Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích với các biến thể của nó trong không gian metric nhân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––––––––––––– MẪN THỊ BẮC ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NĨ TRONG KHƠNG GIAN METRIC NHÂN Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Mẫn Thị Bắc i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2020 Tác giả ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric nhân 1.2 Mối quan hệ tính chất ánh xạ tương thích biến thể không gian metric nhân Chƣơng ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NĨ TRONG KHƠNG GIAN METRIC NHÂN 20 2.1 Điểm bất động chung ánh xạ nửa tương thích không gian metric nhân 20 2.2 Điểm bất động ánh xạ tương thích biến thể khơng gian metric nhân 24 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, tập số thực dương không đầy đủ metric thông thường Để khắc phục vấn đề này, năm 2008, ashirov [1] cộng đưa khái niệm không gian metric nhân Năm 2012, Ozavsar [8] Cevikel [8] đưa khái niệm ánh xạ co nhân chứng minh vài định lý điểm bất động ánh xạ không gian metric nhân Năm 2015, Kang [6] cộng đưa khái niệm ánh xạ tương thích khơng gian metric nhân đồng thời đạt số kết điểm bất động chung ánh xạ tương thích khơng gian metric nhân Một hướng nghiên cứu gần đồng thời với việc nghiên cứu nêu việc xét điểm bất động ánh xạ nửa tương thích, ánh xạ tương thích yếu, ánh xạ giao hoán giao hoán yếu Năm 1995, J Cho [2] cộng đưa khái niệm ánh xạ nửa tương thích khơng gian tôpô Năm 1996, Jungck [5] đưa khái niệm ánh xạ tương thích yếu đạt kết điểm bất động ánh xạ tương thích yếu khơng gian metric Năm 2013, Gu [3] cộng đưa định nghĩa ánh xạ giao hoán giao hoán yếu không gian metric nhân chứng minh vài định lý điểm bất động ánh xạ Năm 2016, P.Kumar, S Kumar, S.M Kang [7] đưa khái niệm ánh xạ nửa tương thích khơng gian metric nhân thiết lập định lí điểm bất động chung ánh xạ Theo hướng nghiên cứu này, chọn đề tài: “Điểm bất động chung ánh xạ nửa tương thích ánh xạ tương thích với biến thể khơng gian metric nhân ” Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà toán học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày số kết không gian metric nhân số định lý tồn điểm bất động chung ánh xạ nửa tương thích điểm bất động chung ánh xạ tương thích với biến thể khơng gian metric nhân Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích hàm Bố cục luận văn Nội dung đề tài viết chủ yếu dựa tài liệu [6] [7], gồm 39 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số khái niệm tính chất khơng gian metric nhân Chương 2: Là nội dung đề tài, trình bày số kết Điểm bất động chung ánh xạ nửa tương thích ánh xạ tương thích với biến thể khơng gian metric