Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích với các biến thể của nó trong không gian metric nhân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––––––––––––– MẪN THỊ BẮC ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NĨ TRONG KHƠNG GIAN METRIC NHÂN Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Mẫn Thị Bắc i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2020 Tác giả ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric nhân 1.2 Mối quan hệ tính chất ánh xạ tương thích biến thể không gian metric nhân Chƣơng ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NĨ TRONG KHƠNG GIAN METRIC NHÂN 20 2.1 Điểm bất động chung ánh xạ nửa tương thích không gian metric nhân 20 2.2 Điểm bất động ánh xạ tương thích biến thể khơng gian metric nhân 24 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, tập số thực dương không đầy đủ metric thông thường Để khắc phục vấn đề này, năm 2008, ashirov [1] cộng đưa khái niệm không gian metric nhân Năm 2012, Ozavsar [8] Cevikel [8] đưa khái niệm ánh xạ co nhân chứng minh vài định lý điểm bất động ánh xạ không gian metric nhân Năm 2015, Kang [6] cộng đưa khái niệm ánh xạ tương thích khơng gian metric nhân đồng thời đạt số kết điểm bất động chung ánh xạ tương thích khơng gian metric nhân Một hướng nghiên cứu gần đồng thời với việc nghiên cứu nêu việc xét điểm bất động ánh xạ nửa tương thích, ánh xạ tương thích yếu, ánh xạ giao hoán giao hoán yếu Năm 1995, J Cho [2] cộng đưa khái niệm ánh xạ nửa tương thích khơng gian tôpô Năm 1996, Jungck [5] đưa khái niệm ánh xạ tương thích yếu đạt kết điểm bất động ánh xạ tương thích yếu khơng gian metric Năm 2013, Gu [3] cộng đưa định nghĩa ánh xạ giao hoán giao hoán yếu không gian metric nhân chứng minh vài định lý điểm bất động ánh xạ Năm 2016, P.Kumar, S Kumar, S.M Kang [7] đưa khái niệm ánh xạ nửa tương thích khơng gian metric nhân thiết lập định lí điểm bất động chung ánh xạ Theo hướng nghiên cứu này, chọn đề tài: “Điểm bất động chung ánh xạ nửa tương thích ánh xạ tương thích với biến thể khơng gian metric nhân ” Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà toán học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày số kết không gian metric nhân số định lý tồn điểm bất động chung ánh xạ nửa tương thích điểm bất động chung ánh xạ tương thích với biến thể khơng gian metric nhân Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích hàm Bố cục luận văn Nội dung đề tài viết chủ yếu dựa tài liệu [6] [7], gồm 39 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số khái niệm tính chất khơng gian metric nhân Chương 2: Là nội dung đề tài, trình bày số kết Điểm bất động chung ánh xạ nửa tương thích ánh xạ tương thích với biến thể khơng gian metric