nhiên và mối liên hệ với một số nội dung môn toán ở tiểu học

i TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC VÀ MẦM NON - TRẦN THANH LOAN LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG MƠN TỐN Ở TIỂU HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH: GIÁO DỤC TIỂU HỌC Phú Thọ, 2021 ii TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC VÀ MẦM NON - TRẦN THANH LOAN LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG MƠN TỐN Ở TIỂU HỌC PHẦN MỞ ĐẦU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH: GIÁO DỤC TIỂU HỌC GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN TIẾN MẠNH Phú Thọ, 2021 iii LỜI CẢM ƠN Trải qua thời gian nghiên cứu thực hiện, đến đề tài khóa luận tốt nghiệp: “ Lí thuyết chia hết tập số tự nhiên mối liên hệ với số nội dung mơn tốn Tiểu học” em hồn thành Để có kết ngày hôm nhờ hướng dẫn trực tiếp, bảo tận tình giáo viên hướng dẫn, thầy cô giáo khoa Giáo dục Tiểu học Mầm non, thư viện trường Đại học Hùng Vương tận tình giảng dạy, giúp đỡ em suốt trình học tập, nghiên cứu bảo vệ tốt khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Ts.Nguyễn Tiến Mạnh người trực tiếp hướng dẫn giúp đỡ em suốt thời gian nghiên cứu hồn thành khóa luận Do thời gian thực q trình nghiên cứu cịn hạn chế nên đề tài chắn không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến trao đổi, đóng góp tận tình thầy cô giáo bạn Những ý kiến trao đổi, đóng góp thầy bạn giúp cho khóa luận em hồn thiện Em xin kính chúc thầy giáo ln mạnh khỏe, hạnh phúc để tiếp tục dìu dắt chúng em đường học tập nghiên cứu khoa học Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Trần Thanh Loan iv LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Tiến Mạnh, khóa luận tốt nghiệp “Lí thuyết chia hết tập số tự nhiên mối liên hệ với số nội dung mơn Tốn Tiểu học” hồn thành theo nhận thức vấn đề riêng tác giả, không trùng với khóa luận khác Trong q trình làm khóa luận, em kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Phú Thọ, tháng năm 2021 Sinh viên Trần Thanh Loan v DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT GV Giáo viên HS Học sinh SGK Sách giáo khoa TDTG Thặng dư thu gọn vi PHẦN MỞ ĐẦU 1.Tính cấp thiết đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn 2.1 Ý nghĩa khoa học 2.2 Ý nghĩa thực tiễn Mục tiêu nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu 5.1 Đối tượng 5.2 Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN 1.1 Quan hệ chia hết phép chia có dư 1.1.1 Quan hệ chia hết 1.1.2 Phép chia với dư 11 1.2 Ước chung lớn bội chung nhỏ 12 1.2.1 Ước chung lớn 12 1.2.2 Bội chung nhỏ 15 1.3 Số nguyên tố định lí số học 17 1.3.1 Số nguyên tố 17 1.3.2 Định lí số học 18 1.3.3 Hàm ( n ), hàm ( n ) hàm euler ( n ) 19 1.4 Quan hệ đồng dư 24 1.4.1 Định lí Euler định lí Fermat 24 1.4.2 Ứng dụng quan hệ đồng dư toán chia hết 26 1.4.3 Ứng dụng quan hệ đồng dư tốn tìm số dư 30 1.4.4 Ứng dụng quan hệ đồng dư nhận biết dấu hiệu chia hết 32 TIỂU KẾT CHƯƠNG 34 CHƯƠNG KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN 35 2.1 Giải khai thác số dạng toán dấu hiệu chia hết 35 2.1.1 Dạng 1: tìm số số có k chữ số phân biệt thành lập từ chữ số cho trước thỏa mãn điều kiện chia hết 35 2.1.2 Dạng 2: thay kí hiệu chữ số