CHƯƠNG 3 MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG MƠN TỐN Ở TIỂU HỌC
3.3. Liên hệ với dạy học một số dạng bài tập
Ta thấy "Các dấu hiệu chia hết" và "Phép chia có dư" trong chương trình mơn Tốn lớp 4 là phần rất quan trọng, khơng thể thiếu nó vì nó là cơ sở để giải một số dạng toán ở Tiểu học. Dựa vào kiến thức đã học về dấu hiệu chia hết, các
em có thể vận dụng để tính, điền và tìm ra kết quả của bài tốn một cách nhanh nhất. Dưới đây là một số hướng giải các bài toán Tiểu học dựa vào dấu hiệu chia hết.
Hướng 1. Xét dấu hiệu chia hết của một tổng hoặc hiệu các số Các tính chất thường sử dụng:
- Nếu mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia hết cho 2.
- Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2.
- Nếu một số hạng của tổng chia cho 2 dư n và các số hạng cịn lại đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia cho 2 dư n.
- Hiệu của 2 số là một số chia hết cho 2 và một số chia cho 2 dư n thì số cịn lại cũng chia cho 2 dư n.
- Trong một tổng, nếu tổng số dư của các phép chia khi chia từng số hạng của tổng cho một số mà chia hết cho số đó thì tổng của chúng cũng chia hết cho số đó.
-Trong một hiệu, nếu số bị trừ và số trừ khi chia cho một số có cùng số dư thì hiệu của chúng sẽ chia hết cho số đó.
Cũng có tính chất tương tự đối với trường hợp chia hết cho 3, 4, 5, 9...... Bài tốn 1. Khơng làm phép tính, hãy xét xem các tổng và hiệu dưới đây có
chia hết cho 3 hay khơng?
a. 240 + 123 240 − 123
b. 2454 + 374 + 135 2454 − 374 - 135 Gợi ý: Ta nhận xét:
a. 240 và 123 đều chia hết cho 3 nên:
(240 + 123) chia hết cho 3 (240 − 123) chia hết cho 3
b. 2454 và 135 chia hết cho 3 cịn 374 khơng chia hết cho 3 nên: 2454 + 374 + 135 không chia hết cho 3;
2454 − 374 − 135 không chia hết cho 3
Gợi ý: n + 6 = n + 1 + 5 nên n + 6 chia hết cho n + 1 khi và chỉ khi 5 chia hết cho n + 1. Nhưng 5 chỉ chia hết cho 5 và 1 nên n + 1 = 1 hoặc n + 1 = 5. Từ đó n = 0 hoặc n = 4.
Hướng 2. Xác định số đồng thời chia hết cho 2 số hoặc 3 số.
Số đồng thời chia hết cho 2 và 5 thì sẽ chia hết cho 10. Từ dấu hiệu chia hết cho 2 và cho 5 ta có dấu hiệu chia hết cho 10, đó là số có chữ số tận cùng bằng 0.
Số đồng thời chia hết cho 3 và 2 thì sẽ chia hết cho 6 nên số chia hết cho 6 có chữ số tận cùng chẵn và tổng các chữ số chia hết cho 3. Tương tự như thế với số chia hết cho 15, 18, 45.
Bài toán 3. Viết thêm sau số 1 hai chữ số sao cho được một số có 3 chữ số và số này chia hết cho 6.
Giáo viên hướng dẫn nên xác định chữ số tận cùng trước và từ đó suy ra chữ số hàng chục.
Bài tốn 4. Khơng thực hiện phép chia hãy cho biết các số sau đây: 2015, 1975, 55555 có chia hết cho 15 khơng? Tại sao?
Bài tốn 5. Viết thêm vào số 2017 hai chữ số tận cùng để được số mới (gồm 6 chữ số) chia hết cho 45.
Gợi ý: Số mới chia hết cho 45 nên phải chia hết cho 5, vậy chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5. Nếu chữ số hàng đơn vị là 0 thì tổng của 5 chữ số đã biết của số mới là 2 + 0 + 1 + 7 + 0 = 10. Do đó chữ số hàng chục cịn lại cộng với 10 phải chia hết cho 9 nên đó là 8. Ta được số 201780 thoả mãn. Tương tự khi chữ số hàng đơn vị là 5 thì tổng 5 chữ số đã biết của số mới là 2 + 0 + 1 + 7 + 5 = 15. Do đó chữ số hàng chục chỉ có thể là 3, ta có thêm số thoả mãn là 201735.
Bài tốn 6. Viết thêm vào số 1996 hai chữ số tận cùng để được một số chia hết cho các số 2, 5, 9.
