Điểm bất động chung đối với các ánh xạ dãn trong không gian b metric và không gian b metric nón

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN ĐỨC THẮNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ DÃN TRONG KHÔNG GIAN b-METRIC VÀ KHÔNG GIAN b-METRIC NĨN Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Nguyễn Đức Thắng i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2020 Tác giả ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian b metric 1.2 Điều kiện T thác triển 1.3 Khơng gian b metric nón Chƣơng ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ DÃN TRONG KHÔNG GIAN b METRIC VÀ KHÔNG GIAN b METRIC NÓN 2.1 Điểm bất động chung ánh xạ dãn không gian b metric 2.2 Điểm bất động điều kiện T thác triển không gian b metric 2.3 Điểm bất động chung ánh xạ dãn khơng gian b metric nón 2.4 Điểm bất động điều kiện T thác triển cho ánh xạ dãn khơng gian b metric nón 16 16 22 25 32 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1922, Banach chứng minh định lý tiếng điểm bất động không gian metric, gọi nguyên lý ánh xạ co Banach, từ thiết lập tồn nghiệm phương trình tốn tử Tx  x Đã có nhiều mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach điểm bất động Sự mở rộng thiết lập cho nhiều loại ánh xạ khác không gian kiểu metric Năm 2007, Huang Zhang giới thiệu khơng gian metric nón chứng minh định lí điểm bất động ánh xạ co khơng gian Năm 2012, Stanic, Cvetkovic, Simic Dimitrijevic đạt số kết điểm bất động chung điều kiện co kiểu Ciric không gian metric nón, Tương tự, năm 1989, Bakhtin giới thiệu không gian b  metric, mở rộng khác không gian metric Năm 1993, Czerwik mở rộng định lý điểm bất động Banach không gian b  metric Khơng gian b  metric nón mở rộng khơng gian metric nón không gian b  metric Việc nghiên cứu ánh xạ giãn lĩnh vực nghiên cứu thú vị lý thuyết điểm bất động Điều phát triển vào năm 1984 từ cơng trình Wang, Li, Gao Iseki cách giới thiệu khái niệm ánh xạ dãn không gian metric đầy đủ Daffer Kaneko sử dụng hai tự ánh xạ không gian metric đầy đủ, để tổng quát kết Wang cộng Kể từ đó, định lý điểm bất động điểm bất động chung nhiều tác giả chứng minh cho ánh xạ giãn không gian khác nhau, chẳng hạn: không gian G-metric, không gian d  metric, không gian b  metric, không gian b  metric riêng, khơng gian metric nón, khơng gian b  metric nón, … Một số kết không gian b  metric nón sử dụng ánh xạ kiểu giãn thiết lập Huang, Zhu Xi-Wen vào năm 2012 Gần đây, năm 2016, P.K Verma thiết lập số kết điểm bất động chung ánh xạ giãn không gian b  metric nón Theo hướng nghiên cứu này, chúng tơi chọn đề tài: “Điểm bất động chung ánh xạ giãn không gian b  metric không gian b  metric nón” Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày số kết Điểm bất động chung ánh xạ giãn không gian b  metric khơng gian b  metric nón Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích hàm Bố cục luận văn Nội dung đề tài viết dựa tài liệu [8] [9] gồm 37 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số khái niệm tính chất khơng gian b  metric không gian b  metric nón Chương 2: Là nội dung đề tài, trình bày số kết điểm bất động chung ánh xạ giãn không gian b  metric khơng gian b  metric nón Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian b  metric Định nghĩa 1.1.1 Cho E tập khác rỗng k  số thực cho trước Hàm số  : E  E  [0, ) gọi b  metric với u, v, w  E điều kiện sau thỏa mãn: a ) (u, v )   u  v ; b ) (u, v )  (v, u ) ; c ) (u, v )  k (u, w )  (w, v ) Bộ ba (E , , k ) gọi không gian b  metric với hệ số k  Ví dụ 1.1.2 Mỗi không gian metric không gian b  metric với k  , ngược lại không Ví dụ lấy E    : E  E  [0, ) ánh xạ xác định (u, v )  | u  v |2 với u, v  E Khi (E , , k ) không gian b  metric với hệ số k  Nhưng (E , ) khơng phải khơng gian metric Ví dụ 1.1.3 Cho E  {  1, 0,1} d : E  E  [0, ) ánh xạ xác định (u, v )  (v, u ) với u, v  E , (u, u)  0, u  E , (1, 0)  3, (1,1)  (0,1)  Khi (E, , k ) không gian b  metric với k  , khơng khơng gian metric bất đẳng thức tam giác không thỏa mãn Thật vậy, ta có (1,1)  (1, 0)      (1, 0) Định nghĩa 1.1.4 Cho (E , ) không gian b  metric, u  E {un } dãy E Khi (i ) {un } hội tụ đến u lim (un , u)  n  Kí hiệu lim un  u un  u n   n  (ii ) {un } dãy Cauchy lim (un , um )  n ,m  (iii ) (E , ) đầy đủ dãy Cauchy E hội tụ Định nghĩa 1.1.5.Cho (E , ) không gian b  metric ánh xạ T : E  E Ta nói T liên tục u0  E với dãy {un } E , un  u0 n   Tun  Tu0 n   Nếu T liên tục điểm u0  E ta nói T liên tục E Mệnh đề 1.1.6 Cho (E, , k ) không gian b  metric, giả sử {un } {vn } dãy hội tụ đến u, v  E tương ứng Khi (u, v )  lim inf (un , )  lim sup (un , )  k 2(u, v ) n  n  k Đặc biệt, u  v lim (un , )  Ngồi ra, với w  E , ta có n  (u, w )  lim inf (un , w )  lim sup (un , w )  k (u, w ) n  n  k Bổ đề 1.1.7 Cho (E, , k ) không gian b  metric với hệ số k {un } dãy E cho un  u un  v Khi u  v Chứng minh Giả sử (u, v )    Khi theo giả thiết un  u un  v nên n cho với n  n (un , u )    (un , v )  Suy 2k 2k    (u, v )  k ((u, un )  (un , v ))  k       2k 2k  với n  n Điều mâu thuẫn với (u, v )    Cho (E, , k ) không gian b  metric với hệ số k Bổ đề 1.1.8 {uk }kn0  E Khi (u n , u )  k (u , u )    k n 1(u n 2 , u n 1 )  k n 1(u n 1, u n ) Chứng minh Ta có (un , u )  k [ (u 0, u1 )  (u1, u )]  k (u 0, u1 )  k (u1, un )  k (u0, u1 )  k 2[(u1, u2 )  (u2 , un )]  k (u0, u1 )  k 2(u1, u2 )  k 2(u2, un ) …  k (u0, u1 )    k n 1(un 2, un 1 )  k n 1(un 1, un ) Bổ đề 1.1.9 Cho {un } dãy không gian b  metric (E , , k ) với hệ số k  cho  (u n , u n  )   (u n 1, u n ) với n      / k Khi {un } dãy Cauchy (E , , k ) Chứng minh Cho m, n   m  n Áp dụng bất đẳng thức kiểu tam giác vào ba {um , um 1, un },{um 1, um 2, un }, ,{un 2, un 1, un } ta có (um , un )  k ((um , um 1 )  (um 1, un ))  k (um , um 1 )  k ((m 1, um 2 )  (um 2, un ))   k (um , um 1)  k 2(um 1, um 2 )  k n m 1((un 2, un 1 )  (un 1, un ))  k (um , um 1 )  k 2(um 1, um 2 )  k n m 1(un 2, un 1 )  k n m (un 1, un ) Bây từ  (u n , u n  )   (u n 1, u n ) k  suy (um , un )  (k m  k 2m 1   k n mn 1 )(u0, u1 )  km (1  (k)   (k)n m 1 )(u0, u1 ) km  (u0 , u1 )  m    k  Vậy {un } dãy Cauchy Năm 2016, Daheriya, Likhitker Ughade ([2]) chứng minh định lý sau điểm bất động ánh xạ với điều kiện kiểu giãn cho không gian b  metric: Định lý 1.1.10 ([2]) Cho (E , , k ) không gian b  metric đầy đủ với hệ số k  T ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện:  Tu,Tv   (u,Tu ) 1  (v,Tv )  (u, v )  (u, v ) , với u, v  E , u  v ; ,   số thực với k     k   Khi T có điểm bất động E Kết sau chứng minh Mohanta (Th.3.3 [5]) ánh xạ liên tục không gian b  metric: Định lý 1.1.11 [5] Cho (E , , k ) không gian b  metric với hệ số k  T : E  E ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện sau: (Tu,Tv )  .max (u,Tv ), (v,Tu )  .(u,Tv ) 1  (v,Tv )  (u, v )  (u, v ) với u, v  E , u  v ,trong , ,   , k     (1  )k  k 2 ,     Khi T có điểm bất động E Định nghĩa 1.1.12 Cho S T ánh xạ từ khơng gian metric (E , ) vào Cặp ánh xạ (S ,T ) gọi tương thích lim n  (STun ,TSun )  , với dãy {un }  E cho Chứng minh Lấy u điểm tùy ý không gian b  metric đầy đủ E Vì S (E )  E T (E )  E , nên xây dựng hai dãy {un } {vn } E , xác định Su0  u1, Su1  u2, Su2  u3, , Sun  un 1 ,… Tu  v 0, Tu1  v1,Tu2  v2, ,Tun  , Ta {vn } dãy Cauchy E Đặt u  un 1, v  un (2.4), ta có (Tun 1,Tun )  .(TSun 1,TSun ) , suy (vn 1, )  .(Tun ,Tun 1 )  (vn , 1 ), n  m Do (vn , 1 )  s.(vn 1, ) , (2.5) s  /  , với s  0,1 / k  Theo Bổ đề 1.3.13, {vn } dãy Cauchy E Vì E đầy đủ, nên tồn điểm w  E cho limn   lim n  Tun  limn  TS nu  w Vì T hội tụ theo dãy, nên {un }  {S nu } hội tụ đến điểm z  E Do tính liên tục T , ta có Tz  w Vì TS liên tục, nên ta có w  limn  1  limn  TSun  TSz Như vậy, ta TSz  Tz Vì T đơn ánh nên Sz  z Cuối cùng, ta z điểm bất động S Giả sử ngược lại, tồn w  E cho w  z Sw  w Khi đó, (z, w )  T đơn ánh nên (Tz ,Tw )  Đặt u  z v  w (2.4), ta có 23 (Tz ,Tw )  (TSz,TSw )  (Tz ,Tw )  k (Tz ,Tw ) ,   k Điều mâu thuẫn w  z Điều z điểm bất động S , z  limn  S nu  lim n  T nu  Định lí chứng minh Ví dụ 2.2.3 Lấy E  [1, ) ánh xạ d : E  E   xác định bởi: (u, v )  | u  v |2 Chọn Su  / u , Tu   ln xu Khi (E , , k ) không gian b  metric với k  Điểm u  (4)1/3  E điểm trùng, Tu  Su   ln u  u  u =1.58 TSu  STu  1.58 Do cặp (S ,T ) tương thích yếu Ở T (E )  [1, )   đầy đủ Bây giờ, kiểm tra điều kiện (2.4) Ta có 2 (Tu,Tv )  16 ln u  ln v (TSu,TSv )  ln u  ln v Như bất đẳng thức T  thác triển 2 16 ln u - ln v  (Tu,Tv )  .