nhân Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric nhân Đ nh ngh a 1.1.1 Cho E tập khác r ng Một metric nhân ánh xạ :E E thỏa mãn điều kiện sau: (i) (u, v) (ii) (u, v ) u, v E 1, (u, v) u v; E; (v, u) , u, v (u, w ) (w, v), u, v, w E bất đ ng thức tam giác nhân (u, v ) (iii) Khi (E, ) gọi không gian metric nhân n Ví dụ 1.1.2 Cho : n tập hợp tất n số thực dương hàm số n xác định bởi: u, v u v u u, ,u ,v v, n u v2 n ,v u n | | : n khi 1 n Khi đó, , khơng gian metric nhân Ví dụ 1.1.3 Cho: 1, thỏa mãn u, v a Khi đó, xác định metric nhân ( (u, v ) au v , với , ) không gian metric nhân Ta gọi khơng gian metric nhân thơng thường Nhận t 1.1.4 Chú ý ví dụ 1.1.2 với số thực dương ví dụ 1.1.3 với số thực Ví dụ 1.1.5 Cho (E, ) không gian metric Cho a ánh xạ xác định E a u, v E a Khi đó, u a u u ,v (u, v ) a a v, v, metric nhân E, a gọi khơng gian metric nhân rời rạc Ví dụ 1.1.6 Cho E [a, b] C [a, b] tập tất hàm liên tục nhân giá trị thực Khi đó, E, khơng gian metric nhân với [a ,b ] (x , y) sup với y (t ) t Nhận x (t ) E tùy ý x, y t 1.1.7 Metric nhân metric độc lập với Thật vậy, ánh xạ định nghĩa ví dụ 1.1.2 metric nhân mà khơng metric khơng thỏa mãn bất đ ng thức tam giác ,1 ,3 7.5 1, khơng metric nhân khơng M t khác, metric thông thường thỏa mãn bất đ ng thức tam giác nhân 2, 3, 2, Đ nh ngh a 1.1.8 Cho (E, ) khơng gian metric nhân Khi (1) dãy {u } n B (u ) E gọi hội tụ nhân tới u v | (u, v) , với m i hình cầu mở nhân , tồn N cho u B (u ) với n n N tức (u , u) n n (2) dãy {u } E gọi dãy Cauchy nhân 1, tồn N n cho (u , u ) n với n, m N tức (u , u ) m n n, m m (3) E gọi không gian metric nhân đầy đủ dãy Cauchy nhân hội tụ nhân đến phần tử thuộc E Chú ý 1.1.9 Tập số thực dương dãy u E thường Lấy n E với metric thông thường E không không gian metric Cauchy đầy đủ un ,ởđó a1/n n không đầy đủ theo metric thông dãy {1 / n} Hiển nhiên, un Trong trường hợp không gian metric nhân, ta lấy dãy a un Khi đó, dãy Cauchy nhân với m, un u, u n u m m 1 a 1/n a nm am a 1/m a a 1, loga , a m 1/ a log Ta có un n a n Vậy E, a m1 không gian metric nhân đầy đủ Năm 2012, Ozavsar Cevikel [8] đưa khái niệm ánh xạ co nhân chứng minh vài định lý điểm bất động ánh xạ khơng gian metric nhân Đ nh ngh a 1.1.10 Cho f ánh xạ từ khơng gian metric nhân (E, ) vào Khi đó, f gọi phép co nhân tồn số thực [0,1) cho (u, v) với u, v ( fu, fv ) E Năm 2015, Kang cộng [6] đưa khái niệm ánh xạ tương thích khơng gian metric nhân sau Đ nh ngh a 1.1.11 Cho f g ánh xạ từ không gian metric nhân (E, ) vào Khi đó, lim n fgu , gfu n n f g 1, với dãy u gọi tương thích E n cho z Vì c p Suy Sv A , nên v tương thích kiểu B Sv A, S z SAv theo Mệnh đề 1.2.10, ta có Sz ASv Az Bz Sz Tz Az Do đó, z z điểm bất động chung S ,T , A B ây giờ, giả sử A liên tục Khi đó, AAu 2n ASu 2n hội tụ tới n SS u Vì (A, S) tương thích kiểu (B) , nên 2n hội tụ tới Az n SS u 2n ,Tu 2n từ Mệnh đề 1.2.11 suy Ta có AS n , n u Bu B n ,Tu u max AS u Cho n Az 2n ,Tu 1 2n 2n , AS , u SS u 2n , SSu 2n , Bu 2n , , 2n , ta có z Vì S(E) Suy Sz z ,Tw Sz ,Tu max Az , z Az , z B(E) , nên w E:z max Sz Bw Ta có Az , Bw , Az , Sz , Bw,Tw , Sz , Bw , Az ,Tw z , z , z , z , z ,Tw , z , z , z ,Tw (z ,Tw) Suy ra, z Tw Vì c p (B,T ) tương thích kiểu (B) Bw theo Mệnh đề 1.2.10, ta có TBw BTw , Bz BTw z TBw Ta có (Sz ,Tz ) max { (z ,Tz ), (z , z ), (Tz,Tz ), (z,Tz ), (z,Tz) (z ,Tz) Suy z Tz o đó, z điểm bất động chung S ,T , A B Chứng minh tương tự cho trường hợp B ho c T liên tục Tw Tz nên 31 w hai điểm bất động chung ta có Cuối cùng, z w z z ,w Sz ,Tw Az , Bw , Az , Sz , Bw,Tw , max Sz , Bw , Az ,Tw z, w w Vậy z điểm bất động chung S ,T , A B Định Suy ra, z lí chứng minh đầy đủ ưới định lý ánh xạ tương thích kiểu (C ) Đ nh ý 2.2.5 Cho S ,T , A B ánh xạ t không gian metric nhân (2.7) i đ đủ (E, ) vào th a m n (2.5) c p (A, S) (B,T ) tương thích kiểu (C ) hi S ,T , A B có điểm bất động chung du h ng minh Theo Định lý 2.2.2, v E dãy Cauchy nhân n o đó, dãy Su2n , Au2n , Tu2n v n hội tụ tới z Giả sử S liên tục Khi đó, SSu 2n , SAu 2n hội tụ tới Bu2 n Sz n 2n (A,S) tương thích kiểu (C ) , nên theo Chú ý 1.2.13 suy AAu Sz n z Thật vậy, ta có 2n ,Tu n max 2n AAu n , n , AAu n , , Bu SAu B n ,Tu , SAu , Bu , 2n 2n u 2n 1 AAu n ,Tu n Cho n hội tụ đến Ta chứng minh Sz SA u Vì c p , ta 32 Sz , z Suy Sz max Az , z Sz , z Sz , z z Vì S (E ) SA u ,Tw B(E), nên E :z S z Bu Ta có 2n , Bu,Tu , , ta Sz ,Tu Suy B u u , Sz , z , AAu 2n , Bw , AAu 2n , SAu SA 2n , Bu , AAu 2n ,Tu u max 2n Cho n ,Sz , Sz , z , z z max SzTu (z Tu, Sz , Sz , Sz , Sz , Sz ,Tu , Bu, Bu , Sz ,Tu Tu) Vì cp (B,T) tương thích kiểu TBu nên theo Chú ý 1.2.12, ta có Tz BTu TBu Ta có S ,Tz u max Sz ,Tu (C ) BTu Bz A u S u 2n Cho n 2n , Bz , A u , , A 2n Bz u 2n , n , Bz ,Tz , Su ,Tz 2n , ta z ,Tz Suy T z max z Vì T (E ) Sv, z z ,Tz , z , z z ,Tz A(E), nên v ,1, z ,Tz , z ,Tz E:T z Av Ta có Sv,Tz max Av, Bz , Av, Sv , Bz ,Tz , Sv, Bz , Av,Tz o 33 Sv Vì c p (A, S) tương thích kiểu (C ) Sv Suy z theo Chú ý 1.2.12, ASv Bz Az Tz SAv , ta có Sz SAv z Av, nên o đó, Az ASv B z Vậy z điểm bất động chung S ,T , A Sz Giả sử A liên tục Khi AAu2n , ASu2n hội tụ đến Az n (A, S) tương thích kiểu (C ) , nên theo Chú ý 1.2.13 suy SSu Az n Vì c p 2n hội tụ tới Ta có AS u SSu n ,Tu n max B u , Bu 2n , ASu , SSu 2n , , SSu Bu 2n ,Tu , ,Az , Sz , Tu n , Bu n 2n AS u 2n ,Tu 2n 2n 2n 2n ,ta Cho n Az , z Suy Az w Az , z Az , z Az , z max 2n Cho n max , Az , Av , z, , z , Az , z z Ta có Sz ,Tu nên 2n , ta (Sz ,Tw) Suy Tw z Vì (B,T ) Chú ý 1.2.12, ta có TBw Sz 1 , Az ,Tu , 2n 1 (Sz , z) Suy Sz z Vì (Sz , z ) E thỏa mãn z (z ,Tw ) Az , 2n Bu Sz , Bu 2n S(E) B(E) Bw Lại có Az , Bw , max Az , Sz , Bw,Tw , Sz , Bw , Az ,Tw z ,Tw M t khác, ta kiểu (C BTw có tương Bz thích ) Bw BTw z 34 T w, nên theo TBw Tz z ,Tz Suy Tz z Sz ,Tz Bz z ,Tz Sz z Az z Vậy điểm bất o vậy, Tz động chung S ,T , A B Tương tự, ta chứng minh cho trường hợp B ho c T liên tục Tính suy dễ dàng Định lí chứng minh Cuối cùng, ta có định lý sau ánh xạ tương thích kiểu (P) Đ nh ý 2.2.6 Cho S ,T , A B ánh xạ t đ đủ (E, ) vào th a m n (2.5) (B,T ) tương thích oại (P) khơng gian metric nhân (2.7) i r ng c p (A, S) S ,T , A B có điểm bất động chung hi du h ng minh Theo chứng minh Định lý 2.2.2, o đó, dãy S u E 2n ,Au dãy Cauchy nhân , Tu 2n {Bu } 2n 2n Giả sử S liên tục Khi đó, SSu2n ,SAu2n hội tụ tới Sz n (A,S) tương thích kiểu (P) , nên từ Chú ý 1.2.13 suy AAu Vì c p 2n hội tụ tới z Thật vậy, ta có Ta chứng minh Sz SA u 2n ,Tu n max AAu n , Bu 2n B ,Tu u 2n , , AAu n , SAu SAu , Bu 2n 2n 2n 2n 1 AAu n ,Tu n Cho n , ta Sz , z , Sz , z max Sz , z , Sz , Sz , z,z, Sz , z Sz , z Suy Sz n hội tụ tới z n Sz n v z Vì S (E ) B(E) nên u E cho z Sz Bu , , 35 Tiếp theo, ta chứng minh Tu S u ,Tu z Ta có max A u S u 2n Cho n 2n , Bu , A u , Bu , A 2n u 2n , 2n , Su ,Tu 2n Bu,Tu , , ta có z ,Tu max z,z, z, z , z ,Tu , z , z , z ,Tu z ,Tu Suy z Tu nên theo Chú ý 1.2.12, ta có TTu Tz ây ta Tz Bz S u Tu o đó, Bu ,Tz max A u S u 2n z Vì c p (B,T ) tương thích kiểu (P), Bz ,Tz Vậy z Ta có 2n , Bz , A u , , A 2n Bz u 2n , n , Bz ,Tz , Su ,Tz 2n , ta Cho n z ,Tz Suy z z BBu, suy Tz Tz Tz o Bz Av Ta chứng minh Sv Sv, z Sv,Tz z ,Tz , z Vì T (E ) A(E), nên v E cho z Thật vậy, ta có max Av, Bz , Av, Sv , Bz ,Tz , Sv, Bz , Av, Sv , Av,Tz Sv, z Suy z Sv o z Sv theo Chú ý 1.2.12, ta có SSv Vì Az Bz Sz Tz Av Vì (A, S) tương thích kiểu (P), AAv, suy d Sz , Az o đó, Sz z, nên z điểm bất động chung S ,T , A Chứng minh tương tự cho trường hợp A ho c B ho c T liên tục Tính dễ ràng suy Vậy định lý chứng minh nên Az B 36 ) với metric nhân thông thường (x , y) u v ét ánh xạ từ E vào Su u, Tu , Bu u u Ví dụ 2.2.7 Cho E Au u [1, với u (i) S (E ) T (E ) B(E ) A(E ) B(E), T(E) E, S (E ) A(E); (ii) S ,T , A B ánh xạ liên tục iii Các c p (A, S) (B,T ) tương thích, chúng ánh xạ tương thích kiểu (A) , kiểu (B) , kiểu (C ) , kiểu (P) ét dãy u n lim Au n n với n n lim Su n n Khi lim Bu un lim Tu n n n n n Ta có E n Ta có lim ASu , SAu n n lim ASu , SSu n n lim n BTu ,TTu n iv Với n n 1, lim BTu n 1, lim n ,TBu n 1, SAu , AAu 1, TBu , BBu 1, n n 1, lim n n n n n / 3, ta có Su,T v max Au, Bv , Au, Su , Bv,Tv , Su, Bv , Au,Tv với u, v E