Lí thuyết chia hết trong tập số tự nhiên và mối liên hệ với một số nội dung môn toán ở tiểu học

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa khoa học

Bài viết này làm rõ cơ sở toán học của lý thuyết chia hết trong tập số tự nhiên bằng cách phân tích và khai thác các vấn đề lý thuyết, bài tập liên quan, cũng như mối liên hệ với một số nội dung trong môn Toán ở Tiểu học Việc hiểu sâu về lý thuyết chia hết không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề trong toán học.

Ý nghĩa thực tiễn

Khóa luận này phân tích mối liên hệ giữa cơ sở toán học của lý thuyết chia hết và các nội dung trong môn Toán Tiểu học, cung cấp tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và sinh viên ngành Giáo dục Tiểu học.

Mục tiêu nghiên cứu

Phân tích và khai thác kiến thức về lý thuyết chia hết giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm toán học cơ bản Mối liên hệ giữa lý thuyết chia hết và nội dung môn Toán ở Tiểu học không chỉ tạo nền tảng vững chắc cho việc học toán mà còn phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề cho học sinh Việc áp dụng lý thuyết này vào thực tiễn sẽ giúp các em nắm bắt tốt hơn các bài toán liên quan đến chia hết, từ đó nâng cao kỹ năng toán học một cách hiệu quả.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở toán học liên quan đến các vấn đề như quan hệ chia hết và phép chia có dư, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất, số nguyên tố cùng với định lý cơ bản của số học, và quan hệ đồng dư Những khái niệm này không chỉ là nền tảng của lý thuyết số mà còn có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau của toán học và khoa học máy tính Việc hiểu rõ các mối quan hệ này giúp phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề trong toán học.

Bài viết này khám phá các bài toán liên quan đến lý thuyết chia hết trong tập số tự nhiên, bao gồm việc giải quyết và phân tích các dạng toán về dấu hiệu chia hết Nó cũng đề cập đến việc áp dụng tính chất chia hết của tổng và hiệu, tìm chữ số tận cùng, cũng như sử dụng tính chất chia hết và chia có dư để giải các bài toán có lời văn Cuối cùng, bài viết cung cấp các dạng toán về tìm thương, số chia và số dư trong phép chia Euclid.

Bài viết này phân tích sự thể hiện cơ sở toán học của lý thuyết chia hết, liên hệ với việc dạy học phép chia, các dấu hiệu chia hết và một số dạng bài tập trong môn toán Tiểu học Việc hiểu rõ lý thuyết này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề trong toán học Thông qua việc áp dụng lý thuyết chia hết vào các bài tập thực tiễn, giáo viên có thể tạo ra những bài học sinh động, giúp học sinh dễ dàng tiếp thu và vận dụng kiến thức vào thực tế.

Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được các mục tiêu của khóa luận, chúng tôi áp dụng kiến thức từ các lĩnh vực toán học như lý thuyết chia hết và chia có dư, Định lý Euler và Định lý Fermat Chúng tôi bắt đầu bằng việc nghiên cứu lý thuyết chia hết trên tập số tự nhiên, cũng như ứng dụng của quan hệ đồng dư trong việc giải các bài toán chia hết và tìm số dư Đồng thời, chúng tôi cũng xem xét nội dung chương trình môn toán tiểu học và các tài liệu liên quan như sách giáo khoa và sách bài tập Tiếp theo, chúng tôi phân tích các vấn đề lý thuyết và bài tập liên quan đến lý thuyết chia hết, từ đó chỉ ra mối liên hệ của kiến thức toán học này trong chương trình toán tiểu học.

LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN

Quan hệ chia hết và phép chia có dư

1.1.1.1 Định nghĩa về chia hết

Cho a và b là hai số tự nhiên với b khác 0, ta nói rằng a chia hết cho b nếu tồn tại một số tự nhiên q sao cho a = bq Số tự nhiên q được gọi là thương trong phép chia a cho b Khi a chia hết cho b, ký hiệu là a ⋮ b, và đồng thời cũng có thể nói rằng b chia hết a, ký hiệu là b|a.

Dựa vào cách ghi số trong hệ thập phân, chúng ta có thể xác định dấu hiệu chia hết cho một số tự nhiên a nào đó thông qua các chữ số của số bị chia Việc này giúp đơn giản hóa quá trình kiểm tra tính chia hết trong toán học.

Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b khác số 0, ta luôn tìm được hai số tự nhiên q và r duy nhất sao cho: a = b × q + r (0 ≤ r < b)

Nếu r = 0 thì ta có phép chia hết

Ví dụ: Phép chia 12 cho 3 là phép chia hết: 12 chia cho 3 được 4

“Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c”[16]

Vì a ⋮ b nên có q ∈ N để a = bq

Vì b ⋮ c nên có p ∈ N để b = cp

Từ đó a = bq = c (pq) Theo định nghĩa ta có a ⋮ c

Nếu a ⋮ b, a ⋮ b, … , a ⋮ b và x , x , … , x là những số tự nhiên tùy ý thì ta có: a x + a x + ⋯ + a x ⋮ b

Chứng minh Theo giả thiết tồn tại các số q , q , … , q ∈ N sao cho a = bq , … , a = bq

Và điều này lại chứng tỏ a x + a x + a x ⋮ b

Trong một đẳng thức a + a + ⋯ + a = m + m + ⋯ + m, nếu tất cả các số hạng, ngoại trừ một số hạng cụ thể, đều chia hết cho b, thì số hạng còn lại cũng phải chia hết cho b.

1.1.1.2 Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5

Số tự nhiên a chia hết cho 2 khi chữ số hàng đơn vị của nó là 0, 2, 4, 6, hoặc 8 Tương tự, số a chia hết cho 5 khi chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5.

2, 4, 6 hoặc 8 b) Số tự nhiên a chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị cùa nó là 0 hoặc 5

Chứng minh Giả sử 𝑎 = 𝑐 𝑐 … 𝑐 𝑐 Khi đó có thể viết 𝑎 = 𝑐 10 + ⋯ + 𝑐 10 + 𝑐 Hay 𝑎 = 10(𝑐 10 + 𝑐 10 + ⋯ + 𝑐 ) + 𝑐 = 10 𝑞 + 𝑐

Vì 10 chia hết cho 2 và 5 nên điều kiện cần và đủ để a chia hết cho 2 (hoặc 5) là: c chia hết cho 2 (hoặc 5).Đpcm

1.1.1.3 Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9

Một số chia hết cho 3 (tương ứng chia hết cho 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số đó chia hết cho 3 (tương ứng cho 9)

Mọi lũy thừa của 10 khi chia cho 3 hoặc 9 đều có dư bằng 1 Điều này có thể chứng minh thông qua công thức nhị thức Newton.

Vì vậy với số tự nhiên a ta có thể viết:

= 9 𝑞 + (𝑐 + 𝑐 + ⋯ + 𝑐 + 𝑐 ) Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ rằng a chia hết cho 3 (tương ứng cho 9) khi và chỉ khi 𝑐 + 𝑐 + ⋯ + 𝑐 + 𝑐 chia hết cho 3 (tương ứng cho 9).Đpcm

Ví dụ: a) Chia hết cho 3

15 có tổng các chữ số: 1 + 5 = 6 chia hết cho 3 ⇒ 15 chia hết cho 3

138 có tổng các chữ số là: 1 + 3 + 8 = 12 chia hết cho 3 ⇒ 138 chia hết cho 3 b) Chia hết cho 9

18 có tổng các chữ số: 1 + 8 = 9 chia hết cho 9 ⇒ 18 chia hết cho 9

189 có tổng các chữ số là: 1 + 8 + 9 = 18 chia hết cho 9 ⇒ 189 chia hết cho 9 1.1.1.4 Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25

Số tự nhiên a chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi số tạo bởi hai chữ số cuối cùng của nó tạo thành số chia hết cho 4 (hoặc 25)

Chứng minh Thật vậy, số tự nhiên a = c c … c c được viết thành

Vì 100 chia hết cho 4 và 25 nên a chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi c 10 chia hết cho 4 (hoặc 25) nghĩa là khi và chỉ khi c c chia hết cho 4 (hoặc 25).Đpcm

Quy tắc cơ bản để xác định một số có chia hết cho 4 hay không là kiểm tra hai chữ số cuối cùng của số đó Nếu số tạo thành từ hai chữ số này chia hết cho 4, thì số ban đầu cũng chia hết cho 4 Điều này bởi vì 100 chia hết cho 4, do đó việc thêm các hàng trăm, hàng nghìn, v.v không ảnh hưởng đến tính chất chia hết cho 4 Nếu số nào kết thúc bằng một trong các số có hai chữ số mà ta biết là chia hết cho 4, như 24, 04, hay 08, thì số tự nhiên đó sẽ chia hết cho 4, bất kể các chữ số đứng trước hai chữ số cuối cùng là gì.