thích hợp để số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia hết 41 2.1.3 Dạng 3: thay kí hiệu chữ số thích hợp để số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia có dư 45 vii 2.2 Các toán vận dụng tính chất chia hết tổng hiệu 49 2.3 Tìm chữ số tận 53 2.3.1 Dạng 1: xác định số chẵn, số lẻ 53 2.3.2 Dạng 2: xác định chữ số tận 55 2.4 Vận dụng tính chất chia hết chia có dư để giải tốn có lời văn 59 2.5 Dạng tốn tìm thương, số chia, số dư phép chia euclid 63 TIỂU KẾT CHƯƠNG 66 CHƯƠNG MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG MƠN TỐN Ở TIỂU HỌC .67 3.1 Liên hệ với dạy học phép chia 67 3.1.1 Phân tích sở toán học 67 3.1.2 Liên hệ với dạy học phép chia hết 74 3.1.3 Liên hệ với dạy học phép chia có dư 79 3.2 liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết 84 3.2.1 Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết cho 86 3.2.2 Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết cho 87 3.2.3 Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết cho 88 3.2.4 Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết cho 89 3.3 Liên hệ với dạy học số dạng tập 90 TIỂU KẾT CHƯƠNG 100 KẾT LUẬN 101 TÀI LIỆU THAM KHẢO 102 PHẦN MỞ ĐẦU 1.Tính cấp thiết đề tài Toán học đời gắn liền với đời sống người lịch sử phát triển xã hội, có ý nghĩa lý luận thực tiễn vơ to lớn quan trọng Tốn học môn khoa học gây nhiều hứng thú cho học sinh, mơn học khơng thể thiếu trình học tập, nghiên cứu sống hàng ngày Khả giáo dục nhiều mặt mơn tốn tiểu học vơ to lớn Nó có nhiều khả để phát triển tư logic, bồi dưỡng phát triển thao tác trí tuệ cần thiết để nhận thức giới thực như: Trừu tượng hóa, khái qt hóa, phân tích tổng hợp, so sánh, dự đoán, chứng minh bác bỏ Nó có vai trị quan trọng rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận, giải vấn đề có khoa học, tồn diện, xác; có tác dụng việc phát triển trí thơng minh, tư độc lập, linh hoạt, sáng tạo việc hoàn thành rèn luyện lĩnh vực hoạt động người góp phần giáo dục ý chí đức tính tốt như: Cần cù, nhẫn nại, có ý thức vượt qua khó khăn,… Giáo dục Tiểu học bậc học tảng hệ thống giáo dục quốc dân Mục tiêu giáo dục Tiểu học xác định : “Giáo dục Tiểu học nhằm giúp học sinh hình thành sở ban đầu cho phát triển đắn lâu dài đặc điểm trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ, đạo đức kĩ để học sinh tiếp tục bậc học trung học sở” Ở bậc Tiểu học em học đầy đủ mơn tốn học đóng vai trị quan trọng cần thiết Những tri thức, kĩ phương pháp toán học trở thành công cụ để học tập mơn học khác Mơn tốn Tiểu học bao gồm chủ đề nội dung trọng tâm xác định kiến thức kĩ số học Các kiến thức số học bao gồm ( Số tự nhiên, dãy số, số thập phân) xây dựng theo quan điểm đồng tâm phân bố theo khối lớp cách hợp lí, phù hợp với đặc điểm sinh lí, lứa tuổi nhận thức em Trong sách giáo khoa toán Tiểu học, “phép chia” bắt đầu xuất lớp đến lớp dấu hiệu chia hết cho 2, 5, giới thiệu cho học sinh Các “Dấu hiệu chia hết” phần quan trọng khơng thể thiếu sở để giải nhiều dạng tốn Tiểu học như: Viết số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết, dùng dấu hiệu chia hết để điền vào chữ số chưa biết, toán vận dụng tính chất chia hết tổng hiệu, vận dụng tính chất chia hết chia có dư để giải tốn có lời văn,…Các