CHƯƠNG 1 LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN
1.4. Quan hệ đồng dư
1.4.3. Ứng dụng quan hệ đồng dư trong bài tốn tìm số dư
Cơ sở lý luận
Cho a, m ∈ Z, m > 0. Giả sử a = mq + r(*), 0 ≤ r < m. Theo điều kiện tương đương của đồng dư thức ta có (*) tương đương với a ≡ r(mod m). Do đó bài tốn tìm số dư trong phép chia cho m chuyển về bài tốn tìm số r, 0 ≤ r < m
thỏa mãn a ≡ r(mod m).
1.4.3.1. Sử dụng tính chất của đồng dư thức. Ví dụ 1. Tìm số dư trong phép chia 2945 − 3 cho 9
Giải
Ta có 2945 ≡ 2(mod 9) suy ra 2945 − 3 ≡ 2 − 3 (mod 9).
Mà 2 − 3 ≡ 2(mod 9). Vậy số dư trong phép chia 2945 − 3 cho 9 là 2. Ví dụ 2. Tìm số dư trong phép chia A = 776 + 777 + 778 cho 3 và
cho 5.
Giải Ta có
776 ≡ −1(mod 3) nên 776 ≡ 1(mod 3) 777 ≡ 0(mod 3) nên 777 ≡ 0(mod 3) 778 ≡ 1(mod 3) nên 778 ≡ 1(mod 3)
Vì 776 ≡ 1(mod 5) => 776 ≡1(mod 5) ≡ −3(mod 5) => 777 ≡ −3 (mod 5) ≡ 3(mod 5) => 778778 ≡ 3 (mod 5) Suy ra 776 + 777 + 778 ≡1−3 + 3 (mod 5) 776 + 777 + 778 ≡ 1 + 3.3777 −3 (mod 5) 776 + 777 + 778 ≡ 1 + 2.3777(mod 5). Mà32≡ −1(mod5) suy ra (32)338.3 ≡ 3(mod 5). Suy ra A = 776 + 777 + 778778 ≡ 2(mod 5).
1.4.3.2. Sử dụng các định lí Euler và định lí Fermat. Ví dụ 1. Tìm số dư trong phép chia 32005 cho 100.
3 ( )≡ 1(mod 100) Do đó 340 ≡ 1(mod 100).
Mà 100 = 22.52. Do đó (100) = 40
Suy ra 3 = 3 . ≡ 3 (mod 100) ≡ 43(mod 100). Vậy 3 chia cho 100 dư 43.
Ví dụ 2. Tìm số dư trong phép chia 109345 cho 14. Giải
Ta có 109 ≡ − 3(mod 14) nên 109345 ≡ −3 (mod 14)
Ta lại có (3,14) = 1, (14) = 6. Theo định lý Euler ta có (−3) ≡ 1(mod 14)
Mà (−3) 345= (−3) . . (−3) suy ra (−3) 345 ≡ (−3) (mod 14) ≡ 1(mod 14).
Vậy số dư trong phép chia 109345 cho 14 là 1. Ví dụ 3. Tìm dư trong phép chia 19971997 cho 13.
Giải
Ta có 1997 ≡ 8(mod 13) => 19971997 ≡ 81997(mod 13)
Theo định lý Fermat ta có 812 ≡ 1(mod 13) và 1997 = 12.166 + 5 Suy ra 81997 = 8. ≡ 85(mod 13) ≡ 8(mod 13)
Vậy dư trong phép chia 19971997 cho 13 là 8.