Để kiểm tra xem một số có chia hết cho 4 hay không, bạn có thể chia đôi số đó và kiểm tra xem kết quả có chia hết cho 2 hay không Nếu kết quả chia đôi chia hết cho 2, điều đó có nghĩa là số ban đầu cũng chia hết cho 4 Phép chia này tương đương với việc chia số ban đầu cho 4.

Ví dụ: Quy tắc chung

2092 (Chỉ lấy hai chữ số cuối của số, loại bỏ đi các chữ số khác)

92 ÷ 4 = 23 (Kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 không)

2092 ÷ 4 = 523 (Nếu số thu được chia hết cho 4 thì số ban đầu chia hết cho 4) Cách khác

1720 ÷ 2 = 860 (Chia số ban đầu cho 2)

860 ÷ 2 = 430 (Kiểm tra xem kết quả vẫn còn có chia hết cho 2 không)

1720 ÷ 4 = 430 (Nếu kết quả chia hết cho 2 thì số ban đầu chia hết cho 4)

Với trường hợp phép chia hết cho 4 ta phải xét 2 trường hợp gồm:

Một số chia hết cho 4 khi 2 chữ số cuối của số đó là số 0 hoặc tổng 2 số cuối cùng chia hết cho 4

Ví dụ: 14676 chia hết cho 4 vì 2 chữ số cuối cùng 76 tạo thành một số chia hết cho 4 (76/4 = 19) Số 345 200 cũng chia hết cho 4 vì 2 chữ số cuối là số không

Một số sẽ chia hết cho 4 nếu khi nhân đôi chữ số hàng chục và cộng với chữ số hàng đơn vị, kết quả thu được chia hết cho 4.

Để kiểm tra số chia hết cho 4, ta lấy chữ số hàng chục nhân đôi và cộng với chữ số cuối Ví dụ, với số 64, ta có 2 × 6 + 4 = 16, và 16 chia hết cho 4, nên 64 cũng chia hết cho 4 Tương tự, với số 96, ta tính 9 × 2 + 6 = 24, và 24 chia hết cho 4, do đó 96 cũng chia hết cho 4.

Số 47 = 4 × 2 + 7 = 15 không chia hết cho 4 nên 47 không chia hết cho 4

1.1.1.5.Dấu hiệu chia hết cho 11

“Số tự nhiên a chia hết cho 11 khi và chỉ khi tổng các chữ số hàng chẵn trừ các chữ số hàng lẻ (hoặc ngược lại) là bội của 11”[16]

Chứng minh Trước hết ta nhận xét rằng một lũy thừa của 10 sẽ có dạng 11q hoặc 11q−1 Thật vậy:

Như vậy 10 = 11 q + 1 nếu n chẵn và 10 = 11 q − 1 nếu n lẻ

Do đó số tự nhiên a = c c … c c có thể viết thành

Nếu phép trừ không thực hiện được trong N, chúng ta cần đổi vai trò giữa tổng chữ số hàng chẵn và tổng chữ số hàng lẻ Đẳng thức cuối cùng cho thấy rằng a chia hết cho 11 khi và chỉ khi điều kiện này được thỏa mãn.

Ví dụ: Số 9873215 chia hết cho 11 vì:

1.1.1.6 Một số dấu hiệu chia hết mở rộng

Dấu hiệu chia hết cho 4

- Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4

- Các số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho 4

- Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho

- Các số chia hết cho 25 thì chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho

- Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8

- Các chữ số chia hết cho 8 thì ba chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho 8

- Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 125 thì chia hết cho

- Các số chia hết cho 125 thì ba chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho 125

- Các số có hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11 thì chia hết cho 11

- Các số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ của nó chia hết cho 11

Trong các bài toán nâng cao về chia hết, học sinh Tiểu học không chỉ gặp các dấu hiệu chia hết cho các số như 2, 5, 3, 9, 4, 25, 8, 125, 11 mà còn thường xuyên phải xử lý các bài toán liên quan đến 6, 12, 15, 18, 24, 36, 45, 99 Để giải quyết các bài toán này, bước đầu tiên là xác định điều kiện chia hết cho các số trên Việc tìm điều kiện chia hết yêu cầu phân tích số đó thành tích của các số nguyên tố, sao cho các số này chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

Như vậy, ta có điều kiện chia hết cho 6; 12; 15; 18; 24; 36; 45; 99 cụ thể như sau:

- Điều kiện chia hết cho 6

Một số tự nhiên chia hết cho 6 khi số đó chia hết cho cả 2 và 3

Một số tự nhiên chia hết cho 99 khi số đó chia hết cho 9 và 11

 Định lí: Với bất kì hai số tự nhiên a, b, b ≠ 0 Tồn tại duy nhất các số tự nhiên q và r sao cho:

𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏 Chứng minh a) Tồn tại Xét tập hợp:

Rõ ràng M là tập con của N có các tính chất:

 M bị chặn trên vì rõ ràng x ≤ a với mọi x ∈ M

Giả sử M có số lớn nhất là q, điều này có nghĩa là q ∈ M và q + 1 không thuộc M Ta có bq ≤ a ≤ b(q + 1) hay bq + b Đặt r = a − bq, ta có a = bq + r với 0 ≤ r ≤ b Để chứng minh tính duy nhất, giả sử tồn tại hai cặp số q, r và q', r' sao cho a = bq + r (0 ≤ r ≤ b) và a = bq' + r' (0 ≤ r' ≤ b).

Từ đó suy ra bq + r = bq + r

Nếu q ≠ q thì ta có thể giả sử q > q hay q = q + m

Với m ∈ N, m ≠ 0 Thay vào đẳng thức trên, ta được: bq + bm + r = bq + r hay r = bm + r ≥ b Mâu thuẫn

Vậy q = q và do đó cũng có r = r

 Định nghĩa: Đẳng thức a = bq + r, 0 ≤ r ≤ b gọi là phép chia có dư của a cho b, q gọi là số thương hụt, r gọi là số dư của phép chia a cho b

Chú ý: Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư khi số dư r = 0

Ví dụ: phép chia 7 cho 2 là phép chia có dư: 7 chia cho 2 được 3 (dư 1)

Trong một phép chia có dư thì:

+ Số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia

+ Trong phép chia có số chia là a (a >1) thì số dư lớn nhất là a − 1

+ Số dư nhỏ nhất trong phép chia có dư là 1

+ Số bị chia luôn lớn hơn số chia

+ Muốn tìm số bị chia = (Thương x Số chia) + Số dư

+Muốn tìm số chia = (Số bị chia − Số dư) : Thương.

Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

1 Cho hai số tự nhiên a và b, b ≠ 0 Khi a chia hết cho b, ta còn nói a là bội của b, hay b là ước của a

2 Ước chung và bội chung

 Nếu số tự nhiên b là ước đồng thời của các số a , a , … , a thì b gọi là một ước chung của a , a , … , a

 Nếu số tự nhiên a là bội đồng thời của các số b , b , … , b thì a gọi là một bội chung của b , b , … , b

Giả sử a, a, …, a là các số tự nhiên khác 0, tập hợp M các ước chung của chúng không rỗng và bị chặn trên Cụ thể, 1 luôn thuộc M và M bị giới hạn bởi số dương nhỏ nhất trong các số a Vì vậy, tồn tại số lớn nhất trong các ước chung của a, a, …, a.

1 Định nghĩa: Số lớn nhất d trong các ước chung của a , a , … , a gọi là ước chung lớn nhất của các số đó và kí hiệu là: d = ƯCLN (a , a , … , a )

Tập hợp các ước chung của a , a gồm: 1,3 Vậy

Tập M các ước chung của a , a là M = {1, 2, 3, 6}

3 Số nguyên tố cùng nhau và số nguyên tố sánh đôi

- Nếu ƯCLN (a , a , … , a ) = 1 thì ta nói rằng các số a , a , … , a nguyên tố cùng nhau

- Nếu ƯCLN (a , a ) = 1 với mọi chỉ số i, j = 1, 2,…,n ; i ≠ j thì ta nói a , a , … , a là nguyên tố sánh đôi hay đôi một nguyên tố cùng nhau

Ví dụ: 3 và 4 là nguyên tố cùng nhau

2,6,5 nguyên tố cùng nhau nhưng không nguyên tố sánh đôi

Chú ý: Rõ ràng các nguyên tố sánh đôi thì nguyên tố cùng nhau, nhưng ngược lại có những nguyên tố cùng nhau nhưng không nguyên tố sánh đôi

1.2.1.3 Các tính chất của ƯCLN a) Tính chất 1: Nếu b\a thì ƯCLN(a, b) = b

Theo giả thiết, b là ước chung lớn nhất (ƯCLN) của a và b, vì mọi ước chung của a và b đều không lớn hơn b Ngoài ra, nếu a = bq + r thì ƯCLN(a, b) cũng bằng ƯCLN(b, r).

