CHƯƠNG 1 LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN
1.3. Số nguyên tố và định lí cơ bản của số học
1.3.3. Hàm (n ), hàm (n) và hàm euler (n )
1.3.3.1. Hàm ( ) và hàm ( ). a) Định nghĩa và ví dụ.
Định nghĩa 1. Hàm số học n xác định với mọi số nguyên dương n và biểu thị số các ước nguyên dương của n.
Hàm số học n xác định với mọi số nguyên dương n và biểu thị tổng các
ước nguyên dương của n.
Ta có thể viết: n 1; n d
d \ n d \ n
(trong tổng n 1các số hạng đều bằng 1, số các số hạng bằng số các ước
d\ n nguyên dương của n ).
n còn được gọi là hàm đếm số các ước nguyên dương của n. Một vài giá trị đầu tiên của n là :
11;22;32;43;52;64;72;84;93; 10 4
Một vài giá trị đầu tiên của n là: 11;23;34;47;56;612;78;815; 9 13; 10 18
Nhận xét :
a. Số tự nhiên n là một số nguyên tố khi và chỉ khi n2 b. Số tự nhiên n là một số nguyên tố khi và chỉ khi nn 1 b) Công thức tính của n và n
Cơng thức tính của (n) Nếu n = 1 thì (n) = 1.
Nếu n > 1 và n = … là dạng phân tích tiêu chuẩn của n thì
(n) = ( + 1)( + 1) … . ( + 1).
Chứng minh
Với n > 1 và k = 1 thì n = có và chỉ có ước là 1; , , … nên ta được ( ) = + 1.
Giả sử mệnh đề đúng với k – 1 ≥ 1. Khi ấy vì ƯCLN( … ) = 1 và có có tính chất nhân nên
(n)= … = ( … ) ( )
= ( + 1) ( + 1) … ( + 1)( + 1),
Tức là mệnh đề đúng với k. Từ đó suy ra mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n > 1.
Ví dụ: n = 360 = 2 3 5 ta có (360) = 24.
Chú ý: Ta có thể tìm cơng thức cho ( ). Từ đó suy ra tính chất nhân của ( ). Thật vậy ta biết rằng f(n) = là hàm số có tính chất nhân, nên với n có phân
= (1 + p + p + ⋯ + p )
|
Với s = 0 ta sẽ được kết quả
(n) = 1 = ( + 1)
|
Từ cơng thức tính (n) dễ dàng suy ra tính chất nhân của nó. Cơng thức tính của σ(n).
Nếu n = 1 thì σ(n) = 1;
Nếu n > 1 và n = … là dạng phân tích tiêu chuẩn của nó thì
σ(n) = … .
Chứng minh
Với n > 1 và k = 1 thì n = có và chỉ có các ước là , , …nên
σ(n) = 1 + + +⋯+ = .
Giả sử mệnh đề đúng với k −1 ≥ 1. Khi ấy ta có
σ(n) = σ( … ) σ( )
= …
(Vì ƯCLN( … , ) = 1 và σ(n) có tính chất nhân), nghĩa là
mệnh đề đúng với k. Từ đó suy ra mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n > 1. Ví dụ: n = 360 = 2 . 3 . 5 ta có σ(360) = . . = 1170 c) Tính chất của hàm (n) và n Hàm n và n là những hàm nhân. - Hàm (n) τ(n) là một hàm số có tính chất nhân Chứng minh
Ta có (1) = 1 nên khác 0. Giả sử a, b N*, ƯCLN(a, b) = 1, ta phải chứng minh (a.b) = (a). (b). Trước hết ta chứng minh
d | ab d = xy trong đó x | a, y | b và ƯCLN(x, y) = 1. (1)
Thật vậy nếu a =1 hoặc b = 1 thì (1) là hiển nhiên. Giả sử a > 1, b > 1 và a = … và b = … là dạng phân tích tiêu chuẩn của a và b. Từ ƯCLN(a, b) = 1 suy ra, , … , , , , … , là những số nguyên tố đôi một khác nhau và ab = … … là dạng phân tích tiêu chuẩn của ab.
Từ đó a | ab d = … … , 0 < ≤ , 0 < ≤ (0≤ ≤,0≤ ≤) Hay a | ab d = xy với x = … và y = … Tức là
a | ab d = xy với x | a, y | b. Thêm nữa rõ ràng ƯCLN(x, y) = 1.