tính chất dấu hiệu chia hết giúp em dễ dàng vận dụng để thực phép tính số tự nhiên cách nhanh xác Dạng tốn chia hết phong phú đa dạng, có ý nghĩa quan trọng em học sinh, phải cách giải thơng minh, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức toán học bậc học để giải loại toán Với ý nghĩa vậy, việc hướng dẫn học sinh nắm lí thuyết, phương pháp giải toán phép chia hết vấn đề quan trọng Do vai trị khoa học lí thuyết chia hết toán học dạy học, chúng tơi chọn đề tài: “Lí thuyết chia hết tập số tự nhiên mối liên hệ với số nội dung mơn tốn Tiểu học” Ý nghĩa khoa học thực tiễn Ý nghĩa khoa học Làm rõ thêm sở tốn học lí thuyết chia hết tập số tự nhiên thông qua việc phân tích, khai thác vấn đề lí thuyết, tập mối liên hệ với số nội dung mơn Tốn Tiểu học 2 Ý nghĩa thực tiễn Trên sở phân tích làm rõ mối liên hệ sở tốn học lí thuyết chia hết với số nội dung môn Tốn Tiểu học, khóa luận sử dụng tài liệu tham khảo hữu ích dành cho giáo viên, sinh viên ngành Giáo dục Tiểu học 3 Mục tiêu nghiên cứu Phân tích, khai thác kiến thức dạng tốn liên quan đến lí thuyết chia hết mối liên hệ chúng với số nội dung mơn Tốn Tiểu học Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở toán học vấn đề: Quan hệ chia hết phép chia có dư; Ước chung lớn bội chung nhỏ nhất; Số nguyên tố Định lí số học; Quan hệ đồng dư - Khai thác số tốn lí thuyết chia hết tập số tự nhiên như: Giải khai thác số dạng toán dấu hiệu chia hết; Các tốn vận dụng tính chất chia hết tổng hiệu; Tìm chữ số tận cùng; Vận dụng tính chất chia hết chia có dư để giải tốn có lời văn; Dạng tốn tìm thương, số chia, số dư phép chia Euclid - Phân tích làm rõ thể sở tốn học lí thuyết chia hết với số nội dung mơn tốn Tiểu học: Liên hệ với dạy học phép chia; Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết; Liên hệ với dạy học số dạng tập Đối tượng phạm vi nghiên cứu 5.1 Đối tượng Lí thuyết chia hết 5.2 Phạm vi nghiên cứu Khóa luận giới hạn việc nghiên cứu lí thuyết chia hết tập số tự nhiên liên quan đến chương trình mơn tốn Tiểu học Phương pháp nghiên cứu Để thực nhiệm vụ mục tiêu đặt khóa luận, chúng tơi sử dụng kiến thức số lĩnh vực toán học như: lí thuyết chia hết chia có dư tập số tự nhiên, Định lí Euler, Định lí Fermat Đầu tiên chúng tơi nghiên cứu tìm hiểu về: Lí thuyết chia hết tập số tự nhiên, ứng dụng quan hệ đồng dư toán chia hết tìm số dư, ứng dụng định lí Euler định lí Fermat, nội dung chương trình mơn tốn tiểu học, số tài liệu mơn tốn Tiểu học (SGK, sách tập,…) Tiếp theo, phân tích, 88 Chú ý: Các số khơng có chữ số tận khơng chia hết cho 3.2.2.3 Bài tập dấu hiệu chia hết cho sách giáo khoa Các tập dấu hiệu chia hết cho chương trình mơn tốn lớp hành chia làm dạng là: Dựa vào dấu hiệu chia hết xét số có chia hết cho hay khơng viết số tự nhiên dựa vào dấu hiệu chia hết cho Tuy nhiên đến dấu hiệu chia hết cho người ta liên kết số tập với kiến thức dấu hiệu chia hết cho trước là: Dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm số vừa chia hết cho chia hết cho không chia hết cho Dạng 1: Dựa vào dấu hiệu chia hết xét số có chia hết cho hay không Bài tập Trong số 35; 8; 57; 660; 4674; 3000; 945; 5553: a) Số chia hết cho ? b) Số không cia hết cho ? Dạng 2: Viết số tự nhiên dựa vào dấu hiệu chia hết cho Bài tập Viết số chia hết cho thích hợp vào chỗ chấm a) 150 < ⋯ < 160; b) 3575 < ⋯ < 3585; c) 335; 340; 345;…;…; 360 Bài tập Với ba số 0; 5; viết số có ba chữ số, số có ba chữ số chia hết cho Bài tập Trong số 35; 8; 57; 660; 945; 5553; 3000; a) Số vừa chia hết cho vừa chia hết cho ? b) Số chia hết cho không chia hết cho ? 