nhân Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric nhân Đ nh ngh a 1.1.1 Cho E tập khác r ng Một metric nhân ánh xạ :E E thỏa mãn điều kiện sau: , u, v E (u, v) (i) (u, v) (ii) (u, v) (v, u) , u, v (iii) (u, v) (u, w) u v; E; (w, v) , u, v, w E bất đ ng thức tam giác nhân Khi (E, ) gọi khơng gian metric nhân Ví dụ 1.1.2 Cho : n n n tập hợp tất n số thực dương hàm số xác định bởi: u, v u u1, , un , v u1 v1 n v1, , Khi đó, n , a un | | : khi xác định khơng gian metric nhân Ví dụ 1.1.3 Cho u, v u2 v2 : Khi đó, thỏa mãn 1, (u, v) a u v , với metric nhân ( , ) khơng gian metric nhân Ta gọi không gian metric nhân thông thường Nhận t 1.1.4 Chú ý ví dụ 1.1.2 với số thực dương ví dụ 1.1.3 với số thực Ví dụ 1.1.5 Cho (E, ) khơng gian metric Cho a ánh xạ xác định E (u, v) a u, v E a Khi đó, u a u u ,v a v, v, metric nhân E , a a gọi không gian metric nhân rời rạc Ví dụ 1.1.6 Cho E [a,b ] C [a,b ] tập tất hàm liên tục nhân giá trị thực Khi đó, E , (x, y ) Nhận supt không gian metric nhân với [a ,b ] x (t ) y(t ) với x, y E tùy ý t 1.1.7 Metric nhân metric độc lập với Thật vậy, ánh xạ định nghĩa ví dụ 1.1.2 metric nhân mà khơng metric khơng thỏa mãn bất đ ng thức tam giác 1 , ,3 M t khác, metric thông thường 7.5 ,3 khơng metric nhân khơng thỏa mãn bất đ ng thức tam giác nhân 2, 3,6 2,6 Đ nh ngh a 1.1.8 Cho (E, ) không gian metric nhân Khi (1) dãy {un } B (u) n E gọi hội tụ nhân tới u với m i hình cầu mở nhân v | (u, v) N tức (un , u) (2) dãy {un } cho (un , um ) , , tồn N n cho un E gọi dãy Cauchy nhân với n, m B (u) với N tức (un , um ) , tồn N n, m (3) E gọi không gian metric nhân đầy đủ dãy Cauchy nhân hội tụ nhân đến phần tử thuộc E Chú ý 1.1.9 Tập số thực dương thường Lấy E dãy un không đầy đủ theo metric thông {1 / n} Hiển nhiên, un dãy Cauchy E với metric thông thường E không không gian metric đầy đủ a 1/n un n Trong trường hợp không gian metric nhân, ta lấy dãy , a Khi đó, un dãy Cauchy nhân với m, un um un , um a 1/n a 1/m Ta có un n a 1 m n a m a a 1, / a a log a , a log m a 1 n m Vậy E , không gian metric nhân đầy đủ Năm 2012, Ozavsar Cevikel [8] đưa khái niệm ánh xạ co nhân chứng minh vài định lý điểm bất động ánh xạ khơng gian metric nhân Đ nh ngh a 1.1.10 Cho f ánh xạ từ không gian metric nhân (E, ) vào Khi đó, f gọi phép co nhân tồn số thực [0,1) cho (u, v) với u, v (fu, fv) E Năm 2015, Kang cộng [6] đưa khái niệm ánh xạ tương thích không gian metric nhân sau Đ nh ngh a 1.1.11 Cho f g ánh xạ từ khơng gian metric nhân (E, ) vào Khi đó, lim n fgun , gfun f g , với dãy un gọi tương thích E cho lim fun n lim gun n t với t E Đ nh ngh a 1.1.12 Cho f g ánh xạ từ không gian metric nhân (E, ) vào Khi đó, f g gọi tương thích yếu chúng giao hốn điểm trùng, tức ft gt với t E fgt gft Năm 1995, Cho cộng [2] đưa khái niệm nửa tương thích không gian topo sau Đ nh ngh a 1.1.13 [2] Cho f g ánh xạ từ khơng gian topo vào Khi đó, f g gọi nửa tương thích (1) fv gv kéo theo fgv u gun (2) fun gfv u kéo theo fgun gu n ây giờ, ta định nghĩa tính nửa tương thích theo điều kiện phạm vi không gian metric nhân sau: Đ nh ngh a 1.1.14 Cho f g ánh xạ từ khơng gian metric nhân (E, ) vào Khi đó, f g gọi nửa tương thích lim n fgun , gu , với dãy {un } E cho lim fun n lim gun u n với u thuộc E Điều suy f g nửa tương thích fv gv fgv gfv Chú ý f g nửa tương thích khơng thiết f g tương thích Hơn nữa, tính nửa tương thích f g khơng kéo theo tính nửa tương thích g f Ví dụ 1.1.15 Cho E (u, v) a u v [1, 3] , u, v E a metric nhân Lấy ánh xạ f , g : E fu u khi u u :E 2, 3, E [1, ) xác định Khi đó, (E, ) không gian E xác định gu u khi u u 2, 3, ii ) Su,Tv max với m i u, v Au, Bv , Au, Su , Su, Bv , Au,Tv E Bv,Tv , (2.6) 0,1 / iii ) ánh xạ S ,T , A B i n t c i (2.7) hi S ,T , A B có c p (A, S ) (B,T ) giao hoán ếu điểm bất động chung du Đ nh ý 2.2.2 Cho S ,T , A B ánh xạ t không gian metric nhân đ đủ (E, ) vào th a m n (2.5) (2.7) i c p (A, S ) hi S ,T , A B có điểm bất động chung du (B,T ) tương thích h ng minh Vì S (E ) B(E ) , nên với điểm u0 E , tồn u1 E thỏa mãn Su0 Bu1 v0 , với điểm u1 này, tồn điểm u2 Tu1 Au2 v1 Tiếp tục trình này, ta xây dựng dãy v2n Su2n Bu2n 1, v2n Tu2n thỏa mãn E Au2n Theo chứng minh Định lý 3.1 [4], {vn } dãy Cauchy nhân E Do đó, dãy Su2n , Au2n , Tu2n Bu2n dãy hội tụ z Giả sử A liên tục Khi đó, AAu2n , ASu2n hội tụ đến Az n Vì A, S tương thích E , nên theo Mệnh đề 1.2.9, SAu2n hội tụ tới Az n Ta z SAu2n ,Tu2n Cho n Az Thật vậy, ta có max AAu2n , Bu2n , AAu2n , SAu2n , Bu2n 1,Tu2n , SAu2n , Bu2n AAu2n ,Tu2n , ta 25 , Az, z max Az, z , Az, Az , Az, z , Az, z Vậy Az Suy d Az, z Sz, Bu2n 1 , Az, Sz , , Az,Tu2n Bx 2n 1,Tx 2n , , ta có Cho n Sz, z Suy Sz max z, z , z, Sz , Sz, z , Sz, z z, z , B(E ) nên tồn u z Vì S (E ) Ta chứng minh z d z,Tu z Thật vậy, ta có Az, Bu2n max Az, z z Tiếp theo, ta chứng minh Sz Sz,Tu2n z, z , Sz, z X cho z Sz Bu Tu Thật vậy, ta có d Sz,Tu max Az, Bu , Az, Sz , Sz, Bu , Az,Tu z, z , max z, z , Bu,Tu , z,Tu , z, z , z,Tu (z,Tu) Suy z Tu Vì B,T tương thích E Bu có BTu TBu Bz Tu BTu TBu z , nên theo Mệnh đề 1.2.8, ta Tz Tương tự vậy, ta có z, Bz Sz,Tz max max z, Bz , Az, Bz , Az, Sz , Sz, Bz , Az,Tz z, z , 26 Bz,Tz , z, Bz , Bz,Tz , z, Bz (z, Bz ) Suy z Bz Nên z Bz Tz Az Sz Vậy z điểm bất động chung S ,T , A B Phép chứng minh tương tự cho trường hợp B liên tục Tiếp theo, giả sử S liên tục Khi SSu2n , SAu2n hội tụ tới Az n Vì A S tương thích E nên từ Mệnh đề 1.2.9 suy ASu2n hội tụ đến Az n SSu2n ,Tu2n Ta có max ASu2n , Bu2n , ASu2n , SSu2n , Bu2n 1,Tu2n , SSu2n , Bu2n ASu2n ,Tu2n , , ta Cho n Sz, z Sz, z , max Sz, Sz , z, z , Sz, z , Sz, z Sz, z , suy Sz SSu2n ,Tv Cho n B(E ) nên v z Vì S (E ) max E cho z Bv Ta có Sz ASu2n , Bv , ASu2n , SSu2n , SSu2n , Bv , ASu2n ,Tv Bv,Tv , , ta z,Tv max z, z , z, z , z,Tv , z, z , d z,Tv z,Tv Suy z Tv Vì B T tương thích E Bv Mệnh đề 1.2.8, ta có BTv TBv Bz M t khác, ta có 27 BTv Tv TBv z , nên theo Tz Su2n ,Tz max Au2n , Bz , Au2n , Su2n , Su2n , Bz , Au2n ,Tz Bz,Tz , , ta Cho n z,Tz max z,Tz , z, z , z,Tz , z,Tz Tz,Tz , z,Tz A(E ) nên w z Vì T (E ) Suy Tz Sw, z X: z Tz Aw Ta có Sw,Tz max Aw, Bz , Aw, Sw , Sw, Bz , Aw,Tz z, z , max z, Sw , Bz,Tz , Tz,Tz , Sw, z , z, z (Sw, z ) z Vì S A tương thích E Sw Suy Sw SAw Az Mệnh đề 1.2.8, ta có ASw z Az Sz Aw ASw SAw z , nên theo Sz Hay Tz Vậy z điểm bất động chung S ,T , A B Bz Tương tự, ta hồn thành chứng minh T liên tục w hai điểm bất động chung S ,T , A Cuối cùng, giả sử z w z B Khi z, w Sz,Tw max max Az, Bw , Az, Sz , Sz, Bw , Az,Tw z, w , z, z , z, w 28 w, w , Bw,Tw , z, w , z, w Suy z w Vậy z điểm bất động chung S ,T , A B Ta điều phải chứng minh ưới định lý ánh xạ tương thích kiểu (A) Đ nh ý 2.2.3 Cho S ,T , A B ánh xạ t không gian metric nhân đ đủ (E, ) vào th a m n (2.5) (2.7) (B,T ) tương thích kiểu (A) i c p (A, S ) hi S ,T , A B có điểm bất động chung du h ng minh Giả sử A liên tục Vì (A, S ) tương thích kiểu (A) , theo Mệnh đề 1.2.2, c p (A, S ) tương thích, nên kết suy từ Định lý 2.2.2 Tương tự, B liên tục (B,T ) tương thích kiểu (A) (B,T ) tương thích nên kết suy từ Định lý 2.2.2 Chứng minh tương tự cho trường hợp S ho c T liên tục Sau định lý ánh xạ tương thích kiểu (B ) Đ nh ý 2.2.4 Cho S ,T , A B ánh xạ t không gian metric nhân đ đủ (E, ) vào th a m n (2.5) (2.7) (B,T ) tương thích kiểu (B ) i c p (A, S ) hi S ,T , A B có điểm bất động chung du h ng minh Từ chứng minh Định lý 2.2.2, ta có dãy Cauchy nhân E o đó, dãy Su2n , Au2n , Tu2n Bu2n dãy hội tụ z Giả sử S liên tục Khi đó, SSu2n , SAu2n hội tụ tới Sz n Vì c p (A, S ) tương thích kiểu (B ) , nên từ Mệnh đề 1.2.11 suy AAu2n hội tụ tới Sz n Ta có 29 SAu2n ,Tu2n max AAu2n , Bu2n , AAu2n , SAu2n , Bu2n 1,Tu2n , SAu2n , Bu2n AAu2n ,Tu2n 1 , , ta Cho n Sz, z Sz, z , max Sz, Sz , z, z , Sz, z , Sz, z (Sz, z ) B(E ) nên u z Vì S (E ) Suy Sz SAu2n ,Tu E: z Bu Ta có Sz AAu2n , Bu , v AAu2n , SAu2n , max SAu2n , Bu , Bu,Tu , AAu2n ,Tu , ta Cho n Sz,Tu Suy Tu Sz z Tu Vì c p (B,T ) tương thích kiểu (B ) Tu , nên theo Mệnh đề 1.2.10, ta có TBu Bu z Bz BTu TBu Su2n ,Tz Cho n Sz,Tu Tz Ta có max Au2n , Bz , Au2n , Su2n , Su2n , Bz , Au2n ,Tz Bz,Tz , , ta z,Tz Suy Tz BTu z Vì T (E ) Sv,Tz z,Tz , A(E ) , nên v max E: z Av, Bz , Av, Sv , Sv, Bz , Av,Tz suy Sv, z Sv, z 30 Tz Av Ta có Bz,Tz , , z Vì c p A, S