CHUYÊN ĐỀ COVID 19 NĂM 2020 BÙI NGỌC DIỆP MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM QUA CÁC KỲ THI OLYMPIC TOÁN skkn Mục lục Mở đầu 2 1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH 4 2 PHƯƠNG PHÁP TỔN[.]
CHUYÊN ĐỀ COVID-19 - NĂM 2020 BÙI NGỌC DIỆP MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM QUA CÁC KỲ THI OLYMPIC TỐN skkn Mục lục Mở đầu PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP 53 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 90 MỘT SỐ BÀI TOÁN TỰ LUYỆN 103 Kết luận 107 Tài liệu tham khảo 107 skkn Mở đầu Hàm số đối tượng nghiên cứu trung tâm Toán sơ cấp Một chủ đề liên quan đến hàm số thường xuyên xuất kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia kỳ thi Olympic toán Quốc tế giải phương trình hàm, bất phương trình hàm Đối với phương trình, bất phương trình đại số sách giáo khoa, mục tiêu tìm biến chưa biết phương trình hàm, bất phương trình hàm cần phải tìm "hàm số" thỏa mãn số điều kiện ràng buộc cho trước tốn Đây chủ đề khó Đừng trước toán thuộc chủ đề này, học sinh phải nắm vững kĩ thuật, phương pháp giải, phải có xử lí khéo léo đứng trước tình cụ thể Chúng ta có nhiều phương pháp hướng tiếp cận khác toán thuộc chủ đề Với mục tiêu muốn đóng góp phần việc hoàn thành tranh tổng thể phương pháp giải phương trình hàm bất phương trình hàm, chuyên đề giới thiệu tới bạn đọc hai phương pháp thường sử dụng để giải toán thuộc chủ đề thơng qua tốn cụ thể, phương pháp giải tích phương pháp tổng hợp Trong phương pháp, đưa hệ thống toán với lời giải chi tiết, rõ ràng Hơn nữa, sau lời giải, đưa nhận xét, phân tích, bình luận để giúp người đọc có cách nhìn tổng quan tốn phương pháp sử dụng Mục tiêu chuyên đề giới thiệu phương pháp giải tích phương pháp tổng hợp với kĩ thuật đặc trưng thơng qua ví dụ cụ thể thơng qua số tốn phương trình hàm, bất phương trình xuất kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Chuyên đề bố cục sau Trong chương 1, chúng tơi giới thiệu phương pháp giải tích thơng qua hệ thống toán với kĩ thuật lưu ý cần thiết sử dụng phương pháp skkn Trong chương 2, giới thiệu tới bạn đọc phương pháp tổng hợp thơng qua hệ thống gồm mười tốn khác Đây phương pháp thơng dụng nhất, kết hợp nhiều phương pháp, kĩ thuật khác Trong chương 3, chúng tơi đưa số tốn khác mà phương pháp giải chúng hai phương pháp nói khơng kèm theo nhận xét, phân tích Trong chương 4, chúng tơi đưa hệ thống tốn khơng có lời giải dành cho bạn đọc tự luyện tập skkn Chương PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH Phép lấy giới hạn coi phép tốn thứ năm toán học sau phép toán cộng, trừ nhân, chia Về mặt chất phép toán cho phép ta "xấp xỉ" đại lượng cần tìm (cần