3.2.3 Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết cho 3.2.3.1 Các ví dụ cụ thể để hình thành dấu hiệu chia hết cho 63:3=21 Ta có: +3=9, 9:3=3 123:3=41 Ta có: +2+3=6, 91 : = 30 (dư 1) Ta có: + = 10, 10 : = (dư 2) 125:3= 41 (dư 2) Ta có: + +5=8, 89 : = : = (dư 2) 3.2.3.2 Dấu hiệu chia hết cho chương trình mơn tốn lớp hành Dấu hiệu chia hết cho chương trình mơn tốn lớp hành trình bày sau: “ Các số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho 3” Chú ý: Các số có tổng chữ số khơng chia hết cho không chia hết cho 3.2.3.3 Bài tập dấu hiệu chia hết cho sách giáo khoa Các tập dấu hiệu chia hết cho chương trình mơn tốn lớp hành chia làm dạng là: Dựa vào dấu hiệu chia hết xét số có chia hết cho hay không, viết số tự nhiên dựa vào dấu hiệu chia hết cho dựa vào dấu hiệu chia hết cho để tìm chữ số chưa biết Dạng 1: Dựa vào dấu hiệu chia hết xét số có chia hết cho hay khơng Bài tập Trong số sau, số chia hết cho ? 231; 109; 1872; 8225; 92 313 Bài tập Trong số sau, số không chia hết cho ? 96; 502; 6823; 55 553; 641 311 Dạng 2: Viết số tự nhiên dựa vào dấu hiệu chia hết cho Bài tập Viết ba số có ba chữ số chia hết cho Dạng 3: Dựa vào dấu hiệu chia hết cho để tìm chữ số chưa biết Bài tập Tìm chữ số thích hợp viết vào trống để số chia hết cho không chia hết cho 9: 56 ; 79 ;2 35 3.2.4 Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết cho 3.2.4.1 Các ví dụ cụ thể để hình thành dấu hiệu chia hết cho 72:9=8 Ta có: + = 9, 182 : = 20 (dư 2) Ta có: + + = 11, 90 9:9=1 11 : = (dư 2) 657:9=73 451 : = 50 (dư 1) Ta có: + + = 18, 18:9=2 Ta có: + + = 10, 10 : = (dư 1) 3.2.4.2 Dấu hiệu chia hết cho chương trình mơn tốn lớp hành Dấu hiệu chia hết cho chương trình mơn tốn lớp hành trình bày sau: “ Các số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho 9” Chú ý: Các số có tổng chữ số khơng chia hết cho khơng chia hết cho 3.2.4.3 Bài tập dấu hiệu chia hết cho sách giáo khoa Các tập dấu hiệu chia hết cho chương trình mơn tốn lớp hành chia làm dạng là: Dựa vào dấu hiệu chia hết xét số có chia hết cho hay khơng, viết số tự nhiên dựa vào dấu hiệu chia hết cho dựa vào dấu hiệu chia hết cho để tìm chữ số chưa biết Dạng 1: Dựa vào dấu hiệu chia hết xét số có chia hết cho hay không Bài tập Trong số sau, số chia hết cho ? 99; 1999; 106; 5643; 29 385 Bài tập Trong số sau, số không chia hết cho ? 96; 108; 7853; 5554; 1097 Dạng 2: Viết số tự nhiên dựa vào dấu hiệu chia hết cho Bài tập Viết hai số có ba chữ số chia hết cho Dạng 3: Dựa vào dấu hiệu chia hết cho để tìm chữ số chưa biết Bài tập Tìm chữ số thích hợp viết vào ô trống để số chia hết cho 9: 31 ; 35;2 3.3 Liên hệ với dạy học số dạng tập Ta thấy "Các dấu hiệu chia hết" "Phép chia có dư" chương trình mơn Tốn lớp phần quan trọng, khơng thể thiếu sở để giải số dạng toán Tiểu học Dựa vào kiến thức học dấu hiệu chia hết, 91 em vận dụng để tính, điền tìm kết toán cách nhanh Dưới số hướng giải