Để chứng minh đẳng thức, cần chứng minh rằng hai tập hợp ước chung của a, b và b, r là trùng nhau Khi hai tập hợp này trùng nhau, phần tử lớn nhất của chúng cũng sẽ trùng nhau.

Giả sử d là ước chung của a và b, thì d cũng là ước của r = a – bq, từ đó d trở thành ước chung của b và r Ngược lại, nếu 𝛿 là ước chung của b và r, thì 𝛿 cũng là ước của a = bq + r, chứng tỏ 𝛿 là ước chung của a và b.

 Nếu m là một số tự nhiên khác 0 thì ƯCLN(am, bm) = m.ƯCLN(a, b)

 Nếu 𝛿 là một ước chung của a và b thì ƯCLN a δ,b δ =1 δ ƯCLN(a, b) Chứng minh

Nhân hai vế của các đẳng thức trong thuật toán Ơclit giữa a và b, ta có thể áp dụng cho am và bm, dẫn đến số dư khác 0 cuối cùng của thuật toán này là m.r Do đó, ƯCLN(am, bm) = m.r = m ƯCLN(a, b).

 Theo (*) ta có ƯCLN = δa δ, δb δ = δƯCLN a δ,b δ (∗∗)

Từ đó ta suy ra đẳng thức cần chứng minh

Hệ quả: giả sử d là một ước chung của a và b, điều kiện cần và đủ để d là ƯCLN của a, b là và nguyên tố cùng nhau

Chứng minh Nếu d = ƯCLN(a,b) theo (**) ta có Ư𝐶𝐿𝑁(𝑎

Ngược lại nếu ƯCLN , = 1 theo (∗) ta có: ƯCLN(a, b) = ƯCLN d.a d, d.b d = d ƯCLN(a d,b d) = d

Cho a1, a2,…an là các số tự nhiên khác 0, thì tập hợp các bội chung của a1, a2,…an không rỗng, vì tích của a1, a2,…an là một bội chung rõ ràng của các số này.

Do đó tồn tại số nhỏ nhất trong các bội chung của a1, a2,…an Ta có định nghĩa

- Định nghĩa: “Số nhỏ nhất trong các bội chung của a1, a2,…an gọi là bội chung nhỏ nhất của chúng và kí hiệu là BCNN(a 1 , a 2 ,…a n )”[15]

- Ví dụ: a = 2, a = 4, a = 6 Các bội chung của a1, a2, a3 là 12, 24, 36, 48,…Trong đó 12 là số nhỏ nhất, vậy 12 = BCNN(2, 4, 6)

1.2.2.2 Công thức xác định BCNN của hai số

Công thức: Để tìm BCNN của hai số a và b ta có công thức sau:

BCNN(a, b) = ab ƯCLN(a, b) Chứng minh

Kí hiệu d = ƯCLN(a,b), a = da1, b = db1 ta có a1, b1 nguyên tố cùng nhau Giả sử M là một bội chung tùy ý của a, b và M = ak, ta có 𝑎𝑘 ⋮ 𝑏

𝑆𝑢𝑦 𝑟𝑎 𝑎 𝑘 ⋮ 𝑏 Nhưng a1, b1 nguyên tố cùng nhau, nên suy ra k ⋮ b Đặt k = b t, ta có M = ab t = t

Mọi bội chung của a và b đều có dạng t, và số m là một bội chung của a và b Điều này chứng tỏ rằng m là số nhỏ nhất trong các bội chung của a và b.

Kết luận từ phép chứng minh cho thấy rằng BCNN của hai số a và b không chỉ là một bội chung mà còn là ước của mọi bội chung của chúng.

- Áp dụng: Tìm BCNN(12,18) ƯCLN (12,18) = 6

- Tính chất 1 Tập hợp các bội chung của a và b trùng với tập hợp các bội của BCNN(a, b) (Theo chứng minh trên)

- Tính chất 2 Nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì một số tự nhiên c chia hết đồng thời cho a và b sẽ chia hết cho tích ab

- Tính chất 3 a) BCNN(am,bm) = m.BCNN(a,b) b) Nếu 𝛿 là một ước chung của a và b thì

BCNN a δ,b δ = 1 δ BCNN(a, b) Chứng minh a) Ta có

BCNN(am, bm) = am bm ƯCLN(am, bm)= am bm m ƯCLN(a, b)

= m ab ƯCLN(a, b) = m BCNN(a, b) b) BCNN(a, b) = BCNN δ , δ = δ BCNN( , )

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh

- Tính chất 4 Giả sử m là một bội chung của a và b Điều kiện cần và đủ để m là BCNN(a, b) là và nguyên tố cùng nhau

Để chứng minh, ta xem xét điều kiện cần: Giả sử m = BCNN(a, b), nếu ƯCLN(a, b) = d ≠ 1 thì m sẽ là một bội chung của a và b, và m1 < m, dẫn đến mâu thuẫn, do đó a và b là nguyên tố cùng nhau Về điều kiện đủ, nếu ƯCLN(m, a) và ƯCLN(m, b) = 1 và m = BCNN(a, b), ta có m ⋮ m, ví dụ m = md, từ đó suy ra kết quả cần chứng minh.

1 = ƯCLN m a ,m b = ƯCLN m a d,m b d = d ƯCLN(m a ,m b ) Vậy d = 1 Đpcm.

Số nguyên tố và định lí cơ bản của số học

- Một số tự nhiên lớn hơn 1 và không có ước tự nhiên nào khác ngoài 1 và chính nó được gọi là số nguyên tố

Ký hiệu P là tập hợp các số nguyên tố Khi đó:

- Số tự nhiên lớn hơn 1mà không là số nguyên tố gọi là hợp số

- Ước của số tự nhiên khác 1 và khác chính nó được gọi là ước thực sự

Số nguyên tố được định nghĩa là số tự nhiên lớn hơn 1 mà không có ước thực sự, tức là chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.

- Số 1 và số 0 đều không phải là số nguyên tố mà cũng không phải là hợp số (số 1 chỉ có một ước số, số 0 có vô số ước số)

- Mỗi số tự nhiên n ∈ N ∗ có một và chỉ một trong ba khả năng: n =1; n là số nguyên tố; n là hợp số

1.3.1.2 Một số định lí cơ bản về số nguyên tố a) Bổ đề 1: Mọi số nguyên tố lớn hơn 1 đều chia hết cho ít nhất một số nguyên tố

Ta chứng minh bằng quy nạp

+ Với n = 2, do 2 là số nguyên tố nên bổ đề đúng

+ Xét n > 2 và giả sử bổ đề đúng với mọi số nguyên lớn hơn 1 và nhỏ hơn n

Ta sẽ chứng minh bổ đề đúng với n

Nếu n là số nguyên tố thì n ⋮ n và bổ đề đúng

Nếu n là hợp số thì n có ước dương a với a ≠ 1 và a ≠ n

Nếu a > n thì từ b ≥ 1 ta có n = a.b > n.1= n, mâu thuẫn Vậy 1< a < n Theo giả thiết quy nạp, a có ước nguyên tố p Từ p | a, a | n suy ra p | n

Vậy bổ đề đúng với mọi n > 1 b) Định lí Euclid

Tồn tại vô hạn các số nguyên tố

Chứng minh Giả sử chỉ có hữu hạn các số nguyên tố là 𝑝 , 𝑝 , … , 𝑝

Khi đặt N = 𝑝 𝑝 … 𝑝 + 1, ta thấy rằng N chia hết cho một số nguyên tố p nào đó, vì N > 1 Số nguyên tố p này phải thuộc tập hợp các số nguyên tố đã cho, nhưng theo định nghĩa của N, N không thể chia hết cho số p nào cả Điều này tạo ra một mâu thuẫn, từ đó chứng minh được điều cần chứng minh Ngoài ra, với số tự nhiên a và số nguyên tố p, có hai trường hợp xảy ra: p chia hết cho a hoặc (a, p) = 1.

Chứng minh Gọi d = (a, p) => d | p với p là số nguyên tố Từ đó hoặc d = 1 hoặc d = p

+ Nếu d = p thì p | a d) Nếu một số nguyên tố p chia hết tích của nhiều số nguyên tố thì nó phải trùng với một trong các số nguyên tố đó

1.3.2 Định lí cơ bản của số học

Mọi số tự nhiên a lớn hơn 1 có thể được phân tích thành tích của các thừa số nguyên tố, và sự phân tích này là duy nhất nếu không tính đến thứ tự của các thừa số.

