CHƯƠNG 1 LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN
2.1. Giải và khai thác một số dạng toán về dấu hiệu chia hết
2.1.1. Dạng 1: tìm số các số có k chữ số phân biệt được thành lập từ những chữ số cho trước thỏa mãn điều kiện chia hết. từ những chữ số cho trước thỏa mãn điều kiện chia hết.
Ví dụ 2.1.1.1. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lập từ bốn chữ số 0; 4; 5; 9 và thỏa mãn
a) Chia hết cho 2 và 5 b) Chia hết cho 9 c) Chia hết cho 36.
a) Phân tích: Để giải được bài tốn này cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và
5.
+Các số chia hết cho 2 thì có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.
+Các số chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Mà số cần lập chia hết cho cả 2 và 5 nên ta tìm được chữ số tận cùng chỉ có thể là số 0. Như vậy, chữ số tận cùng có một cách chọn từ các chữ số đã cho. Tiếp theo, dựa vào điều kiện các chữ số phải khác nhau, ta có thể tìm được số cách chọn cho chữ số hàng chục và hàng trăm. Từ đây, ta có thể dễ dàng kể tên và tìm được các số cần lập.
Lời giải: Gọi số lập được có dạng abc; a ≠ 0, a, b, c là các chữ số khác nhau). Để chia hết cho 2 và 5 thì c chỉ có thể là 0. Từ đó, ta suy ra
c = 0
Vì số phải tìm có ba chữ số khác nhau nên a có ba cách chọn từ các chữ số a = 5; a = 5 hoặc a = 9
Khi đó, b chỉ cịn hai cách chọn trong ba chữ số còn lại. Như thế, số các số chia
hết cho 2 và 5 là 3 × 2 ×1 = 6 (số)
Vậy 6 số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho cả 2 và 5 được lập từ bốn chữ số 0; 4; 5 và 9.
b) Phân tích: Để giải bài tốn cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9. Như vậy, tổng các chữ số của số cần lập là số chia hết cho 9. Từ bốn chữ số 0; 4; 5 và 9 mà đề bài cho, ta sẽ chia thành hai nhóm có tổng các chữ số chia hết cho 9 để lập thành các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 9.
+Nhóm các chữ số 0; 4; 5.
+Nhóm các chữ số 4; 5; 9.
Đối với mỗi nhóm, ta lập luận để tìm được số cách chọn cho từng chữ số của số cần lập. Sau đó, dễ dàng kể tên và tìm được các số cần lập.
Lời giải: Gọi số cần lập có dạng (a ≠ 0; a,b,c là các chữ số khác nhau).
Để chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó (a + b + c ) phải chia hết cho 9.
Ta có
0+4+5=9; 4+5+9=18.
Mà 9; 18 là những số chia hết cho 9 và (0; 4; 5) hay (4; 5; 9) là những cặp số có các chữ số khác nhau nên các cặp số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 9 được lập từ hai nhóm chữ số trên. Cụ thể như sau:
+ Nhóm các chữ số 0; 4; 5. Vì a ≠ 0 nên khi chọn a thì a có hai cách chọn. Mặt khác, các số đều có ba chữ số khác nhau nên khi đã chọn a thì b chỉ còn hai cách chọn và c chỉ còn lại một cách chọn. Do đó, số các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 9 là
2 × 2 × 1 = 4 (số)
Đó là các số 405; 450; 504; 540.
+ Nhóm gồm các chữ số 4; 5; 9. Lập luận tương tự nhóm trước ta được số các chữ số chia hết cho 9 là
3 × 2 × 1 = 6 (số)
Vậy 10 số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 9 được lập từ bốn chữ số 0; 4; 5 và 9.
c) Phân tích: Bởi vì 36 = 4 × 9 nên số cần lập chia hết cho cả 4 và 9. Dựa và dấu hiệu chia hết cho 4 “ Các số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của số đó tạo thành số chia hết cho 4”[10], ta tìm được chữ số hàng chục và hàng đơn vị. Tiếp theo, dựa vào yêu cầu của đề bài số đó là số có ba chữ số khác nhau, ta tìm được chữ số hàng trăm dựa vào chữ số hàng chục và hàng đơn vị vừa tìm được. Cuối cùng, dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 ta đi loại các trường hợp không thỏa mãn.