toán Tiểu học dựa vào dấu hiệu chia hết Hướng Xét dấu hiệu chia hết tổng hiệu số Các tính chất thường sử dụng: - Nếu số hạng tổng chia hết cho tổng chúng chia hết cho - Nếu số bị trừ số trừ chia hết cho hiệu chúng chia hết cho - Nếu số hạng tổng chia cho dư n số hạng lại chia hết cho tổng chúng chia cho dư n - Hiệu số số chia hết cho số chia cho dư n số cịn lại chia cho dư n - Trong tổng, tổng số dư phép chia chia số hạng tổng cho số mà chia hết cho số tổng chúng chia hết cho số - Trong hiệu, số bị trừ số trừ chia cho số có số dư hiệu chúng chia hết cho số Cũng có tính chất tương tự trường hợp chia hết cho 3, 4, 5, Bài tốn Khơng làm phép tính, xét xem tổng hiệu có chia hết cho hay không? a 240 + 123 240 − 123 b 2454 + 374 + 135 2454 − 374 - 135 Gợi ý: Ta nhận xét: a 240 123 chia hết cho nên: (240 + 123) chia hết cho (240 − 123) chia hết cho b 2454 135 chia hết cho cịn 374 khơng chia hết cho nên: 2454 + 374 + 135 không chia hết cho 3; 2454 − 374 − 135 khơng chia hết cho Bài tốn Tìm số n cho n + chia hết cho n + 92 Gợi ý: n + = n + + nên n + chia hết cho n + chia hết cho n + Nhưng chia hết cho nên n + = n + = Từ n = n = Hướng Xác định số đồng thời chia hết cho số số Số đồng thời chia hết cho chia hết cho 10 Từ dấu hiệu chia hết cho cho ta có dấu hiệu chia hết cho 10, số có chữ số tận Số đồng thời chia hết cho chia hết số chia hết cho có chữ số tận chẵn tổng chữ số chia hết cho Tương tự với số chia hết cho 15, 18, 45 Bài toán Viết thêm sau số hai chữ số cho số có chữ số số chia hết cho Giáo viên hướng dẫn nên xác định chữ số tận trước từ suy chữ số hàng chục Bài tốn Khơng thực phép chia cho biết số sau đây: 2015, 1975, 55555 có chia hết cho 15 khơng? Tại sao? Bài tốn Viết thêm vào số 2017 hai chữ số tận để số (gồm chữ số) chia hết cho 45 Gợi ý: Số chia hết cho 45 nên phải chia hết cho 5, chữ số hàng đơn vị Nếu chữ số hàng đơn vị tổng chữ số biết số + + + + = 10 Do chữ số hàng chục lại cộng với 10 phải chia hết Ta số 201780 thoả mãn Tương tự chữ số hàng đơn vị tổng chữ số biết số + + + + = 15 Do chữ số hàng chục 3, ta có thêm số thoả mãn 201735 Bài toán Viết thêm vào số 1996 hai chữ số tận để số chia hết cho số 2, 5, Gợi ý: Số chia hết cho có chữ số tận Xét tổng chữ số chia hết cho để suy chữ số hàng chục Bài toán Viết thêm số 459 vào hai chữ số số (gồm chữ số) mà chia cho 2, 5, dư Tìm số có chữ số 93 Gợi ý: Số có chữ số tận Xét tổng chữ số chia cho dư để tìm chữ số cịn lại Bài tốn Có thể thay chữ khác biểu thức chữ số khác để đẳng thức : CAM + QUYT + NHO = 1989 + 1990 + 1991 đẳng thức khơng? Gợi ý: Vế trái có 10 chữ khác phải thay 10 chữ số khác mà tổng 10 chữ số 45 chia hết cho Mặt khác tổng số vế phải không chia hết đẳng thức đẳng thức Hướng Các tốn tính nhanh tổng rút gọn phân số Bài tốn Thực phép tính sau cách nhanh a) 1996 + 3992 + 5988 + 7984 b) 16×3×4×50×25×125 c)(45× 46 × 47 × 49) × (50 × 51 − 49 × 48) × (45 × 128 − 90 × 64) × (1995 × 1996 × 1997 × 1998) Gợi ý: Dựa vào dấu hiệu chia hết phân tích số hạng, thừa số thành tích có thừa số giống nhau, sau vận dụng tính chất phép tốn để tìm nhanh kết dãy tính a) 1996 + 3992 + 5988 + 7984 = x 1996 + x 1996 + x 1996 + x 1996 = (1 + + + 4) x 1996 = 10 x 1996 = 19960 b) 16 x x x 50 x 25 x 125 = x x x x 50 