CHƯƠNG 1 LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN
2.3. Tìm chữ số tận cùng
2.3.1. Dạng 1: xác định số chẵn, số lẻ
Các kiến thức cần ghi nhớ:
- Tổng các số chẵn là một số chẵn.
- Tổng chẵn số lẻ là một số chẵn, tổng lẻ số lẻ là một số lẻ.
- Hiệu hai số chẵn là 1 số chẵn, hiệu hai số lẻ là 1 số chẵn.
- Hiệu giữa số chẵn và số lẻ (hoặc số lẻ và số chẵn) là 1 số lẻ.
- Tích các thừa số lẻ là 1 số lẻ, tích các thừa số trong đó có 1 thừa số chẵn sẽ là số chẵn.
Ví dụ 2.3.1.1. Tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số chẵn hay lẻ? (khơng cần tính tổng).
Hướng dẫn tìm lời giải:
Lời giải: Từ 1 đến 1997 có 1997 số tự nhiên liên tiếp, trong đó các số lẻ gồm: 1; 3; 5; 7; …; 1997 và các số chẵn gồm có 2; 4; 6; 8; …; 1996. Số lượng số lẻ là: (1997 − 1) : 2 + 1 = 999 ( số).
Số lượng số chẵn là: (1996 – 2) : 2 + 1 = 998 ( số).
Ta có: Tổng của 999 số lẻ là số lẻ. Tổng của 998 số chẵn là số chẵn. Tổng của một số chẵn với một số lẻ là một số lẻ. Vậy tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số lẻ.
Khai thác bài tốn. (1) Tìm lời giải khác:
Từ 1 đến 1997 có 1997 số. Ta có (1+1997) + (2+1996) + (3+1995) + … (998 + 1000) + 999 = 1998 × 998 + 999
Có tất cả là 998 cặp và dư 1 số. Số đó là 999.
Ta có 1998 là số chẵn nên nhân với bất kì số nào cũng sẽ là số chẵn và số 999 là số lẻ. Tổng của một số chẵn và một số lẻ sẽ là một số lẻ. Vậy tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số lẻ. (2) Bài toán tương tự:
Bài toán 1: Tổng của 1986 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số chẵn hay lẻ? (không cần tính tổng).
Bài tốn 2: Tổng của 2997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 2 là một số chẵn hay lẻ? (khơng cần tính tổng).
Bài tốn 3: Tổng của 3997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 3 là một số chẵn hay lẻ? (khơng cần tính tổng).
(3) Bài tốn khái quát:
Tính tổng của n số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ k là một số chẵn hay lẻ? (Khơng cần tính tổng).
Ví dụ 2.3.1.2. Khơng cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích:
a) 672×41×37=1019423
b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9161 Hướng dẫn tìm lời giải:
Phân tích:
a) Dựa vào tính chất “Tích các thừa số lẻ là 1 số lẻ, tích các thừa số trong đó có 1 thừa số chẵn sẽ là số chẵn”[9] ta xét hai vế để biết phép tính là đúng hay sai. b) Ta có các số: 1 472; 6 210; 532; 946 đều là số chẵn. Sau đó, dựa vào tính chất “Tổng các số chẵn là một số chẵn”[9] ta xét hai vế để xác định tính đúng sai của phép tính.
Lời giải:
a) Kết quả là sai. Vì có một thừa số chẵn (672) nên tích phải là số chẵn mà 1 019 423 là số lẻ.
b) Kết quả sai. Vì có tổng các số chẵn là số chẵn mà 9 161 là số lẻ. Khai thác bài toán
(1) Bài toán tương tự:
Bài tốn 1: Khơng cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích:
a) 672×41×37=1019427
b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9164.
Bài tốn 2: Khơng cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích:
a) 672×41×37=31857×32.
b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9164 + 123.
