CHƯƠNG 1 LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN
2.4. Vận dụng tính chất chia hết và chia có dư để giải bài tốn có lời văn
văn.
Ví dụ 2.4.1. Số học sinh của một trường tiểu học là một số có tính chất khi chia cho 3, cho 4 hoặc cho 5 đều có số dư là 1, và số học sinh vào khoảng từ 450 đến
500.Bạn hãy tính số học sinh của trường đó. Hướng dẫn tìm lời giải: Ta gọi số học sinh của trường đó là x.
Theo đề bài, suy ra x – 1 chia hết cho 3, 4 và 5. Do đó, ta có thể biểu diễn x – 1
ở dạng x – 1 = 3 × 4 × 5 × k, với k ∈ N; hay x = 60k + 1.
Do số học sinh vào khoảng từ 450 đến 500, nên ta có 450 ≤ x ≤ 500 hay 449 ≤ 60k ≤ 499 (*)
Thử chọn với k ∈ N, ta có k = 8 thỏa mãn (*). Thay giá trị k = 8
vào x = 60k + 1 ta được x = 481. Vậy số học sinh của trường đó là 481. Khai thác bài tốn:
(1) Tìm lời giải khác.
Giả sử số học sinh của trường đó là x. Thì x là số có 3 chữ số, x = .
Theo đề bài, chúng ta chỉ xét với a = 4 hoặc a = 5. Khi a = 4 thì 5 ≤ b ≤ 9, hoặc khi a = 5 thì b = 0 (*). Theo giả thiết, suy ra x – 1 =− 1 chia hết cho 3, 4 và 5.
Với − 1 ⋮ 5 thì c = 1 hoặc c = 6.
Trường hợp c = 6. Khi đó phải có − 1 = 5 ⋮ 4, suy ra 5 ⋮ 2. Điều này khơng xảy ra vì 5 có chữ số đơn vị là 5, nó là một số lẻ. Vậy c ≠ 6 do đó
c = 1.
Với c = 1, thì − 1 = 0; có 0 ⋮ 4 và 0 ⋮ 3.
0 ⋮ 4 thì b = 0; 2; 4; 6; 8. Kết hợp với điều kiện (*), nên chúng ta
chỉ xét với b = 0; 6 hoặc 8.
b = 0, khi đó 00 ⋮ 3 nên a = 3; 6 hoặc 9. Các giá trị này của a không thuộc các trường hợp mà chúng ta xét, vậy b ≠ 0.
b = 6, khi đó 60 ⋮ 3 nên a = 3; 6 hoặc 9. Tương tự trên, b ≠ 6. Vậy phải có b = 8. Lúc này 80 ⋮ 3 nên có a = 1; 4 hoặc 7; mà theo trên, ta chỉ nhận a = 4. Như vậy số cần tìm x = = 481, nghĩa là số học sinh của trường đó là 481.
(2) Bài toán tương tự.
Bài toán 1. Số học sinh của một trường tiểu học là một số có tính chất khi chia cho 3, cho 4 hoặc cho 5 đều có số dư là 1, và số học sinh vào khoảng từ 600 đến 650. Bạn hãy tính số học sinh của trường đó.
Bài tốn 2. Số học sinh của một trường tiểu học là một số có tính chất khi chia cho 5, cho 6 hoặc cho 7 đều có số dư là 1, và số học sinh
Nhận xét:
Qua cách giải bài toán trên, chúng ta thấy rằng:
1. Phương pháp chủ yếu để giải chúng là vận dụng tiêu chuẩn chia hết cho các số.
2. Với bài tốn liên quan đến chia có dư, chúng ta cần tìm cách thích hợp chuyển về chia hết để sử dụng tiêu chuẩn chia hết.
3. Phương pháp vận dụng tiêu chuẩn chia hết để giải các bài toán ở dạng trên chỉ là một trong nhiều cách giải.
Ví dụ 2.4.2. Một số tự nhiên chia hết cho 4 và 9. Tìm số đó, biết thương khi chia cho 4 lớn hơn thương khi chia cho 9 là 340.
Phân tích: Bài tốn cho biết hiệu của hai thương là 340. Mặt khác, số đó chia hết cho 4 và 9 nên suy ra được tỉ số giữa hai thương. Khi đó, bài tốn đưa về dạng quen thuộc “ Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”.