Chứng minh a) Sự phân tích được

Giả sử 𝑎 ∈ N, a > 1 Khi đó bổ đề (a) a có ít nhất một ước nguyên tố p1 nào đó và ta có a = p1 a1, a1 ∈ N

Nếu a1 = 1 thì a = p1 là cách phân tích tầm thường của a

Nếu a1> 1 theo lý luận trên, a1 có ước nguyên tố p2 nào đó và ta có: a 1 = p 2 a 2 , a 2 ∈ N nên a = p 1 p 2 a 2

Nếu a2 = 1 thì a = p1.p2 là tích phân của a

Nếu a2 > 1 lại tiếp tục lý luận như trên, có số nguyên tố p3,…

Quá trình này sẽ kết thúc khi tồn tại một số nguyên dương n sao cho an = 1 và an-1 = pn, với pn là một số nguyên tố Dãy số a, a1, a2,… là các số tự nhiên, trong đó a > a1 > a2.

>…Như vậy, ta được a = p1.p2…pn là sự phân tích của a thành tích những thừa số nguyên tố b) Sự duy nhất

Giả sử tồn tại một số nguyên lớn hơn 1 có hai cách biểu diễn khác nhau dưới dạng tích các thừa số nguyên tố, với a là số nhỏ nhất thỏa mãn điều này, tức a = p1.p2…pm = q1.q2…qn, trong đó pi và qj là các số nguyên tố Do p1 chia hết cho q1.q2…qn, nên tồn tại một qj mà p1 chia hết qj, dẫn đến pi = qj Khi loại bỏ hai số nguyên tố này, ta có hai biểu diễn khác nhau của số a chia cho p1, điều này mâu thuẫn với giả thuyết rằng a là số nhỏ nhất Do đó, giả thuyết ban đầu là sai, chứng minh rằng mỗi số nguyên tố lớn hơn 1 chỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng tích các thừa số nguyên tố (không tính đến thứ tự).

1.3.3 Hàm  ( ), n hàm  ( ) n và hàm euler  ( ) n

1.3.3.1 Hàm 𝜏(𝑛) và hàm 𝜎(𝑛) a) Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1 Hàm số học    n xác định với mọi số nguyên dương n và biểu thị số các ước nguyên dương của n

Hàm số học    n xác định với mọi số nguyên dương n và biểu thị tổng các ước nguyên dương của n

 n   các số hạng đều bằng 1, số các số hạng bằng số các ước nguyên dương của n )

 còn được gọi là hàm đếm số các ước nguyên dương của n

Một vài giá trị đầu tiên của    n là :

Một vài giá trị đầu tiên của    n là:

Số tự nhiên n được coi là một số nguyên tố khi và chỉ khi số ước của n, ký hiệu là τ(n), bằng 2, hoặc tổng các ước của n, ký hiệu là σ(n), bằng n cộng 1 Công thức tính τ(n) và σ(n) là các yếu tố quan trọng trong việc xác định tính nguyên tố của số tự nhiên n.

Nếu n > 1 và n = 𝑝 𝑝 … 𝑝 là dạng phân tích tiêu chuẩn của n thì

Chứng minh Với n > 1 và k = 1 thì n = 𝑝 có và chỉ có ước là 1; 𝑝 , 𝑝 , … 𝑝 nên ta được 𝜏(𝑝 ) = 𝛼 + 1

Giả sử mệnh đề đúng với k – 1 ≥ 1 Khi ấy vì ƯCLN( 𝑝 𝑝 … 𝑝 𝑝 ) 1 và có 𝜏 có tính chất nhân nên

Tức là mệnh đề đúng với k Từ đó suy ra mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n > 1

Chúng ta có thể tìm công thức cho 𝜏(𝑛) và từ đó suy ra tính chất nhân của 𝜏(𝑛) Cụ thể, hàm số f(n) = 𝑛 có tính chất nhân, vì vậy với n có phân tích tiêu chuẩn 𝑝 𝑝 … 𝑝, ta có thể áp dụng tính chất này để nghiên cứu sâu hơn về 𝜏(𝑛).

Với s = 0 ta sẽ được kết quả

Từ công thức tính 𝜏(n) dễ dàng suy ra tính chất nhân của nó

Nếu n > 1 và n = 𝑝 𝑝 … 𝑝 là dạng phân tích tiêu chuẩn của nó thì σ(n) = …

Chứng minh Với n > 1 và k = 1 thì n = 𝑝 có và chỉ có các ước là 𝑝 , 𝑝 , … 𝑝 nên σ(n) = 1 + 𝑝 + 𝑝 + ⋯ + 𝑝 =

Giả sử mệnh đề đúng với k −1 ≥ 1 Khi ấy ta có σ(n) = σ(𝑝 𝑝 …𝑝 ) σ(𝑝 )

(Vì ƯCLN(𝑝 𝑝 …𝑝 , 𝑝 ) = 1 và σ(n) có tính chất nhân), nghĩa là mệnh đề đúng với k Từ đó suy ra mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n > 1

Ví dụ: n = 360 = 2 3 5 ta có σ(360) = = 1170 c) Tính chất của hàm 𝜏(n) và   n

Hàm    n và    n là những hàm nhân

- Hàm 𝜏(n) τ(n) là một hàm số có tính chất nhân

Ta có 𝜏(1) = 1 nên 𝜏 khác 0 Giả sử a, b 𝜖 N*, ƯCLN(a, b) = 1, ta phải chứng minh 𝜏(a.b) = 𝜏(a) 𝜏(b) Trước hết ta chứng minh d | ab  d = xy trong đó x | a, y | b và ƯCLN(x, y) = 1 (1)

Nếu a = 1 hoặc b = 1, thì điều này là hiển nhiên Giả sử a > 1 và b > 1, với a = 𝑝 𝑝 … 𝑝 và b = 𝑞 𝑞 … 𝑞 là dạng phân tích tiêu chuẩn Từ ƯCLN(a, b) = 1, ta suy ra rằng các số nguyên tố 𝑝 , 𝑝 , … , 𝑝 và 𝑞 , 𝑞 , … , 𝑞 là khác nhau Do đó, ab = 𝑝 𝑝 … 𝑝 𝑞 𝑞 … 𝑞 cũng là dạng phân tích tiêu chuẩn của ab.

Hay a | abd = xy với x = 𝑝 𝑝 … 𝑝 và y = 𝑞 𝑞 … 𝑞

Tức là a | abd = xy với x | a, y | b Thêm nữa rõ ràng ƯCLN(x, y) = 1

Từ kết quả trên ta suy ra được rằng 𝜏(ab) = 𝜏(a) 𝜏(b)

Hàm số σ(n) là một hàm số có tính chất nhân

Ta có σ(1) = 1 nên σ khác 0 Ta còn phải chứng minh ∀𝑎, 𝑏 𝜖 N*, ƯCLN(a, b) = 1 thì σ(ab) = σ(a)σ(b)

Thật vậy, giả sử x , x , … , x ( ) là các ước tự nhiên của y , y , … , y ( ) là các ước tự nhiên của b Ta có d | ab d = x y (i = 1, 2, …, 𝜏(𝑎); j = 1, 2,… 𝜏(𝑏)) Nên ta được σ(ab) = ∑ | 𝑑 = ∑ , ,… ( )x y

1.3.3.2 Hàm Euler 𝜑(𝑛) a) Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa Hàm số học   n xác định với mọi số nguyên dương n và biểu thị số các số nguyên dương không vượt quá n mà nguyên tố cùng nhau với n gọi là hàm Euler

 còn gọi là hàm đếm các số nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố với n

Ví dụ: Một vài giá trị đầu tiên của    n là:

Chú ý Nếu p là số nguyên tố thì   p   p 1 Điều ngược lại cũng đúng Mọi số tự nhiên p > 1 mà   p   p 1 đều là số nguyên tố b) Công thức tính hàm    n

Giả sử d là một ước nguyên dương của số tự nhiên n Số lượng các số nguyên dương không vượt quá n và có ước chung lớn nhất với n bằng d là n.

Bổ đề 2 Với mọi số nguyên dương n ta có  

- Với m  p  , trong đó p là một số nguyên tố vàlà một số tự nhiên khác 0, ta có    p   p   p   1  p    1  1 p  

- Với n > 1; Giả sử n  p 1 n 1 p 2 n 2 p k n k là sự phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên n thành tích các thừa số nguyên tố Khi đó ta có:

𝜑(𝑛)là hàm số có tính chất nhân

Ta có 𝜑(1) = 1 nên 𝜑 khác không Bây giờ giả sử a, b là hai số tự nhiên khác 0 nguyên tố cùng nhau Ta sẽ chứng minh rằng 𝜑(𝑎𝑏) = 𝜑(𝑎)𝜑(𝑏)

Thật vậy nếu a = 1 hoặc b = 1 thì đẳng thức là hiển nhiên Giả sử a > 1, b >

1 Ta lập bảng M gồm ab số tự nhiên từ 0 đến ab − 1 như sau

(b−1)a (b−1)a+1 (b−1)a + 2 … (b−1)a + (a−1) Bảng M có a cột và b hàng Các số trong bảng nằm có cột thứ y, hàng thứ x là ax + y trong đó x = 0, 1, , b − 1, y = 0, 1, a − 1

Một số trong bảng M là nguyên tố với tích ab khi và chỉ khi số đó nguyên tố với cả a và b Để xác định các số nguyên tố với tích ab, trước tiên, chúng ta cần tìm các số nguyên tố với a, sau đó trong số đó tiếp tục tìm các số nguyên tố với b.