Bài tốn 3: Khơng cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích:
a) 41×37= 56×27
b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9164 + 123 + 128 2.3.2. Dạng 2: xác định một chữ số tận cùng.
1- Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.
2- Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.
3- Tích một số chẵn với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 0. - Tích một số lẻ với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 5. - Tích các số tận cùng là 1 thì tận cùng là 1, tận cùng là 6 thì là 6. - Tích a x a khơng thể tận cùng bằng 2; 3; 7; hoặc 8. Ví dụ 2.3.2.1. Tính 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × ...... × 48 × 49 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Hướng dẫn tìm lời giải Lời giải:
Trong tích đó có các thừa số chia hết cho 5 là : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.
Hay 5 = 1 × 5 ; 10 = 2 × 5 ; 15 = 3 × 5; ........; 45 = 9 × 5.
Mỗi thừa số 5 nhân với 1 số chẵn cho ta 1 số trịn chục. mà tích trên có 10 thừa số 5 nên tích tận cùng bằng 10 chữ số 0.
Khai thác bài tốn (1)Bài tốn tương tự.
Bài tốn 1. Tính xem 1 × 2 ×…× 2021 có bao nhiêu chữ số 0. Bài tốn 2. Tính xem 1 × 2 ×…× 1999 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0. Bài tốn 3. Tính xem 1 × 2 ×…× 1994 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0.
(2) Bài tốn khái qt:
Tính xem 1 × 2 ×…× n = n! có bao nhiêu chữ số 0. Kiến thức để giải
1) Phần nguyên: [ ] là số nguyên [ ] ≤ x < [ ] + 1 [3,2] = 3, [−2,5] = −3 (chú ý: phần nguyên số âm) 1) Số các bội số của số a ∈ N, a ≥ 1 (khơng tính số 0). Khơng vượt q n:
a, 2a, 3a, …, ka,…
Đó là số k lớn nhất để ka ≤ n => Suy ra ka ≤ n ≤ (k + 1)a Do đó (k + 1)a > n k ≤ < k + 1
Vậy k =
Có tất cả bội số dương của a không vượt quá n. (a = 1. , 2. , 3. , … a)
3) Tìm số mũ của số nguyên tố p trong phân tích tiêu chuẩn của n!, n! =1 × 2 ìì n.
ã S bi ca p: (Vỡ cỏc s cuất hiện trong n! là 1, 2, 3,…, n nên chỉ xét các bội ≤ n)
• Số bội của p …………….. • Số bội của p là
Vậy số mũ là: + + …+ + …
Nhìn hình thức tưởng rằng tổng là vơ hạn, tuy nhiên nó chỉ kéo dài đến k mà
p ≤ , còn với k sao cho > => <1=> = 0. k > log n
+ + ⋯ +
Ví dụ: A = 1 × 2 × 3 × … × 49 (n = 49)
Số chữ số 0 xuất hiện trong A là số thừa số 10 trong phân tích A thành tích các thừa số (số mũ của 10).
• Số thừa số 2 (số mũ của 2) trong phân tích A:
+ + + + = 24+12+6+3+1=46 • Số thừa số 5: + =9+1 =10(10<46) Vậy A = × 10 , ℎô ℎ ℎế ℎ 5.
(A= × 2 × 5 , ℎơ ℎ ℎế ℎ 5, ℎô ℎ
ℎế ℎ 2,
= × 2 )
Do đó A có 10 chữ số 0 ở tận cùng. Ví dụ 2.3.2.2. Tìm chữ số tận cùng của:
S=1×2+3×4+5×6+7×8+9×10+11×12+....+2011×2012 Hướng dẫn tìm lời giải:
Lời giải:
Ở bài này, chúng ta thấy chữ số tận cùng của các số có quy luật lặp lại, 1, 2, 3
....10 rồi quay lại 1, 2.... Nếu ta tách: S = (1× 2 + 3×4 + 5×6 + 7×8 + 9×10) +(11×12 + 13×14 + 15×16 + 17×18 +19×20) +.... +(2001×2002+2003×2004+2005×2006+2007×2008+2009×2010) +2011×2012
Nhìn vào cách tách trên ta thấy, mỗi nhóm là tổng của 5 tích, và mỗi nhóm này sẽ có chữ số tận cùng giống nhau (đều là 0).
