Hướng dẫn học sinh linh hoạt trong việc kết hợp phương pháp giải tự luận và trắc nghiệm đối với bài tập hình tọa độ trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LINH HOẠT TRONG VIỆC KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TẬP HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Người thực hiện: Lê Diễm Hương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học THANH HÓA NĂM 2018 MỤC LỤC Mục 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.3.8 2.4 Nội dung Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lý luận Thực trạng đề tài Giải pháp thực Hệ thống kiến thức liên quan Một số điểm cần lưu ý giải câu hỏi trắc nghiệm Các dạng tập hình tọa độ không gian thường gặp Kỹ sử dụng máy tính cầm tay bổ trợ Hướng dẫn học sinh giải câu hỏi trắc nghiệm phần nhận biết - thông hiểu Hướng dẫn học sinh giải câu hỏi trắc nghiệm phần vận dụng - vận dụng cao Một số câu hỏi trắc nghiệm tốn hình khơng gian đề thi THPT QG giải phương pháp tọa độ Bài tập tự luyện Kết nghiên cứu Kết luận kiến nghị Tài liệu tham khảo Trang 3 3 4 5 10 11 15 15 15 19 20 21 22 22 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hình học nội dung thường xuyên xuất đề thi THPT Quốc gia Đặc biệt năm gần đây, tốn hình tọa độ khơng gian có nội dung hay, khó Với lượng kiến thức rộng khái quát cần tư nhiều từ học sinh nên toán hình tọa độ khơng gian phần kiến thức quan trọng kỳ thi THPT Quốc gia Từ kiến thức học sinh học chương trình lớp 12 Các em nhận biết vận dụng giải số toán đơn giản Tuy nhiên với câu hỏi hay với mức độ vận dụng hay vận dụng cao học sinh đơn giải theo phương pháp tự luận truyền thống lâu địi hỏi cần nhiều thời gian mắc sai sót q trình tìm đáp án chí gặp số câu hình học khơng gian lớp 11 em bỏ qua chọn ngẫu nhiên Vì vậy, chọn đề tài “HƯỚNG DẪN HỌC SINH LINH HOẠT TRONG VIỆC KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TẬP HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” để phần giúp em học sinh có nhìn hệ thống, phát triển tư duy, trí tuệ cách học tích cực dạng tốn Và từ giúp em có thêm tự tin thời gian thật cần thiết để hoàn thành kỳ thi THPT Quốc gia tới 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đứng trước vấn đề trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, tơi ln trăn trở tìm thuật giải, hướng cụ thể để giải vấn đề Nhưng biết khơng có chìa khố vạn “mở khố” tốn Trong việc giảng dạy tốn học nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi tốn nói riêng, việc làm cho học sinh giải vấn đề đặt tốn cách sáng tạo, hồn chỉnh cần thiết Trong viết này, dựa kinh nghiệm giảng dạy, luyện thi THPT Quốc gia bồi dưỡng học sinh giỏi tốn, tơi xin nêu lên hướng giải cho tốn trắc nghiệm hình tọa độ không gian với đề tài “ HƯỚNG DẪN HỌC SINH LINH HOẠT TRONG VIỆC KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TẬP HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” nhằm làm cho học sinh nâng cao khả tư duy, suy luận, linh hoạt q trình giải tốn hình thức thi trắc nghiệm 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Nội dung tốn hình tọa độ khơng gian số tốn hình học khơng gian giải phương pháp tọa độ nằm chương trình lớp 11, 12 mơn Tốn THPT - Một số tập hình tọa độ theo mức độ đề thi THPT quốc gia năm 2017, 2018 Bộ GD & ĐT 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU * Phương pháp: - Phương pháp nghiên cứu lý luận chung - Phương pháp khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp, so sánh, đúc rút kinh nghiệm * Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy - Thơng qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối 11,12 THPT năm học qua NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng đặc biệt mơn tốn học cần thiết thiếu đời sống người Tốn học mơn học quan trọng khó, kiến thức rộng, khơng học sinh ngại học mơn - Muốn học tốt mơn tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng lý thuyết tìm cách giải phương pháp giải nhanh gặp phải tốn hình tọa độ khơng gian số tập hình khơng gian chương trình mơn tốn lớp 11, 12 THPT Khi gặp số tốn hình khơng gian có nhiều hướng tiếp cận để tư lời giải Tuy nhiên với tốn hay khó mức độ vận dụng vận dụng cao lối tư theo hướng bó hẹp khn khổ kiến thức chương hay kiến thức SGK khiến học sinh khó khăn tìm hướng giải làm cho em “sa” vào lối trình bày tự luận nhiều thời gian chi bỏ qua Vì tính chất phân loại đề thi nay, tốn hình tọa độ khơng gian số tốn hình khơng gian em giải theo phương pháp truyền thống mà khơng có thêm khả linh loạt sử dụng cách giải toán trắc nghiệm làm khó điều quan trọng nhiều thời gian Để giải tốn này, học sinh khơng nắm lý thuyết bản, cách giải mà phải biết kết hợp thành thạo linh hoạt suy luận có phương pháp loại trừ để tìm đáp án khoảng thời gian nhanh Tạo nên liên kết chặt chẽ mặt kiến thức kiến thức hình khơng gian hình tọa độ, hình học đại số giúp học sinh thấy chất vấn đề học, gây nên hứng thú tích cực học tập, làm cho em chủ động việc tiếp thu lĩnh hội tri thức, giúp em khơng ngừng tìm tịi thêm nhiều cách giải mới, khắc phục tâm lý lo sợ gặp tốn khó bất lực mặt thời gian mục tiêu quan trọng hoạt động dạy học giáo viên Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh giải thành thạo tập hình tọa độ khơng gian cách giải truyền thống đồng thời kết hợp sử dụng kỹ thuật làm trắc nghiệm có trợ giúp máy tính cầm tay để em có lựa chọn xác khoảng thời gian ngắn giúp em có đủ thời gian để hồn thành thi mình, thực trạng em lo lắng thiếu thời gian làm thi 2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Qua việc khảo sát khảo sát nhiều nhóm học sinh trường THPT Nga Sơn trường THPT địa bàn huyện Nga Sơn trình kiểm tra khảo sát định kỳ học tập, trình luyện đề ôn thi THPTQG hai năm gần nhận thấy học sinh làm tập em chưa có kỹ thuật làm trắc nghiệm nên thường phải trình bày cách giải tự luận nghĩ để chọn kết phải trình bày lời giải chi tiết chí bỏ qua số câu mức độ vận dụng, vận dụng cao nghĩ khó có đủ thời gian để hồn thành Điều làm cho em vừa thời gian không cần thiết để trình bày lời giải chi tiết làm có em khơng kịp làm phải chọn ngẫu nhiên đáp án mà khơng có suy luận Lúc vai trò người giáo viên quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải nhanh, nên giải cho hợp lý loại toán để đáp án suy luận có logic giúp em học sinh có thêm tự tin để giải toán cách nhanh đơn giản Đó mục đích đề tài “ HƯỚNG DẪN HỌC SINH LINH HOẠT TRONG VIỆC KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TẬP HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN” mà hướng đến 2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa số dạng tập hình tọa độ khơng gian thường gặp theo mức độ cách giải vấn đề Bên cạnh cịn ý lưu ý quan trọng làm thi trắc nghiệm nói chung Đối với ví dụ, tơi hướng dẫn cho học sinh phương pháp làm cụ thể, đồng thời lấy ví dụ có tính đặc trưng để học sinh nắm vững cách giải, dạng tập có nhiều cách làm tơi giải mẫu theo cách làm để học sinh áp dụng làm tương tự khác Để minh họa cho dạng này, đưa toán nằm Đề thi minh họa, đề thi THPTQG 2017 2018 Với tốn tơi hướng dẫn cách giải nhanh gọn xác, có so sánh với cách trình bày hình thức tự luận lâu cách giải tối ưu cho tốn từ để học sinh có cách nhình nhận so sánh khái qt để định hướng tốt cho cách giải tập tương tự 