Lời giải: Gọi số cần lập có dạng(a ≠ 0; a, b, c là các chữ số khác nhau).
Bởi vì 36 = 4 × 9 nên số cần lập chia hết cho cả 4 và 9.
Để lập được số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của số đó phải tạo thành số chia hết cho 4. Do đó, chỉ có thể là 04 hoặc 40.
Do số phải tìm chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó là ( a + 4 + 0) phải chia hết cho 9. Khi đó a chỉ có thể là 5.
Vậy có hai số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 36 được lập từ bốn chữ số đã cho.
Khai thác bài tốn (1) Tìm lời giải khác
Chúng ta có thể giải bài tốn bằng cách liệt kê tất cả các khả năng có thể. Số khả năng chính là đáp số bài tốn.
a) Số chia hết cho 2 và 5 chính là số chia hết cho 10 (số trịn chục). Đó là các số: 450; 490; 540; 590; 940; 950.
b)Số chia hết cho 9 chính là số có tổng các chữ số chia hết cho 9. Đó là các số: 405; 450; 504; 540; 459; 495; 549; 594; 945; 954.
c) Số chia hết cho 36 chính là các số chia hết cho cả 4 và 9. Đó là các số: 540; 504.
(2) Bài tốn tương tự:
Bài tốn 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lập từ bốn chữ số 0; 4; 5; 7 và thỏa mãn
a) Chia hết cho 2 và 5 b)Chia hết cho 9 c) Chia hết cho 36
Bài tốn 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lập từ bốn chữ số 0; 4; 5; 8 và thỏa mãn
a) Chia hết cho 2 và 5 b)Chia hết cho 9 c) Chia hết cho 36
Bài tốn 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lập từ bốn chữ số 0; 4; 5; 6 và thỏa mãn
a) Chia hết cho 2 và 5 b)Chia hết cho 3 c) Chia hết cho 36 (3) Bài tốn khái qt:
Bài tốn: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lập từ bốn chữ số a; b; c; d và thỏa mãn a) Chia hết cho 2 b)Chia hết cho 5 c) Chia hết cho 2 và 5 d)Chia hết cho 3 e) Chia hết cho 9 f) Chia hết cho 4 g)Chia hết cho 36
Ví dụ 2.1.1.2. Cho bốn chữ số 0; 1; 5; 8. Hãy thiết lập các số có ba chữ số
Hướng dẫn tìm lời giải
Phân tích: Bởi vì 6 = 2 × 3 nên để làm được bài tốn này cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và 3.
Từ dấu hiệu chia hết cho 2, ta tìm được chữ số tận cùng là 0 hoặc 8. Sau đó, dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 và các chữ số cần lập phải khác nhau mà ta tìm được hai chữ số cịn lại.
Lời giải: Bởi vì 6 = 2 × 3 nên các số chia hết cho 6 sẽ chia hết cho cả 2 và 3. Dựa vào 4 chữ số đã cho là 0; 1; 5; 8 ta có thể lập được
+Các số chia hết cho 2 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 8.
+Các số chia hết cho 3 có tổng các chữ số chia hết cho 3. Ta có
0+1+5=6 0+1+8=9.
Mà 6 ⋮ 3; 9 ⋮ 3 và (0; 1; 5) và (0; 1; 8) là những cặp số có các chữ số khác nhau nên các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 6 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 8 sẽ được lập từ hai nhóm chữ số trên. Vậy các số đó là: 150; 510; 108; 180; 810.
Khai thác bài tốn (1) Tìm lời giải khác
Chúng ta có thể giải bài tốn bằng cách tìm tổng số khả năng có thể lập được các số có ba chữ số khác nhau từ bốn chữ số 0; 1; 5; 8. Sau đó, dựa vào phép thử ta có thể tìm ra số chia hết cho 6.
(2) Bài toán tương tự:
Bài toán 1: Cho bốn chữ số 0; 1; 5; 3. Hãy thiết lập các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 6.