x 25 x 125 = x (2 x 50) x (4 x 25) x (8 x 125) = x 100 x 100 x 1000 = 30 000 000 c) 45 x 128 − 90 x 64 = 45 x (2 x 64) − 90 x 64 94 = 45 x x 64 − 90 x 64 = 90 x 64 − 90 x 64 = Trong tích có thừa số Vậy tích 0, tức là: (45 x 46 + 47 x 48) x (50 x 51 - 49 x 48) x (45 x 128 − 90 x 64) x (1995 x 1996 + 1997 x 1998) = Bài toán 10: Rút gọn a) ×××× × × × × b) × × × × ×× × ×× × × Gợi ý: Dựa vào dấu hiệu chia hết phân tích thừa số tử số mẫu số thành tích số mà số giống tử số mẫu số a) b) × ×××× ×××× × × × = ×××××××× =7 ××××××× × × ×× ×× × = 18×7×2×7×6×2×4×37×37×9×3×5 2×21×9×37×8×18×6 = × × = 1295 Hướng Các tốn có lời văn đưa tốn xét dấu hiệu chia hết Đây hướng gắn kiến thức toán với thực tế, tránh để học sinh biết xét dấu hiệu chia hết số mà Bài tốn 11 Lớp 4A có 30 học sinh sĩ số không 40 mà xếp hàng đôi vào lớp hai hàng chia làm tổ có số học sinh Gợi ý: Số kẹo chia hết cho sĩ số 36 Bài toán 12 Mẹ mua kẹo chia cho anh em người chia số kẹo vừa hết Nhưng có bạn đến chơi nên mẹ chia số kẹo cho hai anh em bạn đến chơi vừa khéo Biết mẹ mua khơng q 15 khơng 10 Hỏi mẹ mua kẹo? Gợi ý: Số kẹo chia hết cho số kẹo 12 95 Bài toán 13 Một cửa hàng rau có rổ đựng cam chanh (trong rổ đựng loại quả) Số rổ 104 quả, 115 quả, 132quả, 136 148 Sau bán rổ cam, người bán hàng thấy số chanh gấp lần số cam cịn lại Hỏi cửa hàng loại? Gợi ý: - Dựa vào dấu hiệu chia hết tìm rổ cam bán Đưa dạng toán tổng tỉ Tổng số cam chanh cửa hàng là: 104 + 115 + 132 + 136 + 148 = 635 (quả) Theo ra: Số chanh gấp lần số cam lại nên ta coi số cam lại phần số chanh chiếm phần Vậy tổng số chanh số cam lại chiếm: + = ( phần ) Như số chanh cam lại phải số chia hết cho Mà tổng số 635 cam chanh cửa hàng số chia hết cho suy số cam bán phải chia hết Trong số rổ cam chanh cửa hàng có rổ đựng 115 chia hết cho Vậy cửa hàng bán rổ đựng 115 cam Tổng số chanh cam lại là: 635 − 115 = 520 (quả) Số cam lại là: 520 : (4 + 1) = 104 (quả) Số cam cửa hàng có là: 104 + 115 = 219 ( quả) Số chanh cửa hàng có là: 635 − 219 = 416 (quả) Đáp số: Cam: 219 Chanh : 416 Bài toán 14 Lớp 4B xếp hàng hai số hàng không thừa bạn nào, xếp hàng ba hay hàng bốn số hàng không thừa bạn Nếu đếm tổng hàng xếp 39 hàng Hỏi lớp 4B có bạn? Gợi ý: Xét xem số học sinh lớp 4B chia hết cho số nào? 96 Vì số học sinh lớp 4B xếp hàng 2, hàng hàng không thừa bạn nên số học sinh lớp 4B số chia hết cho 2, cho cho Số nhỏ chia hết cho 2, 3, 12 Giả sử lớp học có 12 học sinh Nếu xếp hàng số hàng là: 12 : = (hàng) Nếu xếp hàng số hàng là: 12 : = (hàng) Nếu xếp hàng số hàng là: 12 : = (hàng) Tổng số hàng xếp là: + + = 13 (hàng) 39 hàng gấp 13 hàng số lần là: 39 : 13 = (lần) Vậy số học sinh lớp 4B là: 12 x = 36 (học sinh) Đáp số: 36 học sinh Bài toán 15 An Khang mua 18 gói bánh 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan An đưa cho cô bán hàng tờ tờ 50000 đồng trả lại 72000000 đồng Khang nói: “ Cơ tính sai rồi.” Bạn cho biết Khang nói hay sai? Giải thích sao? Gợi ý: Vì số 18 số 12 chia hết tổng số tiền mua 18 gói bánh 12 gói kẹo phải số chia hết cho Vì An đưa cho cô bán hàng tờ 50000 đồng trả lại 72000 đồng nên số tiền cô bán hàng lấy để tốn cho 18 gói bánh 12 gói kẹo là: 50000 x – 72000 = 128000 (đồng) Vì số 128000 có tổng chữ số không chia hết số 128000 