2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan 2.3.1.1 Khái niệm hệ tọa độ không gian Trong không gian cho hệ tọa độ Oxyz uuur AB = (x B − x A , y B − y A , z B − z A ) uuur 2 2 AB = AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) r r a ± b = ( a1 ± b1 , a ± b , a ± b3 ) r k.a = ( ka1 , ka , ka ) r a = a12 + a 22 + a 32 z  a1 = b1 r r  a = b ⇔ a = b a = b  rr a.b = a1.b1 + a b + a b3 r r r r r Hai véc tơ a, b(≠ 0) phương ⇔ ∃k ∈ R : a = k.b r r r a∧b=0 r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a b + a b3 = r k ( 0;0;1) r j ( 0;1;0 ) y O x r i ( 1;0;0 ) r r  a a a a1 a1 a  10 a ∧ b =  ; ; ÷  b b3 b3 b1 b1 b  rr r r a1b1 + a b + a b3 a.b 11 cos(a, b) = ar | br = 2 2 2 a1 + a + a b1 + b + b3 r r r r r r 12 a, b, c đồng phẳng ⇔ a ∧ b c = ( ) x −kx B y A −ky B z −kz B  , A ÷ 1− k 1− k  x +x y +y z +z  14 M trung điểm AB: M  A B , A B , A B ÷ 2    x +x +x y +y +y z +z +z  15 G trọng tâm tam giác ABC: G  A B C , A B C , A B C , ÷ 3   r r r 16 Véctơ đơn vị : i = (1, 0, 0); j = (0,1, 0); k = (0, 0,1) 17 M(x, 0, 0) ∈ Ox; N(0, y, 0) ∈ Oy; K(0, 0, z) ∈ Oz 18 M(x, y, 0) ∈ Oxy; N(0, y, z) ∈ Oyz; K(x, 0, z) ∈ Oxz uuur uuur 19 Cơng thức tính diện tích tam giác : S∆ABC = AB ∧ AC uuur uuur uuur 20 Cơng thức tính thể tích tứ diện ABCD: VABCD = (AB ∧ AC).AD uuur uuur uuuur/ V = (AB ∧ AD).AA 21 Cơng thức tính thể tích hình hộp: ABCD.A/ B/ C/ D/  13 M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: M  A  1− k , 2.3.1.2 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng: r r - Véctơ pháp tuyến mp(α) n ≠ có giá vng góc với mp( α ) - Phương trình tổng quát mặt phẳng qua M(xo ; yo ; zo) có véc tơ pháp tuyến  n = (A;B;C) A2 + B + C ≠ là: A(x – xo)+B(y – yo )+C(z – zo ) = Nếu (α) có PTTQ Ax+By+Cz+D = ta có véc tơ pháp tuyến mặt phẳng  n = (A; B; C); A2 + B + C ≠ - Phương trình mặt phẳng qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) (a, b,c khác 0) có phương trình: x y z + + =1 a b c  x = x + a1 t  - Phương trình ttham số đường thẳng:  y = y + a t (t ∈ R) z = z + a t  r Trong đó: M0(x0;y0;z0) điểm thuộc đường thẳng a = (a1; a ;a ) véc tơ phương đường thẳng (véc tơ có giá song song trùng với đường thẳng) x − x0 y − y0 z − z0 - Phương trình tắc đuờng thẳng : a = a = a r Trong đó: M0(x0; y0; z0) điểm thuộc đường thẳng a = (a1; a ;a ) vtcp đường thẳng ( a1a a ≠ ) 2.3.1.3 Một số cơng thức góc, khoảng cách: a Góc: - Góc hai mặt phẳng: uur uur Cho mặt phẳng (P) (Q) có hai véc tơ pháp tuyến là: nP , nQ Góc hai mặt phẳng xác định công thức: cos ( ( P ) , ( Q ) ) uur uur nP nQ = uur uur nP nQ - Góc hai đường thẳng: uu r uur Cho đường thẳng d d’ có hai véc tơ phương là: ud , ud ' Góc hai uu r uur ud ud ′ đường thẳng xác định công thức: cos ( d , d ′ ) = uur uur ud ud ′ - Góc đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng d ; mặt phẳng (P) có véc tơ phương véc tơ pháp uu r uur tuyến là: ud , nP Góc hai đường thẳng d mặt phẳng (P) xác định công thức: sin ( d , ( P ) ) uu r uur ud nP = uu r uur u d nP b Khoảng cách: - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng đến mặt phẳng: Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 );( P) : Ax+By+Cz+D=0 ; Đường thẳng d qua điểm A, có véc tơ uu r phương ud Khi khoảng cách từ điểm M đến mp(P) khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d tính theo công thức: d ( M , ( P) ) = Ax + By0 + Cz0 + D A2 + B + C ; uuur uu r MA ∧ ud d ( M,d ) = uu r ud - Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Cho hai đường thẳng d d’ chéo qua M, M’ có véc tơ uu r uur phương ud , ud ′ Khoảng cách hai đường thẳng d d’ tính theo công thức: uuuuur uu r uur MM ′ ud ∧ ud ′ d ( d , d ′) = uu r uur u d ∧ ud ′ ( ) - Khoảng cách hai yếu tố song song: + Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng + Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng + Khoảng cách từ đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng 2.3.1.4 Vị trí tương đối khơng gian: a Vị trí tương đối hai đường thẳng khơng gian Cho đường thẳng:  x = x0 + a1t  d :  y = y0 + a2t qua M, có VTCP z = z + a t   x = x0′ + a1′t ′  d ' :  y = y0 + a2′ t ′ qua N, có VTCP  z = z + a′t ′  r ad r ad ' • Cách 1: Ta thực theo sơ đồ sau: r r [ ad , ad ' ] r r r r r r [ ad , ad ' ] = [ ad , ad ' ] ≠ uuuur  ard , MN    r r uuuur  a d , a d '  MN   uuuur r  ard , MN  =   r r uuuur uuuur r r r uuuur  ard , MN  ≠  a d , a d '  MN =  a d , a d '  MN ≠       d ≡ d' d cắtd' d // d ' d chéo d' • Cách 2:  x0 + a1t = x0′ + a1′t ′  Xé hệ phương trình:  y0 + a2t = y0 + a2′ t ′ (*)  z + a t = z + a′t ′   Hệ có nghiệm ⇔ d  Hệ vô nghiệm ⇔ d d' d' cắt song song chéo  Hệ vô số nghiệm ⇔ d d ' trùng Lưu ý: Chỉ sử dụng cách cần xác định giao điểm d d '  Chú ý: r r  ad = kad ′  d song song d ′ ⇔  M ∉ d ′ r r  ad = kad ′  d trùng d ′ ⇔  M ∈ d ′ r  ard ∧ ard ′ ≠  d cắt d ′ ⇔  r r uuuur [ a , a′] MN = r r uuuu r ⇔ [ ad , ad ′ ] MN ≠  d chéo d ′ b Vị trí tương đối hai mặt phẳng không gian Cho mp (α) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 =  (α )//(β) A B C D ⇔ A1 = B1 = C1 ≠ D1 2 2  (α ) ≡ ( β ) ⇔  (α ) cắt ( β ) A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2 ⇔ A1 B1 B1 C1 A1 C1 ≠ ∨ ≠ ∨ ≠ A2 B2 B2 C2 A2 C2 Đặc biệt: (α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 = ( Hai véc tơ pháp tuyến vng góc) c Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng  x = x0 + a1t  Cho đường thẳng: d :  y = y0 + a2t mp (α ) : Ax + By + Cz + D = z = z + a t  x = x (1)  + a1t y = y + a t (2)  (*) Xé hệ phương trình:  z = z + a t (3)   Ax + By + Cz + D = (4)  (*) có nghiệm ⇔ d cắt (α )  (*) có vơ nghiệm ⇔ d // (α )  (*) vô số nghiệm ⇔ d ⊂ (α ) d Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Cho mặt cầu ( S ) có tâm I , bán kính R đường thẳng ∆ Để xét vị trí tương đối ∆ ( S ) ta tính d ( I , ∆ ) so sánh với bán kính R å d ( I , ∆ ) > R : ∆ không cắt ( S ) å d ( I , ∆ ) = R : ∆ tiếp xúc với ( S ) Tiếp điểm J hình chiếu vng góc tâm I lên đường thẳng ∆ å d ( I , ∆ ) < R : ∆ cắt ( S ) hai điểm phân biệt A, B R = d + AB e Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu 2 Cho mặt cầu ( S ) : ( x – a ) + ( y – b ) + ( z – c ) = R tâm I ( a; b; c ) bán kính R mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = • Nếu d ( I , ( P ) ) > R mp ( P ) mặt cầu ( S ) khơng có điểm chung • Nếu d ( I , ( P ) ) = R mặt phẳng ( P ) mặt cầu ( S ) tiếp xúc nhau.Khi (P) gọi tiếp diện mặt cầu (S) điểm chung gọi tiếp điểm • Nếu d ( I , ( P ) ) < R mặt phẳng ( P ) mặt cầu ( S ) cắt theo giao tuyến đường trịn có r = R − d ( I , ( P))2 tâm H đường trịn hình chiếu tâm I mặt cầu ( S ) lên mặt phẳng ( P ) 2.3.2 Một số điểm cần lưu ý giải câu hỏi trắc nghiệm Để giải tốt câu hỏi trắc nghiệm trình giảng dạy cho học sinh thường lưu ý em thực điểm sau đây: Cần đọc kỹ lý thuyết, nắm vững tồn chương trình, thuộc kĩ định nghĩa, cơng thức, tính chất,… tập trắc nghiệm gồm nhiều câu hỏi( có 50 câu đề thi THPT QG), kiểm tra nhiều kiến thức, bao quát chương trình ba dạng: - BIẾT: Nắm được, thuộc kĩ định nghĩa, tính chất, phân biệt hay sai câu nêu - HIỂU: Nắm vững kiến thức áp dụng giải dạng tập đơn giản tập nhỏ lớp sau học xong lý thuyết -VẬN DỤNG: Giải tập có lí luận, tính tốn phức tạp hơn, khó cần đòi hỏi tư cao Một câu hỏi trắc nghiệm thường có lựa chọn A, B, C, D, có câu