(TSu,TSv )  4 ln u - ln v thỏa mãn với u, v  E , với u  v Ở    k  Do tất điều kiện Định lý 2.2.1 thỏa mãn u  (4)1/3  1.58 điểm bất động chung S T Ví dụ 2.2.4 Lấy E  [1, ) với metric cảm sinh  Định nghĩa metric  : E  E   (u, v )  | u  v | Khi (E , ) không gian metric Lấy Su  / u , u  E Ta S ánh xạ không dãn Thật vậy, ta có 24 (Su, Sv )  u  v  (u, v ) uv ( u  v )  4(u, v ) 2.(uv )3/4 (Su, Sv )  2(u, v ) , với (uv )3/4  1, u, v  E , u  v Do S ánh xạ không dãn    Mặt khác, lấy T : E  E xác định Tu   ln u , ta có (TSu,TSv )   ln(Su )   ln(Tv )  ln  u  ln v 4 1 ln u  ln v 2 1 ln u  ln v   ln u   ln v  (Tu,Tv ) 2 (Tu,Tv )  2(TSu,TSv ) Suy S T  thác triển Vậy S ánh xạ khơng dãn ánh xạ T  thác triển Ngoài u  điểm bất động chung S T E 2.3.Điểm bất động chung ánh xạ dãn không gian b  metric nón Định lí 2.3.1 Cho (E, , k ) khơng gian b  metric nón với hệ số k  Giả sử S ,T : E  E hai ánh xạ thỏa mãn bất đẳng thức dãn: (Tu,Tv)  (Su, Sv)  [(Su,Tu)  (Sv,Tv)] với u, v  E , u  v , (2.6)      0,  ;     ,   2      k     Nếu S (E )  T (E ) S (E ) T (E ) đầy đủ S T có điểm trùng Hơn cặp (S ,T ) tương thích yếu S T có điểm bất động chung E Chứng minh Chọn u  E Vì S (E )  T (E ) , nên tồn u1  E cho Su  Tu1 Gọi giá trị chung v1 , tức Su  Tu1  v1 Khi với u1 25 tồn u  E cho Su1  Tu  v2 Tiếp tục lập luận trên, ta Sun  Tun 1  1 (2.7) Chọn  1 , (vn , 1)   Đặt u  un , v  un 1 (2.6), ta có (Tun ,Tun 1 )  (Sun , Sun 1 )  [(Sun ,Tun )  (Sun 1,Tun 1 )] tức (vn , 1 )  (vn 1, 2 )  [(vn 1, )  (vn 2, 1 )] hay (1  )(vn , 1 )  (  )(vn 1, 2 ) (2.8) Tương tự, đặt u  un 1, v  un (2.7), ta nhận bất đẳng thức giống (2.8) Như vậy, ta có (vn 2, 1 )  1  (vn , 1 ) với n    Vì       , nên ta có (2.9) 1   ; Mặt khác ta có  1        k (1  )  k    k  k     k  k          0, điều Như Đặt s       0,  có hiệu lực     k       0,  , ta có (yn 2, yn 1 )  s (yn , yn 1 ) với n       k  Khi theo Bổ đề 1.3.25, {vn } dãy Cauchy E Hơn nữa,  S (E ) , mà S (E )  T (E ) , T (E ) đầy đủ {vn } hội tụ đến z  T (E ) Tương tự,  T (E ) T (E ) đầy đủ {vn } hội tụ đến z  T (E ) 26 Như vậy, hai trường hợp có {vn } hội tụ đến z  T (E ) Lấy z  Tu với u  X Ta có lim Sun  lim Tun  lim  z  Tu  T (E ) n  n  n  (2.10) Ta Su  z Thật vậy, giả sử d(z, Su)  Đặt u  un (2.6), ta có (Tun ,Tu )  (Sun , Su )  [(Sun ,Tu )  (Su,Tu n ) Cho n   sử dụng (2.10) ta   (z, Su)  [(z, z )  (Su, z )] tức   (  )(z, Su) , điều mâu thuẫn Do Su  z Như u điểm trùng (S ,T ) Lập luận tương tự, S (X ) đầy đủ Khi {vn } hội tụ đến z  S (E ) ta sử dụng z  Su , thay cho z  Tu (2.10) Bất đẳng thức (2.6) cho z  Su Vậy hai trường hợp, u  E điểm trùng (S ,T ) Điều chứng minh phần định lí Hơn nữa, cặp (S ,T ) tương thích yếu, STu  TSu , Sz  Tz Ta z điểm bất động chung S T Thật vậy, giả sử ngược lại d(z, Sz )   Khi đặt y  z , u  un (2.6), ta có (Tun ,Tz )  (Sun , Sz )  [(Sun ,Tz )  (Sz ,Tun ) Cho n   sử dụng (2.10) ta (z, Sz )  (z, Sz )  [(z, Sz )  (Sz, z )] , tức (1  )(z, Sz )  (  )(z, Sz ) , hay 1   (z, Sz )  ,  27 điều mâu thuẫn với 1   Như Sz  