Từ kết quả trên ta suy ra được rằng (ab) = (a). (b).
- Hàm ( )
Hàm số σ(n) là một hàm số có tính chất nhân. Chứng minh
Ta có σ(1) = 1 nên σ khác 0. Ta còn phải chứng minh ∀ , N*, ƯCLN(a, b) = 1 thì σ(ab) = σ(a)σ(b).
Thật vậy, giả sử x , x , … , x ( ) là các ước tự nhiên của y , y , … , y ( ) là các ước tự nhiên của b. Ta có d | ab d = x y (i = 1, 2, …, ( ); j = 1, 2,… ( ))
Nên ta được σ(ab) = ∑ | = ∑ , ,… ( ) x y = ∑ ( ) x ∑ ( ) y = ( ) ( ).(đpcm) ,,…() 1.3.3.2. Hàm Euler ( ). a) Định nghĩa và ví dụ.
Định nghĩa. Hàm số học n xác định với mọi số nguyên dương n và biểu thị số các số nguyên dương không vượt quá n mà nguyên tố cùng nhau với n gọi là hàm Euler
n1
m n m , n 1
n còn gọi là hàm đếm các số nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố với n .
Ví dụ: Một vài giá trị đầu tiên củan là: 12;21;32;42;54;62
Chú ý. Nếu p là số nguyên tố thì p p 1.Điều ngược lại cũng đúng. Mọi số tự nhiên p > 1 mà p p 1đều là số nguyên tố .
b) Cơng thức tính hàm n
Bổ đề 1. Giả sử d là một ước nguyên dương của số tự nhiên n . Khi đó số các số ngun dương khơng vượt q n mà có ước chung lớn nhất với n bằng d là
n d
Bổ đề 2. Với mọi số nguyên dương n ta cód n .
d \ n Cơng thức tínhn
- Với m p , trong đó p là một số nguyên tố và là một số tự nhiên khác 0, ta có p p p 1 p 1 1 p - Với n > 1; Giả sử n p n 1 . p n
2 ... p nk là sự phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên
1 2 k
n thành tích các thừa số nguyên tố. Khi đó ta có:
1 1 1 k 1 n n 1 . 1 ... 1 n 1 p 1 p 2 p k i 1 p i Ví dụ: Tính 360 Ta có 360 = 23. 32.5 . Vậy: 360 360. 1 1 . 1 1 . 1 1 360.2.4 95 2 3 5 2.3.5 c) Tính chất hàm số ( ). ( )là hàm số có tính chất nhân
Chứng minh
Ta có (1) = 1 nên khác khơng. Bây giờ giả sử a, b là hai số tự nhiên khác 0 nguyên tố cùng nhau. Ta sẽ chứng minh rằng ( ) = ( ) ( ).
Thật vậy nếu a = 1 hoặc b = 1 thì đẳng thức là hiển nhiên. Giả sử a > 1, b > 1. Ta lập bảng M gồm ab số tự nhiên từ 0 đến ab − 1 như sau
0 1 2 … a−1
a a + 1 a + 2 … a + (a−1)
M= 2a 2a + 1 2a + 2 … 2a + (a−1)
. . . ….
(b−1)a (b−1)a+1 (b−1)a + 2 … (b−1)a + (a−1) Bảng M có a cột và b hàng. Các số trong bảng nằm có cột thứ y, hàng thứ x là ax + y trong đó x = 0, 1,..., b − 1, y = 0, 1,.... a − 1.
Ta nhận xét rằng một số trong bảng M là nguyên tố với tích ab khi và chỉ khi số đó nguyên tố với cả a và b. Do đó để tìm các số trong bảng ngun tố với tích ab ta hãy tìm các số ngun tố với a rồi trong các số đó tìm các số ngun tố với b.
Bởi vì ƯCLN(ax + y, a) = ƯCLN(y, a) nên các số trong M nguyên tố với a khi và chỉ khi nó ở cột thứ y mà ƯCLN(y, a) = 1. Ta thấy có (a) cột như thế.
Trong mỗi cột y có chứa b số dạng ax + y (x = 0, 1, b − 1) nên theo mệnh đề 1, trong b số đó có đúng cp(b) số nguyên tố với b. Bởi vậy trong bảng M ở trên có tất cả ( ) số nguyên tố với ab. Nhưng theo định nghĩa, số các số trong bảng M nguyên tố với ab là (ab). Do đó (ab) = (a) (b).