Do ƯCLN(ax + y, a) = ƯCLN(y, a), các số trong M nguyên tố với a chỉ khi ở cột thứ y mà ƯCLN(y, a) = 1 Có tổng cộng 𝜑(a) cột thỏa mãn điều này Mỗi cột y chứa b số theo dạng ax + y (với x = 0, 1, , b − 1), theo mệnh đề đã nêu.

Trong bảng M, có đúng 𝜑(𝑎)𝜑 số nguyên tố với ab, vì có b số nguyên tố với b Theo định nghĩa, số các số trong bảng M nguyên tố với ab là 𝜑(ab) Do đó, ta có công thức 𝜑(ab) = 𝜑(a)𝜑(b).

KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN

Giải và khai thác một số dạng toán về dấu hiệu chia hết

2.1.1 Dạng 1: tìm số các số có k chữ số phân biệt được thành lập từ những chữ số cho trước thỏa mãn điều kiện chia hết

Có bao nhiêu số tự nhiên ba chữ số khác nhau có thể được tạo ra từ bốn chữ số 0, 4, 5, 9 và đáp ứng các điều kiện: a) Chia hết cho 2 và 5; b) Chia hết cho 9; c) Chia hết cho 36.

Hướng dẫn tìm lời giải a) Phân tích: Để giải được bài toán này cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và

+ Các số chia hết cho 2 thì có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8

+ Các số chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5

Để lập số chia hết cho cả 2 và 5, chữ số tận cùng chỉ có thể là số 0 Với điều kiện các chữ số phải khác nhau, chúng ta có thể xác định số cách chọn cho chữ số hàng chục và hàng trăm Từ đó, dễ dàng liệt kê và tìm ra các số cần lập.

Để số có dạng abc (với a ≠ 0 và a, b, c là các chữ số khác nhau) chia hết cho 2 và 5, chữ số c phải là 0 Do đó, ta kết luận rằng c = 0.

Vì số phải tìm có ba chữ số khác nhau nên a có ba cách chọn từ các chữ số a = 5; a = 5 hoặc a = 9

Khi đó, b chỉ còn hai cách chọn trong ba chữ số còn lại Như thế, số các số chia hết cho 2 và 5 là

Vậy 6 số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho cả 2 và 5 được lập từ bốn chữ số 0; 4; 5 và 9 b) Phân tích: Để giải bài toán cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 Như vậy, tổng các chữ số của số cần lập là số chia hết cho 9 Từ bốn chữ số 0; 4; 5 và 9 mà đề bài cho, ta sẽ chia thành hai nhóm có tổng các chữ số chia hết cho 9 để lập thành các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 9

Để tìm số cách chọn các chữ số từ nhóm 4, 5, 9, chúng ta tiến hành phân tích từng nhóm một Bằng cách lập luận logic, chúng ta xác định được số lượng lựa chọn cho mỗi chữ số trong số cần lập Cuối cùng, từ đó, chúng ta dễ dàng liệt kê và nhận diện các số cần thiết.

Lời giải: Gọi số cần lập có dạng 𝑎𝑏𝑐 (a ≠ 0; a,b,c là các chữ số khác nhau) Để 𝑎𝑏𝑐 chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó (a + b + c ) phải chia hết cho 9

Các số 9 và 18 đều chia hết cho 9 Các cặp số (0; 4; 5) và (4; 5; 9) chứa các chữ số khác nhau, cho phép tạo ra các cặp số ba chữ số khác nhau cũng chia hết cho 9 từ hai nhóm chữ số này.

Nhóm các chữ số 0, 4, 5 cho phép chọn a với hai cách, vì a không được bằng 0 Khi đã chọn a, b chỉ còn hai cách chọn và c chỉ còn một cách chọn, dẫn đến số lượng các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 9 là một con số cụ thể.

2 × 2 × 1 = 4 (số) Đó là các số 405; 450; 504; 540

+ Nhóm gồm các chữ số 4; 5; 9 Lập luận tương tự nhóm trước ta được số các chữ số chia hết cho 9 là

3 × 2 × 1 = 6 (số) Đó là các số 459; 495; 549; 594; 945; 954

Vậy 10 số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 9 được lập từ bốn chữ số 0; 4; 5 và 9 c) Phân tích: Bởi vì 36 = 4 × 9 nên số cần lập chia hết cho cả 4 và 9 Dựa và dấu hiệu chia hết cho 4 “ Các số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của số đó tạo thành số chia hết cho 4”[10], ta tìm được chữ số hàng chục và hàng đơn vị Tiếp theo, dựa vào yêu cầu của đề bài số đó là số có ba chữ số khác nhau, ta tìm được chữ số hàng trăm dựa vào chữ số hàng chục và hàng đơn vị vừa tìm được Cuối cùng, dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 ta đi loại các trường hợp không thỏa mãn

Để lập số có dạng 𝑎𝑏𝑐 (với a ≠ 0 và a, b, c là các chữ số khác nhau) chia hết cho 36, số này cần chia hết cho cả 4 và 9 Vì 36 = 4 × 9, nên để số chia hết cho 4, hai chữ số tận cùng 𝑏𝑐 phải tạo thành số chia hết cho 4 Do đó, 𝑏𝑐 chỉ có thể là 04 hoặc 40.

Do số phải tìm chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó là ( a + 4 + 0) phải chia hết cho 9 Khi đó a chỉ có thể là 5

Vậy có hai số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 36 được lập từ bốn chữ số đã cho

Để giải bài toán, chúng ta có thể liệt kê tất cả các khả năng có thể Đáp số bài toán chính là số khả năng a) Các số chia hết cho 2 và 5 cũng đồng nghĩa với việc chúng chia hết cho 10, bao gồm: 450, 490, 540, 590, 940, 950 b) Số chia hết cho 9 là số có tổng các chữ số chia hết cho 9, gồm: 405, 450, 504, 540, 459, 495, 549, 594, 945, 954 c) Các số chia hết cho 36 phải chia hết cho cả 4 và 9, trong đó số 540 là một ví dụ.

Có bao nhiêu số tự nhiên ba chữ số khác nhau được tạo ra từ bốn chữ số 0, 4, 5, 7, và đáp ứng các điều kiện: a) Chia hết cho 2 và 5, b) Chia hết cho 9, c) Chia hết cho 36.

Bài toán 2 đặt ra câu hỏi về số lượng số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ bốn chữ số 0, 4, 5, 8 Cụ thể, chúng ta cần tìm các số thỏa mãn ba điều kiện: a) Chia hết cho 2 và 5, b) Chia hết cho 9, và c) Chia hết cho 36 Việc phân tích các điều kiện này sẽ giúp xác định số lượng số hợp lệ trong tập hợp đã cho.

Bài toán 3 yêu cầu tìm số lượng số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ bốn chữ số 0, 4, 5, 6, với các điều kiện: a) Số đó phải chia hết cho 2 và 5; b) Số đó phải chia hết cho 3; c) Số đó phải chia hết cho 36.

Bài toán yêu cầu tìm số lượng số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo từ bốn chữ số a, b, c, d với các điều kiện: a) Chia hết cho 2; b) Chia hết cho 5; c) Chia hết cho 2 và 5; d) Chia hết cho 3; e) Chia hết cho 9; f) Chia hết cho 4; g) Chia hết cho 36 Việc xác định các số này giúp hiểu rõ hơn về tính chất và quy luật của các số tự nhiên trong toán học.