z Do z điểm bất  động chung S T Đối với tính z , ta giả sử tồn w điểm bất động chung khác S T , w  z Khi (w, z )  Đặt u  w v  z (2.6), ta có (Tw,Tz )  (Sw, Sz )  [(Sw,Tz )  (Sz,Tw )] , tức (w, z )  (w, z )  [(w, z )  (w, z )] hay 1   (w, z )  ,  1   Như w  z Do z điểm bất  động chung S T Định lí chứng minh  điều mâu thuẫn với Nếu S ánh xạ đồng nhất, S  I Định lí 2.3.1 trở thành hệ sau đây: Hệ 2.3.2 Cho (E, , k ) không gian b  metric nón với số k  Giả sử T : E  E ánh xạ thỏa mãn: (Tu,Tv)  (u, v)  [(u,Tu)  (v,Tv)], u, v  E , u  v , (2.11)      0,  ;     ,   2    Nếu T toàn ánh     k  T (E ) đầy đủ, T có điểm bất động E Thay đổi S T lẫn lấy   ta nhận hệ sau: Hệ 2.3.3 Cho (E, , k ) không gian b  metric nón với số k  Giả sử S ,T : E  E ánh xạ thỏa mãn: (Su, Sv)  (Tu,Tv) , u, v  E , u  v , (2.12)   1, /   (0,1 / k ) Nếu T (E )  S (E ) không gian T (E ) S (E ) đầy đủ, S T có điểm trùng Hơn nữa, 28 cặp (S ,T ) tương thích yếu, S T có điểm bất động chung E Chú ý Tính tương thích yếu cặp (S ,T ) cần thiết Định lí 2.3.1, ví dụ sau đây: Ví dụ 2.3.4 Lấy F  C 1([0,1], ) , C  {  F : (t )  0, t  [0, 1]} , E  [0,1]  : E  E  F xác định (u, v )  | u  v |2  ,   C hàm cố định cho (t )  e t Vì et  với t  [0,1] , nên  b  metric với (t )  e t  Ta có (u, v )  | u  v |2   | (u  w )  (w  v ) |2   {| u  w |2  | w  v |2  | u  w | | w  v |}  {| u  w |2  | w  v |2 (| u  w |2  | w  v |2 }  (| u  w |2  | w  v |2 )   (u, w )  (w, v ) Như (E, , k ) không gian b  metric nón với số k  Lấy S ,T : E  E ánh xạ xác định Su   u Tu   u với u  E 1  Ta có S (E )   ,1  T (E )  [0,1] Cặp (S ,T ) có điểm trùng u  2    Su  Tu  Nhưng khơng tương thích yếu STu  S  /  TSu  T  Ta kiểm tra bất đẳng thức sở điều kiện  ,  b ; u  v Chú ý rằng, 29 (Tu,Tv )  | u  v |2 , (Su, Sv )  (Su,Tu )  | u - v |2 , 1 | u |2  (Sv,Tv )  | v |2  4 Do đó, bất đẳng thức (2.6) cho ta 1 | u  v |2    | u  v |2    (| u |2  | v |2 ), 4 tức 1 (1  ) | u  v |2  (| u |2  | v |2 )   4  (| u |2  | v |2  | u | | v |) Do 1 (1  ) | u  v |2   | u  v |2 4 (2.13) Xét ba trường hợp sau đây: Trường hợp u  0, v  , tức | u |  0, | v |  Khi (2.13) trở thành   1   | v |2   | v |2        Trường hợp u  0, v  , tức | u |  0,| v |  Khi (2.13) trở thành   1   | u |2   | u |2        Trường hợp u  v Giả sử ngược lại u  v với u  E đó, sử dụng (2.6), ta 1 | u  v |2    | u  v |2    (|u |2  | v |2 ) , 4 suy 30   (| u |2  | v |2 ) , điều không u, v  E Như với u  v , bất đẳng thức (2.6) xảy Bây giờ, ý cặp (S ,T ) khơng tương thích yếu Do điều kiện tương thích yếu Định lí 2.3.1 khơng thể bỏ qua Đó điều kiện cần định lí Ví dụ 2.3.5 Cho (E , ) khơng gian b  metric nón Ví dụ 2.3.4 Giả sử S,T : E  E xác định Su  Khi u u , Tu  với u  E  [0,1]  1 S (E )   0,   T (E )   4    1  0,   2   Cặp (S ,T ) tương thích yếu u  , có điểm trùng u  điểm bất động chung S T Xét trường hợp sau đây: Trường hợp u  v , ta có u v (Tu,Tv )     (u, v ), 2 u v (Su, Sv )     (u, v ), 4 16 u u (Su,Tu )    (u, 0), 16 v v (Sv,Tv )     (v, 0) 16 Do từ (2.6), ta có 1 (u, v )   (u, v )   (u, 0)  (v, 0)  , 16 16 31 tức 4(u, v )  (u, v )   (u, 0)  (v, 0) , (t )  , t  .