Lời giải: Gọi thương của phép chia số phải tìm cho 4 là thương thứ nhất, thương của phép chia số phải tìm cho 9 là thương thứ hai. Vì số phải tìm chia hết cho 4 và 9 nên thương thứ nhất bằng
thương thứ hai và hiệu hai thương đó bằng 340. Do đó, nếu coi thương thứ nhất là 9 phần bằng nhau thì thì thương thứ hai là 4 phần như thế. Thương thứ nhất là
340:(9−4)×9=612 Số cần tìm là 612×4=2448
Đáp số: 2 448
Khai thác bài tốn (1) Bài toán tương tự.
Bài toán 1. Một số tự nhiên chia hết cho 5 và 9. Tìm số đó, biết thương khi chia cho 5 lớn hơn thương khi chia cho 9 là 520.
Bài toán 2. Một số tự nhiên chia hết cho 2 và 9. Tìm số đó, biết thương khi chia cho 2 lớn hơn thương khi chia cho 9 là 620.
Bài toán 3. Một số tự nhiên chia hết cho 6 và 9. Tìm số đó, biết thương khi chia cho 6 lớn hơn thương khi chia cho 9 là 340.
Bài tập tham khảo
Bài 1. Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh ( trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104, 115, 132, 136 và 148 quả. Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi lúc ban đầu cửa hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại?
Bài 2. Ba xe lam xuất phát từ lúc 7 giờ ở cùng một bến xe chở khách đi ba nơi khác nhau. Xe thứ nhất quay về sau 25 phút, nghỉ lại 5 phút rồi tiếp tục đi. Xe thứ hai quay về sau 35 phút, nghỉ lại 10 phút rồi tiếp tục đi. Xe thứ ba quay về sau 45 phút, nghỉ lại 15 phút rồi tiếp tục đi. Hỏi trong buổi sáng cùng ngày vào lúc mấy giờ ba xe lại cùng xuất phát cùng một lúc ở bến xe?
Bài 3. Hoàng mua 6 quyển vở, Hùng mua 3 quyển vở. Hai bạn góp số vở của mình với số vở của bạn Sơn rồi chia đều cho nhau. Sơn tính rằng mình phải trả các bạn đúng 800 đồng. Tính giá tiền một quyển vở, biết rằng cả ba bạn cùng mua một loại vở.
Bài 4. Lớp 4A có ít hơn 35 học sinh và nhiều hơn 20 học sinh. Nếu học sinh lớp 4A xếp thành 3 hàng hoặc 5 hàng thì khơng thừa, khơng thiếu bạn nào. Tìm số học sinh của lớp 4A.
Bài 5. Một cửa hàng thực phẩm có 7 rổ đựng trứng gà và trứng vịt ( mỗi rổ chỉ đựng một loại trứng). Số trứng trong mỗi rổ lần lượt là: 47, 54, 60, 66, 75, 85, 92 quả. Sau khi bán hết 6 rổ, chỉ còn lại một rổ trứng gà, người bán hàng thấy rằng trong số trứng đã bán: Số trứng vịt gấp 3 lần số trứng gà. Hỏi lúc đầu cửa hàng có bao nhiêu số trứng mỗi loại?
Bài 6. Một của hàng có 6 thùng bột giặt lần lượt là: 15 kg, 16 kg, 18 kg, 19 kg, 20 kg và 31 kg. Cửa hàng bán một ngày hết 5 thùng. Tính ra khối lượng bột giặt bán buổi sáng gấp đơi buổi chiều. Hỏi cửa hàng cịn thùng bột giặt loại nào? Bài 7. Một người hỏi anh chàng chăn cừu: “Anh có bao nhiêu con cừu”. Anh chăn cừu trả lời: “ Số cừu của tôi nhiều hơn 4 000 con nhưng không quá 5 000
con. Nếu chia số cừu cho 9 thì dư 3, chia cho 6 cũng dư 3, cịn chia cho 25 thì dư 19”. Hỏi anh đó có bao nhiêu con cừu?
Bài 8. Tổng số học sinh khối 1 của một trường Tiểu học là số có ba chữ số có chữ số hàng trăm bằng 3. Nếu các em xếp hàng 10 hoặc hàng 12 đều dư 8, mà xếp hàng 8 thì khơng dư. Tính số học sinh khối 1 của trường đó.
2.5. Dạng tốn về tìm thương, số chia, số dư trong phép chia euclid. Ví dụ 2.5.1. Khi chia 100 cho một số tự nhiên, ta tìm được số dư bằng 16. Tìm số chia và thương gần đúng trong phép chia đó.
Phân tích: Khi chia 100 cho một số tự nhiên thì ta được số dư là 16. Do đó, Số chia phải lớn hơn 16. Ta có 100 = × + 16. Từ đó rút a ta tìm được điều kiện của b.