Nếu chữ số tận cùng là 0, thực ra ta khơng cần tìm số nhóm nữa, (vì 0 nhân bao nhiêu cũng tận cùng là 0). Tuy nhiên ta cứ đi tìm số nhóm xem được bao nhiêu nhóm
Hãy chú ý số cuối cùng của mỗi nhóm (phần bơi đậm). Ta có khoảng cách là 10:
Số nhóm là (2010−10) : 10 +1 = 201 nhóm.
Lẻ ra 1 thừa số, 2011× 2012 tận cùng là 2, tổng của 201 nhóm tận cùng là 0 => S tận cùng là 2.
Khai thác bài tốn (1) Bài tốn tương tự.
1×2+3×4+5×6+…+2020×2021+2022. = (1 × 2 + 3 × 4 + ⋯ + 9 × 10) => tận cùng 0 + ( 11 × 12 + ⋯ + 19 × 20) => tận cùng 0 … + (2011 × 2012 + ⋯ + 2019 × 2020) => tận cùng 0 + 2020 × 2021 (tận cùng 0) + 2021 × 2022 (tận cùng 2) Đáp số: 2.
(2) Bài toán khái quát.
A=1 ×2+3×4+5×6+⋯+ ×( +1)
Hướng dẫn giải:
A=1 ×2+3×4+5×6+⋯+( ×10−1)× ×10)
Ở đây × 10) là số lớn nhất chia hết cho 10 (bội của 10) và khơng vượt q
n ( ≤ ) Chính là số tận cùng là 0 nên ≤ . (trong ví dụ 2.4.2.2 là số 2010) Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng: A = 1 × 2 + 3 × 4 + 5 × 6 + ⋯ + 145 × 146 A=1 ×2+3×4+5×6+7×8+9×10 11×12+13×14+⋯+19×20 …….
131 ×132+133×134+ ⋯+139×140 +141 × 142 + 143 × 144 + 145 × 146 n = 145, = = 14. Số tận cùng 0 (Số chia hết cho 10) lớn nhất mà ≤ 145 là ×10)= ×14 = 140. Do đó ta ghép đơi ( ×10−1)( × 10) = 139 × 140. a) 13×14×15×…×22 b) 1×2×3×…×50. Bài 2. Cho M = 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × …× 89. Hỏi M có tận cùng là bao nhiê chữ số 0 ?
Bài 3. Khơng cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích.
56×47×71×7=1345427.
Bài 4. Tìm chữ số tận cùng của tích sau: 15×17×19×21×23×25×27×29×…×2011×2013.
2.4. Vận dụng tính chất chia hết và chia có dư để giải bài tốn có lời văn. văn.
Ví dụ 2.4.1. Số học sinh của một trường tiểu học là một số có tính chất khi chia cho 3, cho 4 hoặc cho 5 đều có số dư là 1, và số học sinh vào khoảng từ 450 đến
500.Bạn hãy tính số học sinh của trường đó. Hướng dẫn tìm lời giải: Ta gọi số học sinh của trường đó là x.
Theo đề bài, suy ra x – 1 chia hết cho 3, 4 và 5. Do đó, ta có thể biểu diễn x – 1
ở dạng x – 1 = 3 × 4 × 5 × k, với k ∈ N; hay x = 60k + 1.
Do số học sinh vào khoảng từ 450 đến 500, nên ta có 450 ≤ x ≤ 500 hay 449 ≤ 60k ≤ 499 (*)
Thử chọn với k ∈ N, ta có k = 8 thỏa mãn (*). Thay giá trị k = 8
vào x = 60k + 1 ta được x = 481. Vậy số học sinh của trường đó là 481. Khai thác bài tốn:
(1) Tìm lời giải khác.