Ví dụ 2.1.1.2 Cho bốn chữ số 0; 1; 5; 8 Hãy thiết lập các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 6

Hướng dẫn tìm lời giải

Phân tích: Bởi vì 6 = 2 × 3 nên để làm được bài toán này cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và 3

Từ dấu hiệu chia hết cho 2, ta tìm được chữ số tận cùng là 0 hoặc 8

Sau đó, dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 và các chữ số cần lập phải khác nhau mà ta tìm được hai chữ số còn lại

Lời giải: Bởi vì 6 = 2 × 3 nên các số chia hết cho 6 sẽ chia hết cho cả 2 và 3 Dựa vào 4 chữ số đã cho là 0; 1; 5; 8 ta có thể lập được

+ Các số chia hết cho 2 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 8

+ Các số chia hết cho 3 có tổng các chữ số chia hết cho 3

Mà 6 ⋮ 3; 9 ⋮ 3 và (0; 1; 5) và (0; 1; 8) là những cặp số có các chữ số khác nhau nên các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 6 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 8 sẽ được lập từ hai nhóm chữ số trên

Vậy các số đó là: 150; 510; 108; 180; 810

Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu

Ví dụ 2.2.1 Không làm phép tính, hãy cho biết các tổng và hiệu sau đây có chia hết cho 3 hay không? Vì sao?

Để xác định xem một phép tính có chia hết cho 3 hay không, chúng ta cần phân tích từng số hạng, số bị trừ và số trừ trong phép tính Sau đó, dựa vào tính chất chia hết của tổng hoặc hiệu, chúng ta có thể đưa ra kết luận chính xác.

+ Vì 240 và 123 đều chia hết cho 3 nên:

+ Các số 459, 690, 1236 đều chia hết cho 3 nên: c) 459 + 690 + 1236 chia hết cho 3

+ Số 2454 chia hết cho 3 và 374 không chia hết cho 3 nên :

2454 + 374 2454 − 374 Đều không chia hết cho 3

+ 541 không chia hết cho 3; 690 và 1236 chia hết cho 3 nên: f) 541 + 690 + 1236 không chia hết cho 3

Một số kiến thức cần lưu ý :

Cho n là một số tự nhiên khác 0, ta có các khẳng định sau:

+ Nếu mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho n thì tổng của chúng cũng chia hết cho n;

+ Nếu số trừ và số bị trừ đều chia hết cho n thì hiệu chia hết cho n

+ Nếu một số hạng không chia hết cho n và các số hạng còn lại đều chia hết cho n thì tổng không chia hết cho n

+ Hiệu giữa một số chia hết cho n và một số không chia hết cho n là một số không chia hết cho n

Bài toán 1: Không làm phép tính, hãy cho biết các tổng và hiệu sau đây có chia hết cho 9 hay không? Vì sao? a) 240 + 123; b) 240 − 123; c) 459 + 690 + 1236; 2454 + 374; e) 2454 − 374; f) 541 + 690 + 1236;

Bài toán 2: Không làm phép tính, hãy cho biết các tổng và hiệu sau đây có chia hết cho 12 hay không? Vì sao? a)340 + 234; b) 340 – 123; c) 459 + 690; d) 2454 + 374 + 524 e) 2454 − 374; f) 541 + 690;

Không làm phép tính hãy chứng tỏ một biểu thức chia hết hay không chia hết cho một số tự nhiên

Vào năm học 2005 – 2006, một trường tiểu học có 462 học sinh tiên tiến và 195 học sinh giỏi Ban Giám hiệu quyết định thưởng cho mỗi học sinh giỏi nhiều hơn mỗi học sinh tiên tiến 2 quyển vở Cô văn phòng ước tính cần mua 2006 quyển vở để đủ phát thưởng Câu hỏi đặt ra là liệu cô văn phòng có tính đúng hay sai, và cần giải thích lý do cho sự tính toán đó.

Để giải quyết dạng toán này, chúng ta cần xác định số học sinh giỏi và học sinh tiên tiến là những số chia hết cho bao nhiêu Khi đó, số vở thưởng cho mỗi loại học sinh sẽ là số chia hết cho số đó Nếu tổng số vở cần mua chia hết cho số đó thì cô văn phòng tính đúng, ngược lại cô văn phòng tính sai.

462 và 195 đều là những số chia hết cho 3, do đó số vở thưởng cho mỗi loại học sinh cũng phải là số chia hết cho 3 Kết luận, tổng số vở phát thưởng sẽ là số chia hết cho 3, nhưng 2006 lại không chia hết cho 3.

Vậy cô văn phòng đã tính sai

Trong năm học 2005 – 2006, một trường tiểu học có 460 học sinh tiên tiến và 195 học sinh giỏi Ban Giám hiệu dự định thưởng cho mỗi học sinh giỏi nhiều hơn mỗi học sinh tiên tiến 2 quyển vở Nếu cô văn phòng tính rằng cần mua 2006 quyển vở để phát thưởng, thì tính toán này là sai Cần xác định số quyển vở cụ thể cho từng loại học sinh để có con số chính xác hơn.

Công ty A có 1790 công nhân và 100 cán bộ, với mức thưởng cho mỗi cán bộ cao hơn mỗi công nhân 500.000 đồng Kế toán ước tính cần chuẩn bị 100.000.000 đồng cho khoản thưởng này Để xác định tính chính xác của con số này, cần tính tổng số tiền thưởng cho cả công nhân và cán bộ Nếu số tiền kế toán tính toán không đủ để chi trả cho mức thưởng đã đề ra, thì cô kế toán đã tính sai.

Một gia đình nuôi 120 con gà và 80 con vịt Mỗi ngày, mỗi con vịt cần được cho ăn nhiều hơn mỗi con gà 5 gam ngô Chủ nhà đã tính toán lượng thức ăn cần thiết cho đàn gia cầm hàng ngày.

20 kg ngô là vừa đủ Hỏi cô chủ nhà tính đúng hay sai? Giải thích tại sao?

Không làm phép tính hãy chứng tỏ một biểu thức chia hết hay không chia hết cho một số tự nhiên

Bài 1 Không làm phép tính, hãy xem các tổng và hiệu dưới đây có chia hết cho 3 hay không?

Bài 2 Có 5 tờ giấy Xé mỗi tờ giấy thành 6 mảnh Sau đó, lại lấy một số mảnh xé thành 6 mảnh nhỏ…Khi ngừng xé theo quy luật trên, người ta đếm được 2011 mảnh lớn, nhỏ cả thảy Hỏi người này đếm đúng hay sai?

Bài 3 Hai bạn Nhung và Minh đi mua 9 gói kẹo và 6 gói bánh để lớp liên hoan Nhung đưa cho cô bán hàng hai tờ giấy 50 000 đồng và cô trả lại 36 000 đồng Minh nói ngay “Cô tính sai rồi” Hãy cho biết Minh nói đúng hay sai? Tại sao? Biết rằng giá một gói kẹo và bánh là một số nguyên đồng

Bài 4 Công ty X có một số công nhân hưởng mức lương 360 000 đồng, một số khác hưởng mức 495 000 đồng và số còn lại hưởng mức 672 000 đồng một tháng Sau khi phát lương cho công nhân, cô kế toán cộng sổ hết 273 815 000 đồng cả tháng Hỏi cô kế toán tính đúng hay sai? Tại sao?

Tìm chữ số tận cùng

2.3.1 Dạng 1: xác định số chẵn, số lẻ

Các kiến thức cần ghi nhớ:

- Tổng các số chẵn là một số chẵn

- Tổng chẵn số lẻ là một số chẵn, tổng lẻ số lẻ là một số lẻ

- Hiệu hai số chẵn là 1 số chẵn, hiệu hai số lẻ là 1 số chẵn

- Hiệu giữa số chẵn và số lẻ (hoặc số lẻ và số chẵn) là 1 số lẻ

- Tích các thừa số lẻ là 1 số lẻ, tích các thừa số trong đó có 1 thừa số chẵn sẽ là số chẵn

Ví dụ 2.3.1.1 Tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số chẵn hay lẻ? (không cần tính tổng)

Hướng dẫn tìm lời giải:

Lời giải: Từ 1 đến 1997 có 1997 số tự nhiên liên tiếp, trong đó các số lẻ gồm: 1; 3; 5; 7; …; 1997 và các số chẵn gồm có 2; 4; 6; 8; …; 1996

Số lượng số lẻ là: (1997 − 1) : 2 + 1 = 999 ( số)

Số lượng số chẵn là: (1996 – 2) : 2 + 1 = 998 ( số)

Tổng của 999 số lẻ luôn là một số lẻ, trong khi tổng của 998 số chẵn là một số chẵn Khi cộng một số chẵn với một số lẻ, kết quả cũng là một số lẻ Do đó, tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 sẽ là một số lẻ.

Từ 1 đến 1997 có 1997 số Ta có (1+1997) + (2+1996) + (3+1995) + … (998 +

Có tất cả là 998 cặp và dư 1 số Số đó là 999

Số 1998 là số chẵn, vì vậy khi nhân với bất kỳ số nào, kết quả cũng sẽ là số chẵn Ngược lại, số 999 là số lẻ Khi cộng một số chẵn với một số lẻ, tổng sẽ luôn là một số lẻ.