Lời giải:
Gọi số chia là a, thương là b. a, b ≠ 0, a > 16. Ta có 100= × +16 × =84 Suy ra = Vì a ≥ 16 nên > 16 84 > 16b b < 5,25 Nếu b = 5 (Loại) b = 4, a = 21 b = 3, a = 28 b = 2, a = 42 b = 1, a = 84.
Vậy số chia và thương gần đúng trong phép chia 100 cho một số tự nhiên được số dư bằng 16 là: a = 21, b = 4; a = 28, b = 3; a = 42, b = 2; a = 84, b = 1.
Khai thác bài toán (1) Bài toán tương tự:
Bài toán 1: Khi chia 120 cho một số tự nhiên, ta được số dư bằng 20. Tìm số chia và thương gần đúng trong phép chia đó.
Bài tốn 2: Khi chia 140 cho một số tự nhiên, ta được số dư bằng 16. Tìm số chia và thương gần đúng của phép chia đó.
Bài tốn 3: Khi chia 170 cho một số tự nhiên, ta được số dư bằng 18. Tìm số chia và thương gần đúng của phép chia đó.
(2) Bài tốn khái qt:
Khi chia n cho x, ta được số dư r. Tìm số chia x và thương q. n = × +
= n −
Ví dụ 2.5.2. Khi chia một số tự nhiên cho 38, ta được thương gần đúng bằng
15. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của số bị chia và số dư trong phép chia đó.
Hướng dẫn tìm lời giải:
Phân tích: Số dư của một số luôn nhỏ hơn số chia (38), gọi số dư là r. Ta có: số bị chia = 38 × 15 + r. Giá trị nhỏ nhất của số bị chia tồn tại khi r nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất của số bị chia tồn tại khi r lớn nhất.
Lời giải:
Số dư của một số luôn nhỏ hơn số chia (38), gọi số dư là r, số bị chia là n. Ta có: n : 38 = 15 dư r (0 ≤ ≤ 37)
Suy ra n = 38 × 15 + r Suy ra r = n – 570
Ta có 0 ≤ ≤ 37 nên n – 570 ≤ 37. Suy ra 570 ≤ n ≤ 602.
Vậy n nhỏ nhất khi r nhỏ nhất và n lớn nhất khi r lớn nhất. Khai thác bài toán
Bài toán 1. Khi chia một số tự nhiên cho 38, ta được thương gần đúng bằng
5. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của số bị chia và số dư trong phép chia đó.
Bài tốn 2. Khi chia một số tự nhiên cho 38, ta được thương gần đúng bằng
17. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của số bị chia và số dư trong phép chia đó.
Bài tốn 3. Khi chia một số tự nhiên cho 45, ta được thương gần đúng bằng
19. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của số bị chia và số dư trong phép chia đó.
(2) Bài tốn khát quát:
Khi chia một số tự nhiên cho b, ta được thương gần đúng bằng q. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của số bị chia và số dư trong phép chia. Nhận xét: n = bq + r (b là số chia; b, q đã biết)
r = n – bq
n, r biến thiên cùng nhau
+ Nếu n tăng thì r tăng
+ Nếu n giảm thì r giảm
TIỂU KẾT CHƯƠNG 2
Trong chương 2, tơi đã nêu ra một số dạng tốn về lí thuyết chia hết trong tập số tự nhiên. Mỗi dạng, tôi đã làm rõ bằng các ví dụ, hướng dẫn tìm lời giải và lời giải cụ thể. Đồng thời để làm rõ hơn về dạng tốn, tơi đã khai thác dạng tốn bằng cách tìm lời giải khác cho bài toán; đưa ra bài toán tương tự như thay số liệu, thay đổi văn cảnh và đưa ra bài tốn khái qt. Bên cạnh đó, tơi cũng đưa ra các bài tập tham khảo cho từng dạng.