Vậy tất điều kiện định lý thỏa mãn điểm bất động chung S ,T , A B KẾT LUẬN 37 Luận văn trình bày: - Một số khái niệm tính chất không gian metric nhân, Mối quan hệ tính chất ánh xạ tương thích biến thể Đó ánh xạ tương thích kiểu (A) ,(B) ,(C ) kiểu (P) không gian metric nhân Các Mệnh đề 1.2.2-1.2.11) - Kết điểm bất động chung ánh xạ nửa tương thích khơng gian metric nhân Định lí 2.1.1 - Kết điểm bất động chung ánh xạ tương thích khơng gian metric nhân Định lí 2.2.2 - Các kết điểm bất động chung biến thể ánh xạ tương thích khơng gian metric nhân Cụ thể Định lí 2.2.3 ánh xạ tương thích kiểu (A) , Định lí 2.2.4 ánh xạ tương thích kiểu (B) , Định lí 2.2.5 ánh xạ tương thích kiểu (C ) Định lí 2.2.6 ánh xạ tương thích kiểu (P) TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 [1] Bashirov A.E., Kurplnara E.M., Ozyapici A (2008), "Multiplicative calculus and its applications", J Math Anal Appl., (337), 36-48 doi: 10.1016/j.jmaa.2007.03.081 [2] Cho Y.J., Sharma B.K., Sahu D.R (1995), "Semi-compatibility and fixed points", Math Japon., (42), 91-98 [3] Gu F., Cui L.M., Wu Y.H (2013), "Some fixed point theorems for new contractive type mappings", J Qiqihar Univ., 19, 85-89 [4] He X., Song M., Chen D (2014), "Common fixed points for weak commutative mappings on a multiplicative metric space", Fixed Point Theory Appl., (48), pages doi: 10.1186/1687-1812-2014-48 [5] Jungck G (1996), "Common fixed points for noncontinuous nonself maps on nonmetric spaces", Far East J Math Sci., (4), 199-215 [6] Kang S., Kumar P., Kumar S., Nagpal P., Garg S.K (2015), "Common fixed points for compatible mappings and its variants in multiplicative metric spaces", Int J Pure Appl Math., (102), 383-406 doi: 10.12732/ijpam.v102i2.14 [7] Kumar P., Kumar S., Kang S.M 2016 , “Common fixed points for semicompatible mappings in multiplicative metric spaces”, Int J Pure Appl Math., (106), No2, 611-624 [8] Ozavsar M., C¸evikel A.C (2012), "Fixed points of multiplicative contraction mappings on multiplicative metric spaces", arXiv:1205.5131v1 [math.GM] [9] Sarwar M., Badshah-e R (2014), "Some unique fixed point theorems in multiplicative metric space", arXiv:1410.3384v2 [math.GM] 39 ... t tương t ương thích 19 CHƢƠNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NĨ TRONG KHƠNG GIAN METRIC NHÂN 2.1 Điểm bất động chung ánh nửa. .. CÁC BIẾN THỂ CỦA NĨ TRONG KHƠNG GIAN METRIC NHÂN 20 2.1 Điểm bất động chung ánh xạ nửa tương thích khơng gian metric nhân 20 2.2 Điểm bất động ánh xạ tương thích biến thể khơng gian metric nhân. .. 1.1 Không gian metric nhân 1.2 Mối quan hệ tính chất ánh xạ tương thích biến thể khơng gian metric nhân Chƣơng ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH VỚI CÁC