Vậy tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số lẻ

Bài toán 1: Tổng của 1986 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số chẵn hay lẻ? (không cần tính tổng)

Tính tổng của n số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ k là một số chẵn hay lẻ? (Không cần tính tổng)

Ví dụ 2.3.1.2 Không cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích: a) 672 × 41 × 37 = 1 019 423 b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9161

Phân tích: a) Dựa vào tính chất “Tích các thừa số lẻ là 1 số lẻ, tích các thừa số trong đó có

Một thừa số chẵn sẽ luôn tạo ra một số chẵn Ví dụ, các số 1.472, 6.210, 532 và 946 đều là số chẵn, điều này khẳng định tính chất của phép tính trên là đúng.

“Tổng các số chẵn là một số chẵn”[9] ta xét hai vế để xác định tính đúng sai của phép tính

Lời giải: a) Kết quả là sai Vì có một thừa số chẵn (672) nên tích phải là số chẵn mà

1 019 423 là số lẻ b) Kết quả sai Vì có tổng các số chẵn là số chẵn mà 9 161 là số lẻ

Bài toán 1: Không cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích: a) 672 × 41 × 37 = 1 019 427 b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9164

Bài toán 2: Không cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích: a) 672 × 41 × 37 = 31 857 × 32 b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9164 + 123

Bài toán 3: Không cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích: a) 41 × 37 = 56 × 27 b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9164 + 123 + 128

2.3.2 Dạng 2: xác định một chữ số tận cùng

1- Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy

2- Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy

3- Tích một số chẵn với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 0

- Tích một số lẻ với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 5

- Tích các số tận cùng là 1 thì tận cùng là 1, tận cùng là 6 thì là 6

- Tích a x a không thể tận cùng bằng 2; 3; 7; hoặc 8

Ví dụ 2.3.2.1 Tính 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × × 48 × 49 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?

Trong tích đó có các thừa số chia hết cho 5 là :

Mỗi thừa số 5 nhân với 1 số chẵn cho ta 1 số tròn chục mà tích trên có 10 thừa số 5 nên tích tận cùng bằng 10 chữ số 0

Khai thác bài toán (1)Bài toán tương tự

Bài toán 1 Tính xem 1 × 2 ×…× 2021 có bao nhiêu chữ số 0

Bài toán 2 Tính xem 1 × 2 ×…× 1999 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0 Bài toán 3 Tính xem 1 × 2 ×…× 1994 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0

Tính xem 1 × 2 ×…× n = n! có bao nhiêu chữ số 0

1) Phần nguyên: [𝑥] là số nguyên [𝑥] ≤ x < [𝑥] + 1

[3,2] = 3, [−2,5] = −3 (chú ý: phần nguyên số âm)

1) Số các bội số của số a ∈ N, a ≥ 1 (không tính số 0)

Không vượt quá n: a, 2a, 3a, …, ka,… Đó là số k lớn nhất để ka ≤ n => Suy ra ka ≤ n ≤ (k + 1)a

Vậy k Có tất cả bội số dương của a không vượt quá n

3) Tìm số mũ của số nguyên tố p trong phân tích tiêu chuẩn của n!, n! =1 × 2 ×…× n

• Số bội của p: (Vì các số cuất hiện trong n! là 1, 2, 3,…, n nên chỉ xét các bội ≤ n)

Nhìn hình thức tưởng rằng tổng là vô hạn, tuy nhiên nó chỉ kéo dài đến k mà p ≤ 𝑛, còn với k sao cho 𝑝 > 𝑛 => < 1 => = 0 k > log n

Vậy thực chất, số mũ của p là:

Số chữ số 0 xuất hiện trong A là số thừa số 10 trong phân tích A thành tích các thừa số (số mũ của 10)

• Số thừa số 2 (số mũ của 2) trong phân tích A:

Do đó A có 10 chữ số 0 ở tận cùng

Ví dụ 2.3.2.2 Tìm chữ số tận cùng của:

Lời giải: Ở bài này, chúng ta thấy chữ số tận cùng của các số có quy luật lặp lại, 1, 2, 3 10 rồi quay lại 1, 2

Nhìn vào cách tách trên ta thấy, mỗi nhóm là tổng của 5 tích, và mỗi nhóm này sẽ có chữ số tận cùng giống nhau (đều là 0)

Nếu chữ số tận cùng là 0, thực tế chúng ta không cần tìm số nhóm vì 0 nhân với bất kỳ số nào cũng sẽ tận cùng là 0 Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể tìm số nhóm để xác định số lượng nhóm có thể tạo thành.

Hãy chú ý số cuối cùng của mỗi nhóm (phần bôi đậm) Ta có khoảng cách là 10:

Lẻ ra 1 thừa số, 2011× 2012 tận cùng là 2, tổng của 201 nhóm tận cùng là 0

+ 2020 × 2021 (tận cùng 0) + 2021 × 2022 (tận cùng 2) Đáp số: 2

A = 1 × 2 + 3 × 4 + 5 × 6 + ⋯ + ( × 10 − 1) × × 10) Ở đây × 10) là số lớn nhất chia hết cho 10 (bội của 10) và không vượt quá n ( ≤ 𝑛)

Chính là số tận cùng là 0 nên ≤ 𝑛

(trong ví dụ 2.4.2.2 là số 2010)

Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng: A = 1 × 2 + 3 × 4 + 5 × 6 + ⋯ + 145 × 146

Số tận cùng 0 (Số chia hết cho 10) lớn nhất mà ≤ 145 là × 10) = ×14 = 140

Do đó ta ghép đôi ( × 10 − 1)( × 10) = 139 × 140

Bài 1 Tích sau có tận cùng là bao nhiêu chữ số 0 ? a) 13 × 14 × 15 × … × 22 b) 1 × 2 × 3 × …× 50

Hỏi M có tận cùng là bao nhiê chữ số 0 ?

Bài 3 Không cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích

Bài 4 Tìm chữ số tận cùng của tích sau:

Vận dụng tính chất chia hết và chia có dư để giải bài toán có lời văn

Số học sinh của một trường tiểu học có đặc điểm là khi chia cho 3, 4 hoặc 5 đều dư 1 Số lượng học sinh này nằm trong khoảng từ 450 trở lên.

500 Bạn hãy tính số học sinh của trường đó

Ta gọi số học sinh của trường đó là x

Theo đề bài, suy ra x – 1 chia hết cho 3, 4 và 5 Do đó, ta có thể biểu diễn x – 1 ở dạng x – 1 = 3 × 4 × 5 × k, với k ∈ N; hay x = 60k + 1

Do số học sinh vào khoảng từ 450 đến 500, nên ta có 450 ≤ x ≤ 500 hay 449 ≤ 60k ≤ 499 (*)

Thử chọn với k ∈ N, ta có k = 8 thỏa mãn (*) Thay giá trị k = 8 vào x = 60k + 1 ta được x = 481 Vậy số học sinh của trường đó là 481

Giả sử số học sinh của trường đó là x Thì x là số có 3 chữ số, x = 𝑎𝑏𝑐

Theo đề bài, chúng ta chỉ xét với a = 4 hoặc a = 5

Khi a = 4 thì 5 ≤ b ≤ 9, hoặc khi a = 5 thì b = 0 (*)

Theo giả thiết, suy ra x – 1 = 𝑎𝑏𝑐 − 1 chia hết cho 3, 4 và 5

Trường hợp c = 6 Khi đó phải có 𝑎𝑏𝑐 − 1 = 𝑎𝑏5 ⋮ 4, suy ra 𝑎𝑏5 ⋮ 2 Điều này không xảy ra vì 𝑎𝑏5 có chữ số đơn vị là 5, nó là một số lẻ Vậy c ≠ 6 do đó c = 1

Khi xét các giá trị của b trong khoảng từ 0 đến 8, chúng ta chỉ tập trung vào b = 0, 6 hoặc 8 Với b = 0, giá trị a không thuộc các trường hợp đã xét Với b = 6, giá trị a cũng không phù hợp Do đó, chỉ còn lại b = 8, lúc này a có thể là 1, 4 hoặc 7, và chỉ có a = 4 là hợp lệ Kết luận, số học sinh của trường đó là 481.

Số học sinh của một trường tiểu học có đặc điểm là khi chia cho 3, 4 hoặc 5 đều cho số dư là 1, và nằm trong khoảng từ 600 đến 650 Để tìm số học sinh của trường, ta cần xác định số nào thỏa mãn các điều kiện trên trong khoảng đã cho.

Số học sinh của một trường tiểu học có tính chất đặc biệt là khi chia cho 5, 6 hoặc 7 đều có số dư là 1 Số lượng học sinh này nằm trong khoảng nhất định, cần xác định rõ ràng để phục vụ cho việc quản lý và tổ chức lớp học hiệu quả.