Bài toán 2: Cho bốn chữ số 0; 1; 5; 8. Hãy thiết lập các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 3.
Bài toán 3: Cho bốn chữ số 0; 2; 4; 8. Hãy thiết lập các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 6.
Bài toán 4: Cho bốn chữ số 0; 1; 4; 5. Hãy thiết lập các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5.
Phân tích: Để giải bài tốn cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 5. Như vậy, các số cần lập có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Lời giải:
Gọi số lập được có dạng abc; a ≠ 0, a, b, c là các chữ số khác nhau). Để chia hết cho 5 thì c có thể là 0 hoặc 5. Từ đó, ta suy ra c = 0 hoặc c = 5
+ Nếu c = 0 và số phải tìm có ba chữ số khác nhau nên a có ba cách chọn từ các chữ số
a = 1; a = 4 hoặc a = 5
Khi đó, b chỉ cịn hai cách chọn trong ba chữ số còn lại. Như thế, số các số chia hết 5 là
3 × 2 ×1 = 6 (số)
+ Nếu c = 5 và số phải tìm có ba chữ số khác nhau nên a có hai cách chọn từ các chữ số
a = 1 hoặc a = 4
Khi đó, b có ba cách chọn trong ba chữ số cịn lại. Như thế, số các số chia hết 5 là
2 × 3 ×1 = 6 (số)
Vậy số các số thỏa mãn bài ra là 6 + 6 = 12
Vậy 12 số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 5 được lập từ bốn chữ số 0; 4; 5 và 9.
(3) Bài toán khái quát:
Bài toán: Cho bốn chữ số a, b, c, d. Hãy thiết lập các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho n.
Bài tập tham khảo.
Bài 1. Tìm số các chữ số có ba chữ số được lập từ các chữ số 3; 4; 5 và chia hết cho 5.
Bài 2. Cho các chữ số 0; 1; 3; 5; 6. Hãy lập tất cả các số có ba chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho, sao cho mỗi số đó đều chia hết cho 9. Bài 3. Cho các số 0; 3; 5; 6; 7. Từ các số trên hãy lập thành số có bốn chữ số khác nhau sao cho
a) Số lập được chia hết cho 2 và 5. b)Số lập được chia hết cho 15.
Bài 4. Từ ba chữ số 2, 3, 5 hãy viết tất cả các số có ba chữ số thỏa mãn: a) Chia hết cho 2;
b)Chia hết cho 5.
Bài 5. Hãy thiết lập các số có ba chữ số khác nhau từ 4 chữ số 0,4,5,9 thỏa mãn điều kiện:
a) Chia hết cho 2; b)Chia hết cho 4; c) Chia hết cho 2 và 5.
2.1.2. Dạng 2: thay các kí hiệu bởi chữ số thích hợp để được số tự nhiên thỏa mãn các điều kiện chia hết. nhiên thỏa mãn các điều kiện chia hết.
Ví dụ 2.1.2.1. Tìm giá trị của a và b để số 37 8 chia hết cho 2; 3 và 5. Hướng dẫn tìm lời giải
Phân tích: Đầu tiên , sử dụng kết hợp dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 ta tìm được giá trị của b là 0.
Sau đó, dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 “Các số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3”[5] để tìm được giá trị của a.
Lời giải: Từ các dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 ta thấy 37 8 chia hết cho 2 nên b = 0; 2; 4 hoặc 8. 37 8 chia hết cho 5 nên b = 0 hoặc 5.
Số 37 8 chia hết cho cả 2 và 5 nên b = 0. Như vậy, ta nhận được số cần tìm là 37 80.
Ta có 37 80 chia hết cho 3 nên tổng các chữ số của nó ( 3 + 7 + a + 8 + 0 = 18 + a) chia hết cho 3
Bởi vì 18 ⋮ 3 nên a ⋮ 3. Do a là chữ số nên suy ra a = 0; 3; 6 ;9. Ta xét từng trường hợp
+Với a = 0, ta có 37 080 chia hết cho 2; 3; 5.