Gợi ý: Số chia hết cho 2 và 5 thì có chữ số tận cùng là 0. Xét tổng các chữ số chia hết cho 9 để suy ra chữ số hàng chục là 2.
Bài toán 7. Viết thêm số 459 vào giữa hai chữ số thì được một số (gồm 5 chữ số) mà khi chia cho 2, 5, 9 đều dư 1. Tìm số có 5 chữ số đó.
Gợi ý: Số đó có chữ số tận cùng là 1. Xét tổng các chữ số chia cho 9 dư 1 để tìm ra chữ số cịn lại là 9.
Bài tốn 8. Có thể thay các chữ khác nhau trong biểu thức trên bởi các chữ số khác nhau để được đẳng thức :
CAM + QUYT + NHO = 1989 + 1990 + 1991 là đẳng thức đúng khơng?
Gợi ý: Vế trái có 10 chữ cái khác nhau phải thay bởi 10 chữ số khác nhau mà tổng của 10 chữ số này là 45 chia hết cho 9. Mặt khác tổng các số vế phải không chia hết cho 9 nên đẳng thức trên không thể là đẳng thức đúng.
Hướng 3. Các bài tốn tính nhanh các tổng hoặc rút gọn phân số. Bài toán 9. Thực hiện các phép tính sau bằng cách nhanh nhất. a) 1996 + 3992 + 5988 + 7984
b) 16×3×4×50×25×125
c)(45× 46 × 47 × 49) × (50 × 51 − 49 × 48) × (45 × 128 − 90 × 64) × (1995 × 1996 × 1997 × 1998).
Gợi ý: Dựa vào dấu hiệu chia hết phân tích các số hạng, các thừa số thành tích có thừa số giống nhau, sau đó vận dụng tính chất của các phép tốn để tìm nhanh kết quả của dãy tính.
a) 1996 + 3992 + 5988 + 7984 = 1 x 1996 + 2 x 1996 + 3 x 1996 + 4 x 1996 = (1 + 2 + 3 + 4) x 1996 = 10 x 1996 = 19960 b) 16 x 3 x 4 x 50 x 25 x 125 = 2 x 8 x 3 x 4 x 50 x 25 x 125 = 3 x (2 x 50) x (4 x 25) x (8 x 125) = 3 x 100 x 100 x 1000 = 30 000 000 c)45 x 128 − 90 x 64 = 45 x (2 x 64) − 90 x 64
= 45 x 2 x 64 − 90 x 64
= 90 x 64 − 90 x 64 = 0
Trong 1 tích có 1 thừa số bằng 0. Vậy tích đó bằng 0, tức là:
(45 x 46 + 47 x 48) x (50 x 51 - 49 x 48) x (45 x 128 − 90 x 64) x (1995 x 1996 + 1997 x 1998) = 0. Bài toán 10: Rút gọn. a) ×××× × × × × b) × × × × × × × × × × ×
Gợi ý: Dựa vào dấu hiệu chia hết phân tích các thừa số ở tử số và mẫu số thành tích các số mà các số đó giống nhau ở tử số và mẫu số.
a) ×××× = ×××××××× = 7 ×××× ××××××× b) × × × × × × ×× ×× × = 18×7×2×7×6×2×4×37×37×9×3×5 2×21×9×37×8×18×6 = × × = 1295.
Hướng 4. Các bài tốn có lời văn đưa về bài tốn xét dấu hiệu chia hết. Đây là hướng gắn kiến thức toán với thực tế, tránh để học sinh chỉ biết xét
dấu hiệu chia hết của các con số mà thôi.
Bài tốn 11. Lớp 4A có hơn 30 học sinh nhưng sĩ số khơng q 40 mà xếp hàng đơi vào lớp thì hai hàng bằng nhau và chia làm 3 tổ thì có số học sinh bằng nhau.
Gợi ý: Số kẹo chia hết cho 6 và sĩ số là 36.
Bài toán 12. Mẹ mua kẹo về chia cho 2 anh em mỗi người được chia số kẹo như nhau thì vừa hết. Nhưng có 1 bạn đến chơi nên mẹ chia đều số kẹo cho hai anh em và cả bạn đến chơi cũng vừa khéo. Biết rằng mẹ mua không quá 15 chiếc và khơng ít hơn 10 chiếc. Hỏi mẹ mua bao nhiêu chiếc kẹo? Gợi ý: Số kẹo chia hết cho 6 và số kẹo là 12.
Bài toán 13. Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104 quả, 115 quả, 132quả, 136 quả và 148 quả. Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy rằng số chanh gấp 4 lần số cam cịn lại. Hỏi cửa hàng đó cịn bao nhiêu quả mỗi loại?