550 đến 600 Bạn hãy tính số học sinh của trường đó

Qua cách giải bài toán trên, chúng ta thấy rằng:

1 Phương pháp chủ yếu để giải chúng là vận dụng tiêu chuẩn chia hết cho các số

2 Với bài toán liên quan đến chia có dư, chúng ta cần tìm cách thích hợp chuyển về chia hết để sử dụng tiêu chuẩn chia hết

3 Phương pháp vận dụng tiêu chuẩn chia hết để giải các bài toán ở dạng trên chỉ là một trong nhiều cách giải

Ví dụ 2.4.2 Một số tự nhiên chia hết cho 4 và 9 Tìm số đó, biết thương khi chia cho 4 lớn hơn thương khi chia cho 9 là 340

Bài toán yêu cầu tìm hai số khi biết hiệu của chúng là 340 và tỉ số giữa hai số này Do hiệu này chia hết cho 4 và 9, ta có thể suy ra được tỉ số của hai thương Như vậy, bài toán có thể được chuyển thành dạng quen thuộc: “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của chúng”.

Lời giải: Gọi thương của phép chia số phải tìm cho 4 là thương thứ nhất, thương của phép chia số phải tìm cho 9 là thương thứ hai

Để tìm số chia hết cho 4 và 9, ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa hai thương, trong đó thương thứ nhất bằng thương thứ hai và hiệu của chúng là 340 Nếu xem thương thứ nhất là 9 phần bằng nhau, thì thương thứ hai sẽ là 4 phần tương ứng.

Bài toán 1 Một số tự nhiên chia hết cho 5 và 9 Tìm số đó, biết thương khi chia cho 5 lớn hơn thương khi chia cho 9 là 520

Bài 1 Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh ( trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả) Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104, 115, 132, 136 và 148 quả Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy số chanh còn lại gấp 4 lần số cam Hỏi lúc ban đầu cửa hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại?

Bài 2 Ba xe lam xuất phát từ lúc 7 giờ ở cùng một bến xe chở khách đi ba nơi khác nhau Xe thứ nhất quay về sau 25 phút, nghỉ lại 5 phút rồi tiếp tục đi

Ba xe xuất phát cùng một lúc từ bến xe, xe thứ hai quay về sau 35 phút và nghỉ 10 phút trước khi tiếp tục Xe thứ ba quay về sau 45 phút và nghỉ 15 phút trước khi tiếp tục Câu hỏi đặt ra là vào lúc mấy giờ ba xe lại cùng xuất phát trong buổi sáng cùng ngày?

Bài 3 Hoàng mua 6 quyển vở, Hùng mua 3 quyển vở Hai bạn góp số vở của mình với số vở của bạn Sơn rồi chia đều cho nhau Sơn tính rằng mình phải trả các bạn đúng 800 đồng Tính giá tiền một quyển vở, biết rằng cả ba bạn cùng mua một loại vở

Bài 4 Lớp 4A có ít hơn 35 học sinh và nhiều hơn 20 học sinh Nếu học sinh lớp 4A xếp thành 3 hàng hoặc 5 hàng thì không thừa, không thiếu bạn nào Tìm số học sinh của lớp 4A

Bài 5 Một cửa hàng thực phẩm có 7 rổ đựng trứng gà và trứng vịt ( mỗi rổ chỉ đựng một loại trứng) Số trứng trong mỗi rổ lần lượt là: 47, 54, 60, 66, 75,

Sau khi bán hết 6 rổ trứng, người bán hàng chỉ còn lại một rổ trứng gà Trong số trứng đã bán, số trứng vịt gấp 3 lần số trứng gà Hãy xác định số lượng trứng gà và trứng vịt ban đầu có trong cửa hàng.

Bài 6 Một của hàng có 6 thùng bột giặt lần lượt là: 15 kg, 16 kg, 18 kg, 19 kg, 20 kg và 31 kg Cửa hàng bán một ngày hết 5 thùng Tính ra khối lượng bột giặt bán buổi sáng gấp đôi buổi chiều Hỏi cửa hàng còn thùng bột giặt loại nào? Bài 7 Một người hỏi anh chàng chăn cừu: “Anh có bao nhiêu con cừu” Anh chăn cừu trả lời: “ Số cừu của tôi nhiều hơn 4 000 con nhưng không quá 5 000 con Nếu chia số cừu cho 9 thì dư 3, chia cho 6 cũng dư 3, còn chia cho 25 thì dư 19” Hỏi anh đó có bao nhiêu con cừu?

Bài 8 Tổng số học sinh khối 1 của một trường Tiểu học là số có ba chữ số có chữ số hàng trăm bằng 3 Nếu các em xếp hàng 10 hoặc hàng 12 đều dư 8, mà xếp hàng 8 thì không dư Tính số học sinh khối 1 của trường đó.

Dạng toán về tìm thương, số chia, số dư trong phép chia euclid

Ví dụ 2.5.1 Khi chia 100 cho một số tự nhiên, ta tìm được số dư bằng 16 Tìm số chia và thương gần đúng trong phép chia đó

Phân tích: Khi chia 100 cho một số tự nhiên thì ta được số dư là 16 Do đó,

Số chia phải lớn hơn 16 Ta có 100 = 𝑎 × 𝑏 + 16 Từ đó rút a ta tìm được điều kiện của b

Gọi số chia là a, thương là b a, b ≠ 0, a > 16

Vậy số chia và thương gần đúng trong phép chia 100 cho một số tự nhiên được số dư bằng 16 là: a = 21, b = 4; a = 28, b = 3; a = 42, b = 2; a = 84, b = 1

Bài toán 1: Khi chia 120 cho một số tự nhiên, ta được số dư bằng 20 Tìm số chia và thương gần đúng trong phép chia đó

Bài toán 2: Khi chia 140 cho một số tự nhiên, ta được số dư bằng 16 Tìm số chia và thương gần đúng của phép chia đó

Bài toán 3: Khi chia 170 cho một số tự nhiên, ta được số dư bằng 18 Tìm số chia và thương gần đúng của phép chia đó

Khi chia n cho x, ta được số dư r Tìm số chia x và thương q n = 𝑥 × 𝑞 + 𝑟

Ví dụ 2.5.2 Khi chia một số tự nhiên cho 38, ta được thương gần đúng bằng

15 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của số bị chia và số dư trong phép chia đó

Trong phân tích số học, số dư của một số luôn nhỏ hơn số chia (38), và được ký hiệu là r Công thức xác định số bị chia là: số bị chia = 38 × 15 + r Giá trị nhỏ nhất của số bị chia xảy ra khi r đạt giá trị nhỏ nhất, trong khi giá trị lớn nhất của số bị chia xảy ra khi r đạt giá trị lớn nhất.

Số dư của một số luôn nhỏ hơn số chia (38), gọi số dư là r, số bị chia là n

Ta có 0 ≤ 𝑟 ≤ 37 nên n – 570 ≤ 37 Suy ra 570 ≤ n ≤ 602

Vậy n nhỏ nhất khi r nhỏ nhất và n lớn nhất khi r lớn nhất

Bài toán 1 Khi chia một số tự nhiên cho 38, ta được thương gần đúng bằng

Khi thực hiện phép chia một số tự nhiên cho b, thương gần đúng thu được là q Để xác định giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của số bị chia cũng như số dư trong phép chia này, ta cần phân tích các yếu tố liên quan đến b và q.

Nhận xét: n = bq + r (b là số chia; b, q đã biết) r = n – bq n, r biến thiên cùng nhau

+ Nếu n giảm thì r giảm n lớn nhất thì r lớn nhất và ngược lại n bé nhất thì r bé nhất

Trong chương 2, tôi đã trình bày một số dạng toán liên quan đến lý thuyết chia hết trong tập số tự nhiên, kèm theo ví dụ cụ thể và hướng dẫn chi tiết cách tìm lời giải Để làm rõ hơn các dạng toán, tôi đã khám phá thêm bằng cách đưa ra các lời giải thay thế, bài toán tương tự với sự thay đổi số liệu và bối cảnh, cũng như các bài toán khái quát Ngoài ra, tôi cũng cung cấp các bài tập tham khảo cho từng dạng để người học có thể ôn tập và luyện tập hiệu quả.

MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC

Tiêu đề	Lí Thuyết Chia Hết Trong Tập Số Tự Nhiên Và Mối Liên Hệ Với Một Số Nội Dung Môn Toán Ở Tiểu Học
Tác giả	Trần Thanh Loan
Người hướng dẫn	TS. Nguyễn Tiến Mạnh
Trường học	Trường Đại Học Hùng Vương
Chuyên ngành	Giáo Dục Tiểu Học
Thể loại	khóa luận tốt nghiệp
Năm xuất bản	2021
Thành phố	Phú Thọ

Định dạng
Số trang	109
Dung lượng	2,2 MB