tương thích kiểu B Sv Suy Sv theo Mệnh đề 1.2.10, ta có Sz SAv Az Bz Az Do đó, ASv Sz Av , nên z Tz z z điểm bất động chung S ,T , A B ây giờ, giả sử A liên tục Khi đó, AAu2n ASu2n hội tụ tới Az n Vì (A, S ) tương thích kiểu (B ) , nên từ Mệnh đề 1.2.11 suy SSu2n hội tụ tới Az n SSu2n ,Tu2n Ta có max ASu2n , Bu2n , ASu2n , SSu2n , Bu2n 1,Tu2n , SSu2n , Bu2n ASu2n ,Tu2n 1 , , ta có Cho n Az, z B(E ) , nên w z Vì S (E ) Suy Sz z,Tw Sz,Tu max Az, z max z, z , E: z Sz Bw Ta có Az, Bw , Az, Sz , Sz, Bw , Az,Tw z, z , z,Tw , z, z , Bw,Tw , z,Tw (z,Tw ) Suy ra, z Tw Vì c p (B,T ) tương thích kiểu (B ) Bw theo Mệnh đề 1.2.10, ta có TBw BTw , Bz BTw z TBw Ta có (Sz,Tz ) max { (z,Tz ), (z, z ), (Tz,Tz ), (z,Tz ), (z,Tz ) (z,Tz ) Suy z Tz o đó, z điểm bất động chung S ,T , A B Chứng minh tương tự cho trường hợp B ho c T liên tục 31 Tw nên Tz Cuối cùng, z w z z, w w hai điểm bất động chung ta có Sz,Tw max Az, Bw , Az, Sz , Sz, Bw , Az,Tw Bw,Tw , z, w Suy ra, z w Vậy z điểm bất động chung S ,T , A B Định lí chứng minh đầy đủ ưới định lý ánh xạ tương thích kiểu (C ) Đ nh ý 2.2.5 Cho S ,T , A B ánh xạ t khơng gian metric nhân đ đủ (E, ) vào th a m n (2.5) (2.7) (B,T ) tương thích kiểu (C ) i c p (A, S ) hi S ,T , A B có điểm bất động chung du h ng minh Theo Định lý 2.2.2, E dãy Cauchy nhân o đó, dãy Su2n , Au2n , Tu2n Bu2n hội tụ tới z Giả sử S liên tục Khi đó, SSu2n , SAu2n hội tụ tới Sz n Vì c p (A, S ) tương thích kiểu (C ) , nên theo Chú ý 1.2.13 suy AAu2n hội tụ đến Sz n Ta chứng minh Sz SAu2n ,Tu2n Cho n z Thật vậy, ta có max AAu2n , Bu2n , AAu2n , SAu2n , Bu2n 1,Tu2n , SAu2n , Bu2n AAu2n ,Tu2n , ta 32 , Sz, z Az, z , max Sz, Sz , z, z , Sz, z , Sz, z Sz, z z Vì S (E ) Suy Sz SAu2n ,Tw B(E ), nên u E:z AAu2n , Bw , max SAu2n , Bu , Bu Ta có Sz AAu2n , SAu2n , Bu,Tu , AAu2n ,Tu , ta Cho n Sz,Tu Suy Sz Bu z Bz BTu max Tu (z Sz, Sz , Bu, Bu , Sz,Tu Sz ,Tu , Sz,Tu Tu) Vì c p (B,T ) tương thích kiểu (C ) Tu, nên theo Chú ý 1.2.12, ta có TBu TBu Su2n ,Tz Cho n Sz, Sz , BTu Tz Ta có max Au2n , Bz , Au2n , Su2n , Su2n , Bz , Au2n ,Tz Bz,Tz , , ta z,Tz z,Tz , max z, z ,1, z,Tz , z,Tz z,Tz Suy Tz z Vì T (E ) Sv, z o A(E ) , nên v E:T z Av Ta có Sv,Tz max max Av, Bz , Av, Sv , Sv, Bz , Av,Tz z, z , Sv, z 33 Sv, z , z, z , Bz,Tz , Sv, z , z, z Sv Vì c p (A, S ) tương thích kiểu (C ) Sv Suy z SAv , ta có Sz theo Chú ý 1.2.12, ASv Bz Az Tz SAv ASv z Av, nên Az o đó, z Vậy z điểm bất động chung S ,T , A B Sz Giả sử A liên tục Khi AAu2n , ASu2n hội tụ đến Az n Vì c p (A, S ) tương thích kiểu (C ) , nên theo Chú ý 1.2.13 suy SSu2n hội tụ tới Az n Ta có SSu2n ,Tu2n max ASu2n , Bu2n , ASu2n , SSu2n , Bu2n 1,Tu2n , SSu2n Bu2n ASu2n ,Tu2n 1 , Tu2n 1, Bu2n , ta Cho n Az, z max Az, z , Az, Av , Az, z , Az, z