CHƯƠNG 1 LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN
1.4. Quan hệ đồng dư
1.4.1. Định lí Euler và định lí Fermat
1.4.1.1. Định lí Euler.
Giả sử m là một số tự nhiên lớn hơn 1 và a là một số nguyên nguyên tố với
m. Khi ấy ta có
Chứng minh
Ta cho x chạy qua hệ TDTG mod m không âm nhỏ nhất , , … , ( ) . Khi ấy tập hợp , , … , ( ) cũng là một hệ TDTG mod m. Gọi , , … , ( ) là các thặng dư không âm nhỏ nhất tương ứng cùng lớp với , , … , ( )
thì ta có
≡ ( ), ≡ ( ), ……………………
( ) ≡ ( ) ( ),
ta sẽ được , , … , ( ) cũng là hệ TDTG mod m không âm nhỏ nhất. Bằng cách nhân vế với vế của ( ) đồng dư trên thức ta được
( )
. … ( ) ≡ … ( ) (mod m).
Bởi vì , , … , ( ) và , , … , ( ) cùng là hệ TDTG mod m khơng âm nhỏ nhất nên ta có
… ( )≡ … ( ),
từ đó
( )
. … ( ) ≡… ( ) (mod m).
Nhưng tích… ( ) nguyên tố với m (vì từng thừa số của nó ngun tố với m), nên có thể chia hai vế của đồng dư thức trên đây cho … ( ) ta được
( ) ≡ 1 ( ). 1.4.1.2. Định lí Fermat Định lí 1. (Định lí Fermat)
Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p. Khi ấy ta có
≡ 1 ( ).
Chứng minh
Ơ-le ta được
≡ 1 ( ).
Định lí 2. (Dạng khác của định lí Fermat)
Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên tùy ý. Khi ấy ta có ≡ ( ).
Chứng minh
Nếu a chia hết cho p thì hiển nhiên ≡ ( ). Nếu a khơng chia hết cho p thì theo định lí 1 ta có ≡ 1 ( ), bởi vậy sau khi nhân hai vế của đồng dư thức này với a ta được ≡( ).
Ngược lại từ định lí 2 ta có thể suy ra định lí 1. Thật vậy từ
≡ ( ) và a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p thế thì a nguyên tố với p nên bằng cách chia hai vế của đồng dư thức trên cho a ta được ≡ 1 ( ). Chính vì vậy người ta nói định lí 2 là dạng khác của định lí Fermat.