không chia hết cho Vì bạn Khang nói: “ Cơ tính sai rồi.” Bài tốn 16 Nhà máy dệt Bình Minh có số cơng nhân hưởng mức lương 360000đ tháng, số khác hưởng mức lương 495 000đ tháng số 97 lại hưởng mức lương 672 000đ tháng Sau phát lương tháng cho cơng nhân, kế tốn cộng sổ hết tất 273 815 000đ Hỏi kế tốn tính hay sai? Giải thích sao? Gợi ý: Mức tiền lương tháng công nhân số chia hết cho tổng số tiền phát lương hàng tháng nhà máy phải số chia hết cho Mà số tiền lương kế tốn cộng 273 815 000đ - khơng chia hết cho Vậy kế tốn cộng sai Bài tốn 17 Có 10 mẩu que dài: 1cm, cm, cm, cm, , cm, 10 cm Hỏi dùng 10 mẩu que để xếp thành hình tam giác khơng? (khơng làm thay đổi hình dạng que) Gợi ý: Một hình tam giác có cạnh a (là số tự nhiên) chu vi (P) hình phải số chia hết cho P = a x Tổng độ dài 10 mẩu que là: + + + + + + + + + 10 = 55 (cm) Vì 55 không chia hết xếp 10 mẩu que thành hình tam giác Bài toán 18 Cho số tự nhiên A Người ta đổi chỗ chữ số A để số B gấp lần số A Chứng tỏ số B chia hết cho 27 Gợi ý: Theo ta có: B = x A (1) , suy B chia hết cho Nhưng tổng chữ số số A số B (vì người ta đổi chỗ chữ số) nên ta có A chia hết cho (2) Từ (1) (2) suy B chia hết cho B chia hết A chia hết cho (vì tổng chữ số số A số B nhau) (3) Từ (1) (3) suy B chia hết cho 27 Hướng Các tốn có lời văn chia cho số 2, 3, 5, có dư Đây hướng khai khắc sâu từ dấu hiệu chia hết nhằm củng cố dấu hiệu chia hết Không biết số chia hết cho số cho trước hay khơng mà cịn biết số khơng chia hết phép chia cịn dư bao nhiêu? Bài tốn 19 Một bạn cắt tờ giấy làm mảnh, lại lấy mảnh cắt làm lại lấy mảnh cắt làm Bạn làm lúc 98 dừng lại đếm số mảnh giấy có Bạn đếm 2017 mảnh Nếu đếm bạn có lần cắt? Chứng tỏ số mảnh giấy có 2018 Gợi ý: Mỗi lần cắt số mảnh giấy tăng thêm nên số mảnh giấy nhận số chia cho dư (vì lúc đầu có mảnh) Số 2017 chia 672 dư nên bạn đếm bạn cắt 672 lần Số 2018 chia dư nên bạn đếm sai Bài toán 20 Sĩ số lớp 4B thêm bạn chia hết cho 2, thêm bạn chia hết cho thêm bạn chia hết cho Biết lớp khơng có q 50 bạn Hỏi sĩ số lớp B bao nhiêu? Gợi ý: Sĩ số chia cho 2, 3, dư sĩ số 31 Bài toán 21 Lớp C xếp hàng thừa bạn, xếp hàng thừa bạn, xếp hàng thừa bạn Biết sĩ số lớp nhiều 20 khơng q 50 Tính sĩ số lớp C Gợi ý: Để ý số dư số dư lớn chia cho số 2, 3, Do sĩ số thêm bạn sĩ số số chia hết cho số 2, 3, Từ tìm sĩ số với giả thiết thêm bạn ta 30 Do sĩ số lớp 29 Hướng Tìm chữ số tận tích Nhiều tốn tìm chữ số tận liên quan tới dấu hiệu chia hết cho Đặc biệt tích có tận chữ số 0, tốn cịn u cầu cho biết số chữ số Bài toán 22 Cho A = x x x … x 90 (tích số tự nhiên liên tiếp từ đến 90) Hỏi A có tận chữ số Gợi ý: Xét thừa số chia hết cho phân làm nhóm: Nhóm gồm thừa số chia hết cho không chia hết cho 25: gồm 18 số Nhóm gồm thừa số chia hết cho phân tích thành tích hai thừa số là: 25,50, 75 Tích phân tích thành số thừa số là: 18 + = 21 (số) 99 Mỗi thừa số nhân với số chẵn cho ta số có tận chữ số Do tích có thừa số kết hợp với số lượng số chẵn tương ứng cho ta nhiêu chữ số tận tích Vậy A có tận 21 chữ số Bài tốn 23 Tìm chữ số tận tích sau: x x x x … x 2009 x 2011 ( Đề thi Violympic vòng 18) Gợi ý: Ta thấy tích gồm thừa số số lẻ có thừa số nên tích có tận 100 TIỂU KẾT CHƯƠNG Trong chương 3, Chúng nghiên cứu làm sáng tỏ mối