Giả sử số học sinh của trường đó là x. Thì x là số có 3 chữ số, x = .
Theo đề bài, chúng ta chỉ xét với a = 4 hoặc a = 5. Khi a = 4 thì 5 ≤ b ≤ 9, hoặc khi a = 5 thì b = 0 (*). Theo giả thiết, suy ra x – 1 =− 1 chia hết cho 3, 4 và 5.
Với − 1 ⋮ 5 thì c = 1 hoặc c = 6.
Trường hợp c = 6. Khi đó phải có − 1 = 5 ⋮ 4, suy ra 5 ⋮ 2. Điều này khơng xảy ra vì 5 có chữ số đơn vị là 5, nó là một số lẻ. Vậy c ≠ 6 do đó
c = 1.
Với c = 1, thì − 1 = 0; có 0 ⋮ 4 và 0 ⋮ 3.
0 ⋮ 4 thì b = 0; 2; 4; 6; 8. Kết hợp với điều kiện (*), nên chúng ta
chỉ xét với b = 0; 6 hoặc 8.
b = 0, khi đó 00 ⋮ 3 nên a = 3; 6 hoặc 9. Các giá trị này của a không thuộc các trường hợp mà chúng ta xét, vậy b ≠ 0.
b = 6, khi đó 60 ⋮ 3 nên a = 3; 6 hoặc 9. Tương tự trên, b ≠ 6. Vậy phải có b = 8. Lúc này 80 ⋮ 3 nên có a = 1; 4 hoặc 7; mà theo trên, ta chỉ nhận a = 4. Như vậy số cần tìm x = = 481, nghĩa là số học sinh của trường đó là 481.
(2) Bài toán tương tự.
Bài toán 1. Số học sinh của một trường tiểu học là một số có tính chất khi chia cho 3, cho 4 hoặc cho 5 đều có số dư là 1, và số học sinh vào khoảng từ 600 đến 650. Bạn hãy tính số học sinh của trường đó.
Bài tốn 2. Số học sinh của một trường tiểu học là một số có tính chất khi chia cho 5, cho 6 hoặc cho 7 đều có số dư là 1, và số học sinh
Nhận xét:
Qua cách giải bài toán trên, chúng ta thấy rằng:
1. Phương pháp chủ yếu để giải chúng là vận dụng tiêu chuẩn chia hết cho các số.
2. Với bài tốn liên quan đến chia có dư, chúng ta cần tìm cách thích hợp chuyển về chia hết để sử dụng tiêu chuẩn chia hết.
3. Phương pháp vận dụng tiêu chuẩn chia hết để giải các bài toán ở dạng trên chỉ là một trong nhiều cách giải.
Ví dụ 2.4.2. Một số tự nhiên chia hết cho 4 và 9. Tìm số đó, biết thương khi chia cho 4 lớn hơn thương khi chia cho 9 là 340.
Phân tích: Bài tốn cho biết hiệu của hai thương là 340. Mặt khác, số đó chia hết cho 4 và 9 nên suy ra được tỉ số giữa hai thương. Khi đó, bài tốn đưa về dạng quen thuộc “ Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”.
Lời giải: Gọi thương của phép chia số phải tìm cho 4 là thương thứ nhất, thương của phép chia số phải tìm cho 9 là thương thứ hai. Vì số phải tìm chia hết cho 4 và 9 nên thương thứ nhất bằng
thương thứ hai và hiệu hai thương đó bằng 340. Do đó, nếu coi thương thứ nhất là 9 phần bằng nhau thì thì thương thứ hai là 4 phần như thế. Thương thứ nhất là
340:(9−4)×9=612 Số cần tìm là 612×4=2448
Đáp số: 2 448
Khai thác bài tốn (1) Bài toán tương tự.