z, z , Az, z Suy Az z Ta có Sz,Tu2n Az, Bu2n Sz, Bu2n , ta (Sz, z ) Cho n nên w max E thỏa mãn z (z,Tw ) (Sz,Tw ) Sz 1 , Az, Sz , , Az,Tu2n , (Sz, z ) Suy Sz z Vì S (E ) B(E ) Bw Lại có max Az, Bw , Az, Sz , Sz, Bw , Az,Tw Bw,Tw , z,Tw Suy Tw z Vì (B,T ) tương thích kiểu (C ) Bw Chú ý 1.2.12, ta có TBw BTw Bz M t khác, ta có 34 BTw z TBw Tw, nên theo Tz z,Tz Suy Tz z Sz,Tz o vậy, Tz Bz Sz z,Tz Az z Vậy z điểm bất động chung S ,T , A B Tương tự, ta chứng minh cho trường hợp B ho c T liên tục Tính suy dễ dàng Định lí chứng minh Cuối cùng, ta có định lý sau ánh xạ tương thích kiểu (P ) Đ nh ý 2.2.6 Cho S ,T , A B ánh xạ t không gian metric nhân đ đủ (E, ) vào th a m n (2.5) (2.7) (B,T ) tương thích oại (P ) i r ng c p (A, S ) hi S ,T , A B có điểm bất động chung du h ng minh Theo chứng minh Định lý 2.2.2, o đó, dãy Su2n , Au2n , Tu2n E hội tụ tới z n dãy Cauchy nhân {Bu2n 1} Giả sử S liên tục Khi đó, SSu2n , SAu2n hội tụ tới Sz n Vì c p (A, S ) tương thích kiểu (P ) , nên từ Chú ý 1.2.13 suy AAu2n hội tụ tới Sz n Ta chứng minh Sz z Thật vậy, ta có AAu2n , Bu2n SAu2n ,Tu2n Cho n max Bu2n 1,Tu2n AAu2n ,Tu2n , AAu2n , SAu2n , , SAu2n , Bu2n , , ta Sz, z max Sz, z , Sz, Sz , Sz, z , Sz, z z, z , Sz, z Suy Sz z Vì S (E ) B(E ) nên u 35 E cho z Sz Bu Tiếp theo, ta chứng minh Tu Su2n ,Tu z Ta có max Au2n , Bu , Au2n , Su2n , Su2n , Bu , Au2n ,Tu Bu,Tu , , ta có Cho n z,Tu z, z , max z, z , z,Tu , z, z , z,Tu z,Tu Suy z Tu o đó, Bu z Vì c p (B,T ) tương thích kiểu (P ), Tu nên theo Chú ý 1.2.12, ta có TTu Tz Bz ây ta Tz Su2n ,Tz max z Ta có Au2n , Bz , Au2n , Su2n , Su2n , Bz , Au2n ,Tz z,Tz Suy z Tz Vậy Bz,Tz Bz,Tz , , ta Cho n z BBu, suy o Bz Tz Tz z,Tz , z Vì T (E ) Av Ta chứng minh Sv Sv, z Sv,Tz max A(E ), nên v E cho z Thật vậy, ta có Av, Bz , Sv, Bz , Av, Sv , Av, Sv , Bz,Tz , Av,Tz Sv, z Suy z o z Sv Sv theo Chú ý 1.2.12, ta có SSv Vì Az Bz Sz Tz Av Vì (A, S ) tương thích kiểu (P ), nên AAv, suy d Sz, Az o đó, Sz Az z, nên z điểm bất động chung S ,T , A B Chứng minh tương tự cho trường hợp A ho c B ho c T liên tục Tính dễ ràng suy Vậy định lý chứng minh 36 Ví dụ 2.2.7 Cho E ) với metric nhân thông thường (x , y ) [1, ét ánh xạ từ E vào Su Au 2u (i) S (E ) với u T (E ) u, Tu u 2, Bu u v 2u B(E ) A(E ) E, S (E ) B(E ), T (E ) A(E ); (ii) S ,T , A B ánh xạ liên tục iii Các c p (A, S ) (B,T ) tương thích, chúng ánh xạ tương thích kiểu (A) , kiểu (B ) , kiểu (C ) , kiểu (P ) ét dãy un lim Aun với n n lim Sun n n Khi un lim Bun lim Tun n Ta có n n E n Ta có lim ASun , SAun 1, lim n BTun ,TBun 1, lim ASun , SSun 1, lim n SAun , AAun 1, lim BTun ,TTun 1, lim TBun , BBun 1, n n n iv Với / 3, ta có Su,Tv với u, v n max Au, Bv , Au, Su , Su, Bv , Au,Tv Bv,Tv , E Vậy tất điều kiện định lý thỏa