(u, v )   (u, v ) , (u, v )   (u, 0)  (v, 0) Suy 2      Trường hợp u  0, v  , ta có   , (Su, Sv )  x , 16  (Su,Tu )  x , (Sv,Tv )  16 (Tu,Tv )  x Do từ (2.6), ta có u 2 .u 2 .u 2        4 16 16 Trường hợp v  0, u  , ta có v 2 v 2 (Tu,Tv )  , (Su, Sv )  , 16 v 2 (Su,Tu)  , (Sv,Tv )  16 Do từ (2.6), ta có v 2 v 2 v 2        4 16 16 Do Định lí 2.3.1 có hiệu lực 2.4 Điểm bất động điều kiện T  thác triển cho ánh xạ dãn khơng gian b  metric nón Định lí 2.4.1 Cho (E , , k ) không gian b  metric nón đầy đủ với số k  S : E  E ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện T  thác triển: (Tu,Tv )  (TSu,TSv ) (2.14) với u, v  E , u  v ,   k , T : E  E ánh xạ đơn ánh liên 32 tục hội tụ theo dãy Khi S có điểm bất động z  X lim T nu  z với u  E n  Chứng minh Lấy u  E tùy ý Ta xây dựng hai dãy {un } {vn } E , xác định bởi: Su0  u1, Su1  u2, , Sun  un 1 ,… v  Tu 0, v1  Tu1, ,  Tun ,… Chú ý rằng, vr 1  vr với r   , Tur 1  Tur Vì T đơn ánh, nên ur 1  ur  Sur 1  ur  Sur  ur Như ur điểm bất động S Vì ta giả sử 1  , với n   Đặt u  un 1, v  un (2.14), ta có (Tun 1,Tun )  (TSun 1,TSun ) , tức (vn 1, )  (Tun ,Tun 1 )  (vn , 1 ), n  m, hay (vn , 1 )  s.(vn 1, ) , s  với s  (0,1)  Bây ta {vn } dãy Cauchy E Bằng qui nạp với điều kiện (2.14), ta có (vn 1, )  s (vn , 1 )  s 2(vn 1, 2 )    s n (v1, v0 ) Khi với số nguyên dương m  1, p  , ta có (vm p , vm )  k[(vm p , vm  p 1 )  (vm p1, vm )]  k (vm  p , vm  p1 )  k (vm  p1, vm ) 33  k (vm  p , vm  p 1 )  k 2[(vm  p 1, vm  p 2 )  (vm  p 2, vm )]  k (vm  p , vm  p 1 )  k 2(vm  p 1, vm  p 2 )  k 2(vm  p 2, vm )  k (vm  p , vm  p 1 )  k (vm  p 1, vm  p 2 )  k 3(vm  p 2, vm  p 3 )    k p 1(vm 2, vm 1 )  k p 1(vm 1, vm )  ks m  p 1(v1, v0 )  k 2s m  p 2 (v1, v )  k 3s m  p 3(v1, v )    k p 1s m 1(v1, v0 )  k p 1s m (v1, v )  [ks m  p 1  k 2s m  p 2  k 3s m  p 3 +   k p 1s m 1 ](v1, v )  k p 1s m (v1, v ) p 1   (v , v )  ks m  p k / s   1  k p 1s m (v1, v )   k  s  k ps m 1 (v1, v0 )  k p1s m (v1, v ) k s Lấy   c Chú ý k ps m 1 (v1, v0 )  k p 1s m (v1, v0 )   n   k s với k Theo Bổ đề 1.3.10, tồn m   cho k ps m 1 (v1, v0 )  k p 1s m (v1, v0 )  c k s với m  m Như vậy, ta có k ps m 1 (vm p , vm )  (v1, v0 )  k p 1s m (v1, v0 )  c k s với m  m p   tùy ý Do theo Bổ đề 1.3.11, {vn } dãy Cauchy (E , , k ) Hơn nữa, E không gian đầy đủ, nên tồn điểm w  E cho lim  lim Tun  lim TS nu  w n  n  n  34 Vì T hội tụ theo dãy, nên {un }  {S nu0 } hội tụ đến điểm z  E Do tính liên tục T , ta có Tz  w TS liên tục , nên ta có w  lim 1  lim TSun  TSz n  n  Như ta TSz  Tz Vì T đơn ánh nên suy Sz  z Ta z điểm bất động S Giả sử ngược lại, tồn w  E cho Sw  w, w  z