Gợi ý: - Dựa vào dấu hiệu chia hết tìm rổ cam đã bán. Đưa về dạng toán tổng tỉ.
Tổng số cam và chanh của cửa hàng là:
104 + 115 + 132 + 136 + 148 = 635 (quả)
Theo bài ra: Số chanh gấp 4 lần số cam còn lại nên nếu ta coi số cam cịn lại là một phần bằng nhau thì số chanh chiếm 4 phần như thế. Vậy tổng số chanh và số cam còn lại chiếm:
1 + 4 = 5 ( phần )
Như vậy số quả chanh và cam còn lại phải là một số chia hết cho 5. Mà tổng số 635 quả cam và chanh của cửa hàng là số chia hết cho 5 suy ra số cam đã bán phải chia hết 5. Trong số 5 rổ cam và chanh của cửa hàng chỉ có rổ đựng 115 quả là chia hết cho 5. Vậy cửa hàng đã bán rổ đựng 115 quả cam. Tổng số quả chanh và cam còn lại là: 635 − 115 = 520 (quả)
Số cam còn lại là: 520 : (4 + 1) = 104 (quả) Số cam của cửa hàng có là: 104 + 115 = 219 ( quả)
Số chanh của cửa hàng có là: 635 − 219 = 416 (quả)
Đáp số: Cam: 219 quả Chanh : 416 quả
Bài toán 14. Lớp 4B xếp hàng hai được một số hàng không thừa bạn nào, xếp hàng ba hay hàng bốn đều được một số hàng không thừa bạn nào. Nếu đếm tổng các hàng xếp được đó thì được 39 hàng. Hỏi lớp 4B có bao nhiêu bạn? Gợi ý: Xét xem số học sinh của lớp 4B chia hết cho những số nào?
Vì số học sinh lớp 4B khi xếp hàng 2, hàng 3 hoặc hàng 4 đều không thừa bạn nào nên số học sinh của lớp 4B là một số chia hết cho 2, cho 3 và cho 4. Số nhỏ nhất chia hết cho 2, 3, 4 đó là 12. Giả sử lớp học đó có 12 học sinh. Nếu xếp hàng 2 thì được số hàng là:
12 : 2 = 6 (hàng) Nếu xếp hàng 3 thì được số hàng là: 12 : 3 = 4 (hàng) Nếu xếp hàng 4 thì được số hàng là: 12 : 4 = 3 (hàng) Tổng số hàng xếp được là: 6 + 4 + 3 = 13 (hàng) 39 hàng gấp 13 hàng số lần là: 39 : 13 = 3 (lần)
Vậy số học sinh của lớp 4B là: 12 x 3 = 36 (học sinh)
Đáp số: 36 học sinh
Bài toán 15. An và Khang đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan. An đưa cho cô bán hàng 4 tờ mỗi tờ 50000 đồng và được trả lại 72000000 đồng. Khang nói: “ Cơ tính sai rồi.” Bạn hãy cho biết Khang nói đúng hay sai? Giải thích tại sao?
Gợi ý: Vì số 18 và số 12 đều chia hết cho 3 nên tổng số tiền mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo phải là số chia hết cho 3. Vì An đưa cho cô bán hàng 4 tờ 50000 đồng và được trả lại 72000 đồng nên số tiền cô bán hàng đã lấy để thanh tốn cho 18 gói bánh và 12 gói kẹo là: 50000 x 4 – 72000 = 128000 (đồng)
Vì số 128000 có tổng các chữ số không chia hết cho 3 nên số 128000 khơng chia hết cho 3
Vì vậy bạn Khang nói: “ Cơ tính sai rồi.” là đúng.
Bài tốn 16. Nhà máy dệt Bình Minh có một số cơng nhân hưởng mức lương 360000đ một tháng, một số khác hưởng mức lương 495 000đ một tháng và số
còn lại hưởng mức lương 672 000đ một tháng. Sau khi phát lương tháng 7 cho cơng nhân, cơ kế tốn cộng sổ hết tất cả 273 815 000đ. Hỏi cơ kế tốn tính đúng hay sai? Giải thích tại sao?
Gợi ý: Mức tiền lương tháng của mỗi công nhân đều là một số chia hết cho 3 cho nên tổng số tiền phát lương hàng tháng của nhà máy phải là một số chia hết cho 3. Mà số tiền lương cơ kế tốn cộng là 273 815 000đ - không chia hết cho 3. Vậy cơ kế tốn đã cộng sai.
Bài tốn 17. Có 10 mẩu que lần lượt dài: 1cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, ... , 9 cm, 10 cm. Hỏi có thể dùng cả 10 mẩu que đó để xếp thành một hình tam giác đều được khơng? (khơng làm thay đổi hình dạng của mỗi que).
