CHƯƠNG 1 LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN
1.3. Số nguyên tố và định lí cơ bản của số học
1.3.2. Định lí cơ bản của số học
“Mọi số tự nhiên a > 1 đều phân tích được thành tích những thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất nếu khơng kể đến thứ tự của các thừa số”[12].
Chứng minh a) Sự phân tích được.
Giả sử ∈ N, a > 1. Khi đó bổ đề (a) a có ít nhất một ước ngun tố p1 nào đó và ta có a = p1. a1, a1 ∈ N
Nếu a1 = 1 thì a = p1 là cách phân tích tầm thường của a
a1 = p2 . a2, a2 ∈ N nên a = p1.p2.a2
Nếu a2 = 1 thì a = p1.p2 là tích phân của a
Nếu a2 > 1 lại tiếp tục lý luận như trên, có số ngun tố p3,…
Q trình này phải kết thúc, nghĩa là ắt có n sao cho an = 1, an-1 = pn là một số nguyên tố, bởi vì ta có a, a1, a2,…là một dãy những số tự nhiên mà a > a1 > a2 >…Như vậy, ta được a = p1.p2…pn là sự phân tích của a thành tích những thừa số nguyên tố.
b) Sự duy nhất.
Ta giả sử tồn tại số nguyên lớn hơn 1 mà có 2 cách biểu diễn dưới dạng tích các thừa số nguyên tố. Khi đó giả sử a là số nhỏ nhất trong các số như vậy, tức là a = p1.p2…pm = q1.q2…qn với pi, qj là các số nguyên tố. Do p1 chia hết q1.q2…qn suy ra tồn tại qj mà p1 chia hết qj. Từ đó ta có pi = qj, bỏ 2 số nguyên tố ra khỏi đẳng thức ta được 2 vế là 2 triển khai khác nhau của số a chia cho p1, mà theo giả thiết a là số nhỏ nhất. Như vậy, mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết là sai. Vậy mỗi số nguyên tố lớn hơn 1 chỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng tích thừa số ngun tố (khơng kể đến thứ tự các thừa số).