Bài toán 1. Một số tự nhiên chia hết cho 5 và 9. Tìm số đó, biết thương khi chia cho 5 lớn hơn thương khi chia cho 9 là 520.
Bài toán 2. Một số tự nhiên chia hết cho 2 và 9. Tìm số đó, biết thương khi chia cho 2 lớn hơn thương khi chia cho 9 là 620.
Bài toán 3. Một số tự nhiên chia hết cho 6 và 9. Tìm số đó, biết thương khi chia cho 6 lớn hơn thương khi chia cho 9 là 340.
Bài tập tham khảo
Bài 1. Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh ( trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104, 115, 132, 136 và 148 quả. Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi lúc ban đầu cửa hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại?
Bài 2. Ba xe lam xuất phát từ lúc 7 giờ ở cùng một bến xe chở khách đi ba nơi khác nhau. Xe thứ nhất quay về sau 25 phút, nghỉ lại 5 phút rồi tiếp tục đi. Xe thứ hai quay về sau 35 phút, nghỉ lại 10 phút rồi tiếp tục đi. Xe thứ ba quay về sau 45 phút, nghỉ lại 15 phút rồi tiếp tục đi. Hỏi trong buổi sáng cùng ngày vào lúc mấy giờ ba xe lại cùng xuất phát cùng một lúc ở bến xe?
Bài 3. Hoàng mua 6 quyển vở, Hùng mua 3 quyển vở. Hai bạn góp số vở của mình với số vở của bạn Sơn rồi chia đều cho nhau. Sơn tính rằng mình phải trả các bạn đúng 800 đồng. Tính giá tiền một quyển vở, biết rằng cả ba bạn cùng mua một loại vở.
Bài 4. Lớp 4A có ít hơn 35 học sinh và nhiều hơn 20 học sinh. Nếu học sinh lớp 4A xếp thành 3 hàng hoặc 5 hàng thì khơng thừa, khơng thiếu bạn nào. Tìm số học sinh của lớp 4A.
Bài 5. Một cửa hàng thực phẩm có 7 rổ đựng trứng gà và trứng vịt ( mỗi rổ chỉ đựng một loại trứng). Số trứng trong mỗi rổ lần lượt là: 47, 54, 60, 66, 75, 85, 92 quả. Sau khi bán hết 6 rổ, chỉ còn lại một rổ trứng gà, người bán hàng thấy rằng trong số trứng đã bán: Số trứng vịt gấp 3 lần số trứng gà. Hỏi lúc đầu cửa hàng có bao nhiêu số trứng mỗi loại?
Bài 6. Một của hàng có 6 thùng bột giặt lần lượt là: 15 kg, 16 kg, 18 kg, 19 kg, 20 kg và 31 kg. Cửa hàng bán một ngày hết 5 thùng. Tính ra khối lượng bột giặt bán buổi sáng gấp đơi buổi chiều. Hỏi cửa hàng cịn thùng bột giặt loại nào? Bài 7. Một người hỏi anh chàng chăn cừu: “Anh có bao nhiêu con cừu”. Anh chăn cừu trả lời: “ Số cừu của tôi nhiều hơn 4 000 con nhưng không quá 5 000
con. Nếu chia số cừu cho 9 thì dư 3, chia cho 6 cũng dư 3, cịn chia cho 25 thì dư 19”. Hỏi anh đó có bao nhiêu con cừu?
Bài 8. Tổng số học sinh khối 1 của một trường Tiểu học là số có ba chữ số có chữ số hàng trăm bằng 3. Nếu các em xếp hàng 10 hoặc hàng 12 đều dư 8, mà xếp hàng 8 thì khơng dư. Tính số học sinh khối 1 của trường đó.
2.5. Dạng tốn về tìm thương, số chia, số dư trong phép chia euclid. Ví dụ 2.5.1. Khi chia 100 cho một số tự nhiên, ta tìm được số dư