Gợi ý: Một hình tam giác đều có cạnh là a (là số tự nhiên) thì chu vi (P) của hình đó phải là một số chia hết cho 3 vì P = a x 3. Tổng độ dài của 10 mẩu que là:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 (cm)
Vì 55 khơng chia hết cho 3 nên khơng thể xếp 10 mẩu que đó thành một hình tam giác đều được.
Bài tốn 18. Cho số tự nhiên A. Người ta đổi chỗ các chữ số của A để được số B gấp 3 lần số A. Chứng tỏ rằng số B chia hết cho 27. Gợi ý: Theo bài ra ta có: B = 3 x A (1) , suy ra B chia hết cho 3. Nhưng tổng các chữ số của số A và số B là như nhau (vì người ta chỉ đổi chỗ các chữ số) nên ta cũng có A chia hết cho 3 (2).
Từ (1) và (2) suy ra B chia hết cho 9.
B chia hết cho 9 nên A cũng chia hết cho 9 (vì tổng các chữ số của số A và số B như nhau) (3).
Từ (1) và (3) suy ra B chia hết cho 27.
Hướng 5. Các bài tốn có lời văn chia cho các số 2, 3, 5, 9 có dư.
Đây là hướng khai khắc sâu hơn từ dấu hiệu chia hết cũng nhằm củng cố về dấu hiệu chia hết. Không những biết số chia hết cho số cho trước hay khơng mà cịn biết khi số đó khơng chia hết thì phép chia cịn dư bao nhiêu?
Bài tốn 19. Một bạn cắt 1 tờ giấy làm 4 mảnh, rồi lại lấy 1 mảnh cắt làm 4 và lại lấy 1 mảnh nào đó cắt làm 3. Bạn ấy cứ làm như vậy cho tới một lúc thì
dừng lại và đếm số mảnh giấy có được. Bạn ấy đếm được 2017 mảnh. Nếu đếm đúng thì bạn ấy đã có bao nhiêu lần cắt? Chứng tỏ rằng số mảnh giấy có được khơng thể là 2018.
Gợi ý: Mỗi lần cắt thì số mảnh giấy tăng thêm 3 nên số mảnh giấy nhận được là số chia cho 3 dư 1 (vì lúc đầu có 1 mảnh). Số 2017 chia 3 được 672 dư 1 nên nếu bạn ấy đếm đúng thì bạn ấy cắt 672 lần. Số 2018 chia 3 dư 2 nên bạn ấy đếm sai.
Bài toán 20. Sĩ số lớp 4B nếu thêm 1 bạn thì chia hết cho 2, nếu thêm 2 bạn thì chia hết cho 3 và nếu thêm 4 bạn thì chia hết cho 5. Biết rằng lớp khơng có q 50 bạn. Hỏi sĩ số lớp 4 B là bao nhiêu? Gợi ý: Sĩ số chia cho 2, 3, 5 đều dư 1 và sĩ số là 31.
Bài toán 21. Lớp 4 C khi xếp hàng 2 thì thừa 1 bạn, xếp hàng 3 thì thừa 2 bạn, xếp hàng 5 thì thừa 4 bạn. Biết rằng sĩ số lớp nhiều hơn 20 nhưng khơng q 50. Tính sĩ số lớp 4 C.
Gợi ý: Để ý các số dư đều là số dư lớn nhất khi chia cho các số 2, 3, 5. Do đó nếu sĩ số thêm 1 bạn thì sĩ số mới sẽ là số chia hết cho các số 2, 3, 5. Từ đó đi tìm sĩ số với giả thiết đã thêm 1 bạn thì ta được 30. Do đó sĩ số lớp là 29.
Hướng 6. Tìm chữ số tận cùng của một tích.
Nhiều bài tốn tìm chữ số tận cùng liên quan tới dấu hiệu chia hết cho 5. Đặc biệt là những tích có tận cùng bằng những chữ số 0, bài tốn cịn u cầu cho biết số chữ số 0.
Bài toán 22. Cho A = 1 x 2 x 3 x …..x 90 (tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1
đến 90). Hỏi A có tận cùng là mấy chữ số 0.
Gợi ý: Xét các thừa số chia hết cho 5 phân làm 2 nhóm:
Nhóm 1 gồm các thừa số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25: gồm 18 số
Nhóm 2 gồm các thừa số chia hết cho 5 có thể phân tích thành tích của hai thừa số 5 là: 25,50, 75.
Mỗi thừa số 5 nhân với 1 số chẵn cho ta một số có tận cùng là 1 chữ