tính) đại lượng có từ trước (hoặc dễ dàng tính tốn được) Với ý tưởng xuất phát từ nguyên lý kẹp tính chất so sánh giới hạn dãy số hàm số, phương pháp giải tích tốn phương trình hàm, bất phương trình hàm phương pháp sử dụng phép lấy giới hạn dãy số, giới hạn hàm số để thu tính chất nghiệm hàm hay công thức tổng quát nghiệm hàm Đặc biệt, tỏ vơ hữu dụng tốn tìm chặn (hoặc chặn dưới) nghiệm hàm Ở đây, nhắc lại số kỹ thuật lưu ý thường xuyên sử dụng phương pháp (1) Để tìm cơng thức tổng quát hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện cho trước, xây dựng bất đẳng thức có dạng Hn ≤ f (x) ≤ Gn với x cố định với ∀n ∈ N Trong {Hn }n∈N {Gn }n∈N hai dãy số thỏa mãn lim Hn = lim Gn = K (x) n→∞ n→∞ Khi cho n → +∞ bất đẳng thức ý f (x) hàm đối n, ta f (x) = K(x) skkn Chương PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH (2) Từ kỹ thuật quan sát bất đẳng thức Hn ≤ f (x) ≤ Gn với x cố định với ∀n ∈ N Nhìn từ vế phía bên trái (so với hàm số f (x)) bất đẳng thức trên, ta nhận thấy để tìm chặn cho hàm số f (x) ta cố gắng thiết lập bất đẳng thức có dạng f (x) ≥ Hn (x) với x cố định với ∀n ∈ N Trong {Hn (x)}n∈N dãy số thường xác định sau Hn (x) = K(x) − un với un ≥ lim un = 0, n→+∞ Hn (x) = un K(x) ≤ lim = 1, n→+∞ (3) Tương tự để tìm chặn hàm số f (x) ta cố gắng xây dựng bất đẳng thức có dạng f (x) ≤ Gn (x) với x cố định với ∀n ∈ N Trong {Gn (x)}n∈N dãy số thường xác định sau Gn (x) = K(x) + với ≥ lim = 0, n→+∞ Hn (x) = K(x) ≥ skkn lim = n→+∞ Chương PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH (4) Trong số tốn tìm cơng thức tổng qt hàm số f (x) ta sử dụng cơng thức nghiệm phương trình sai phân để tìm cơng thức tổng qt dãy lặp hàm số f (x) áp dụng kĩ thuật nói để tìm cơng thức tổng quát hàm số f (x) (5) Sự tương ứng giới hạn dãy số giới hạn hàm số đóng vài trị quan trọng việc giải lớp tốn phương trình hàm liên tục Sự tương ứng phát biểu qua định lý sau Nếu hàm số f : I → R với I ⊆ R có giới hạn k điểm x0 với dãy {xn }n∈N I, xn 6= x0 , lim xn = x0 lim f (xn ) = k n→+∞ n→+∞ Từ định lý ta thấy rằng, f hàm số liên tục điểm x0 tức lim f (x) = f (x0 ) , x→x0 với dãy số {xn }n∈N I, xn 6= x0 , lim xn = x0 ta có n→+∞ f = f (x0 ) = lim f (x) = lim f (xn ) lim xn x→x0 n→+∞ n→+∞ Để minh họa cho kĩ thuật nói trên, đến với toán sau, năm đề thi kỳ thi Putnam dành cho học sinh sinh viên Mỹ Canada Bài toán (Putnam 1966) Chứng minh s r 1+2 q 1+3 √ + + = Lời giải Ta xác định hàm số f (x) sau s f (x) ≡ r 1+x + (x + 1) q √ + (x + 2) + , ∀x ≥ Từ cơng thức ta có s f (x + 1) ≡ r + (x + 1) + (x + 2) skkn q √ + (x + 3) + , ∀x ≥ Chương PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH Do đó, hàm số f (x) thỏa mãn mối