mãn điểm bất động chung S ,T , A B KẾT LUẬN 37 Luận văn trình bày: - Một số khái niệm tính chất khơng gian metric nhân, Mối quan hệ tính chất ánh xạ tương thích biến thể Đó ánh xạ tương thích kiểu (A) , (B ) , (C ) kiểu (P ) không gian metric nhân Các Mệnh đề 1.2.2-1.2.11) - Kết điểm bất động chung ánh xạ nửa tương thích khơng gian metric nhân Định lí 2.1.1 - Kết điểm bất động chung ánh xạ tương thích khơng gian metric nhân Định lí 2.2.2 - Các kết điểm bất động chung biến thể ánh xạ tương thích khơng gian metric nhân Cụ thể Định lí 2.2.3 ánh xạ tương thích kiểu (A) , Định lí 2.2.4 ánh xạ tương thích kiểu (B ) , Định lí 2.2.5 ánh xạ tương thích kiểu (C ) Định lí 2.2.6 ánh xạ tương thích kiểu (P ) TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 [1] Bashirov A.E., Kurplnara E.M., Ozyapici A (2008), "Multiplicative calculus and its applications", J Math Anal Appl., (337), 36-48 doi: 10.1016/j.jmaa.2007.03.081 [2] Cho Y.J., Sharma B.K., Sahu D.R (1995), "Semi-compatibility and fixed points", Math Japon., (42), 91-98 [3] Gu F., Cui L.M., Wu Y.H (2013), "Some fixed point theorems for new contractive type mappings", J Qiqihar Univ., 19, 85-89 [4] He X., Song M., Chen D (2014), "Common fixed points for weak commutative mappings on a multiplicative metric space", Fixed Point Theory Appl., (48), pages doi: 10.1186/1687-1812-2014-48 [5] Jungck G (1996), "Common fixed points for noncontinuous nonself maps on nonmetric spaces", Far East J Math Sci., (4), 199-215 [6] Kang S., Kumar P., Kumar S., Nagpal P., Garg S.K (2015), "Common fixed points for compatible mappings and its variants in multiplicative metric spaces", Int J Pure Appl Math., (102), 383-406 doi: 10.12732/ijpam.v102i2.14 [7] Kumar P., Kumar S., Kang S.M 2016 , “Common fixed points for semicompatible mappings in multiplicative metric spaces”, Int J Pure Appl Math., (106), No2, 611-624 [8] Ozavsar M., C¸evikel A.C (2012), "Fixed points of multiplicative contraction mappings on multiplicative metric spaces", arXiv:1205.5131v1 [math.GM] [9] Sarwar M., Badshah-e R (2014), "Some unique fixed point theorems in multiplicative metric space", arXiv:1410.3384v2 [math.GM] 39 ... CÁC BIẾN THỂ CỦA NĨ TRONG KHƠNG GIAN METRIC NHÂN 20 2.1 Điểm bất động chung ánh xạ nửa tương thích khơng gian metric nhân 20 2.2 Điểm bất động ánh xạ tương thích biến thể khơng gian metric nhân. .. 1.1 Không gian metric nhân 1.2 Mối quan hệ tính chất ánh xạ tương thích biến thể khơng gian metric nhân Chƣơng ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH VỚI CÁC... động chung ánh xạ nửa tương thích khơng gian metric nhân Định lí 2.1.1 - Kết điểm bất động chung ánh xạ tương thích khơng gian metric nhân Định lí 2.2.2 - Các kết điểm bất động chung biến thể ánh