CHƯƠNG 3. MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG MƠN TỐN ỞTIỂU HỌC TIỂU HỌC
Hiện nay, ở Tiểu học đang áp dụng hai chương trình giáo dục đó là: Chương trình Giáo dục hiện hành và chương trình Giáo dục phổ thơng mới ( chương trình giáo dục phổ thơng 2018). Chương trình Giáo dục hiện hành vẫn được áp dụng ở các lớp 2, 3, 4, 5 năm học 2020-2021 và áp dụng cho các lớp 3, 4, 5 vào năm 2021. Chương trình Giáo dục phổ thơng mới đã vận hành vào năm 2020 cho lớp 1, năm 2021 áp dụng cho các lớp 1, 2, 6. Theo chương trình giáo dục hiện hành thì nội dung kiến thức về dấu hiệu chia hết được giảng dạy ở chương trình tốn lớp 4. Tuy nhiên, ở chương trình giáo dục phổ thơng mới thì nội dung về dấu hiệu chia hết khơng cịn được đưa vào chương trình giảng dạy ở Tiểu học mà được đưa vào giảng dạy ở cấp Trung học cơ sở và cụ thể là ở lớp 6. Khi tôi nghiên cứu về đề tài này, tôi lựa chọn nghiên cứu theo nội dung chương trình giáo dục hiện hành để có thể làm rõ, phân tích, chứng minh mối liên hệ giữa lí thuyết chia hết với việc dạy học và giải các dạng toán liên quan đến dấu hiệu chia hết ở bậc Tiểu học.
3.1. Liên hệ với dạy học về phép chia.3.1.1. Phân tích cơ sở tốn học. 3.1.1. Phân tích cơ sở tốn học.
a) Hình thành phép chia.
Trong tập số tự nhiên, với hai số tự nhiên bất kì a và b (b≠ 0, a ≥ b); ta ln tìm được hai số tự nhiên q và r sao cho a = bq + r(0 ≤ r ≤ b). Ta nói: a chia cho b được q, dư r. Trong tập số tự nhiên, phép chia còn dư bao giờ cũng thực hiện được và cặp số q, r tìm được là duy nhất.
Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia còn dư (khi số dư bằng 0). Khi r = 0, Ta có a = b × q. Khi đó ta nói rằng a chia hết cho b và ta có phép chia a : b = q. Trong đó, a gọi là số bị chia, b là số chia, q là thương. Trong trường hợp này, ta nói a chia hết cho b. Ở Tiểu học, để hình thành khái niệm ban đầu về phép chia có thể bắt đầu từ một phép nhân. Chẳng hạn, Từ 2 × 5 = 10 có thể hình thành được hai phép chia: 10 : 2 = 5 và 10 : 5 = 2.
Phép chia dạy cho học sinh tuân thủ trình tự từ chia hết đến chia có dư. Ngay cả khi chia một số có hai chữ số cho số có một chữ số cũng vậy. Đầu tiên là cả hai chữ số cùng chia hết ví dụ: 69 : 3; Tiếp theo là có chữ số khơng chia hết ví dụ 72 : 3; Cuối cùng là chia có dư ví dụ: 78: 3. Tuy nhiên, sang số có ba chữ số trình tự các bước lại khác. Khi đó chúng ta khơng cần bước cả ba chữ số đều chia hết vì đã làm với chia số có hai chữ số cho số có một chữ số, mà chỉ cịn hai bước: chia hết ví dụ 144 : 3 và chia có dư ví dụ 236 : 3.
Để giúp học sinh Tiểu học hiểu hơn ý nghĩa của phép chia, có thể mơ tả bằng việc “chia đều” và “ chia theo nhóm” trong thực tế.
Ví dụ: “ Bà có 6 cái kẹo chia đều cho 3 cháu. Hỏi mỗi cháu được mấy cái kẹo?” và “Bà có 6 cái kẹo, chia đều mỗi cháu 2 cái kẹo. Hỏi có mấy cháu được bà chia kẹo?”
b) Kĩ thuật tính chia.
Để xây dựng kĩ thuật chia số có hai chữ số cho số có một chữ số ta có thể dựa vào quy tắc một tổng chia cho một số như sau: Ví dụ: 78 : 3 = ? Ta có: 78:3=(70+8):3 = (60+10+8):3 = 60∶3+18∶3 = 20+6 = 26.
Do sự tích dần số dư trong phép chia bộ phận nên cần bắt đầu chia từ hàng cao đến hàng thấp. Chú ý hướng dẫn học sinh khi thực hiện phép tính trên, lấy 7 chia cho 3 thì được hiểu là lấy 7 chục chia cho 3 chục. Khi bộ phận nào đó khơng thực hiện được (số bị chia nhỏ hơn số chia) phải biểu thị hàng đó bằng chữ số 0 ở thương. Chẳng hạn: 1824 : 6 = 304.
Trên đây là cơ sở của việc xây dựng nội dung dạy học thực hiện kĩ thuật chia.
) Nội dung dạy phép toán chia.
Ở Tiểu học ngay từ lớp 2, học sinh đã được học bảng nhân, bảng chia. Trước tiên, HS được học giới thiệu về phép nhân và được học các bảng nhân 2, 3, 4, 5.