liên hệ lí thuyết chia hết với số nội dung mơn tốn Tiểu học như: - Mối liên hệ với dạy học phép chia; - Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết; - Liên hệ với dạy số dạng tập Trên sở kiến thức lí thuyết chia hết đưa ứng dụng dấu hiệu chia hết việc giảng dạy giải tập phép chia Tiểu học 101 KẾT LUẬN Trên tồn khóa luận “Lí thuyết chia hết trong tập số tự nhiên mối liên hệ với số nội dung mơn tốn Tiểu học” Khóa luận trình bày: Hệ thống hóa số kiến thức phép chia Tiểu học; dấu hiệu chia hết Tiểu học; Một số định lí hàm liên quan đến dấu hiệu chia hết Một số dạng toán lí thuyết chia hết tập số tự nhiên Với mục đích nghiên cứu cụ thể để khai thác tốn thuộc chủ đề chia hết, chúng tơi chia toán thuộc chủ đề thành dạng sau: Dạng Giải khai thác số dạng toán dấu hiệu chia hết Dạng Các tốn vận dụng tính chất chia hết tổng hiệu Dạng Tìm chữ số tận Dạng Vận dụng tính chất chia hết chia có dư để giải tốn có lời văn Dạng Dạng tốn tìm thương, số chia, số dư phép chia Euclid Mỗi dạng chúng tơi đưa ví dụ cụ thể, hướng dẫn tìm lời giải, giải khai thác tốn cách như: thiết kế toán tương tự, tìm lời giải khác, đưa tốn khái qt số tập tham khảo Mối liên hệ với toán Tiểu học - Liên hệ lí thuyết chia hết với việc dạy học phép chia Tiểu học - Liên hệ lí thuyết chia hết với việc dạy học dấu hiệu chia hết - Liên hệ lí thuyết chia hết với việc dạy học số dạng tập 102 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Áng – Dương Quốc Ấn – Hoàng Thị Phước Hảo (2010), bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 4, nhà xuất Giáo dục [2] Nguyễn Áng – Đỗ Trung Hiệu (2010), 123 toán số chữ số lớp 4, 5, nhà xuất Giáo dục [7] Hà Sĩ Hồ – Đỗ Đình Hoan – Đỗ Trung Hiệu (1999), Phương pháp dạy học toán – tập 1, nhà xuất Giáo dục [8] Đỗ Trung Hiệu – Nguyễn Hùng Quang – Kiều Đức Thành (2006), Phương pháp dạy học toán – tập 2, nhà xuất Giáo dục [9] Trần Diên Hiển (2012), 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 4, – tập 1, nhà xuất Giáo dục [10] Trần Diên Hiển, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Tiểu học, nhà xuất đại học Sư phạm [11] Trần Diên Hiển (chủ biên) – Nguyễn Thủy Chung (2018), sở tốn học mơn tốn Tiểu học, nhà xuất Đại học Sư phạm [12] Nguyễn Hữu Hoan (2010), Lí thuyết số, nhà xuất Đại học Sư phạm [13] Nguyễn Tiến Quang (2009), Bài tập số học, nhà xuất Giáo dục [14] Nguyễn Tiến Tài (2007), Số học, nhà xuất Giáo dục [15] Lại Đức Thịnh (1997), Giáo trình số học, nhà xuất Giáo dục [16] Dương Thế Việt ( chủ biên) – Đàm Văn Nhỉ, Cơ sở lí thuyết số đa thức, nhà xuất Đại học Sư phạm ... CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN CHƯƠNG KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN CHƯƠNG MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ MỘI DUNG MƠN TỐN Ở TIỂU HỌC 5 PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG LÍ... 24 Một số tự nhiên chia hết cho 24 số chia hết cho - Điều kiện chia hết cho 36 Một số tự nhiên chia hết cho 36 số chia hết cho - Điều kiện chia hết cho 45 Một số tự nhiên chia hết cho 45 số chia. .. vấn đề lí thuyết, tập mối liên hệ với số nội dung mơn Tốn Tiểu học 2 Ý nghĩa thực tiễn Trên sở phân tích làm rõ mối liên hệ sở tốn học lí thuyết chia hết với số nội dung mơn Tốn Tiểu học, khóa