đúng, câu khác sai ta chọn câu Nếu ba câu A, B, C dều câu D ghi “ Cả ba câu đúng” phải chọn câu D Học sinh cần đọc kĩ câu hỏi, vận dụng kiến thức học tính tốn cụ thể, xác để chọn câu Nếu khơng dễ chọn phải câu sai, đặt câu hỏi trắc nghiệm, người viết thường đoán trước trường hợp sai sót học sinh để viết vào lựa chọn Đừng bỏ nhiều thời gian với câu hỏi khơng làm kịp câu khác Các câu hỏi có số điểm nhau, nên học sinh cần giải nhiều câu tốt Phải phân phối thời gian hợp lý để giải đủ tất câu Nên giải từ xuống, câu hỏi thường xếp từ dễ đến khó dần Gặp câu khó, phức tạp q bỏ qua, ghi dấu (?) ngồi lề sau thời gian giải lại Đừng tập trung giải câu khó nhiều giờ, giải khơng ra, bình tĩnh, tự tin, không giải tốt câu sau Khi đọc vào phần đề câu, khơng vội nhìn vào đáp án trả lời dưới, mà tự tìm câu trả lời, câu trả lời có xuất đáp án câu trả lời Biết chọn phương pháp giải cách thong minh để có kết nhanh Ví dụ: Khi tìm tâm đường trịn ngoại tiếp tâm giác ABC ta nên kiểm tra xem tam giác ABC có đặc biệt, tam giác vng A tâm trung điểm BC… Khi khơng có đặc biệt giả theo phương pháp túy Biết suy nghĩ để loại dần câu chắn sai suy câu nhanh Ví dụ (Câu 20 MĐ 103.2017) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(3; -1; -2) mặt phẳng ( α ) : 3x − y + z + = Phương trình phương trình mặt phẳng qua M song song với ( α ) ? A ( α ) : 3x + y − z − 14 = B ( α ) : 3x − y + z + = C ( α ) : 3x − y + z − = D ( α ) : 3x − y − z + = 10 Phân tích: Do hai mặt phẳng song song với nên mặt phẳng cần tìm có dạng phương trình: 3x − y + z + D = 0( D ≠ 4) nên ta chắn loại phương án A D.Sau ta kiểm tra tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình có đấp án C Biết cách thử để chọn kết nhanh cách tính tốn trực tiếp Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm O ( 0;0;0 ) ; A(1;0;0); B ( 0; 2;0 ) ; D(0;0;3) Mặt cầu (S) qua điểm có phương trình là: A x + y + z + x + y + z = B x + y + z − x − y − z = 2 C x + y + z − x − y − 3z = D ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = Bằng cách thử trực tiếp ta dễ dàng chọn đáp án đáp án C Bài tốn trình bày theo cách giải thong thường tốn nhiều thời gian Câu tính tốn lựa chọn xong thơi Đừng thay đổi định nhiều lần điều làm giảm tự tin tạo nên dự không cần thiết 10 Cuối nên trả lời tất câu, không bỏ sót câu Nếu có vài câu khơng giải khơng kịp chọn ngẫu nhiên bốn câu A, B, C, D cho câu 2.3.3 Các dạng tập hình tọa độ khơng gian thường gặp 2.3.3.1 Các dạng tốn mặt cầu a Bài toán xác định tâm bán kính mặt cầu - Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) bán kính R là: ( x − a ) + ( y − b)2 + ( z − c) = R (1) - Phương trình mặt cầu có dạng: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (2) có tâm I (a; b; c) bán kính R = a + b + c − d ( a + b2 + c − d > ) b Bài tốn viết phương trình mặt cầu - Phương trình mặt cầu có tâm I qua M, suy bán kính R = IM - Phương trình mặt cầu có đường kính AB: + Xác định tâm I trung điểm đoạn AB + Bán kính R = IA = AB - Phương trình mặt cầu có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = Suy bán kính R = d ( I , ( α ) ) - Phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc (P) Khi ta gọi phương trình mặt cầu có dạng (1) (2) sau lập hệ phương trình tìm ẩn - Phương trình mặt mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Cách giải tương tự dạng c Bài tốn xác định vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng (P) Bước 1: Xác định tâm I bán kính R mặt cầu (S) Bước 2: Tính khoảng cách từ I đến (P) : d = d ( I , ( P) ) Bước 3: So sánh kết luận + Nếu d > R Kết luận (S) (P) khơng có điểm chung + Nếu d = R Kết luận (P) tiếp xúc với (S) M(M hình chiếu I lên (P)) + Nếu d < R Kết luận (P) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính r = R − d có tâm O hình chiếu I lên mp(P) 2.3.3.2 Các dạng toán mặt phẳng đường thẳng a Bài tốn phương trình mặt phẳng 11 r Dạng 1: Biết mặt phẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ pháp tuyến n( A, B, C ) Ta có phương trình: A ( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = * Ở dạng lưu ý : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; Hai mặt phẳng song song Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng Mặt phẳng tiếp diện với mặt cầu tâm I M Dạng 2: Biết mặt phẳng qua điểm (hoặc tìm được) có véc tơ pháp tuyến urr r (VTPT) n vng góc với cặp véc tơ a,b khơng phương r r r Khi : n = a ∧ b * Ở dạng lưu ý: uuur uuur - Mặt phẳng qua ba điểm A, B, C chọn VTPT AB ∧ AC - Mặt phẳng chứa hai đường thẳng cho trước d d’: r uu r uuuuur + Nếu d//d’ chọn n = ud ∧ MM '; M ∈ d ; M ' ∈ d ' r uu r uur + Nếu d cắt d’ chọn n = ud ∧ ud ′ r uu r uuuu r - Mặt phẳng qua điểm A ( A ∉ d ) chứa đường thẳng d Ta chọn n = ud ∧ AM ; M ∈ d r uur uur - Mặt phẳng qua M vng góc với (P) (Q) Ta chọn: n = nP ∧ nQ - Mặt phẳng song song với đường d (hoặc chứa d) vng góc với mặt phẳng (Q) r uu r uur Ta chọn: n = ud ∧ nP -r Mặt phẳng chứa d song song với d’ ta chọn điểm qua M thuộc d có VTPT uu r uur n = u d ∧ ud ′ Dạng 3: Mặt phẳng đặc biệt - Mặt phẳng theo đoạn chắn: Phương trình mặt phẳng qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) (a, b,c khác 0) có phương trình: x y z + + =1 a b c - Mặt phẳng (P) song song với (Q): Ax + By +Cz + D = tiếp xúc với mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R Khi đó: (P) có dạng: Ax + By +Cz + D’ = ta dùng điều kiện tiếp xúc với (S) để xác định D’ b Bài tốn phương trình đường thẳng r Dạng 1: Biết đường thẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ phương u (a; b; c)  x = x0 + at  Ta có phương trình: tham số  y = y0 + bt  z = z + ct  x − x0 y − y0 z − z0 = = Hoặc phương trình tắc: a b c ( a.b.c ≠ ) Ví dụ: r uuur - Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A, B, ta chọn u = AB r uur - Viết phương trình đường thẳng d qua A song song với d’, ta chọn u = ud ′ r uur -Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với (P), ta chọn u d = nP Dạng 2: Biết đường thẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) (hoặc tìm được) có véc tơ urr r phương (VTCP) u vng góc với cặp véc tơ a,b khơng phương d 12 r r r Khi : u = a ∧ b Một số toán thường gặp đường thẳng: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M vng góc với hai đường thẳng d1 , d (hai đường thẳng không phương) uur ur uu r ur uu r Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ =  a1 , a2  , với a1 , a2 vectơ phương d1 , d Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M vng góc với đường thẳng d song song với mặt phẳng ( α ) uur uu r uu r uu r Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ =  ad , nα  , với ad uur vectơ phương d , nα vectơ pháp tuyến ( α ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A song song với hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) ; ( ( α ) , ( β ) hai mặt phẳng cắt nhau) uur uur uur uu r uur Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ =  nα , nβ  , với nα , nβ vectơ pháp tuyến ( α ) , ( β ) Viết phương trình đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) (β) Cách giải: • Lấy điểm ∆ , cách cho ẩn số tùy ý uur uur uur uu r uur • Xác định vectơ phương ∆ a∆ =  nα , nβ  , với nα , nβ vectơ pháp tuyến ( α ) , ( β ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cắt hai đường thẳng d1 , d ( A ∉ d1 , A ∉ d ) uur ur uu r ur uu r Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ =  n1 , n2  , với n1 , n2 vectơ pháp tuyến mp ( A, d1 ) , mp ( A, d ) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng ( α ) cắt hai đường thẳng d1 , d uur uuu r Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ = AB , với A = d1 ∩ ( α ) , B = d ∩ ( α ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A , vng góc cắt d Cách giải: Xác định B = ∆ ∩ d • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, B Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A , vng góc với d1 cắt d , với A ∉ d Cách giải: • Xác định B = ∆ ∩ d • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, B Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A , cắt đường thẳng d song song với mặt phẳng ( α ) Cách giải: 13 • Xác định B = ∆ ∩ d • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, B 10.Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng ( α ) cắt vng góc đường thẳng d Cách giải: • Xác định A = d ∩ ( α ) • Đường thẳng ∆ qua A có vectơ phương ∆ uur uu r uu r uu r uur a∆ =  ad , nα  , với ad vectơ phương d , nα vectơ pháp tuyến ( α ) 11.Viết phương trình đường thẳng ∆ qua giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng ( α ) , nằm ( α ) vng góc đường thẳng d (ở d khơng vng góc với ( α ) ) Cách giải: • Xác định A = d ∩ ( α ) • Đường thẳng ∆ qua A có vectơ phương ∆ uur uu r uu r uu r uur a∆ =  ad , nα  , với ad vectơ phương d , nα vectơ pháp tuyến ( α ) 12.Viết phương trình đường thẳng ∆ đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 , d Cách giải:  AB ⊥ d • Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d cho   AB ⊥ d • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua hai điểm A, B 13.Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 , d Cách giải: uuu r uu r uu r • Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d cho AB, ad phương, với ad vectơ phương d • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A có vectơ uu r uur phương ad = a∆ 14.Viết phương trình đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng ( α ) cắt hai đường thẳng d1 , d Cách giải: uuu r uu r uur • Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d cho AB, nα phương, với nα vectơ pháp tuyến ( α ) • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A có vectơ uu r uu r phương ad = nα 15.Viết phương trình ∆ hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng ( α ) uuur uu r uu r Cách giải : Xác định H ∈ ∆ cho AH ⊥ ad ,với ad vectơ phương d 14 • Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d vng góc với mặt phẳng ( α ) • Viết phương trình đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) ( β ) 16 Viết phương trình ∆ hình chiếu song song d lên mặt phẳng ( α ) theo phương d ' Cách giải : • Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d có thêm véc tơ uur phương ud' • Viết phương trình đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) ( β ) 2.3.4 Kỹ sử dụng máy cầm tay bổ trợ Máy tính fx 570 ES PLUS tương đương Đầu tiên nhập ghi nhớ véc tơ r r r + Cách nhập ghi véc tơ: Đặt a ( A ) ; b ( B ) ; c ( C ) ; Nhập véc tơ A: Mode 8, chọn 1, chọn 1:3 , nhập tọa độ véc tơ A , nhấn AC ghi lại Nhập véc tơ B: Nhấn Shift chọn 2, chọn 1:3 nhập tọa độ véc tơ B nhấn AC Nhập véc tơ C: Nhấn Shift chọn 3, chọn 1:3 nhập tọa độ véc tơ C nhấn AC + Cách gọi véc tơ: Shift (Gọi véc tơ A); Shift (Gọi véc tơ B); Shift 5 (Gọi véc tơ C); rr + Cách tính tích vơ hướng véc tơ: a.b Gọi véc tơ A Shift (Dot) gọi véc tơ B có kết r r + Cách tính tích có hướng hai véc tơ: a ∧ b Gọi liên tiếp véc tơ A véc tơ B có kết r +Tính độ dài véc tơ: a Shift Abs (gọi véc tơ A) rr r r + Tính góc hai véc tơ: cos ( a, b ) = ar br a.b Nhập sau: (Gọi véc tơ A Shift Gọi véc tơ B): ((Shift Abs(Gọi véc tơ A)x(Shift Abs Gọi véc tơ B)), sau ghi lại kết (Shift STO A) Để tính góc hai véc tơ ta thực Shift cos −1 ( ALPHAA) + Đối với cơng thức tính diện tích tam giác, tính thể tích tứ diện ta cần viết công thức áp dụng cách tính + Chú ý muốn kiểm tra điểm có thuộc mộtmặt phẳng hay mặt cầu : Nhập vế trái phương trình vào máy tính (thay ẩn z A) Dùng phím CALC Sau nhập tọa độ M vào kiểm tra kết vế phải thỏa mãn 2.3.5 Hướng dẫn học sinh giải câu hỏi trắc nghiệm phần nhận biết - thơng hiểu Ví dụ 1: (Câu 24 - Đề thi tham kảo năm 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(−1; 2;1) B(2;1;0) Mặt phẳng qua A vng góc với AB có phương trình 15 A 3x − y − z − = B 3x − y − z + = C x + y + z − = D x + y + z − = Phân tích: uuur Bước 1: Mặt phẳng cần tìm nhận véc tơ AB = (3; −1; −1) làm véc tơ pháp tuyến nên chắn loại phương án C D Bước 2: Kiểm tra mặt phẳng qua điểm A ta loại đáp án A Kết luận: đáp án B Bình luận: Nếu ta thực cách ugiải thơng thường ta viết phương trình tổng quát uur mp qua A B có VTPT AB = (3; −1; −1) , rút gọn có đáp án cần thêm hai thao tác Ví dụ 2: (Câu 19 – Mã đề 101/2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương trình mặt phẳng qua điểm M (3; −1;1) vng góc với đường thẳng ∆: x −1 y + z − = = ? −2 A 3x − y + z + 12 = B 3x + y + z − = C 3x − y + z − 12 = D x − y + 3z + = Phân tích: Bước 1: Mặt phẳng cần tìm nhận véc tơ phương đường thẳng V làm véc tơ pháp tuyến nên từ chắn loại phương án B,D Bước 2: Kiểm tra mặt phẳng qua điểm M (tọa độ M thỏa mãn PT mặt phẳng) Kết luận: đáp án C Ví dụ 3: (Câu 20- MĐ 101/2017) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương trình đường thẳng qua điểm A(2;3; 0) vng góc với mặt phẳng ( P) : x + y − z + = ?  x = + 3t  A  y = 3t z = − t  x = + t  B  y = 3t z = − t  x = + t  C  y = + 3t z = − t   x = + 3t  D  y = 3t z = 1+ t  Phân tích: Bước 1: Đường thẳng có véc tơ phương véc tơ pháp tuyến mp (P) nên từ ta chắn loại phương án A D 2 = + t  Bước 2: Ta kiểm tra đường thẳng qua điểm A (2; 3; 0), ta có: 3 = 3t ⇒ t = 1(tm) 0 = − t  Kết luận: đáp án B Bình luận: Trong tốn để viết đưa phương trình đường thẳng học sinh gặp khó khăn với điểm qua “khó” nhận đáp án Ví dụ 4:: (Câu 47- Minh họa lần năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 0; 1; 1) B ( 1; 2; ) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với đường thẳng AB A x + y + 2z – = B x + y + 2z – = C x + 3y + 4z – = D x + 3y + 4z – 26 = Phân tích: 16 uuur Bước 1: Mặt phẳng nhận AB = (1;1; 2) làm véc tơ pháp tuyến Từ ta chắn loại phương án C D Bước 2: Kiểm tra mặt phẳng qua A (0;1;1) chọn đáp án A 2.3.6 Hướng dẫn học sinh giải câu hỏi trắc nghiệm phần vận dụng - vận dụng cao Ví dụ 1: (Câu 33 – MĐ 103 /2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I (1; 2;3) mặt phẳng ( P) : x − y − z − = Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) điểm H Tìm tọa độ H ? A H (−1; 4; 4) B H (−3;0; −2) C H (3;0; 2) D H (1; −1;0) Phân tích: Bước 1: Tính d ( I ;(P) ) = Bước 2: Ta kiểm tra điều kiện H phải thuộc (P) Khi chắn chắn loại phương án A B Bước 3: Kiểm tra độ dai đoạn IH = d ( I , ( P) ) = Kết luận: Đáp án C Bình luận: Nếu cho em HS giải theo cách giải thơng thường phải qua bước: + Lập PT tham số đường thẳng d qua tâm I vng góc với (P) + Tìm tọa độ giao điểm d (P) cách giải hệ phươn trình tìm tham số thay lại tìm tọa độ giao điểm Ví dụ 2: (Câu 33 Mã đề 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1; −1; 2), B(−1; 2;3) đường thẳng d : c