Khi (z, w )  Vì T đơn ánh nên ta có (Tz ,Tw )  Đặt u  z , v  w (2.14), ta có  Tz ,Tw    TSz ,TSw    Tz ,TSw    Tz ,Tw    Tz ,Tw  ,   điều mâu thuẫn Như w  z Vậy z điểm bất động S , z  lim S nu0  lim T nu Định lí chứng minh đầy đủ n  n  35  KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Một số khái niệm tính chất không gian b  metric khơng gian b  metric nón, khái niệm ánh xạ dãn, ánh xạ thỏa mãn điều kiện T  thác triển - Một số kết điểm bất động chung ánh xạ dãn không gian b  metric (Định lí 2.1.3 Định lí 2.1.5) - Kết điểm bất động điều kiện T  thác triển không gian b  metric (Định lí 2.2.2) - Một số kết điểm bất động chung ánh xạ dãn khơng gian b  metric nón (Định lí 2.3.1, Hệ 2.3.2, Hệ 2.3.3) - Kết điểm bất động điều kiện T  thác triển cho ánh xạ dãn không gian b  metric nón (Định lí 2.4.1) 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Daffer P.Z., Kaneko H., (1992), “On expansive mappings”, Math Japonica, 37, 733-735 [2] Daheriya R.D., Likhitker M.R., Ughade M (2016), “Some theorems on fixed points & common fixed points of expansive type mappings in bmetric spaces”, Open Journal of Applied & Theor Math (OJATM) 2(2), 65-78, ISSN: 2455-7102 [3] Huang X., Zhu C., Wen X., (2012), “Fixed point theorems for expanding mappings in cone metric spaces”, math reports 14(64), 2, 141–148 [4] Lukarevski M., Malčeski S., (2016), “Sequentially convergent mapping and common fixed foint of mapping in 2-Banach spaces”, Математички Билтен Vol 40(LXVI) No 3, 13-22 [5] Mohanta S.K (2016), “Coincidence points and common fixed points for expansive type mappings in b-metric spaces”, Iran Jour Math Scien & Informat 11(1), 101-113, DOI: 10.7508/ijmsi.2016.01.009 [6] Öztürk M., Kaplan N (2014), “Common fixed points of f-contraction mappings in complex valued metric spaces”, Math Sci 8.129 doi:10.1007/s40096-014-0129-2 [7] Rhoades B.E (1993), “An expansion mapping theorem”, Jnanabha 23, 151- 152 [8] Verma R.K., (2016), “Fixed point for expansion mappings in cone b  metric space”, Mayfeb Jour Math - ISSN 2371-6193.Vol 3, 37-47 [9] Verma R.K., (2016), “Common fixed point for expansion type mappings in cone b  metric space”, Mayfeb Jour Math - ISSN 2371-6193.Vol 3, 37-47 37 ... 2.1 Điểm b? ??t động chung ánh xạ dãn không gian b metric 2.2 Điểm b? ??t động điều kiện T thác triển không gian b metric 2.3 Điểm b? ??t động chung ánh xạ dãn khơng gian b metric nón 2.4 Điểm b? ??t động điều... CHUẨN B? ?? 1.1 Không gian b metric 1.2 Điều kiện T thác triển 1.3 Khơng gian b metric nón Chƣơng ĐIỂM B? ??T ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ DÃN TRONG KHÔNG GIAN b METRIC VÀ KHÔNG GIAN b METRIC NÓN 2.1 Điểm. .. S ánh xạ khơng dãn ánh xạ T  thác triển Ngoài u  điểm b? ??t động chung S T E 2.3 .Điểm b? ??t động chung ánh xạ dãn khơng gian b  metric nón Định lí 2.3.1 Cho (E, , k ) không gian b  metric nón