quan hệ sau p f (x) = ∀x ≥ 1 + xf (x + 1), Đẳng thức viết lại dạng f (x + 1) = f (x) − , x ∀x ≥ (1.1) Tiếp theo, tìm chặn cho hàm số f (x) Ta thấy s r 1+x + (x + 1) q s r q √ √ + (x + 2) + ≥ x x x · · · 1 = x + + + Chú ý dãy số {αn }n∈N∗ với n an = cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = 12 Do đó, ta có 1 1 + + + = 2 1− = (1.2) Vì 2x ≥ x + 1, ∀x ≥ nên từ ta s r 1+x + (x + 1) q √ x+1 + (x + 2) + ≥ x ≥ , ∀x ≥ Mặt khác, ta có s r 1+x + (x + 1) q √ + (x + 2) + ≤ s r (1 + x) s r = = skkn p 2+ q √ 3(x + 1) · · · 1 2 + (x + 1) + + + s r < 2(x + 1) 1 + (x + 1) + + + 1 2 + + + (x + 1) + + + (1.3) Chương PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH Đặt S= n−1 n + + + + n−1 + n + 2 2 Khi đó, ta có n−1 n 1 S = + + + + n + n+1 + 2 2 2 Kết hợp hai đẳng thức với (3.80), ta 1 1 1 S = + + + + + n + n+1 + = 2 2 2 Do S = Từ đây, ta suy s r 1+x + (x + 1) q p √ 1 1 + (x + 2) + < 2 + + + (x + 1) + + + = 2(x + 1), ∀x ≥ (1.4) Từ (1.3) (1.4), ta x+1 ≤ f (x) < 2(x + 1), ∀x ≥ (1.5) Ta chứng minh hệ thức sau phương pháp quy nạp toán học theo n √ 1n x+1 2 (x + 1), √ 21n < f (x) < ∀x ≥ 1, ∀n ∈ N Trong (1.5), thay x x + 1, ta x+1 ≤ f (x) < 2(x + 1), ∀x ≥ Kết hợp bất đẳng thức với (1.1), ta có x(x + 2) +1 (x + 1)2 (x + 1)2 = + > , 2 f (x) = xf (x + 1) + ≥ ∀x ≥ 1, f (x) = xf (x + 1) + < x[2(x + 2)] + = 2x2 + 4x + < 2(x + 1)2 , skkn ∀x ≥ (1.6) Chương PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH Từ hai bất đẳng thức trên, ta (x + 1)2 < f (x) < 2(x + 1)2 , ∀x ≥ 1, hay √ x+1 √ < f (x) < 2(x + 1), ∀x ≥ Do bất đẳng thức (1.6) với n = Giả sử đẳng thức (1.6) với n = k, k ∈ N, tức √ 1k x+1 2 (x + 1), √ 1k < f (x) < 2 ∀x ≥ 1, ∀n ∈ N (1.7) Trong (1.7), thay x x + 1, ta √ x+2 k (x + 2), < f (x + 1) < √ 1k 2 ∀x ≥ Kết hợp bất đẳng thức với (1.1), ta có f (x) = xf (x + 1) + ≥ x(x + 2) √ 1k + 2 (x + 1)2 (x + 1)2 = √ +1− √ > √ , 2k 2k 2k √ 2k f (x) = xf (x + 1) + < x (x + 2) + √ 1k √ 2k 2 x2 + 2 x + √ 1k (x + 1)2 , ∀x ≥ < = Từ hai đẳng thức ta √ 1k x+1 2 (x + 1), √ 1k < f (x) < 2 ∀x ≥ 1, hay √ k+1 x+1 < f (x) < (x + 1), √ k+1 2 skkn ∀x ≥ ∀x ≥ 1, ... cấp Một chủ đề liên quan đến hàm số thường xuyên xuất kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia kỳ thi Olympic toán Quốc tế giải phương trình hàm, bất phương trình hàm. .. thể phương pháp giải phương trình hàm bất phương trình hàm, chun đề chúng tơi giới thi? ??u tới bạn đọc hai phương pháp thường sử dụng để giải toán thuộc chủ đề thơng qua tốn cụ thể, phương pháp giải. .. sánh giới hạn dãy số hàm số, phương pháp giải tích tốn phương trình hàm, bất phương trình hàm phương pháp sử dụng phép lấy giới hạn dãy số, giới hạn hàm số để thu tính chất nghiệm hàm hay công thức