+Với a = 3, ta có 37 380 chia hết cho 2; 3; 5.
+Với a = 6, ta có 37 680 chia hết cho 2; 3; 5.
+Với a = 9, ta có 37 980 chia hết cho 2; 3; 5.
Như vậy, với các chữ số a = { 0; 3; 6; 9}, b = 0 thì số 37 8 chia hết cho 2; 3 và 5.
Khai thác bài tốn (1) Bài tốn tương tự:
Bài tốn 1: Tìm giá trị của a và b để số 37 8 chia hết cho 2; 3 và 4. Bài tốn 2: Tìm giá trị của a và b để số 37 8 chia hết cho 2; 3 và 9. Bài tốn 3: Tìm giá trị của a và b để số 3 78 chia hết cho 6 và 9. (2) Bài toán khái quát:
Bài toán. Tìm giá trị của a, b, c để số thỏa mãn: a) Chia hết cho 2
b) Chia hết cho 3 c) Chia hết cho 6 d) Chia hết cho 9.
Ví dụ 2.1.2.2. Tìm giá trị của a, b để số 965 chia hết cho 24. Hướng dẫn tìm lời giải
Phân tích: Bởi vì 24 = 3 × 8 nên số phải tìm chia hết cho 3 và 8. Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 8 “Các số chia hết cho 8 có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8”[10], ta tìm được giá trị của b. Tiếp theo ta dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3, ta tìm được giá trị của a.
Lời giải: Bởi vì 24 = 3 × 8 nên số phải tìm chia hết cho 3 và 8. Để số phải tìm chia hết cho 8 thì ba chữ số tận cùng của số đó phải tạo thành số chia hết cho 8. Hay 65 chia hết cho 8. Do đó, b chỉ có thể là 6 vì 656 chia hết cho 8.
Vì số phải tìm chia hết cho 3 nên tổng các chữ số của nó (a + 9 + 6 + 5 + 6) chia hết cho 3. Do đó
(a + 26) chia hết cho 3.
Bởi vì 0 ≤ a < 10 và (a + 26) chia hết cho 3 nên xảy ra các trường hợp sau
- a + 26 = 27. Khi đó, ta nhận được a = 1 và số phải tìm là 19 656.
- a + 26 = 30. Khi đó, ta nhận được a = 4 và số phải tìm là 49656.
- a + 26 = 33. Khi đó, ta nhận được a = 7 và số phải tìm là 79 656. Vậy giá trị các chữ số cần tìm là a = 1; 4; 7 và b = 6.
Khai thác bài toán (1) Bài toán tương tự.
Bài tốn 1: Tìm giá trị của a, b để số 965 chia hết cho 18.
Bài tốn 2: Tìm giá trị của a, b để số 965 chia hết cho 27.
Bài tốn 3: Tìm giá trị của a, b để số 965 chia hết cho 45.
Ví dụ 2.1.2.3. Hãy viết thêm vào bên trái số 123 một chữ số và bên phải hai chữ số để nhận được bé nhất có 6 chữ số khác nhau chia hết cho 45.
Một số chú ý:
Do a ≤9, b ≤ 9 nên a + b ≤ 18.
Nếu giả thiết thêm a ≠ b thì a+b ≤ 17. Hướng dẫn tìm lời giải
Phân tích: Bởi vì 45 = 5× 9 nên số phải tìm chia hết cho cả 5 và 9.
- Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 5, ta tìm được giá trị của chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5.
- Tiếp theo, dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9, ta tìm được tổng của hai chữ số cịn lại.
- Sau đó, dựa vào điều kiện các chữ số phải khác nhau mà ta loại được một số trường hợp khơng hợp lí.
Lời giải:
Gọi chữ số viết thêm vào bên trái là a, bên phải là .
Số cần tìm có dạng = 123 .
Bởi vì 45 = 5 × 9 nên N chia hết cho cả 5 và 9. N chí hết cho 5 nên c bằng 0 hoặc 5. Ta xét trường hợp
- Nếu c = 0 thì N = 123 0. Bởi vì N chia hết cho 9 nên tổng các chữ